河北省邢台市名校2023-2024学年高二年级上册第一次月考数学试卷（含解析）

2023~2024学年高二(上)第一次月考数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.直线/经过两点(4-2)，(-3,4),贝〃的斜率为()

,667

A.—B.-C.—D.一

7766

答案：A

解析：由后=)二包，得/的斜率为4—(2)=_).

%-Z-3-47

故选：A

2.已知向量4=(1,工,1)力=(卜,1,1),。=(-2,-2,2),且a_LZ?,)〃c,则,+匕+,=()

A.242B.3C.472D.16

答案：B

解析：因为向量4=(1,%,1),6=()，,1,1),。=(-2,—2,2),且4_1),。〃。，

y+x+l=0,

所以，y11解得x=-2,y=l,z=-2,

百一三一丁

则a=(l,_2,l),b=(LU),c=(-2,-2,_2),

所以a+/+c=(0,—3,0),

所以|a+Z?+c[=3.

故选：B.

3.在空间直角坐标系。-孙z中，记点A0,2,3)在xOz平面内的正投影为点B,贝40却=()

A.75B.V10C.V13D.V14

答案：B

解析：点A。,2,3)在X。平面内的正投影为点8(1,0,3),则|0川=，12+0+32=加.

故选：B.

4.若直线/的斜率百），则直线/的倾斜角的取值范围是（）

'兀3兀7TTt](3?r

A.Bn71

J'T-°53Fr

答案：B

解析：设直线/的倾斜角为。，其中ae[0,7i）,可得k=tanc,

因为4即一1<tana<若，

结合正切函数的图象与性质，可得直线/的倾斜角aw0,^（牛，兀）.

故选：B.

5.在空间直角坐标系。一盯z中，u=（—2,0,。）是直线/的方向向量，〃=（d0,3）是平面a的一个法向量,

若/_La,贝ij（）

A.3a+2Z?=0B.2a+38=0C.ab=-6D.ah=6

答案：C

解析：由题意，u=（-2,0,a）是直线/的方向向量，〃=伍,0,3）是平面a的一个法向量,

因为/_La,可得丫//〃，则存在唯一实数攵，使得:=4，即（-2,0,a）=（处,0,3女）,

kb=-2

所以已，，消去k得：ab=-6.

3k=a

故选：c.

6.直线/过点（5,4）,且方向向量为（1,2）,则（

B.直线/的斜截式方程为x=1y+3

A.直线/的点斜式方程为y—5=2（x—4）

2

c.直线/的截距式方程为二一2=1D.直线/的一般式方程为2x-y-6=0

63

答案：D

解析：因为直线/的方向向量为（1,2）,所以直线/的斜率为2.

因为直线/过点（5,4）,

所以直线/的点斜式方程为>一4=2"-5）,

其一般式为2x-y-6=0.故A错误，D正确；

化为斜截式：y=2x-6,故B错误；

化为截距式：二一乡=1，故C错误.

36

故选：D

7.如图，将菱形纸片ABC。沿对角线AC折成直二面角，分别为的中点，。是AC的中点,

NA5C=W，则折后平面与平面ABC夹角的余弦值为（）

V21口而「3屈3而

AA.o«C.----Dn.

7111311

答案：A

解析：因为菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，

所以平面AQC_L平面ABC,

因为A8QD是菱形，。是AC的中点，

所以。D_LAC，OBVAC,

而平面AZ>CI平面ABC=AC,OOu平面ADC,

所以ODJ_平面ABC,而OBu平面ABC,

所以ODLOB,

以。为原点，08，"。。所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，

AB为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，

、界可。Ef0G1〕界q

则D（0,0,l）,E0,-,F1°F司,OF

V'2

7

设平面OEF的法向量为n=(x,y,z),

1

------y+—z=0,

n-OE-0,2

则〈得《2取y=l,则％=-百,z=G，

n•OF-0,1

—x-\---y=0n,

I22'

得平面OEF的一个法向量为〃=(-Al,6),

易得平面48c的一个法向量为QD=(0,0,1),

n-OD

所以平面OEF与平面ABC夹角的余弦值为

1^0D一〒

故选：A

8.在平面直角坐标系中，记d为点P(cos6,sine),Q(2血+/,3后一。间的距离，当a，变化时，d的最

小值为()

A.2B.3C.273D.4

答案：D

x=2y/2+t,

解析：设〈l相力口可得x+y—5a=0,

y=3母-t,

即动点。的轨迹是直线x+y-5夜=0,

由cos2e+sin?e=1可得尸点轨迹是圆f+)，2=1,圆心是(0,0),半径为厂=1,

I0+0-5V2I

圆心到直线的距离为1_________L=5，所求最小值为5-1=4.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若｛。，"。｝构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是()

A.^a+b,a+c,a^B.+b+++

C.^a-b+c,a-b,a+c^D.^b-c,a+b,a+c^

答案：AC

解析：不存在〃A”,使得a+Z?=/〃(a+c)+〃a,所以凡a+Z?,a+c不共面，

｛。+"a+c,a｝是空间的另•一个基底，A正确.

