2023-2024学年四川省宜宾市高二年级下册开学考试数学（文）模拟试题（含答案）

2023-2024学年四川省宜宾市高二下册开学考试数学（文）

模拟试题

一、单选题

1.命题“存在x（）eR,2"40"的否定是（）

A.不存在％eR,2X">0B.存在的仁12'°>0

C.对任意的xeR,2'<0D.对任意的xeR,2v>0

【正确答案】D

【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可.

【详解】解：由题意

•.•特称命题的否定是全称命题，

命题“存在X（）€R，2%40”的否定是:

对任意的xeR,2r>0.

故选：D.

2.抛物线x=gy2的焦点坐标为（）

A-（叫B.加C.（0品）

【正确答案】D

【分析】将抛物线化成标准形式，即可求解.

【详解】由X=得y2=］，故焦点为谓,01，

故选：D

3.从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm）,所得数据用

茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（）

甲班乙班

211813

820171268

65316257

87159

A.甲乙两班同学身高的极差相等B.甲乙两班同学身高的平均值相等

C.甲乙两班同学身高的中位数相等D.乙班同学身高在175cm以上的人数较多

【正确答案】D

【分析】根据茎叶图和极差、平均数、中位数等概念逐一计算，即可判断选项是否正确.

【详解】由茎叶图可知，甲班同学身高的极差为182-157=25,乙班同学身高的极差为

183-159=24,两班身高极差不相等，故A错误；

甲班同学身高的平均值为:(157+158+163+165+166+170+172+178+181+182)=169.2,

乙班同学身高的平均值为、(159+162+165+167+171+172+176+178+181+183)=171.4

显然，甲乙两班同学身高的平均值不相等，即B错误；

根据茎叶图可知，甲班同学身高的中位数为*^=168,乙班同学身高的中位数为

吐四=171.5,

2

所以，甲乙两班同学身高的中位数不相等，即C错误；

由茎叶图可知，甲班同学身高在175cm以上的人数为3人，乙班同学身高在175cm以上的人

数为4人，故D正确.

故选;D

4.若直线4：x-y+2=O与直线/”2x+ay-3=0平行，则实数。的值为()

A.-2B.-1C.2D.1

【正确答案】A

【分析】解方程lxa-(-l)x2=0即得解.

【详解】解:由题得lxa-(-l)x2=0,.・.a=-2.

经检验，当。=-2时，满足题意.

故选：A

5.在区间［—2,2］内随机取一个数x,使得不等式/+2》<0成立的概率为()

1123

A.-B.-C.-D.一

3234

【正确答案】B

【分析】由f+2x<0可得-2<x<0,再根据几何概型的计算方法求解即可.

【详解】解：由/+2》<0可得-2cx<0,

0-(-2)21

由几何概型的定义可得使不等式V+2x<0成立的概率为.；=7=7

1/一(一2)4L

故选：B.

6.已知命题“HxeR,使得f+x+l<0;p2：Vxe[l,2],使得/一口。.以下命题为真

命题的为

A.rPi人rP2B.PtV->p2C.77sp2D.P}Ap2

【正确答案】D

【详解】△=（T）2-4=-3<0,;.x2+x+l<0的解集为空集，故命题P]为假命题，rPi

为真命题；.或x41,•・.Vxe[l,2],使得/一1±0恒成立，故外为真命

题，10为假命题；因为真命题，P2为真命题，故1。1八〃2为真命题，答案为C.

7.圆q：（x-iy+y2=1与圆O2："-3）2+y2=9的位置关系为（）

A.外离B.外切C.相交D.内切

【正确答案】D

【分析】求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与两圆的半径和与差的关系，判断两个圆的

位置关系.

【详解】因为圆G：（x-l『+y2=l的圆心（1,0）,半径为4=1,

圆。2：（》-3丫+丁=9的圆心（3,0）,半径为4=3,,

则两圆的圆心距为^/（1-3）2+02=2,而卜一目=2,

则圆O,与圆02的位置关系为内切.

