数列在日常经济生活中的应用（课件）高二数学（北师大版2019选择性）

1.4数列在日常经济生活中的应用

在当今社会经济日益繁荣，人民生活水平日益提高，人民对生活设备的要求也提高了，往往需要购置更多商品，这就要求人们必须懂得合理安排资金，使之得以充分利用。而当前，随着住房、教育、买车等贷款业务逐渐深入家庭。我们经常遇到一些分期付款问题。如何选择付款方式，关系到个人利益，也是一个需要运用数学知识来计算的复杂过程。做为“热点“的分期付款成为了一种趋势，在今后，更将被广大人民所接受并应用于生活中。通过研究调查，了解人们对分期付款的认识程度及应用程度，使资源共享更好地应用于人民，使人们增加对分期付款的了解,并使分期付款更好地服务于人民。本单元的目的在于让学生通过学习和调查，对分期付款有进一步认识，感受数学在实际生活中应用价值。问题背景自学导引试一试：什么情况下建立数列模型？提示

根据解题经验，当应用问题中的变量的取值范围是正整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来解决．例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都属于数列问题模型．有关储蓄的计算储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本公式是：利息＝本金×存期×利率．根据国家规定，个人取得储蓄存款利息，应依法纳税，计算公式为：应纳税额＝利息全额×税率．(1)整存整取定期储蓄一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，税率为q，则到期时，所得利息为：_____，应纳税为______，实际取出金额为：_____________.2．nApnApqnAp(1－q)＋A想一想：单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？提示

单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．解答数列应用题的基本步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征，要求什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．具体解题步骤为下框图：1．数列应用问题的常见模型(1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)．例如：银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋xr)．2．例如：①银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋r)x.②产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y＝N(1＋p)x.(3)混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列的模型．(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．

√√c预习检测2．现存入银行10000元钱，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是(

)A．10000×1.0363

B．10000×1.0364C．10000×1.0365

D．10000×1.0366答案：C解析：由复利公式得S＝10000×(1＋3.60%)5＝10000×1.0365.故选C.

答案：C

4．李明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，那么10年后共得本息和为________万元．(精确到0.001)6.246解析：10年后的本息：a10＝5×(1＋0.0225)10≈6.246(万元)．题型一等差数列模型(单利问题)例1:银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和，这是整取(现在有一年、三年、五年3种，年利率分别为1.35%,1.55%,1.55%）.规定每次存入的钱不计复利.（1）若每月存入金额为x元,月利率r保持不变，存期为n个月，试推导出到期整取时本利和的公式；（2）若每月初存入500元，到第3年整取时的本利和是多少？(精确到0.01元）解：（1）根据题意，第1个月存入的金额为x元,到期利息为xrn元；第2个月存入的金额为x元,到期利息为xr（n-1）元……第n个月存入的金额为x元,到期利息为xr元.而本金为nx元，这样就得到本利和公式因此，各月利息之和为xr（1+2+…+n)=即①题型一等差数列模型(单利问题)例1:银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和，这是整取(现在有一年、三年、五年3种，年利率分别为1.35%,1.55%,1.55%）.规定每次存入的钱不计复利.（1）若每月存入金额为x元,月利率r保持不变，存期为n个月，试推导出到期整取时本利和的公式；（2）若每月初存入500元，到第3年整取时的本利和是多少？(精确到0.01元）（2）根据题意知，x=500，r=，n=36，代入①式，本利和为

（元）.（3）根据题意知，y=2000，r=，n=12，代入①式，得

≈165.46（元）.所以每月初应存入165.46元.变式：用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？[思路探索]先将实际问题转化为数学问题，这是一个等差数列问题，用等差数列来解决．解购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{an}，则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)；…；31＋5＝36(万元)，因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．例2:银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和,则银行按存款到期时的1年期定期存款利率自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务,假定无利率变化调整因素,我们来讨论以下问题:(1)如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和.试求岀储户n年后所得本利和的公式；解：(1)记n年后得到的本利和为an.根据题意知：第1年存入的本金P元,1年后到期利息为Pr元,1年后本利和为a1=

P+Pr

=P(1+r)(元)；2年后到期利息为P(1+r)r元,2年后本利和为a2=P(l+r)+P(l+r)r

=P(l+r)2(元)；∴各年的本利和是一个首项a1=P(l+r)、公比q=l+r的等比数列{an}，故n年后到期的本利和为an=a1qn-1=P(l+r)(l+r)n-1

=

P(l+r)n(元).(2)由(1)可知,5年后本利和为a5=10000×(1+0.0175)5≈10906.17（元）.因此,5年后得本利和约为10906.17元.题型二

等比数列模型(复利问题)变式．某家用电器一件现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款1次，共付12次，购买后一年还清，约定月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？解析：