11.1.1--

因为—ci-\~b-\—，所以Q+0+C,—。+仇一a+c共面，

2222

[a+0+c,ga+"ga+c｝不是空间的另一个基底，B错误.

不存在〃4”,使得a—/?+c=m(a—Z?)+〃(a+c),所以“一Z?+c,a-/?,a+c不共面，

｛a—〃+c,a—b,a+c｝是空间的另一个基底，C正确.

因为人-c=a+〃一(a+c),所以/?一,,。+6,4+9共面，

｛/?一＜:,a+"a+c｝不是空间的另一个基底，D错误.

故选：AC.

10.直线/经过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线/的方程可能是()

A.3x+2y=0B.2x+3y=0

C.x-y-5=0D.x+y—1=()

答案：BCD

2

解析：当直线/的截距为。时，此时直线/的方程为y=—即2x+3y=0.

当直线/的截距不为o时，设直线/的方程为二+2=1,

ah

3-2,

--1---=1(7=1。=5

则《ah,解得＜或4

z?=rb=-5

\aHb\

当。=11=1时，可得直线/的方程为x+y=l,即x+y-l=O；

若。=5,。=一5时，可得则直线/的方程为：+义=1,即x-y-5=0.

5-5

故选：BCD.

11.已知点P(3,4),Q(5,2),直线/:这一y—勿+2=0(aeR),则下列说法中正确的有(

A直线/恒过点(1,2)

B.若直线/与线段PQ有交点，则ae[o,2]

C.点尸到直线/的距离的最大值为75

D.若a=为直线/上一点，贝+的最小值为病

答案：BCD

解析：对于A,因为直线/的方程可化为a(x—2)=丁-2,令兀-2=0且y-2=0,所以直线/过定点

A(2,2),故A错误.

对于B,如下图，因为直线/过定点4(2,2),且左外=2,%A=0,所以ae[0,2],故B正确.

对于C,当直线时，点P到直线/的距离最大，且最大值为|%|=后，故C正确.

对于D,如下图，当a=—l时，直线/的方程为x+y-4=0.

«-41

——7=1'

设P关于直线/的对称点为尸'(〃?,〃)，则“+4解得〃z=0,〃=l,

——-+-----4=0,

I22

所以P(O,l),所以(WM+IOML,=|P'0=J记，故D正确.

故选：BCD.

12.在棱长为2的正方体ABC。一中，点尸满足AP=%A4,+/W,点。满足

AQ=A41+〃（AB+A。），其中4且0,1],则下列选项正确的是（）

A.尸，。的轨迹长度相等B.尸。的最小值为血

C.存在P,Q,使得。尸_L8QD.0P与。。所成角的余弦值的最大值为逆

3

答案：BCD

解析：连接AC,4G，因为AP=%4A+A8,/lw[0,l]，所以所以点p轨迹长度为2.

因为AQ=A4,+〃（AB+AO）=AA+〃AC,所以Qe^G，所以点。的轨迹长度为20，故A错误;

如图，以。为坐标原点，D4,OC,DA的方向分别为x，＞，z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则P(2,2,24),Q(2—2〃,2〃,2),

2

所以|p0=也〃2+(2_2〃)2+(2；1_2)2+4(4—iy+2.

当4=1,〃=；时，p0m小五,所以B正确;

因为3(2,2,0),OP=(2,2,2/L),BQ=(—24,2〃—2,2),

所以。P-3Q=—4〃+4〃一4+4；1=4/1—4,

当；1=1时，DPBQ=O,即。P_L8Q,所以C正确;

因为。尸=(2,2,22),=(2—2〃,2〃,2),

cosQP,DQ)=

所以产M丁国。=乐---.-，点产率，1

2+1](4+1)211

因为7^2=\(/l+l)2-2(A+l)+3=321

g+l)2A+1

321

因为+1=3且；l+le[l,2],

(4+1)2I+TI+T

1132A+1o/T

所以当『=-,即4=1时，hFT-丁二+1有最小值即下f=有最大值，最大值为乂,

A+12(2+1)-A+1”2+23

所以当X=l,〃=g时，。05〈。2,。0〉的最大值为半乂半=半，故D正确.