故选:D.

8.是“直线（2机—4）x+（m+l）y+2=0与直线（〃?+1卜一/啰+3=0垂直”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【正确答案】B

【分析】根据两直线垂直的条件，求解加范围即可求解.

【详解】若直线（2/x—4）x+（m+l）y+2=0与直线（优+l）x—n?y+3=0垂直，则

（2"z—4）（加+1）—=0=（〃z—4）（〃z+l）=0=机=4或加=一1,

故，=_1”是宜线（2〃2-4卜+（/%+1）），+2=0与直线（〃2+1）%-缈+3=0垂直”的充分不必

要条件，

故选：B

9.直线/：y=x与圆。：。-1）2+（丫-2）2=/（。>0）交两点.若|A8|=a,则挖。的面积

为（）

AGB.f

c五D.巨

664

【正确答案】A

【分析】由题知圆心为C（l,2）,半径为/•=〃，进而根据几何法求弦长得

\AB\=2>Jr2-d2=2^a2=a,解得”=乎，再计算面积即可得答案.

【详解】解：由题知圆心为C（L2）,半径为r=a,

所以，圆心”1,2）到直线/:y=x的距离为〃=1

所以，弦长|AB|=2/2-/=2J/-；=a,即3/-2=0,解得a=坐,

所以_4?C的面积为S=3a8|d=

2112326

故选：A

10.若a>0,b>0,lga+lgb=lg(a+初),则a+b的最小值为()

A.46B.4+2百C.6D.3+36

【正确答案】B

【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可.

［详解］由1gQ+1g。=lg（tz+3b）nlg（a〃）=lg（a+3b）nab=Q+3bna=-,

b—\

因为a>0,b>U,所以人一1>0,即Z?>1,

所以。+6=券+匕=告+（6-1）+422^^（^1）+4=4+26，

当且仅当二=6-1时取等号，即6=百+1时取等号，

0-1

故选：B

11.在三棱锥尸-A8C中，AC=43=2,2衣4。=90°,/>（71.平面43仁/<?=1,则该三棱锥

外接球的体积为（）

9

A.36万B.12万C.8"D.-TI

2

【正确答案】D

画出图形，将几何体补全为长方体，则将问题转化为求对应长方体外接球体积问题，结合体

积公式即可求解

【详解】

如图所示，三棱锥实际上为长方体上四点组合而成，则外接球半径为〃=立亘巨=3,

22

则该三棱锥外接球的体积为V=4,S427=p9

3382

故选：D

本题考查锥体外接球体积算法，对于这类问题，我们都可考虑把锥体还原成对应的长方体或

圆柱体，再求对应的外接球半径，这样会简化求解难度，属于中档题

22

12.耳,B是双曲线C:£-£=l(a>b>0)的左、右焦点，过左焦点耳的直线/与双曲线C

的左、右两支分别交于AB两点，若|A8|:忸闾:|4国=12:5:13,则双曲线的离心率为()

A.或B.2C.—D.—

222

【正确答案】D

【分析】根据长度关系可得A8_L8心，利用双曲线定义可用“表示出忸用，忸用利用勾股

定理可构造关于a，。的齐次方程求得离心率.

设则忸可=5f,|你|=13f,

\AB(+\BF2^=\AF2f,ABVBF2,

由双曲线定义可知：|"卜|/叫=13f-|做|=2a,=

:.\BF\-\BF^=\AF\+\AE\-\BF^=\AF\+1t=2Gt-2a=2a,•一=>,

312

忸卬=|A[|+|A8|=]a+《a=3a,\BF2\=a,

.•同「+|明2=|耳耳]2,.功+小姆，则0=后=椁=粤.

故选：D.

二、填空题

x-y<4,

13.若实数x,y满足约束条件，x+”2,则z=2x-y的最小值为.

”2，

【正确答案】-2

【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析求解.

