2023-2024学年江苏省南京重点大学附中八年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省南京重点大学附中八年级（上）月考数学试卷（10

月份）

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如所示图形中，不是轴对称图形的是（）

2.如图所示，某人将一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配

一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去.（）

A.第①块

B.第②块

C.第③块

D.第④块

3.等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为（）

A.12B.15C.12或15D.18

4.如图，在44BC中，4B=AC,。是BC的中点，下列结论:①=zC;@AD1BC;

@^BAD=^CAD；®AB=2BC,其中，一定正确的个数是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

5.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭

到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）

A.AABC的三条中线的交点B.A/IBC三边的垂直平分线的交点

C.A4BC三条角平分线的交点D.△ABC三条高所在直线的交点

6.如图所示，AB=AC,要说明△ADC三△AEB,需添加的条件不能是（）

BC

A.乙B=zC

B.DC=BE

C.AD=AE

D.乙ADC=Z.AEB

7.下列说法中，不一定正确的是（）

A.角是轴对称图形，对称轴是角的平分线

B.等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴

C.关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形

D.一条直角边和斜边相等的两个直角三角形全等

8.若一个等腰三角形的一个内角为80。，则它的底角的度数是（）

A.80°B.80°或50°C.80°或20°D.20°

9.如图，在3x3正方形网格中，点48在格点上，若点C也在格点上，且A4BC是A

等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（）|||/|

：：UZD

C.3B

D.4

10.如图，△4BC的三边AB、BC、的长分别为30、40、15,点P是三条角平分」

线的交点，将A4BC分成三个三角形，则SAAPB：SABPC：SMPA等于（）\

A.1：1：1B,6：8：3C.5：8：3D,4：5：3

二、填空题（本大题共9小题，共18.0分）

11.已知等腰4ABC,AC=AB,乙4=70°,贝此8=°,

12.如图，请用符号语言表示“角平分线上的点到角的两边距离相等”.条件：

结论：PC=PD.

B

D

13.如图，点E,F在BC上，BE=CF,=Z_D.请添力口一个条件,^ABF^^DCE.

14.如图，Zi/IBC与△4'B'C'关于直线2对称，贝此8的度数为

15.如图，在正方形网格中，N1+/2+N3=

16.在镜子中看到时钟显示的时间为己Q：|弓

,则实际时间是.

17.如图，在RM48C中，CO是斜边4B上的中线，若48=10,贝UCO=

18.已知等腰三角形的两条边的长度分别为2和4,则它的周长为

19.如图，已知△ABC中，乙4BC=40。，乙4cB=60。，DE垂直平分4C,连

接4E,则4BAE的度数是.

三、解答题(本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

20.(本小题11.0分)

如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的AABC.

(1)A4BC的形状是,

(2)利用网格线画△A'B'C,使它与△ABC关于直线1对称.

(3)求作一格点尸，使点P到B4BC的距离相等，且点P到点4和点B的距离相等，在图中用没有刻度的直尺

作出点P(不写作法，保留作图痕迹).

21.(本小题8.0分)

如图，AB=AC,4c的垂直平分线交4B于D,交4c于E.

(1)若乙4=40°,求NBC。的度数;

(2)若4E=5,△BCD的周长为17,求△力BC的周长.

22.(本小题8.0分)

已知，如图，BD是NABC的平分线，AB=BC,点P在BD上，PMLAD,PN1CD,垂足分别是M、N.试说

明：PM=PN.

23.（本小题8.0分）

如图所示，BE,CF是A/IBC的高，。是BC边的中点，求证：DE=DF.

24.（本小题9.0分）

如图，已知在中，4B=4C,点D、E在边BC上，且4。=4E.试说明BD=CE的理由.

25.（本小题8.0分）

如图，C为线段48上一点，AD//EB,AC=BE,40=BC.CF平分NDCE.

(1)求证：AACDNABEC；

(2)判断CF与DE的位置关系？并说明理由.

26.(本小题10.0分)

(1)如图1,已知：在△ABC中，/LBAC=90°,AB=AC,直线小经过点A,8。J_直线m,CE1直线m,垂足

分别为点。、E.求证：DE=BD+CE.

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D、4、E三点都在直线m上，并且有NBD力=Z.AEC=

^BAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论OE=BO+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成

立，请说明理由.

