2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）期末难点特训（一）与二次函数有综合关的压轴题含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）期末难点特训一（与二次函数有综合关的压轴题）1．抛物线与轴交于点，与轴交于点．线段上有一动点(不与重合)，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点（1）求直线的解析式；（2）点为线段下方抛物线上一动点，点是线段上一动点；①若四边形是平行四边形，证明：点横坐标之和为定值；②在点运动过程中，平行四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标，若不存在，说明理由2．已知抛物线G：y1＝mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3，直线h：y2＝mx+3﹣2m，其中m≠0．(1)当m＝1时，求抛物线G与直线h交点的坐标；(2)求证：抛物线G与直线h必有一个交点A在坐标轴上；(3)在（2）的结论下，解决下列问题：①无论m怎样变化，求抛物线G一定经过的点坐标；②将抛物线G关于原点对称得到的图象记为抛物线，试结合图象探究：若在抛物线G与直线h，抛物线与直线h均相交，在所有交点的横坐标中，点A横坐标既不是最大值，也不是最小值，求此时抛物线G的对称轴的取值范围．3．已知抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，对称轴与轴交于点，顶点为．（1）求抛物线的解析式；（2）若点为对称轴右侧且位于轴上方的抛物线上一动点（点与顶点不重合），于点，当与相似时，求点的坐标；（3）对称轴上是否存在一点使得，若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由．4．在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，且经过点A（0，）．(1)求的值；(2)若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E（x1，0），F（x2，0）．①求b的值（用含a的代数式表示）；②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；(3)若a＝，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．（1）求、的值；（2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？（3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知抛物线yx2+mx+m与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），点P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线yx2+mx+m在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围．7．已知函数，记该函数图像为G．（1）当时，①已知在该函数图像上，求n的值；②当时，求函数G的最大值；（2）当时，作直线与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若时，求m的值；（3）当时，设图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，过B做交直线与点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若，求m的值．8．已知抛物线（为常数），点A（-1，-1），B（3，7）．（1）当抛物线经过点A时，求抛物线解析式和顶点坐标；（2）抛物线的顶点随着的变化而移动，当顶点移动到最高处时，①求抛物线的解析式；②在直线AB下方的抛物线上有一点E，过点E作EF⊥轴，交直线AB于点F，求线段EF取最大值时的点E的坐标；（3）若抛物线与线段AB只有一个交点，求的取值范围．9．已知抛物线（是常数），顶点为．（1）若抛物线经过点；①求抛物线的解析式及顶点坐标；②若将抛物线向上平移8个单位长度，再向左平移2个单位长度，得抛物线．点的横坐标为，且点在抛物线上，若抛物线与轴交于点，连接，为抛物线上一点，且位于线段的上方，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标；（2）已知点，且无论取何值，抛物线都经过定点，当时，求抛物线的解析式．10．在平面直角坐标系中，点，抛物线c（，是常数）经过点，，与轴的另一个交点为A，顶点为D．（I）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（II）连接AD，CD，BC，将沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点与点重合时停止移动．记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，当时，求与时间的函数解析式．11．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，直线y＝kx＋m，经过点B，C．（1）求k的值；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形ACPB面积最大时点P的坐标；（3）若M是抛物线上一点，且∠MCB＝∠ABC，请直接写出点M的坐标．12．在平面直角坐标系中，点在抛物线上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知，当时，的取值范围是，求，的值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数，当时，的取值范围是，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y＝－＋x＋2与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，点C在y轴右侧的抛物线上，且AC＝BC，求点C的坐标；（3）如图2，将△ABO绕平面内点P顺时针旋转90°后，得到△DEF（点A，B，O的对应点分别是点D，E，F），D，E两点刚好在抛物线上．①求点F的坐标；②直接写出点P的坐标．14．已知抛物线与轴交于点O、A两点，顶点为B．（1）直接写出：A点坐标________，B点坐标_______，△ABO的形状是_______；（2）如图，直线(m<0)交抛物线于E、F(E在F右边)，交对称轴于M，交y轴于N．若EM-FN=MN，求m的值；（3）在(2)的条件下，y轴上有一动点P，当∠EPF最大时，请直接写出此时P点坐标___________15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和点，抛物线经过点，且与直线的另一个交点为．（1）求的值和抛物线的解析式；（2）已知点是抛物线上位于之间的一动点（不与点重合），设点的横坐标为当为何值时，∆的面积最大，并求出其最大值；（3）在轴上是否存在点，使以点为顶点的三角形与∆相似？