【详解】解析由约束条件作出可行域，如图中阴影部分（含边界）所示.

令直线y=2与直线x+y=2的交点为A,则A(0,2).

由图可知，当直线y=2x-z过点A时，直线在丫轴上的截距最大，贝I有最小值为一2.

故-2

r22

14.双曲线—+v匕=1的焦距为.

2-2A

【正确答案】2应

【分析】由几>九一2,可得/=2>0,b2=2-A>0,从而即可求解.

【详解】解：因为2,所以a2=zl>0，b2—2—A>01

所以02=/+%2=2+2—几=2,解得c=V^，

所以该双曲线的焦距为2c=2夜.

故答案为.20

15.已知椭圆]+方=1(“>6>0)的左、右焦点分别为耳、尸2,上顶点为A.若鸟为正

三角形，则该椭圆的离心率为.

【正确答案】g##0.5

【分析】利用题给条件求得a=2c,进而求得椭圆的离心率

【详解】为正三角形，则a=2c,则椭圆的离心率0=£=3=]

a2c2

故3

16.已知圆O：r+V=4,直线/与圆。相交于点P,。，且。2・0。=-2,则弦。。的长度为

【正确答案】26

【详解】由题0P-OQ=-2n|OP|-|OQ|COSZPOQ=-2ncosZPOQ=--

则由余弦定理IPQ「=+|oe|2-2\OP\-|oe|cosZPOQ=U:.\PQ\=26

故2G

三、解答题

17.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用

水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准以吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分

按平价收费，超出X的部分按议价收费•为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100

位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,05),[051),…,[4,4.5]分成9组，制成

了如图所示的频率分布直方图.

616

012

^08

04

0.

O0.511.522.533.544.5月均用水量(吨)

(1)求直方图中〃的值；

(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由.

【正确答案】(1)。=0.3

(2)3.6万，理由见解析

(3)x=2.9,理由见解析

【分析】(1)根据各组的累积频率为1,构造方程，可得。值；

(2)由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数;

(3)由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值.

【详解】(1)0.5x(0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2«)=1,

a=0.3；

(2)由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：().5X(().12+().08+().04)=().12,

由30x0.12=3.6,得全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；

(3)由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：

0.5x(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52)=0.73<85%；

月均用水量低于3吨的频率为：().5x(0.08+().16+0.3+().4+0.52+0.3)=().88>85%；

贝I]x=2.5+0.5x约-673=2§吨.

03x0.5

18.已知圆C的圆心在直线3x+2y=0上，C经过点A(-2,0),且与直线4x-3y+8=0相切.

(1)求C的标准方程；

(2)直线/：x-2y-3=0与C相交于两点，求..CWN的面积.

【正确答案】(1)(x-2)2+(y+3)2=25(2)10

(1)不妨设圆心为eg,。)，半径为"，结合待定系数法和点到直线距离公式即可求解；

(2)由圆心到直线距离公式求得弦心距d,再由几何性质和勾股定理求得弦长，利用

S=g|MN|-d即可求解

【详解】(1)设圆心为半径为,，则圆的标准方程为;(x-ay+(y—，由题可

3〃+2/?=0(a=2

得(2+〃)2+从=/，解得抄=-3则圆C的标准方程为(x—2)2+(y+3)2=25；

|4a-3/>+8|r=5

.5一'

(2)如图，可求出圆心到直线/：x-2y-3=0的距离-3=。|=6,

则半弦长3=〃2-1=>/25-5=2右,1=4#>,

SMMN=夫河公卜4后x石=10

本题考查待定系数法求圆的标准方程，由圆的几何性质求弦长，属于中档题

19.某地级市受临近省会城市的影响，近几年高考生人数逐年下降，下面是最近五年该市参

加高考人数y与年份代号x之间的关系统计表.