(3)如图3,。、E是D、4、E三点所在直线m上的两动点(D、4、E三点互不重合)，点尸为NB4C平分线上的

一点，且AABF和AACF均为等边三角形，连接B/)、CE,^Z.BDA=Z.AEC=/.BAC,求证：△DEF是等边

三角形.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：由题意可知，选项B、C、。的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线

两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

选项A的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不

是轴对称图形.

故选：A.

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线

叫做对称轴进行分析即可.

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

2.【答案】C

【解析】解：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据4S4来配一块一样的玻璃.

故选：C.

已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解.

此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真

观察图形，根据已知选择方法.

3.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，

分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.因为已

知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论.

【解答】

解：①当3为底时，其它两边都为6,

3、6、6可以构成三角形，

周长为15；

②当3为腰时，

其它两边为3和6,

•」3+3=6,

•••不能构成三角形，故舍去，

•••答案只有15.

故选：B.

4.【答案】C

【解析】解：根据等腰三角形的“三线合一”性质得出ZB=NC,ABAD=/.CAD,AD1BC,

①②③正确.

故选：C.

根据等腰三角形的“三线合一”性质得出48=4C,^BAD=^CAD,AD1BC,即可.

本题考查了等腰三角形的性质，解题关键是掌握等腰三角形三线合一的性质.

5.【答案】C

【解析】解：•••要使凉亭到草坪三条边的距离相等，

•••凉亭应在44BC三条角平分线的交点处.

故选：C.

角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解.

本题考查了角平分线的性质，注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的

交点之间的区别是解题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：4、当=时、符合AS4的判定条件，故本选项不符合题意；

B、当DC=BE时，给出的条件是SS4不能判定两个三角形全等，故本选项符合题意；

C、当月D=4E时，符合S4s的判定条件，故本选项不符合题意；

。、当々ADC=N4EB时，符合44s的判定条件，故本选项不符合题意；

故选：B.

△4。。和44七8中，己知的条件有4B=4C,乙4=乙4；要判定两三角形全等只需条件：一组对应角相等,

或4D=4E即可.可据此进行判断，两边及一边的对角对应相等是不能判定两个三角形全等的.

本题主要考查的是全等三角形的判定方法，需注意的是SS4和A44不能作为判定两个三角形全等的依据.

7.【答案】A

【解析】解：4角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，原说法错误，故本选项符合题意；

8.等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴，说法正确，故本选项不合题意；

C.关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形，说法正确，故本选项不合题意；

。.一条直角边和斜边相等的两个直角三角形全等，说法正确，故本选项不合题意；

故选：A.

选项4根据轴对称图形的定义判断即可；选项B根据等腰三角形的性质以及轴对称图形的定义判断即可；

选项C根据全等三角形的定义以及轴对称的性质判断即可：选项。根据直角三角形的判定方法判断即可.

本题考查了轴对称图形的定义与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判断以及直角三角形的判断，掌

握相关定义与判定方法是解答本题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：当80。是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80。，底角为2x（180。-80。）=50。，

当80。是等腰三角形的底角时，则顶角是180。-80。x2=20°.

•••等腰三角形的底角为50。或80。，

故选：B.

先分情况讨论：80。是等腰三角形的底角或80。是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算.

本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注

意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：以4B为腰的等腰三角形有两个，以AB为底的等腰三角形有一个，如图：

所以符合条件的点C的个数为3个，

故选：C.

分别画出以4点和B点为顶点的等腰三角形，再画出C为顶点的等腰三角形即可.

本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.等腰三角

形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法.掌握等腰三角形的判定方法是解题的关

键.

10.【答案】B

【解析】解：过点P作PD_LBC于D,PFlAB^F,

•••P是三角形三条角平分线的交点，

PD—PE-PF,

"AB=30,BC=40,AC=15,

',SAAPB：SABPC：SACPA=30：40：15=6：8：3.

故选：B.

由角平分线的性质可得，点P到三角形三边的距离相等，即三个三角形的48、BC、4C的高相等，利用面积

公式即可求解.

此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，熟记角平分线的性质并作出合理的辅助线

是解题的关键.

11.【答案】55

【解析】解：T4C=AB,

Z.B=zC,

vAA=70°,

_180°-70°

AZ-B=——-——=5r5ro°,

故答案为55.

首先根据AC=得到=4C,再根据三角形内角和定理求出NB的度数.

