2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题29 三角函数的应用-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题29三角函数的应用题型一几何中的三角函数模型1．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，设直角三角形中较大的锐角为，则（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】解：根据题意，每个直角三角形的两条直角边的长度之差为2、斜边的长度为10，故设直角三角形较大直角边为，则另一直角边为，所以，解方程得：，∴，，则，∴．故选：B.2．一半径为2m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3s转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间.（1）试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度（m）表示为时间（s）的函数；（2）点第一次到达最高点大约要多长时间？（3）记，求证：不论为何值，是定值.【答案】（1）坐标系见解析，；（2）1s；（3）证明见解析.【解析】（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设，则，因为，所以，所以，当时，，即，所以，因为，所以，所以.（2）由（1）知，令，可得，所以，解得，所以当时，点第一次到达最高点，∴点第一次到达最高点大约要的时间.（3）由（1）知，，所以（为定值）.3．如图，在矩形中，，，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线与地面所成的角为，矩形周边上最高点离地面的距离为．求：（1）的取值范围．（2）的解析式．（3）的值域．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】解：（1）观察可知与地面所成的角的取值范围为．（2）如图所示，连接，则，过作地面的垂线，垂足为．在中，，，∴．（3），，∴，所以即的值为．4．甲同学从一个半径为r的半圆形铁板中截取一块矩形，记其最大面积为，乙同学从一个半径为R的圆形铁板中截取一块矩形，记其最大面积为，试问r和R满足什么关系时，？说明理由.【答案】当时，.理由见解析【解析】甲图中，是半圆圆心，设,则，则，，当时，乙图中，设，则，则，，当时，若，则，所以．题型二三角函数在生活中的应用5．一观览车的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面（即长），巨轮的半径长为，，巨轮逆时针旋转且每分钟转一圈，若点为吊舱的初始位置，经过分钟，该吊舱距离地面的高度为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】如图所示，以点为坐标原点，以水平方向为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系.因为巨轮逆时针旋转且每分钟转一圈，则转动的角速度为每分钟，经过分钟之后，转过的角度为，所以，在转动的过程中，点的纵坐标满足：则吊舱距离地面的距离.故选：B．6．哈尔滨文化公园的摩天轮始建于2003年1月15日，2003年4月30日竣工，是当时中国第一高的巨型摩天轮，其旋转半径50米，最高点距地地面110米，运行一周大约21分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第14分钟时他距地面大约为__米.【答案】85【解析】设与地面高度与时间的关系，，，，，由题意可知：，，，，即，又因为，即，故，，所以第14分钟时他距地面大约为.故答案为：85.7．我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中，，较小的锐角．若，正方形的面积为100，则________，________．【答案】【解析】由已知得，，又，解得，，所以，，，因为，所以，所以，.故答案为：①；②.8．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈.图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ到OB.设B点与地面的距离为h.（1）求h与θ的函数关系式；（2）设从OA开始转动，经过10秒到达OB，求h.【答案】（1）；（2）3.2m.【解析】（1）以圆心O原点，建立如图所示的坐标系，如下图所示，则以为始边，为终边的角为，故点B坐标为，∴；（2）点A在圆O上逆时针运动的角速度是，∴经过t秒后转过的角度，则经过10秒后转过的角度为，∴（m）.题型三三角函数在物理学中的应用9．电流强度随时间变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是____________．【答案】【解析】由图象可知，，，最小正周期满足，.，，函数，将点代入该函数解析式得，得.，，则，得，，当时，，故答案为.10．下图是一个按正弦规律变化的交流电的图象，根据图象求出它的周期、频率和电流的最大值，并写出图象的函数解析式．【答案】，频率5，电流的最大值为10A；.【解析】解：由图象看出，这个交流电的周期，由频率与周期的关系式，得频率，电流的最大值为10A．由图可知，这个曲线的函数解析式是正弦型函数，其中，，再把点代入函数解析式，得，取，于是得到曲线的函数解析式为.根据诱导公式，函数式可化为.11．已知弹簧上挂着的小球做简谐运动时，小球离开平衡位置的位移s（cm）随时间t（s）的变化规律满足关系式，.用五点作图法作出这个函数在一个周期内的简图，并回答下列问题：（1）小球在开始运动（）时，离开平衡位置的位移是多少?（2）小球上升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少?（3）经过多长时间小球往返运动一次?【答案】（1）离开平衡位置的位移是；（2）小球上升到最高点时离开平衡位置的位移是4cm，下降到最低点时离开平衡位置的位移是；（3）.【解析】列表如下：ts4004作图（如图所示）．（1）当时，，则小球在开始运动时，离开平衡位置的位移是．（2）由图可知，小球上升到最高点时离开平衡位置的位移是4cm，下降到最低点时离开平衡位置的位移是．（3）由于这个函数的周期，所以小球往返运动一次所需时间为．12．如图，一个摩天轮的半径为，轮子的最低处距离地面.如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每转一圈，且当摩天轮上某人经过点（点与摩天轮中心的高度相同）时开始计时.（1）求此人相对于地面的高度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不小于？【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，此人相对于地面的高度.在时间时此人转过的角为，此时此人相对于地面的高度.（2）由，得，不妨令，则，即.故在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于的时间为.题型四三角函数新定义13．如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为其中记为不超过的最大整数），且过点，若葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为过点，代入可得，所以，所以，解得，即，由图象可知上下对称，所以，所以，所以，因为点到轴的距离为，即，当时，.所以点到轴的距离为故选：B14．高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最．对于高斯函数，表示不超过实数的最大整数，如，，表示的非负纯小数，即．若函数（且）有且仅有3个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数有且仅有3个零点，即的图象与函数的图象有且仅有3个交点．画出函数的图象，易知当时，与的图象最多有1个交点，故，作出函数的大致图象，结合题意可得，解得．故选：C．15．已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，则（）A．是奇函数 B．C．的一个周期是 D．的最小值小于0【答案】D【解析】A.，所以函数不是奇函数；B.，，所以，故B不正确；C.，，所以函数的一个周期不是，故C不正确；D.，所以函数的周期,当时，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，综上可知，一个周期内的最小值是，因为，所以，即，所以的最小值小于0.故选：D16．在直角坐标系中，横､纵坐标均为整数的点叫格点.若函数的图像恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数.在上，下列函数中，为一阶格点函数的是___________.(选填序