2024一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题11 函数的单调性与最大（小）值-2024一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题11函数的单调性与最大（小）值题型一函数单调性的判断（证明）和单调区间的求解1．已知函数的定义域为,对任意的都有且则的解集为()A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意,,因为且所以函数是上的增函数.,因为,所以,则,解得.故选:A.2．已知函数f(x)的定义域为I，如果对属于I内某个区间上的任意两个不同的自变量的值都有>0，那么()A．在这个区间上为增函数 B．在这个区间上为减函数C．在这个区间上的增减性不定 D．在这个区间上为常函数【答案】A【解析】函数f(x)对属于定义域I内某个区间上的任意两个不同的自变量的值x1，x2都有>0，等价于,也就是当时,;当时,;即函数f(x)在这个区间上为增函数,故选A.3．如图是定义在区间上的函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是()A．函数在区间上单调递增B．函数在区间上单调递增C．函数在区间上单调递减D．函数在区间上没有单调性【答案】C【解析】由图象可知，函数在[-5，-3]和[1，4]两个区间单调递增，则A、B选项是正确的；又因为函数在[-3，1]和[4，5]两个区间上分别单调递减，但在区间[-3，1]∪[4，5]上没有单调性，则C选项错误；观察函数图象可知函数在[-5，5]上没有单调性，则D选项正确.故选C.4．求函数的单调递增区间________.【答案】和【解析】，作出函数图象如图所示.函数的单调递增区间是和.故答案为:和.5．利用函数单调性的定义，证明函数在区间[0，+∞）上是增函数．【答案】见解析【解析】设，化简可得，从而得到函数在区间上为增函数设，由于，由题设可得，故有，即，所以函数在区间上是增函数．6．已知函数，其中是非零实数，.求的单调区间.【答案】当时，在，上递增，在，递减；当时，在，上单调递减.【解析】函数的定义域为，当时，为对勾函数.在单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.当时，，在，上单调递减.当时，，在，上单调递减.故当时，在，上递增，在，递减；当时，在，上单调递减.题型二函数的最值及参数问题7．设函数，，则函数的最小值为______；若，使得成立，则实数的取值范围是_________.【答案】2【解析】解：因为函数，，易得函数在为减函数，在为增函数，所以，即函数的最小值为,又，使得成立，则，即，解得：或，即实数的取值范围是或，故答案为(1).2(2).8．已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞)．（1）当a＝时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，＋∞)，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）(－3，＋∞).【解析】（1）当a＝时，，设1≤x1＜x2，则，∵1≤x1＜x2，∴2x1x2＞2，2x1x2-1>0，>0，∴，∴f（x）在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f（x）在区间[1，＋∞)上的最小值为f（1）＝，（2）在区间[1，＋∞)上f（x）＞0恒成立⇔x2＋2x＋a＞0恒成立，设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数，∴当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，故a＞－3，实数a的取值范围为(－3，＋∞)．9．已知二次函数.（1）若，求在区间上的值域；（2）求在区间上的最值；（3）若的在区间上无最值，求m的取值范围；【答案】(1);(2)见解析(3)或【解析】(1)当时,,对称轴为.故在区间上单调递减.故.故在区间上的值域为(2)对称轴为.①当,即时,在上单调递增.故最小值为,最大值为②当,即时,在上单调递减.最小值为,最大值为③当即时,最小值为.(i)当即时,最大值为(ii)当即时,最大值为.(3)的在区间上无最值,故对称轴在区间外.故或,解得或题型三复合函数的最值10．设，，若，则的（）A．最小值为8 B．最大值为8C．最小值为2 D．最大值为2【答案】A【解析】因为，，所以，因为，所以，，则，故当时，最小，，故选：A.11．已知，，且，则的最大值是______．【答案】【解析】解：因为，，且，所以，，当时，取最小值，所以取最大值，故的最大值是.故答案为：.12．已知函数在区间，上的最大值为，当实数，变化时，最小值为__，当取到最小值时，__.【答案】2【解析】解：，上述函数可理解为当横坐标相同时，函数，，与函数，，图象上点的纵向距离，则即为函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，由图象可知，当函数的图象刚好为时，取得最小值为2，此时，且，即，，故.故答案为：2，.题型四函数不等式恒成立问题13．设函数的图象关于直线对称，（1）求实数的值；（2）在（1）的条件下若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）、在数轴上表示点到点、的距离，他们的和关于对称，因此点、关于对称，所以；（2），∵对任意实数恒成立，∴对任意实数x恒成立，∵，即，∴，∴．14．已知函数（为实数）.（1）若，求的单调区间.（2）若，设在区间的最小值为，求的解析式.（3）设，，若，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）的增区间是和，减区间是和；（2）；（3）.【解析】（1）当时，函数，.如图所示：由图知：的单调增区间是，单调减区间是：.（2）因为，且，如图所示：当，即时，，当，即时，，当，即时，，综上：.（3）当时，，因为，所以，所以在上增函数，所以，因为，恒成立，，即，解得，所以的取值范围是.12．已知函数，.（1）求函数的值域；（2）已知对任意，，都有不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）在单调递增，又，，故函数的值域为（2）由题，不等式对任意，恒成立即有不等式恒成立令，即有对任意，恒成立即有，则对任意恒成立当时，在单调递增，所以，解得；当时，在单调递减，在单调递增，所以，解之得，不合题意.综上：题型五函数不等式能成立（有解）问题13．(多选)已知函数，，下列结论正确的是（）A．，恒成立，则实数a的取值范围是B．，，则实数a的取值范围是C．，，则实数a的取值范围是D．，，【答案】AC【解析】对于A，是单调递减函数，，，恒成立，，故A正确；对于B，是单调递减函数，，，，，故B错误；对于C，函数，，的值域为，，，，故C正确；对于D，条件等价于的值域是的值域的子集，的值域是，的值域是，故D错误.故选:AC.14．已知函数，且对任意的，存在，使得，则m的取值范围是_________．【答案】．【解析】时，，时，，若，则，此时由题意，，所以满足题意；时，，所以，解得，所以，综上的取值范围是，即．故答案为：．15．已知函数，（1）若，求的值域；（2）若存在，使得能成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】（1）的图像为抛物线，开口向上，对称轴为.所以：当时，在上单调递减，此时：，；值域为；当时，在上单调递减，在上单调递增，此时：，；值域为；当时，在上单调递减，在上单调递增，但，此时：，；值域为；当时，在上单调递减，在上单调递增，但，此时：，；值域为；（2）可化为：，即存在，使得能成立，只需对能成立，只需，其中.记任取，则因为，所以，，，所以，所以，即在上单调递减，所以，所以，即实数