本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是得到=NC,此题难度不大.

12.【答案】4Aop=/.BOP,PC1OA,PD1OB

【解析】解：,:kAOP=KBOP,PC1OA,PD1OB,

PC=PD,

故答案为：4AOP=KBOP,PC1OA,PD1OB.

根据角平分线的性质（角平分线上的点到角的两边距离相等）得出答案即可.

本题考查了角平分线的性质，能熟记角平分线的性质的内容是解此题的关键.

13.【答案】NB=NC（答案不唯一）

【解析】解：，・BE=CF,

・•・BE+EF="+EF,

・•・BF=CE,

添加48=ZC,

在△ABF和△/)£•£•中，

ZB=Z.C

Z-A=Z-D，

BF=CE

：^ABF^^DCE{AAS),

故答案为：4B=NC(答案不唯一).

求出BF=CE,再根据全等三角形的判定定理判断即可.

本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键.

14.【答案】100°

【解析】解：△4BC与△A'B'C'关于直线I对称，

ABC^/\A'B'C,

：.乙4=乙4'=50°,4c=4C'=30°,

Z.B=180°-50°-30°=100°.

故答案为:100°.

根据轴对称的性质可△ABC^LA'B'C,再根据乙4和的度数即可求出ZB的度数.

本题主要考查了轴对称的性质以及全等的性质，熟练掌握轴对称的性质和全等的性质是解答此题的关键.

15.【答案】135°

【解析】【分析】

此题主要考查了全等图形，从图中找出全等图形，然后进行判定，掌握判定三角形全等的方法是解决问题

的关键.根据图形可得48=AD,BC=DE,乙B=4D,乙2=45°,然后判定4ABEs4DE,进而可得44=43,

由41+/4=90。可得43+/1=90。，进而可得答案.

【解答】

解：•••在△ABC和△ADE中

AB=ADB

48=CD,

BC=DE

•••△48CNZM0E(SAS),

A

•••Z4=Z.3>

•••41+44=90°,

•1•43+41=90°,

v42=45°,

•••N1+42+Z3=135°,

故答案为135。.

16.【答案】21：05

【解析】把20：15写在透明纸上，从反面观察即可.

本题考查了镜面对称，解决镜面对称问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，

从反面看到的结果就是镜面反射的结果.

解：实际时间为21：05.

故答案为：21：05.

17.【答案】5

【解析】解：在RtAABC中，CD是斜边力B上的中线，

则4B=2CD=10,

CD=5.

故答案为：5.

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求得CD.

本题主要考查直角三角形的性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得48的长是解题的关键.

18.【答案】10

【解析】解：当2为腰时，三边为2,2,4,由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，

当4为腰时，三边为4,4,2,符合三角形三边关系定理，周长为：4+4+2=10.

故答案为：10.

根据2和4可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解.

本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理.关键是根据2,4,分别作为腰，由三边关系定理，

分类讨论.

19.【答案】20°

【解析】解：•••乙4BC=40°,乙4cB=60°,

Z.BAC=180°-(/.ABC+Z.ACB)=80°,

•••DE垂直平分AC,

，EA—EC,

，/.EAC=乙ACB=60°,

・・,4B/E=80°—60O=20。，

故答案为：20。.

根据三角形内角和定理求出NBAC,根据线段垂直平分线的性质得到瓦4=EC,求出4EAC,计算即可.

本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个

端点的距离相等是解题的关键.

20.【答案】解：(1)直角三角形

(2)如图,△4B'C'即为所求；

(3)如上图，点P即为所求.

【解析】解：(1)由勾股定理得，BC=C，AB=AC=y/~T0,

BC2+AB2=AC2,

.•.△ABC是直角三角形，

故答案为：直角三角形；

(2)见答案;

(3)见答案.

(1)利用勾股定理求出4B,AC,BC的长，^BC2+AB2=AC2,则△力BC是直角三角形；

(2)利用轴对称的性质即可画出图形；

(3)画N4BC的平分线和的垂直平分线，交点即为点P.

本题主要考查了勾股定理和其逆定理，轴对称的性质，网格中角平分线和线段垂直平分线的画法等知识,

熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键.