若存在，直接写出点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由．16．我们约定：图象关于y轴对称的函数称为偶函数．（1）下列函数是偶函数的有（填序号）；①y＝x+1；②y＝﹣2020x2+5；③y＝||；④y＝2021x2﹣2020x+2018．（2）已知二次函数y＝（k+1）x2+（k2﹣1）x+1（k为常数）是偶函数，将此偶函数进行平移得到新的二次函数y＝ax2+bx+c，新函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，若AB＝2，且以AB为直径的圆恰好经过点C，求平移后新函数的解析式；（3）如图，已知偶函数y＝ax2+bx+c（a≠0）经过（1，2），（2，5），过点E（0，2）的一次函数的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），过点AB分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问：是否存在实数m，使S22＝mS1S3都成立？若成立，求出m的值，若不存在，说明理由．17．抛物线L：与轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴正半轴交于点C，顶点为D，且OC=2OB．（1）求抛物线L的解析式；（2）如图，过定点的直线（）与抛物线L交于点E、F．若DEF的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向下平移m（）个单位长度得到抛物线，抛物线与y轴正半轴交于点M，过点M作y轴的垂线交抛物线于另一点N，G为抛物线的对称轴与x轴的交点，P为线段OM上一点．若PMN与POG相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．18．在平面直角坐标系中，若直线与函数G的图像有且只有一个交点P．则称该直线l是函数G关于点P的“联络直线”，点P称为“联络点”．(1)直线是函数的“联络直线”吗？请说明理由；(2)已知函数，求该函数关于“联络点”的“联络直线”的解析式；(3)若关于x的函数图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是y轴上一点，分别过点P作函数关于点M，N的“联络直线”PM、PN．若直线恰好经过M、N两点，请用含a的式子表示线段PC的长．19．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点，点Q为线段BC上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求的最小值；（3）过点Q作交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记与的面积分别为，，设，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．20．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．期末难点特训一（与二次函数有综合关的压轴题）1．抛物线与轴交于点，与轴交于点．线段上有一动点(不与重合)，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点（1）求直线的解析式；（2）点为线段下方抛物线上一动点，点是线段上一动点；①若四边形是平行四边形，证明：点横坐标之和为定值；②在点运动过程中，平行四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标，若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）①证明见解析；②存在；点的坐标为．【分析】（1）分别在抛物线解析式中令x=0，y=0，可以得到B和A的坐标，然后应用待定系数法可以得到直线AB的解析式；（2）①分别设点M、N的横坐标为m、n，则由平行四边形的性质可以证得m+n=4,即m、n的和为定值；②作DE⊥PM，结合①可以求得平行四边形CMND的周长是关于m的二次函数，由二次函数的知识可以求得平行四边形CMND的周长取最大值时m的值，从而得到对应的D点坐标．【详解】解：（1）令，可得，令抛物线解析式中x=0可得，设直线的解析式为：代入两点坐标，求得；设点的横坐标为，则点坐标为点的坐标为设点的横坐标为，同理得整理得：为定值②作，则易证平行四边形的周长时，周长有最大值此时点的坐标为，点的坐标为当点位置对调，点位置相应对调时，依然满足条件点的坐标为．【点睛】本题考查一次函数、二次函数与平行四边形的综合应用，熟练掌握一次函数解析式的求法、平行四边形的性质及二次函数的图象和性质是解题关键．2．已知抛物线G：y1＝mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3，直线h：y2＝mx+3﹣2m，其中m≠0．(1)当m＝1时，求抛物线G与直线h交点的坐标；(2)求证：抛物线G与直线h必有一个交点A在坐标轴上；(3)在（2）的结论下，解决下列问题：①无论m怎样变化，求抛物线G一定经过的点坐标；②将抛物线G关于原点对称得到的图象记为抛物线，试结合图象探究：若在抛物线G与直线h，抛物线与直线h均相交，在所有交点的横坐标中，点A横坐标既不是最大值，也不是最小值，求此时抛物线G的对称轴的取值范围．【答案】(1)或(2)见解析(3)①；②【分析】（1）把代入抛物线及直线解析式，并联立即可求解；（2）联立方程组求解即可求证；（3）①由（2）可直接得到；②先求出抛物线，再联立抛物线和直线，求出交点，再进行分类讨论即可．(1)解：当时，抛物线，直线，令，解得或，抛物线与直线交点的坐标为或；(2)证明：令，整理得，即，解得或，当时，；当时，；抛物线与直线的交点分别为和，，必有一个交点在轴上；(3)①证明：由（2）可知，抛物线一定过点；②解：抛物线，则抛物线与轴的交点为，，，抛物线与抛物线关于原点对称，抛物线过点，，，抛物线的解析式为：，令，整理得，或，即四个交点分别为：，，，，，，当时，即时，0为最小值，2为最大值，，不等式无解，这种情况不成立；当时，则，则，解得，不成立；当时，得，此时，解得得，．即抛物线对称轴的取值范围为：．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数交点问题，第（3）关键是求出四个交点，由“点的横坐标既不是最大值又不是最小值”，对四个点进行分类讨论．3．已知抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，对称轴与轴交于点，顶点为．（1）求抛物线的解析式；（2）若点为对称轴右侧且位于轴上方的抛物线上一动点（点与顶点不重合），于点，当与相似时，求点的坐标；（3）对称轴上是否存在一点使得，若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，点M的坐标为，或【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由P的位置分析得只能是，得．延长交轴于，则，设，由两点间距离公式可列方程得到F点的坐标，用待定系数法求直线EF的解析式，于抛物线联立即可求得P点坐标；（3）当点在轴上方时，连接，，由抛物线的对称性可知MA=MB，则，利用圆中同弧所对圆周角相等的性质得圆心在对称轴上，设的坐标为，根据，可列方程求得的坐标，从而求得M的坐标，最后由轴对称性质可知另一点的坐标．