山东省青岛市市南区青岛大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（含解析）

山东省青岛大学附中2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）

1.（3分）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（）

2.（3分）据交通运输部发布消息，某年春节期间，全国共发送旅客29.06亿人次，将29.06亿这个数据用科

学记数法可以表示为（）

A.29.06X108B.2.906X108C.29.06X109D.2.906X109

3.(3分)下列运算正确的是()

A.3a2+5a2=8a4

343

B.(-a)4+(-a)=1

C.(-2a2)3-(-a4)(3a)2=-17a6

D.(a-b)(.a2+ab+b2')=a3-b3

的解集是Q2,则〃?的取值范围是（）

4.（3分）不等式组Ix+9<5x+l

x>m+l

A.m<\B.m>\C.D.

5.（3分）如图，将△ABC向下平移2个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°,点4的对应点A'的坐标

是（)

C.(1,3&+1)D.(-1,-2)

6.（3分）如图，A£>,AE分别是△ABC的角平分线和中线，交A8于G,连接EF,AC=6,则A8的长为（）

C.8D.6

7.（3分）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一

边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图（）

C.氧工cmD.6^2c/n

8.（3分）如图，菱形ABC。的对角线4C,8。相交于点O（不与点A,8重合)，PE_LOA于点E,PF1.OB

于点儿BD=12,则EF的最小值为（)

C.4.8D.2.4

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9.（3分）（1）计算：（-1）2023+（-A）-V72XJ-y=；

（2）分解因式：3nj2-6,“+3=.

10.（3分）为响应“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵，但由于参加植树的全体师

生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，则x的值为.

II.（3分）如图所示，若NA+NB+NC+NO+NE+NF=620°,则NG+N”=.

12.（3分）一次函数y=-3x+6和y=fcc+l的图象如图所示，其交点为尸（3,4）,则不等式（3+Z）

13.（3分）如图，在四边形ABC。中N4BC=NAOC=90°,E为对角线AC的中点，若N8AO=56°,则/

BED的度数为

A

14.（3分）对于正数x,规定f(x)--例如f⑷则

1+x1+4D

f(2021)+f(2020)+-+f(2)+f(l)+f号)+…+f舄1)+f(而＞)-----------------------

乙乙U乙U乙U乙X

三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

15.（4分）尺规作图：

已知线段a,b,求作菱形ABC。，使菱形边长等于a

结论：

b

四、解答题：（本题满分74分，共有9道小题）

16.（6分）计算：

222

(1)化简：2af

aa-2ab+bz

2(-3+x)<3(x+2)

（2）解不等式组:

>1

17.（6分）近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入

进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）

根据以上信息，整理分析数据如下:

平均月收入/千元中位数/千元众数/千元方差/千元2

“美团”①_______661.2

“滴滴”6②_______4③_______

（1）完成表格填空;

（2）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由.

18.（8分）小明同学三次到某超市购买A、8两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下

表:

类别购买A商品数量（件）购买3商品数量消费金额（元）

次数（件）

第一次45320

第二次26300

第三次57258

解答下列问题：

(1)第次购买有折扣；

(2)求A、8两种商品的原价；

(3)若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；

(4)小明同学再次购买A、8两种商品共10件，在(3)中折扣数的前提下，消费金额不超过200元

19.(8分)“节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车车行经营的A型自行车去年

销售总额为60000元，那么今年的销售总量需要比去年增加20%.请解答以下问题：

(1)A型自行车今年每辆售价为多少？

(2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共80辆，且8型进货数量不超过A型车数量的3倍.A

型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元，B型车每辆的售价为700元

20.(8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+b，与V轴交于点&且与正比例函数

3

的图象交点为C(3,4).

(1)请直接写出公6的值；k=,b=.

(2)若。线段OC上的动点，过。作。轴交AC于点E.