故选：BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.平行线x+2y—5=0与2x+4)，-5=0间的距离为

答案：^##-45

22

解析：将方程x+2y-5=0两边乘以2,得2x+4y-10=0,

卜10-(—5)|=石

所以两平行线间的距离为

亚2+/F

故答案为：

2

14.在空间直角坐标系。孙z中，AB=(2,l,0),AC=(l,l,a),则点8到直线AC的距离为.

叵

答案:

2

/、4C（11⑻23

解析：取〃=AB=（2,l,0），M=r^T=-，2，-2-，则。-=5，a-u=-,

所以点B到直线AC的距离为Ja-(a-u)2=—.

2

故答案为：叵

2

15.如图，在棱长为2正四面体B45C中，PO1平面ABC,垂足为。，。为校PC的中点，则

POAD=

24,1

答案：一一##-1-

33

解析：如图所示，连接A0，

因为PO=AO_4P='AB+，AC—AP,AD=L4C+'AP,

3322

11121112

=-ABAC+-ABAP+-AC+-ACAP——APAC——AP.

666622

因为四面体PABC为棱长为2的正四面体，

-..2.2

可得A8-4C=ABAP=APAC=2x2cos60=2，且AC=4,4尸一=4,

-4

所以POAD=——

3

16.设aeR,则直线4:ax+y+1=0/2：+4-2=0与（；：％-y-1=0围成的三角形的面积的最大

值为.

答案：2

解析：由题知直线且直线4过定点A（0,-l），直线4过定点3（2,1），点A,B在直线4上.

设直线44交于P，则三条直线围成的三角形为.243，且P4_LPB,

所以+|尸3]2=|A8『=8.

因为『1

8=|PA+\PB\>2\PA\-\PB\,

所以4HPH",当且仅当|刑=|冏=2时，等号成立，

所以=^\PA\-\PB\<2,所以⑸咖'=2.

故答案为：2.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知直线4:（2a+l）x+（n+2）y+3=0,/2:（a-l）x-2>+2=0.

（1）若求。的值；

（2）若2』，求。的值.

答案：（1）a=0

(2)。=-1或。=9

2

(1)

因为4//12,所以(勿+1)*(—2)—(1+2)(〃-1)=0,

整理得a?+5。=。(。+5)=0,解得。=0或〃=一5.

当a=()时，4：x+2y+3=0,-x—2y+2=0,符合题意,

当a=—5时，4:—9x—3y+3=0,/2:—6x—2y+2=0,(与重合,

故a=().

(2)

因为/J"，所以(2a+l)(a—l)-2(L+2)=0,

整理得2^7"-3ci—5=(a+1)(2^7—5)—0,

解得a=-1或a=*.

2

18.如图，在所有棱长都为2的正三棱柱ABC-中，。为AG的中点.

(1)用以［AB.ACAAj为空间的一组基底表示向量8D,C4.

(2)线段C4上是否存在一点E，使得BO1AE?若存在，求,目：若不存在，请说明理由.

11.

答案：(1)BD=-AC+-AA,-AB,CB^AB-AC+AA,

(2)存在，卜@=2

(1)

由已知得=AB,CB]=CB+Bg=AB—AC+A4,.

(2)

设线段C4上存在一点E,使得BO1AE，且C£=/lC4，/le[0,l],

则AE=AC+CE=AC+=AC+X(C8+=AC+2(A8-AC+A4J

=/lAB+(l-2)AC+/lA41.

因为瓦)1AE，

所以BO-AEulgAC+gM-71B^[AA5+(1-2)AC+2A41]=O.

因为A41AB=0,胡・AC=0,

I_1.2122T.

所以BZ>AE=j/lAC.AB+1(l—X)AC+|/IA4/-(1-A)AS-AC.

2.22

因为AC-AB=2,A4/=AB-=AC~=4，

所以BZ>A£=2+2(1—/l)+2/l—4X—2(1—X)=—4=0,

所以/l=0,此时点E与点C重合，|AQ=AC=2.

19.在四棱锥P—ABC。中，底面ABC。为菱形，△ABO和△PBD为正三角形，E为尸。的中点.

