2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题40 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积-2023一轮数学讲义+题型细分与精练(解析版)

专题40圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积题型一圆柱的表面积【例1】已知圆柱的底面半径r＝1，母线长l与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为()A．6πB．8πC．9πD．10π【答案】A【解析】圆柱的表面的等于侧面积+两个底面积，即S=2πrl+2πr又题意可得：r=1，l=2，∴S=2π×1×2+2π×【变式1-1】一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为．【答案】6π【解析】由底面周长为2π可得底面半径为1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.【变式1-2】一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆柱的侧面展开图是一个正方形，，圆柱的侧面积为，圆柱的两个底面积为，圆柱的表面积为，圆柱的表面积与侧面积的比为：.【变式1-3】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．12eq\r(2)πB．12πC．8eq\r(2)πD．10π【答案】B【解析】因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2eq\r(2)，底面圆的直径为2eq\r(2)，所以该圆柱的表面积为2π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.故选B.题型二圆锥的表面积【例2】若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图圆锥的轴截面是顶角为，即，，，所以，所以圆锥的侧面积为.故选：C.【变式2-1】把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A．10B．C．D．【答案】B【解析】半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的底面圆周长为，所以底面圆的半径为r=10，所以圆锥的高为.【变式2-2】已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为_________.【答案】144π【解析】由题意，得该圆锥的母线长l＝eq\r(82＋62)＝10，所以该圆锥的侧面积为π×8×10＝80π，底面积为π×82＝64π，所以该圆锥的表面积为80π＋64π＝144π.【变式2-3】圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等．求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比；【答案】2−【解析】如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r，R，则有eq\f(r,R)＝eq\f(R－r,R)，即eq\f(r,R)＝eq\f(1,2)，∴R＝2r，圆锥的母线长l＝eq\r(2)R，∴S圆锥表【变式2-4】一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】圆锥的底面半径为2，高为4，设内接圆柱的底面半径为，则它的上底面截圆锥得小圆锥的高为，因此，内接圆柱的高；圆柱的侧面积为，令，当时，；所以当时，，即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为.题型三圆台的表面积【例3】圆台的上下底面半径分别为1、2，母线与底面的夹角为60°，则圆台的侧面积为________.【答案】【解析】，故答案为【变式3-1】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为____________.【答案】7【解析】设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.【变式3-2】圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，求圆台的表面积．【答案】168π【解析】圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，则它的母线长为l=所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.【变式3-3】已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是____________.【答案】7∶9【解析】圆台的上、下底面半径之比为3∶5，设上、下底面半径为3x，5x，则中截面半径为4x，设上台体的母线长为l，则下台体的母线长也为l，上台体侧面积S1＝π(3x＋4x)l＝7πxl，下台体侧面积S2＝π(4x＋5x)l＝9πxl，所以S1∶S2＝7∶9.【变式3-4】圆台的母线长为8cm，母线与底面成60°角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积．【答案】32(1＋eq\r(3))π【解析】如图所示是圆台的轴截面ABB1A1，其中∠A1AB＝60°，过A1作A1H⊥AB于点H，则O1O＝A1H＝A1Asin60°＝4eq\r(3)(cm)，AH＝A1Acos60°＝4(cm)．设O1A1＝r1，OA＝r2，则r2－r1＝AH＝4.①设A1B与AB1的交点为M，则A1M＝B1M.又A1B⊥AB1，∴∠A1MO1＝∠B1MO1＝45°.∴O1M＝O1A1＝r1.同理OM＝OA＝r2.∴O1O＝O1M＋OM＝r1＋r2＝4eq\r(3)，②由①②可得r1＝2(eq\r(3)－1)，r2＝2(eq\r(3)＋1)．∴S表＝πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＋π(r1＋r2)l＝32(1＋eq\r(3))π(cm2)．题型四圆柱的体积【例4】如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于()A．πB．2πC．4πD．8π【答案】B【解析】由于侧面积为4π，∴2πrh＝4π，且h＝2r，∴r＝eq\f(h,2)＝1，∴V＝πr2h＝2π.【变式4-1】(多选)圆柱的侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是()A．eq\f(288,π)cm3B．eq\f(192,π)cm3C．288πcm3D．192πcm3【答案】AB【解析】当圆柱的高为8cm时，V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2π)))2×8＝eq\f(288,π)(cm3)，当圆柱的高为12cm时，V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2π)))2×12＝eq\f(192,π)(cm3)．