①设。点的横坐标为x,线段QE的长为》则y与x的函数关系式为；

②若△AO。为等腰三角形，请求出点。的坐标.

(3)平面内是否存在一点P,使以0、A、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P

的坐标，请说明理由.

21.(8分)如图，平行四边形488的对角线AC、BD交于点O,E为OC中点，连接CH与0H.

(1)求证：△BCEQ4HOE；

(2)当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OC"。为菱形？请说明理由.

H

22.（8分）甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶甲同学到达山顶

休息1/7后再沿原路下山，他们离山脚的距离S（&机）（〃）变化的图象如图所示，根据图象中的有关信息回

答下列问题：

（1）甲同学上山过程中S甲与，的函数解析式为:点D的坐标为

（2）若甲同学下山时在点尸处与乙同学相遇，此时点尸与山顶的距离为0.75h〃.

①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；

②相遇后甲、乙各自继续下山和上山，求当乙到达山顶时，甲与乙的距离是多少千米.

23.（10分）【问题提出】

如果从1,2,3……m,m个连续的自然数中选择八个连续的自然数

【问题探究】

为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，最后得出一般性的结论

探究一：

如果从1,2,3……加，机个连续的自然数中选择2个连续的自然数

如图1,当m=3,"=2时；

如图2,当机=4,〃=2时，2；2,3；3,4这3种不同的选择方法；

如图3,当m=5,"=2时种不同的选择方法；

由上可知：从，"个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有种不同的选择方法.

探究二：

如果从1,2,3……100,100个连续的自然数中选择3个（〃W100）个连续的自然数，分别有多少种不同

的选择方法？

我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空

123・・・93949596979899100

从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有种不同的选择方法;

从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有种不同的选择方法;

从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有种不同的选择方法;

由上可知：如果从1,2,3....100,100个连续的自然数中选择"（〃W100）,有种不

同的选择方法.

【问题解决】

如果从1,2,3……机，"个连续的自然数中选择〃个连续的自然数种不同的选择

方法.

【实际应用】

我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题.

（1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上种不同的选

择.

（2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了

第七排3号到15号的电影票让他们选择，则一共有种不同的选择方法.

【拓展延伸】

如图4,将一个2X2的图案放置在8X6的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形种不同

的放置方法.

图4

24.（12分）如图，在平面直角坐标系中，0是坐标原点，B分别在x轴与y轴上，已知04=6,其坐标为（0,

2）,点P从点4出发以每秒2个单位的速度沿线段AC-C8的方向运动，运动时间为f秒.

（1）当点尸经过点C时，求直线OP的函数解析式；

（2）求△0PD的面积S关于f的函数解析式；

（3）点P在运动过程中是否存在使△8QP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在

答案解析

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）

1.（3分）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（）

【分析】根据中心对称图形的定义(绕一个点旋转180°能够与自身重合的图形)判断即可.

【解答】解：选项A、C、。中的图形都能找到一个点，所以是中心对称图形.

选项8中的图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合.

故选:B.

【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

2.(3分)据交通运输部发布消息，某年春节期间，全国共发送旅客29.06亿人次，将29.06亿这个数据用科

学记数法可以表示为()

A.29.06X108B.2.906X108C.29.06X109D.2.906X109

【分析】将一个数表示成。义10"的形式，其中1WMIV10,〃为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据

此即可得出答案.

【解答】解：29.06亿=2906000000=2.906X109,

故选：D.

【点评】本题考查科学记数法，熟练掌握其定义是解题的关键.

3.(3分)下列运算正确的是()

A.3a2+5a2=8«4

B.(-sr5)4+(-“4)3_।

C.(-2a2)3-(,-a4)(3a)2—~17a，

D.(a-b)(.a1+ab+b2')—a3-b3

【分析】利用整式的混合运算法则计算并判断.

【解答】解:3/+4。2=8。3,A选项错误；

(-/)4+(_。2)3=_],B选项错误；

（-5«2）3-（-。5）（3。）2

=-5a+生产

=不，c选项错误；

（a-b）（a2+ab+h4）=a3-h3,。选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则.