21.【答案】解：(1)AB=AC

4B=/-ACB=1(180°-NA)=70°,

•••ED垂直平分4C

・•.AD=CD,

・•・乙ACD=乙4=40°,

・•・乙BCD=乙ACB-乙ACD=70°-40°=30°：

⑵・・•ED是4c的垂直平分线

AD=DC,AC=2AE=10,

・•・AB—AC—10,

•・•△BCD的周长=BC+CD+BD=ADBD+BC=ABBC=17,

・•.△ABC的周长=AB+BC+4C=17+10=27.

【解析】（1）先根据等腰三角形的性质求出4B=乙4cB="（180。一乙4）=70。，再由ED垂直平分4C可知

AD=CD,所以乙4CD=41,再根据/BCD=乙4cB-乙4CD即可得出结论；

（2）由ED是AC的垂直平分线可知，AD=DC,AC=2AE,所以AB=AC,再由△BCD的周长=BC+CD+

BD=AB+BC=17,可求出△ABC的周长.

本题考查的是等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端

点的距离相等是解答此题的关键.

22.【答案】证明：「BD平分N4BC,

，Z-ABD=乙CBD,

在△480和△CBO中，

AB=BC

Z.ABD=Z.CBD

BD=BD

•••△4BD"CBD（S4S）,

・"ADB=（全等三角形的对应角相等）；

vPM1AD,PN1CD,

・・・"MD=乙PND=90°；

又「PD=PD（公共边），

•SPMD三APND（AAS）,

・・.PM=PN（全等三角形的对应边相等）.

【解析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质.由已知证明△/80三△C80是解决的关键.

根据角平分线的性质以及已知条件证得△48。三△CBD（SAS）,然后由全等三角形的对应角相等推知乙=

乙CDB；再由垂直的性质和全等三角形的判定定理44s判定△PMDWAPND,最后根据全等三角形的对应边

相等推知PM=PN.

23.【答案】证明：­.•BELAC,CFLAB,

：.乙BEC=4CFB=90°,

。是BC边的中点，

ED=\BC,FD=\BC,

ADE=DF.

【解析】根据垂直定义可得NBEC=ACFB=90。，然后根据直角三角形斜边上的中线性质可得ED=\BC,

FD=3BC,从而利用等量代换即可解答.

本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键.

24.【答案】证明：法1：AB=AC,

[4B=/C（等边对等角），

AD=AE,

Z.ADE=乙4E。（等边对等角），

又乙4DE=Z.B+乙BAD,Z.AED—乙C+/.CAE,

：.4BAD=a4E（等量代换），

在△4BD和△ACE中，

Z-B=ZC

AB=AC,

./.BAD=Z.CAE

.•.△ABO三△4CE（AS4）,

BD=CE（全等三角形的对应边相等）；

法2：过点4作4HJ.BC,垂足为点H,

BH=CH（等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合）,

同理可证，DH=EH,

・•,BH-DH=CH-EH,

.・・BD=CE.

【解析】法1：由4B=AC,利用等边对等角得到一对角相等，同理由AD=4E得到一对角相等，再利用外

角性质及等量代换可得出一对角相等，利用4S4得出三角形4B0与三角形4EC全等，利用全等三角形的对应

边相等可得证；

法2：过4作垂直于BC于H点，由AB=AC,利用三线合一得到4为BC中点，同理得到H为DE中点，利用

等式的性质变换后可得证.

此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用了等量代换的思想，做题时注意一题多解.

25.【答案】(1)证明：•••AD//BE,

Z-A=乙B,

在△4CD和ABEC中，

AD=BC

Z-A—乙B,

AC=BE

・••△/CDWABEC(SAS)；

(2)解：结论：CF1DE.

理由：••,XACD为BEC,

CD=CE,

又・・•CF平分乙DCE,

:.CF1DE.

又•・•C尸平分NOCE,

CF1DE.

【解析】(1)根据S4S即可证明;

(2)利用等腰三角形的三线合一的性质即可证明.

本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中

考常考题型.

26.【答案】(1)证明：如图1,直线CE1直线m,

・•・Z.BDA=/.CEA=90°,

•・•ABAC=90°,

••・乙BAD+^CAE=90°

•・•乙BAD+乙ABD=90°,

・•・Z,CAE=乙ABD,

在△/DB和ZkCEA中，

Z.BDA=/-AEC

Z-ABD=Z-CAE,

AB=CA

•••△ADBmaCEAQW),

-AE=BD,AD=CE,

-DE=AE+AD=BD+CE；

(2)解：结论DE=BD