常见曲线的参数方程

关于常见曲线的参数方程1旋轮线

2旋轮线也叫摆线3旋轮线是最速降线4心形线5

星形线6

圆的渐伸线7

笛卡儿叶形线8双纽线9阿基米德螺线10双曲螺线

主目录（1–10）第2页,共46页，2024年2月25日，星期天xa曲线,是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。1.

旋轮线一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的第3页,共46页，2024年2月25日，星期天x来看动点的慢动作.第4页,共46页，2024年2月25日，星期天2a2

a0yx

ax=a(t–sint)y=a(1–

cost)t

的几何意义如图示ta当

t

从02，x从02a即曲线走了一拱a.参数方程第5页,共46页，2024年2月25日，星期天oaCAxy这就是旋轮线的参数方程。第6页,共46页，2024年2月25日，星期天将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板2.

旋轮线也叫摆线（单摆）第7页,共46页，2024年2月25日，星期天.第8页,共46页，2024年2月25日，星期天第9页,共46页，2024年2月25日，星期天两个旋轮线形状的挡板,

使摆动周期与摆幅完全无关。在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。第10页,共46页，2024年2月25日，星期天BA答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题:

质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？3.旋轮线是最速降线生活中见过这条曲线吗？第11页,共46页，2024年2月25日，星期天BA第12页,共46页，2024年2月25日，星期天BA第13页,共46页，2024年2月25日，星期天BA滑板的轨道就是这条曲线.第14页,共46页，2024年2月25日，星期天xyoaa一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。4.

心形线(圆外旋轮线)第15页,共46页，2024年2月25日，星期天xyoa来看动点的慢动作.a第16页,共46页，2024年2月25日，星期天xyoaa2a来看动点的慢动作.第17页,共46页，2024年2月25日，星期天xyo2aP

r.r=a(1+cosθ)参数方程第18页,共46页，2024年2月25日，星期天xyoa–a一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。5.星形线(圆内旋轮线)第19页,共46页，2024年2月25日，星期天xyoa–a来看动点的慢动作.第20页,共46页，2024年2月25日，星期天xyoa–a来看动点的慢动作.第21页,共46页，2024年2月25日，星期天xyoa–a0

2极坐标方程为.P

.直角坐标方程为：.第22页,共46页，2024年2月25日，星期天0xy一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹6.

圆的渐伸线a

参数方程为第23页,共46页，2024年2月25日，星期天0xy.a再看一遍第24页,共46页，2024年2月25日，星期天0xy.a第25页,共46页，2024年2月25日，星期天0xy.a第26页,共46页，2024年2月25日，星期天a0xMttaat(x,y)0xy试由这些关系推出曲线的方程.参数方程为第27页,共46页，2024年2月25日，星期天1.曲线关于y=x对称2.曲线有渐进线x+y+a=0分析3.令

y=tx,

得参数式故在原点，曲线自身相交.7.狄卡儿叶形线4.第28页,共46页，2024年2月25日，星期天0xyx+y+a=0曲线关于

y=x

对称曲线有渐近线

x+y+a=0.第29页,共46页，2024年2月25日，星期天0xyPr

...........曲线在极点自己相交，与此对应的角度为

=.....距离之积为a2的点的轨迹直角系方程8.双纽线第30页,共46页，2024年2月25日，星期天0xy.所围面积...由对称性.例1求双纽线第31页,共46页，2024年2月25日，星期天0rr=a

曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线9.

阿基米德螺线第32页,共46页，2024年2月25日，星期天0r.第33页,共46页，2024年2月25日，星期天0r再看一遍请问：动点的轨迹什么样？.第34页,共46页，2024年2月25日，星期天0r.第35页,共46页，2024年2月25日，星期天0r.第36页,共46页，2024年2月25日，星期天0rr=a

.阿基米德螺线第37页,共46页，2024年2月25日，星期天r这里

从0+8r=a

02

a每两个螺形卷间沿射线的距离是定数.阿基米德螺线第38页,共46页，2024年2月25日，星期天0r8当

从0–r=a

.阿基米德螺线第39页,共46页，2024年2月25日，星期天r0.这里

从0+8a..10双曲螺线第40页,共46页，2024年2月25日，星期天r0.当

从0–8a.双曲螺线第41页,共46页，2024年2月25日，星期天xyo例22..S=

=1+cos

3r=3cos

由3cos=1+cos

得交点的坐标S2...第42页,共46页，2024年2月25日，星期天....例3.10xy令cos2

=0,由sin>0,

联立后得交点坐标...[S=2].第43页,共46页，2024年2月25日，星期天xyo例41s1s2......sS=

=1+cos

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