K+Q5Y+1

4.（3分）不等式组，［的解集是x>2,则小的取值范围是（）

x>m+l

A.m<1B.m>1C.D.1

【分析】根据解不等式，可得每个不等式的解集，再根据每个不等式的解集，可得不等式组的解集，根据

不等式的解集，可得答案.

v+QRV

【解答】解：；不等式组］+Q的解集是x>2,

x>m+l

解不等式①得x>8,

解不等式②得x>m+l,

•.•不等式组的解集是x>2,

；.，*+5W2,

，*W1,

故选：C.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小

取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

5.（3分）如图，将AABC向下平移2个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°,点A的对应点A'的坐标

是（）

C.(1,3&+1)D.(-1,-2)

【分析】根据平移和旋转的性质，将aABC向下平移2个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90。,得到△

A'B1C,即可得点A的对应点A'的坐标.

【解答】解：如图,

则△A8C为所求,

.,.点A的对应点A'的坐标是（2,4）,

故选：A.

【点评】本题考查了坐标与图形变换-旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质.

6.（3分）如图，A£>,AE分别是aABC的角平分线和中线，交AB于G,连接EF,AC=6,则AB的长为（）

A.10B.9C.8D.6

【分析】首先证明△4CG是等腰三角形，则AG=AC=6,FG=CF,则EF■是aBCG的中位线，利用三角

形的中位线定理即可求解.

【解答】解：为△ABC的角平分线，CGLAD,

...△ACG是等腰三角形，

<,•AG=AC<

VAC=6,

：.AG=AC=6,FG=CF,

为ZXABC的中线，

是aBCG的中位线,

:.BG=1EF=2,

；.AB=AG+BG=8,

故选：C.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明FG=CF是关键.

7.（3分）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3c%的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一

边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图（）

C.次历D.

【分析】过另一个顶点C作垂线8如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30。角所对的边等于斜边

的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边.

【解答】解：过点C作CDL4。，；.CO=3c%,

B

在直角三角形AOC中,

VZCAD=30°，

：.AC=2CD=2X3=6cmf

又•・•三角板是有45°角的三角板,

•\AB=AC=5cmf

：.BC2^AB2+AC5=62+52=72,

；.BC=6&,

故选：D.

【点评】此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先求得直角边，再由

勾股定理求出最大边.

8.（3分）如图，菱形A8CD的对角线AC,BO相交于点。（不与点A,B重合），PELOA于点E,PFA.OB

于点F,80=12,则EF的最小值为（）

A.8B.6C.4.8D.2.4

【分析】连接0P,作于点H,由菱形的性质得AC,B。，OA=OC=』4C=8,OB=OD=工BD

22

=6,由勾股定理得10,由10O”=/X8X6=S”OB,求得0”=4.8,再证明四边

形PEOF是矩形，则EF=OP,因为OP》OH,所以EF24.8,则EF的最小值为4.8,于是得到问题的答

案.

【解答】解：连接OP,作0HLAB于点H,

•.•四边形A8CD是菱形，对角线AC,

.,.AC-LBD,O4=0C=13X16=8工8。=工,

2224

/.ZAOB=90°,

:-AB~VOA2+OB2=V52+64=10,

—AB,OH—

22

.".Ax100/7=A,

62

解得O4=6.8,

PE_LOA于点E,PF1.OB于点F,

：.ZPEO=NPFO=NEOF=90°,

四边形PEOF是矩形，

：.EF=OP,

：.OP^OH,

；衣》4.5,

.♦.E尸的最小值为48,

【点评】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度、垂线段

最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9.（3分）（1）计算：（-1）2023+（-A）-1-5/72xJl.=-4-2V2；

（2）分解因式：3m2-6m+3=3（m-l）2.