P

C

A

B

(1)证明：B4〃平面应见.

(2)若A8=2,PC=3,求平面FAD与平面BOE夹角的余弦值.

答案：(1)证明见解析

⑵噜

(1)

证明：连接AC,交BD于点0,连接0E.

因为ABCO为菱形，所以。为AC的中点.

因为E为PC的中点，所以0E为△P4C的中位线，所以0E//Q4.

因为PAU平面BDE,OEu平面BDE，所以PA//平面BDE.

(2)

在正△P3Z)中，连接PO,AB=BD=2,则PO=0.

因为AO=OC=G,PC=3,

所以cos/POC=+=__L,所以NPOC=120°.

2POOC2

因为BO_LAC,BD_LPO,ACPO=O,AC,POu平面PAC,所以8。人平面PAC.

所以BDu平面ABC。，所以平面A4CJ_平面4BCD,平面B4C平面ABCD=AC,

过点尸作P"_LAC于点H,平面P4C,则PH_L平面A8CD.A0=0C=P0=6,所以

PALPC,

又PC=3，AC=26则PA=6，PH=PAPC=^^=~,OH=—.

AC27322

如图，以。为坐标原点，04,08的方向分别为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),8(0,1,0),百,0,0),0(0,-1,0),P4,0，|，E

\乙)\rJ

(Ji3^1

设平面PAO的法向量为，”=(X］，X，zJ,因为AO=(-6,-1,0),AP=--弓

m-AD--后内-y=0,

所以《63令4=1,得根=(6,一3,1).

m,Ar-..........xH—z,—0,

I2}121

设平面8£>£1的法向量为〃=（工2，%，22），

因为DB=（0,2,0）,BE=[4一4）

n-DB=2y2=0,

所以《

n-BE^-^-x2-y2+^z2^Q,

令Z2=l,得〃=(6,0,1).

…I/\lmn42历

因为cos〈m,〃〉=一1匚-=­；=—=———，

1同〃713x213

所以平面R4。与平面8DE夹角的余弦值为三巫.

13

20.如图，在正方体A3CO—A4CQ中，A5=2,E,尸分别是8。,与。的中点.

(1)求异面直线4E与.所成角的余弦值；

(2)求点4到平面BDF的距离.

答案：(1)立

6

⑵逑

3

(1)

以。为原点，。4。。,。2所在的直线分别为工轴、y轴、z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，则4(2,0,2),后(1,1,0),3(2,2,0),尸。,2,1),

A^=(-l,1,-2),BF=(-1,0,1),

AE.BF=6

所以直线AE与防所成角的余弦值为卜os〈AE,6/〉卜

A目师6

(2)

设平面BDF的法向量为〃=(x,y,z),DB=(2,2,0),

n-DB=0,2x+2y=0,

则〈取x=l，则y=-l,z=l,

n•BF=0,-x+z=0,

得平面BDF的一个法向量为"=(1,—1,1),

|2〃||-1-1-2|_4A/3

所以点A到平面BDF的距离为H512+(7)2+123

21.已知的顶点A(3,2),边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=O,边AC上的高所在直线方

程为2x-y_9=0.

(1)求顶点8,C的坐标;

(2)求的面积.

答案：⑴8的坐标为(8,7),C的坐标为(1,3)

15

(2)—

2

(1)

设3(。,与，因为边A3上的中线所在直线方程为x-3y+8=0,

边AC上的高所在直线方程为2x—y—9=0,

2a-h-9=0(ci~S

所以《a+3.b+2o八，解得七二，即8的坐标为(8,'

-3x----+8=0b-"

[22i

设C(m,〃)，因为边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=O,

边AC上的高所在直线方程为2x—y-9=0,

m-3«+8=0i

=1

所以《〃—21，解得〈°,即。的坐标为(1,3).

-----=—n=3

」n-32

因为A(3,2),3(8,7),所以|AB|=7(3-8)2+(2-7)2=5J2.

因为边AB所在直线的方程为J=K，即x-y—l=0,

7-28-3

即边AB上的高为迪，

所以点C(1,3)到边4B的距离为卜尸

12

故_ABC的面积为』x5逝*逑=".

222

22.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCO是正方形，AB=2,PA=/7)=J?，E为8c的中点.

P-

(1)证明：AD±PE.

(2)若二面角P—4)—3的平面角为,，G是线段PC上的一个动点，求直线。G与平面以8所成角的

最大值.

答案：(1)