（其中2018年代号为1,2019年代号为2,…2022年代号为5）

（1）求V关于*的线性回归方程；

（2）根据（1）的结果预测该市2023年参加高考的人数；

（3）试分析该市参加高考人数逐年减少的原因.

（参考公式：b=-------;---,a=y-bx）

即可

1=1

【正确答案】（l）y=_2.4x+37.2

（2）22.8千人

（3）答案见解析

【分析】（1）根据题中数据计算得力=-2.4,“=37.2即可解决；（2）根据（1）中回归方程计

算即可；（3）言之有理，客观分析即可.

【详解】（1）设回归方程为y=bx+a,由表中数据知,

x=3，y=30.

-2x5+(-l)x3+0x(-2)+lx(-l)+2x(-5)12c,

所以6=—=—2.4,

4+1+4+1

所以a=y-6x=30-(—2.4)x3=37.2,

所以>'关于x的回归方程y=-2.4x+37.2.

(2)由(1)得>关于x的回归方程y=-2.4x+37.2.

令x=6,y=-2.4x6+37.2=22.8(千人)，

所以预测该市2023年参加高考的人数为22.8千人.

(3)①该市经济发展速度慢；

②该市人口数量减少；

③到省会城市求学人数增多.

20.如图，桌面上摆放了两个相同的正四面体力WD和QABC.

(1)求证：PQ-LAB.

(2)若他=2,求四面体APQ8的体积.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵逑

9

【分析】(1)连接CQ与A8相交于点O,证得。为AB的中点，连接尸O,QO,利用线面

垂直的判定定理证得平面POQ,即可得到PQ±AB.

(2)过点RQ分别作PP,±CD,QQ,±CD,得至IJ勺,Q1分别为△ABQ和一A8C的中心，分别

求得PR尸Q,OA的长度，结合AO_L平面POQ,及匕匕即可求解.

【详解】(1)证明：因为与,ABC共面，所以连接C£>与A8相交于点0,

因为弘3D和QABC是相同的正四面体，所以四边形4。。为菱形，则。为A8的中点，

连接PO,QO,因为%=尸3,QA=QB,所以PO1.AB,QO_LAB,

又因为POcQO=O,所以4?2平面P。。，所以PQ1A8；

(2)解：在四边形。PQC中，过点尸，。分别作尸片，C2QQ_LC。，垂足分别为匕Q1,

如图所示，可得匕。分别为等边△ABO和等边MC的中心，

因为AB=2,在等边△"£)中，可得。。=石，则手，0P、=与,

在直角中，可得P<="。尸_£>尸=半,

同理可得0。=印，所以尸。=[0=0。1+0<=竿，

由(1)知，平面P。。，可得AOJ•平面POQ,

V

所以A-PQB=2VA-POQ=2X；xSAPOQxOA=.

21.已知平面上动点P到定点F(2,0)的距离比P到直线x=-l的距离大1.记动点尸的轨迹

为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)过点(-2,0)的直线/交曲线C于A、8两点，点A关于x轴的对称点是。，证明：直线

BO恒过点F.

【正确答案】(1)V=8x(2)证明见解析

(1)先分析出点P在直线％=-1的右侧，然后利用抛物线的定义写出方程即可

(2)设出直线/的方程和4、8两点坐标，联立方程求出加的范围和A、B两点纵坐标之和和

积，写出直线8。的方程，然后利用前面得到的关系化简即可.

【详解】(1)不难发现，点P在直线户-1的右侧，

二P到尸(2,0)的距离等于P到直线x=-2的距离.

二P的轨迹为以尸(2,0)为焦点，以x=-2为准线的抛物线，

•••曲线C的方程为y2=8x.

(2)设直线/的方程为x=，")，-2,A(X1,y),8(孙力)

x=my-2

联立得》2—8僧》+16=0,A=64/?Z2-64>0,解得勿>1或m<一1.

y2=8x

••・乂+必=8加，%％=16・

又点A关于无轴的对称点为。，。(西，-,)

则直线8。的方程为5