【分析】（1）原式利用乘方的意义，负整数指数基法则，以及二次根式乘法法则计算即可得到结果;

（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：（1）原式=-1-3-J72X1-

=-1-7-2近

=-7-2&；

（2）原式=7（"P-2m+4）

=3Cm-1）6.

故答案为：（1）-4-273;（2）3Cm-1）2.

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，实数的运算，负整数指数累，熟练掌握运算法则是

解本题的关键.

10.（3分）为响应“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵，但由于参加植树的全体师

生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，则x的值为—刎二理三在维

x601.2x

【分析】原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2X棵，原计划植300

棵树可用时驷；、时，实际用了③上小时，根据关键语句“结果提前20分钟完成任务”可得方程驯

x1.2xx

20_300

601.2x'

【解答】解：原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，由题意得：

300_20-300

x608.2x

故答案为:300_20-300

x601.2x

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原计划植300棵树所用时

间与实际所用时间.

11.（3分）如图所示，若N4+/B+NC+/O+/E+/尸=620°,则NG+/H=100°

【分析】根据多边形内角和定理可得NAMF+NM或=100°,从而可得答案.

【解答】解：连接AF,如图：

,六边形A8CDE■尸的内角和为（6-2）X180°=720°,ZMAB+ZB+ZC+ZD+ZE+ZMFE=620Q,

.•.ZMAF+ZMM=720°-620°=100°,

尸=180°-CZMAF+ZMFA}=80°，

：.ZGMH=ZAMF=80°,

AZG+Z//=100",

故答案为：100°.

【点评】本题考查多边形内角和，解题的关键是求出NM4F+/M必=100°.

12.（3分）一次函数y=-3x+b和），=h+1的图象如图所示，其交点为P（3,4）,则不等式（3+火）x23

【分析】由于不等式（3+k）X2匕-1就是不等式履+12-3x+b,观察图象，直线y=fcc+l落在直线y=-

3x+b上方的部分对应的x的取值范围即为所求.

【解答】解：：一次函数y=-3x+/?和y=fcv+l的图象交点为尸（8,4）,

...当x23时，fcv+3N-3x+b,

,不等式（3+后）8的解集为x33.

故答案为x）3.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b

的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围：从函数图象的角度看，就是确定直线y=fcr+b在x轴上（或

下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

13.（3分）如图，在四边形ABC。中NABC=NADC=90°,E为对角线4c的中点，若NBAD=56°,则N

BED的度数为112°•

【分析】由直角三角形斜边中线的性质得到Z)E=BE=AE,推出/D4E=/AOE,ZBAE^ZABE,得到/

ADE+ZABE=ZBAD^56°,由三角形外角的性质得到NOEC=/D4E+/AOE,NBEC=/BAE+NABE,

即可推出NBE£)=N84D+NAOE+/ABE=56°+56°=112°.

【解答】解：•••NA8C=NA£>C=90°,E是AC的中点，

：.DE=^AC^-AC,

22

：.DE=BE=AE,

：.ZDAE=AADE,NBAE=NABE,

AZADE+ZABE=ZDAE+ZBAE=ZBAD=56°,

・；NDEC=NDAE+NADE,NBEC=NBAE+NABE,

：.NDEC+/BEC=NDAE+NADE+NBAE+NABE,

，/BED=/BAD+/ADE+/ABE=560+56°=112°.

故答案为：112。,

【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由直角三角形

斜边中线的性质得到由等腰三角形的性质，三角形外角的性质即可求解.

例如f(4)*春呜)三rl则

14.(3分)对于正数x,规定f

1+x

++

f(2021)+f(2020)+•■■+£(2)+f(l)+f4)-f(舄T)+f扁？)一弩

乙乙U乙U乙U乙JL乙

【分析】计算出/(2),/(I),/(3),/(I)的值，总结出其规律，再求所求的式子的值即可.