设每期应付款x元，则第1期付款以及到最后一次付款时所生利息为x(1＋0.008)11元；第2期付款以及到最后一次付款时所生利息为x(1＋0.008)10元；……；第12期付款(无利息)为x元，零存整取模型：利息按单利计算，等差数列的求和问题.定期自动转存模型：利息按复利计算，等比数列的求和问题.归纳总结题型三.分期付款模型例3

小华准备购买一台售价为5000元的电脑，釆用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买后2个月的月末第1次付款，再过2个月第2次付款……购买后第12个月末第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.6%,每月利息按复利计算.求小华每期应付的金额是多少？（精确到0.01元）解

假定小华每期还款x元，第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元,则A2=5000×(1+0.006)2-x；A4=A2（l+0.006）2-x=5000×1.0064—1.0062x-x；A6=A4（l+0.006）2-x=5000×1.0066-1.0064x—1.0062x-x；……

变式

小张老师年初向银行贷款2万元用于买车，银行贷款的年利率为10%，按复利计算．若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元)

例4：某企业投资1000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg2＝0.3)题型四.递推数列模型例5：假设某市2012年新建住房400万m2，其中有250万m2是中、低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%.另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万m2.那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中、低价房的累计面积(以2012年为累计的第一年)将首次不少于4750万m2?(2)到哪年，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?审题指导第(1)问是等差数列求和问题；第(2)问由等比数列通项公式求出bn表达式，解不等式an>0.85bn，求得n的最小正整数解．题型五

等差、等比数列的综合应用【解题流程】[规范解答](1)设中、低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，

令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.(4分)∴到2021年底，该市历年所建中、低价房的累计面积将首次不少于4750万m2.(5分)(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1，(8分)由题意可知an>0.85bn，有250＋(n－1)50>400×(1.08)n－1×0.85.(10分)由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n＝6，∴到2015年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.(12分)【题后反思】解答等差、等比数列综合应用问题的关系是通过审题，将实际问题转化为数列模型，运用等差数列和等比数列的知识解决问题，因此在做题过程中必须明确建立的是等差数列模型还是等比数列模型，明确是求n，还是求an，或是求Sn.变式：

据美国学者詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，2020年甚至会达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一个人一切知识，而是让一个人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年是每73天翻一番．试回答：(1)2009年底人类知识总量是多少？(2)2019年底人类知识总量是多少？(3)2020年按365天计算，2020年底人类知识总量是多少？解由于翻一番是在原来的基础上乘以2，翻两番是在原来的基础上乘以22，…，翻n番是在原来的基础上乘以2n.于是(1)从2000年底到2009年底是每三年翻一番，共翻三番，在a的基础上，2009年底人类知识总量为23a＝8a.(2)从2009年底到2019年底是每一年翻一番，共翻十番，所以2019年底人类知识总量为8a×210＝8192a.(3)2020年是每73天翻一番，而2020年按365天计算，共翻五番，所以2020年底人类知识总量为8192a×25＝262144a.要在一段公路上每隔100米竖一块路程牌，共需竖60块路程牌，并依次将它们编号为1,2,3，…，60，为完成竖牌的任务，要求先用一辆汽车把60块路程牌全部集中到n(1≤n≤60，n∈N＋)号牌处，再由一个工人从n号牌处出发，用自行车每次运一块路程牌到规定地点竖牌，n应取多少时，才能使工人竖牌时所行的路程最少？最少路程是多少？[错解]找不到解决问题的思路．误区警示

找不到应用题对应的数列模型而致错【示例】

树立解应用题的自信心，应用所学知识进行解决．本例运用数列的知识求出从n号到每一号所行路程，它们分别组成两个等差数列，之后运用等差数列前n项和公式求出所行的路程，再用二次函数的有关知识计算出最少路程．[正解]路程牌集中到n号牌处时，该工人所行路程为Sn＝2×100×(n－1)＋2×100×(n－2)＋…＋2×100×1＋2×100×1＋2×100×2＋…＋2×100×(60－n)＝200[1＋2＋…＋(n－1)＋1＋2＋…＋(60－n)]因为n∈N＋，所以当n＝30或n＝31时，(Sn)最小＝200(302－61×30＋1830)＝180000(米)．即n取30或31时，才能使工人竖牌时所行的路程最少，最少路程是180000米．

一般地，解决数列的实际应用问题首先要读懂题意，分析题中条件，理顺其中的数量关系；其次要将文字语言转化为数字语言，建立数列模型(建立模型时注意运用推理、归纳等方法)；然后求解数列模型，得出相关结论；最后将结论还原到实际问题中．

1．有一套丛书共6册，计划2020年出版第一册，每两年出版一册，则出版齐这套丛书的年份是(

)A．2028B．2030C．2032D．2033答案：B解析：由已知得出版齐这套丛书的年份是2020＋(6－1)×2＝2030.故选B.课堂练习2．某钢厂的年产值由1999年的40万吨，增加到2009年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2019