2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题70 圆与圆的位置关系-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题70圆与圆的位置关系题型一判断圆与圆的位置关系及方程的确定1．已知半径为的圆与圆外切于点，则圆心的坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知：圆圆心为，半径，设所求圆的圆心，若圆与圆外切于点，则必有三点共线且，即，解得：或；当，时，圆与圆相内切，不合题意；当，时，圆与圆相外切，符合题意；.故选：C.2．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为________．【答案】内切【解析】由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则d＝|C1C2|＝2，所以d＝|r1－r2|，所以两圆内切．故答案为：内切．3．两圆x2+y2+6x-4y+9=0和x2+y2-6x+12y-19=0的位置关系是___________________.【答案】外切【解析】由x2+y2+6x-4y+9=0得：（x+3）2+（y-2）2=4，圆心O（-3，2），半径为r=2；

由x2+y2-6x+12y-19=0得：（x-3）2+（y+6）2=64，圆心P（3，-6），半径为R=8．

则两个圆心的距离，所以两圆的位置关系是：外切．即答案为外切4．求圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点的圆的方程．【答案】【解析】设经过两圆交点的圆的方程为，即，圆心坐标为，将其代入直线解得．所以圆的方程为．故所求圆方程为：题型二由圆的位置关系确定参数或范围5．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2+(y-3)2=1内切，则此圆的方程为（）A．(x-4)2+(y-6)2=16 B．(x±4)2+(y-6)2=16C．(x-4)2+(y-6)2=36 D．(x±4)2+(y-6)2=36【答案】D【解析】解析：设所求圆心坐标为(a，b)，∵圆与x轴相切，∴，解得：∵与圆x2+(y-3)2=1内切，∴，当时，解得，所求圆的方程为：(x±4)2+(y-6)2=36；当时，无解.故选：D.6．(多选)已知圆A、圆B相切，圆心距为10cm，其中圆A的半径为4cm，则圆B的半径为（）A．6cm B．10cmC．14cm D．18cm【答案】AC【解析】令圆A、圆B的半径分别为r1，r2，当两圆外切时，r1＋r2＝10，所以r2＝10－r1＝10－4＝6；当两圆内切时，|r1－r2|＝10，即|4－r2|＝10，r2＝14或r2＝－6(舍)，即圆B的半径为6cm或14cm.故选：AC．7．如图，某台机器的三个齿轮，A与B啮合，C与B也啮合．若A轮的直径为200cm，B轮的直径为120cm，C轮的直径为250cm，且．试建立适当的坐标系，用坐标法求出A，C两齿轮的中心距离（精确到1cm）．【答案】【解析】解：根据题意，以点为坐标原点，所在直线为建立平面直角坐标系，如图，则，，，由于，所以直线的方程为，故设，则，由于圆与圆相外切，故，解方程得所以cm.故A，C两齿轮的中心距离约为.题型三求两圆的交点坐标8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足．设点P的轨迹为C，下列结论正确的是，（）A．C的方程为（x+4）2+y2＝9B．在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|【答案】BC【解析】在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足，设P（x，y），则，化简可得（x+4）2+y2＝16，故A错误；假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得，可设D（m，0），E（n，0），可得2，化简可得3x2+3y2﹣（8m﹣2n）x+4m2﹣n2＝0，由P的轨迹方程为x2+y2+8x＝0，可得8m﹣2n＝﹣24，4m2﹣n2＝0，解得m＝﹣6，n＝﹣12或m＝﹣2，n＝4（舍去），即存在D（﹣6，0），E（﹣12，0），故B正确；当A，B，P三点不共线时，由，可得射线PO是∠APB的平分线，故C正确；若在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|，可设M（x，y），即有2，化简可得x2+y2x0，联立x2+y2+8x＝0，可得方程组无解，故不存在M，故D错误．故选：BC．9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，圆与轴的正半轴的交点是，过点的直线与圆交于不同的两点.（1）求的中点的轨迹方程；（2）设点，若，求的面积.【答案】（1），，；（2）.【解析】解：（1）连接，取中点，由圆的性质知，，所以在中，，且为斜边，所以在以为直径的圆上，圆心为，半径为，所以点的轨迹为圆，圆心为，半径为，方程为：；又因为在已知圆内部，故与圆联立方程组，解得两圆交点坐标为，所以点的轨迹方程为，，.（2）设，由得：，整理得：，所以在圆上，结合（1），又在圆，，，故两圆联立方程组，解得：，所以，，的斜率为，直线方程为：，所以点到直线的距离为：，所以的面积为题型四两圆的弦长与公共弦方程10．以圆：与圆：相交的公共弦为直径的圆的方程为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵圆与圆，∴两圆相减可得公共弦方程为，即又∵圆的圆心坐标为(−2,0),半径为；圆的圆心坐标为(−1,−1)，半径为1，∴的方程为∴联立可得公共弦为直径的圆的圆心坐标为(−1,−1)，∵(−2,0)到公共弦的距离为：，∴公共弦为直径的圆的半径为：，∴公共弦为直径的圆的方程为故选：B.11．已知一个圆经过过两圆，的交点，且有最小面积，求此圆的方程.【答案】【解析】设所求圆，即，其圆心为，，圆的面积最小，圆以已知两相交圆的公共弦为直径，相交弦的方程为，将圆心，代入，得，所以所求圆，即为.12．已知圆过点，，且圆心在直线上，圆.（1）求圆的标准方程；（2）求圆与圆的公共弦长；（3）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】解：（1）设，则，解得，圆即所求的标准方程为：.（2）圆的一般方程为，将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即即，故到直线的距离为，所以所求公共弦长为.（3）设所求的圆的方程为：，整理得到，该圆圆心为，因为该圆心在直线，故，解得，故所求圆的方程为.题型五圆的公切线问题13．若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如下图所示，设直线交轴于点，由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则，，，，为的中点，为的中点，，由勾股定理可得.故选：C.14．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则4a2＋b2＝________．【答案】1【解析】圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，|C1C2|＝.因为两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以|C1C2|＝2－1＝1，所以4a2＋b2＝1.故答案为：1．15．已知圆，圆，求两圆的公切线方程.【答案】【解析】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，则，所以两圆外离，所以两圆有四条公切线.当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，即.则解得或或当斜率不存在时，两圆均与轴相切，即直线是两圆