23

【解答】解：・"(2)/(3)=-A-《

1+23274A32+3734

2

,V(2)+/'(—)=工二，/(3)4/(卫也=8,

263354

(x)+f(A)=i,

X

++f

；•f(2021)+f(2020)+…+f(2)+f(l)+f(-1)*-(舄T)+f(齐/)

乙乙U乙V乙U乙JL

=1/(2021)+f(―1_)]+[/(2020)+f_2)]+y(1)

2021,20202

=1X(2021-5)⑴

=2020+A

2

=4041

2

故答案为：

2

【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关健是明确题意，利用题

目中的新规定解答.

三、作图题(本题满分4分)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

15.(4分)尺规作图:

已知线段a,b,求作菱形A8CD,使菱形边长等于a

结论:

b

【分析】①作直线超，在加上截取线段AC=b；

②作线段AC的垂直平分线EF,交线段AC于点0；

③以点4为圆心，线段。的长为半径画弧，交直线EF于点B,£）：

④分别连接A8,BC,CD,DA；

则四边形ABCD就是所求作的菱形.

【解答】解：如图，四边形A8CQ即为所求.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的

基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了线段垂直平分线的作法、菱形的判定.

四、解答题：（本题满分74分，共有9道小题）

16.（6分）计算：

2,2,2

(I)化简：Q-a-l)-Q一5

aa-2ab+b^

2(-3+x)<3(x+2)

（2）解不等式组:x

>1

2

【分析】（1）先计算括号，再计算乘除即可;

（2）分别求出两个不等式的解集，寻找公共部分即可.

22(a-b)2

【解答】解：（1）原式=a-b-a-a*

a(a+b)(a-b)

a

，2(-3+x)<2(x+2)①

(2)YY—Q__»

卷②

由①可得-5+2x<3x+6,

.*.x>-12,

由②可得3x-2x+226,

.,.x24,

不等式组的解集为：x25.

【点评】本题考查分式的混合运算，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握分式的混合运算法则，

属于中考常考题型.

17.(6分)近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入

进行了一项抽样调查，司机月收入(单位：千元)

“滴滴”网约车司机月收入人数分布

根据以上信息，整理分析数据如下:

平均月收入/千元中位数/千元众数/千元方差/千元2

“美团”①6661.2

“滴滴”6②4.54③7.6

(1)完成表格填空；

(2)若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由.

【分析】(1)利用平均数、中位数、众数及方差的定义分别计算后即可确定正确的答案;

(2)根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可.

【解答】解：(1)①美团平均月收入：14+4.8+0.5+1+2.3=6千元;

②滴滴中位数为4.2千元；

③方差：A[5X(4-4)2+8Xl+2X7+36]=7.6千元7；

10

故答案为:6,4.5；

（2）选美团，因为平均数一样、众数美团大于滴滴，更稳定.

【点评】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是能够了解有关的计算公式，难度不大.

18.（8分）小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下

表：

类别购买A商品数量（件）购买8商品数量消费金额（元）

次数（件）

第一次45320

第二次26300

第三次57258

解答下列问题：

（1）第三次购买有折扣;

（2）求A、B两种商品的原价；

（3）若购买A、8两种商品的折扣数相同，求折扣数；

（4）小明同学再次购买4、8两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元

【分析】（1）由第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少，可得出第三次购物有折扣；

（2）设A商品的原价为x元/件，8商品的原价为y元/件，根据总价=单价X数量结合前两次购物的数量

及总价，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（3）设折扣数为z,根据总价=单价X数量，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论；

（4）设购买A商品〃?件，则购买8商品（10-加）件，根据总价=单价X数量结合消费金额不超过200

元，即可得出关于机的一元一次不等式，解之取其中的最小整数即可得出结论.

【解答】解：（D观察表格数据，可知：第三次购买的A,总价反而少，

第三次购买有折扣.

故答案为：三.