【变式4-2】周长为的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_______.【答案】【解析】设矩形的一边长为,则另一边长为,,则圆柱的体积==,当且仅当,即时等号成立.故最大值为.【变式4-3】如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．【答案】eq\f(πr2（a＋b）,2)【解析】两个同样的该几何体能拼接成一个高为a＋b的圆柱，则拼接成的圆柱的体积V＝πr2(a＋b)，所以所求几何体的体积为eq\f(πr2（a＋b）,2).题型五圆锥的体积【例5】已知圆锥的母线长为5，底面周长为，则它的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，因为底面周长为，所以，解得，又因为母线长为5，所以h=4，所以圆锥的体积是故选：B【变式5-1】将半径为，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由扇形弧长公式可求得弧长，圆锥底面周长为，圆锥底面半径，圆锥的高，圆锥的体积.故选：.【变式5-2】已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A．3B．C．9D．【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，则圆柱的侧面积为，故表面积为，得①，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，得②，联立①②得：，.故该圆锥的体积为.故选：B.【变式5-3】若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是()A．1B．1∶2C.eq\r(3)∶2D．3∶4【答案】【解析】设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R，则有eq\f(1,2)·2Rh＝2rh，所以R＝2r，V圆锥＝eq\f(1,3)πR2h＝eq\f(4,3)πr2h，V圆柱＝πr2h，故V圆柱∶V圆锥＝3∶4.题型六圆台的体积方法概要：台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积．【例6】已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________.【答案】eq\f(7\r(3)π,3)【解析】设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π，∴l＝2，∴h＝eq\r(3)，∴V＝eq\f(1,3)π(1＋4＋1×2)×eq\r(3)＝eq\f(7\r(3)π,3).【变式6-1】圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出圆台的轴截面如图所示：上底面半径，下底面半径，过做垂直，则由故即圆台的高为3,所以圆台的体积为.【变式6-2】古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为（）A．立方丈B．立方丈C．立方丈D．立方丈【答案】B【解析】由题意得，下底半径（丈），上底半径（丈），高（丈），所以它的体积为所以(立方丈).故选：B.【变式6-3】设圆台的高为3，如图，在轴截面A1B1BA中，∠A1AB＝60°，AA1⊥A1B，则圆台的体积为____________.【答案】【解析】设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l.作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1DA＝∠A1DB＝90°，又∠A1AB＝60°，∴AD＝eq\f(A1D,tan60°)＝eq\r(3)，∴R－r＝eq\r(3).∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°，∴BD＝A1D·tan60°＝3eq\r(3)，∴R＋r＝3eq\r(3)，∴R＝2eq\r(3)，r＝eq\r(3)，而h＝3.∴V圆台＝eq\f(1,3)πh(R2＋Rr＋r2)＝eq\f(1,3)π×3×[(2eq\r(3))2＋2eq\r(3)×eq\r(3)＋(eq\r(3))2]＝21π.∴圆台的体积为21π.题型七球的表面积和体积【例7】（1）已知球的直径为6cm，求它的表面积和体积；（2）已知球的表面积为64π，求它的体积；（3）已知球的体积为eq\f(500π,3)，求它的表面积．【解析】（1）∵球的直径为6cm，∴球的半径R＝3cm.∴球的表面积S球＝4πR2＝36π(cm2)，球的体积V球＝eq\f(4,3)πR3＝36π(cm3)．（2）∵S球＝4πR2＝64π，∴R2＝16，即R＝4.∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×43＝eq\f(256π,3).（3）∵V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)，∴R3＝125，R＝5.∴S球＝4πR2＝100π.【变式7-1】若一个球的直径为2，则此球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为球的直径为2，即球的半径为1，所以球的表面积为，故选：D.【变式7-2】两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为____________.【答案】eq\f(364π,3).【解析】设大、小两球半径分别为R，r，则由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R－r＝1，,4πR2－4πr2＝28π，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝4，,r＝3.))∴它们的体积和为eq\f(4,3)πR3＋eq\f(4,3)πr3＝eq\f(364π,3).【变式7-3】三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的()A．1倍B．2倍C．eq\f(9,5)倍D．eq\f(7,4)倍【答案】C【解析】设最小球的半径为r，则另外两个球的半径分别为2r,3r，其表面积分别为4πr2,16πr2,36πr2，故最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的eq\f(36πr2,4πr2＋16πr2)＝eq\f(9,5)倍．题型八球的截面问题【例8】一平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为eq\r(2)，则此球的体积为()A．eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π【解析】B【答案】如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝eq\r(2)，O′M＝1，∴eq\r(3)OM=22+1=3，即球的半径为eq\r(3)，∴