（2）设A商品的原价为x元/件，8商品的原价为y元/件，

根据题意得：（4x+5y=320,

l2x+6y=300

x=30

解得:

y=40

答：A商品的原价为30元/件，B商品的原价为40元/件.

(3)设折扣数为z,

根据题意得：5X30X^_+2X40X_z_,

1010

解得：Z—6.

答：折扣数为6.

(4)设购买A商品,"件，则购买B商品(10-w)件,

根据题意得：3OX_Lr,7+4OX_L,

1010

解得：里，

3

:，"为整数，

r.m的最小值为3.

答：至少购买A商品7件.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关

键是：(1)观察三次购物的数量及总价，找出哪次购物有折扣；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方

程组；(3)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(4)根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式.

19.(8分)“节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车车行经营的A型自行车去年

销售总额为60000元，那么今年的销售总量需要比去年增加20%.请解答以下问题：

(1)A型自行车今年每辆售价为多少？

(2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共80辆，且B型进货数量不超过A型车数量的3倍.A

型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元，B型车每辆的售价为700元

【分析】(1)设A型自行车今年每辆售价为x元，则去年每辆售价为(x+100)元，根据题意列出分式方程,

解方程即可求解；

(2)设购进A型车。辆，则购进8型车共(80-«)辆，求得a220,设利润为y元，根据题意，列出函

数关系式，根据一次函数的性质即可求解.

【解答】解：(1)设A型自行车今年每辆售价为x元，则去年每辆售价为(x+100)元,

”0%)9,

喘x+100x

解得:x=500,

经检验，x=500是原方程的解,

答：A型自行车今年每辆售价为500元；

(2)解：设购进A型车a辆，则购进8型车共(80-a)辆，

依题意，80-aW3a,

解得:心20,

根据题意，A型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元；B型车每辆的售价为700元，

设利润为y元，则丫=(500-400)a+(700-500)(80-a),

即>=16000-100a,

V-100<5,

.,.当a=20时取得最大值，最大值为16000-100X20=14000(元),

购进A型车20辆，购进B型车共60辆，获利最多14000元.

【点评】本题考查了分式方程的意义，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等量关系，

列出方程与不等式是解题的关键.

20.(8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+b，与>轴交于点B，且与正比例函数

3

的图象交点为C(3,4).

(1)请直接写出晨6的值；k=2,b=2.

一3一

(2)若。线段OC上的动点，过。作。E〃y轴交4c于点£

①设D点的横坐标为x,线段DE的长为》则y与x的函数关系式为y=-4+2；

3

②若△A。。为等腰三角形，请求出点D的坐标.

(3)平面内是否存在一点P,使以0、A、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P

的坐标，请说明理由.

【分析】(1)把点C的坐标代入即可解答.

(2)①由。(x,刍)，E(x,2X+2),可得y=2r+2-&=-Zx+2；

33333

②求出4(-3,0),根据。为线段OC上的动点，△A。。为等腰三角形，可得"2=9,即可求得0(2,

95

旦

5

(3)设P(/n,〃)，分三种情况：①当尸。，AC为对角线，则PO,AC的中点重合，②当以，OC为对角

线时，PA,OC的中点重合，③当PC,OA为对角线，则PC,OA的中点重合，分别列出方程组，即可解

得答案.

【解答】解：(1)把点C的坐标代入y=?x+b中可得匕=3，

3

故答案为：2,6；

3

(2)①直线C。的解析式为y=幺，

3

轴，。点的横坐标为X,

：.D(x,2x),2r+2),

36

.'.y—DE—^c+2-92X+5,

333

故答案为：y--2r+8,

3

②在y=2x+7中，

3

(-3,0),

VD(x,E),0),

3

.••。。6=/+&)2=纨8,OR%

39

为线段OC上的动点，△A。。为等腰三角形，

5

解得：尤=_1_或》=一9，舍去)，

54

：.D(9,必；

54

(3)存在一点P,使以O,A,C,理由如下：

设P(m,〃)，

又0(0,0),2),4),

①当尸O,AC为对角线，AC的中点重合,

.fm+0:=：-8+3

In+0=3+4

解得"0,

ln=8

：.P(0,4)；

②当BA,OC为对角线时，OC的中点重合,

.fm-5=0+3

ln+6=0+4

解得"6,

In=4

：.P(6,5)；

③当PC,OA为对角线，OA的中点重合，

.fm+3:::0~3

In+4=0+7

解得卜=弋

ln=-4

：.P（-7,-4）；

综上所述，P的坐标为（0,7）或（-6.

【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形，平行四边形等知识，解题的关键

是分类讨论思想的应用.

21.（8分）如图，平行四边形A8CQ的对角线AC、8。交于点。，E为OC中点，连接CH与DH.

（1）求证：△BCE四△HOE：

（2）当四边形ABC。是怎样的特殊四边形时，四边形OCHO为菱形？请说明理由.

【分析】（1）由ASA证明△8CE丝△HOE即可；

（2）先证四边形8CHO是平行四边形，得CH=OB,CH//OB,再证四边形OCHO是平行四边形，然后

由菱形的判定即可得出结论.

【解答】（1）证明：•••O4〃BC,

；.NBCE=NHOE,

是0C的中点，

：.CE=OE,

在△BCE和△HOE中，

"ZBCE=ZH0E

-CE=OE，

ZBEC=ZHE0

：./\BCE^/\HOE（ASA）；

（2）解：当四边形ABC。是矩形时，四边形OCHD为菱形

由（1）可知，△BCEWAHOE,

：.BE=HE,

,:CE=OE,

，四边形BCHO是平行四边形，

：.CH=OB,CH//08,

•••四边形A8CD是矩形，

：.OA=OC,OB=OD,

：.CH=OD,OC=OD,

，四边形OCHD是平行四边形，

又：OC=OD,

平行四边形OCH。是菱形.

【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知

识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键.

22.（8分）甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶甲同学到达山顶

休息l/i后再沿原路下山，他们离山脚的距离S（切?）（力）变化的图象如图所示，根据图象中的有关信息回

答下列问题：

（1）甲同学上山过程中S中与f的函数解析式为S,尸L；点。的坐标为（9,4）.

2-

（2）若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75b”.

①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；

②相遇后甲、乙各自继续下山和上山，求当乙到达山顶时，甲与乙的距离是多少千米.

【分析】（1）由图可知，甲同学登山过程中路程S与时间r成正比例函数，设5甲=公，用待定系数法可求

解，当S甲=4时，可得f=8,即可得。的坐标；

（2）①把y=4-0.75代入（1）中乙同学上山过程中S与，的函数解析式，求出点F的横坐标，再利用待

定系数法求解即可；

②把y=4代入（1）中乙同学上山过程中S与f的函数解析式，求出乙到山顶所用时间，再代入①的关系

式求解即可.

【解答】解：（1）设甲同学登山过程中，路程s（千米）与时间，（时）的函数解析式分别为S，f，=h,

由图象得2=4k,

•••解析式为Stp=—/；

7

当S甲=4时,f=8,

，甲到达山顶时间是3小时，而甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山,

：.D（9,2）,

故答案为：5甲=」^；（7；

2

（2）①当），=4-0.75=型时，

832

解得

4

...点F（39,11）,

48

设甲同学下山过程中S与f的函数解析式为6=k+4将。（99，代入得:

48

'9k+b=4

则：13913）

ITk+b=T

解答fk=-l

lb=13

答：甲同学下山过程中S与r的函数解析式为S=r+13；

②乙到山顶所用时间为：84-1=12（小时），

3

当f=12时，S=-12+13=2,

当乙到山顶时，甲离乙的距离是：4-1=8（千米）.

答：甲与乙的距离是3