【详解】解：（1）把，，点坐标分别代入抛物线解析式，得：解得：，∴抛物线的解析式：（2）如图，只能是，得．延长交轴于，∴，∴设，则∴，即．设直线的解析式为，则，解之得，∴直线的解析式．联立，解得或（舍去）∴．（3）如图2，当点在轴上方时，连接，，设的坐标为，若，则点，，，四点在以为圆心的圆上∴∵是抛物线的对称轴，∴，∴，∴，∵，，，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴，当点在轴下方时，由对称知，，即：点的坐标为，或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，利用二次函数图像的性质求点的坐标，圆的性质确定点的位置，掌握二次函数图象的性质为解题关键．4．在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，且经过点A（0，）．(1)求的值；(2)若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E（x1，0），F（x2，0）．①求b的值（用含a的代数式表示）；②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；(3)若a＝，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值．【答案】(1)(2)①，②(3)的值为1或【分析】（1）把代入解析式即可求出；（2）①已得由点坐标可求得，再把点坐标代入可求得与的关系式，可求得答案；②用可表示出抛物线解析式，令可得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系可用表示出2的值，再利用函数性质可求得其取得最小值时的值，可求得抛物线解析式；（3）可用表示出抛物线解析式，可求得其对称轴为，由题意可得出当、或时，抛物线上的点可能离轴最远，可分别求得其函数值，得到关于的方程，可求得的值．(1)解：抛物线的开口向上，且经过点，，(2)解：①，抛物线经过点，，，故答案为：；②由①可得抛物线解析式为，令可得，△，方程有两个不相等的实数根，设为、，，，，当时，有最小值．抛物线解析式为；(3)解：当时，抛物线解析式为，抛物线对称轴为，只有当、或时，抛物线上的点才有可能离轴最远，当时，，当时，，当时，，①当时，或，且顶点不在范围内，满足条件；②当时，，对称轴为直线，不在范围内，故不符合题意，综上可知：的值为1或．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数的性质、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值、分类讨论思想等知识．在（1）中注意利用待定系数法的应用，在（2）②中用表示出是解题的关键，注意一元二次方程根与系数的关系的应用，在（3）中确定出抛物线上离轴距离可能最远的点是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．（1）求、的值；（2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？（3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（，）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P作PE⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0），则，解得：；（2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），∴△OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知：AP=，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，∴AE=PE==t，即E（3-t，0），又Q（-1+t，0），∴S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ==∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC=，AB=4，∴0≤t≤3，∴当t==2时，四边形BCPQ的面积最小，即为=4；（3）∵点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE，在△PFM和△QEP中，，∴△PFM≌△QEP（AAS），∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，∴点M的坐标为（3-2t，4-t），∵点M在抛物线y=-x2+2x+3上，∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，解得：t=或（舍），∴M点的坐标为（，）．【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键．6．已知抛物线yx2+mx+m与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），点P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线yx2+mx+m在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围．【答案】（1）；（2）当时，取得的最大值，最大值为；（3）或【分析】（1）将点C（0，）代入抛物线解析式直接求解即可；（2）先求出A点坐标，以及直线AC的解析式，再过P点作PQ⊥x轴，交AC于Q点，通过设P、Q两点的坐标，建立出关于的二次函数表达式，然后结合二次函数的性质求出其最值，并求出此时对应的P点坐标即可；（3）先根据题意画出基本图像G，然后结合平移的性质确定B点的运动轨迹，以及其直线解析式，根据题目要求和平移的性质可以确定点B平移至恰好在PC上时，以及图象G与直线AC的交点R，经过平移至C点时，满足要求，应注意，当A点平移后经过C点时，此时也可满足图象M与PC仅有一个交点，即为C点，此情况应单独求解．【详解】解：（1）将点C（0，）代入抛物线解析式得：，解得：，∴抛物线解析式为：；（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴令，解得：，，∴A、B坐标分别为：，，设直线AC的解析式为：，将和代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为：，如图所示，过P点作PQ⊥x轴，交AC于Q点，∵P点在位于直线AC上方的抛物线上，∴设，则，其中，∴，∵，∴，∵，∴抛物线开口向下，当时，取得的最大值，最大值为，此时，将代入抛物线解析式得：，∴当时，取得的最大值，最大值为；（3）如图所示，抛物线yx2+mx+m在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．由（1）可知，原抛物线顶点坐标为，∴沿x轴向下翻折后，图象G的顶点坐标为，图象G的解析式为：；∵图象G沿着直线AC平移，∴作直线BS∥AC，交PC于S点，则随着平移过程，点B在直线BS上运动，分如下情况讨论：①当图象G沿直线AC平移至B点恰好经过S点时，如图中M1所示，此时，平移后的图象M恰好与线段PC有一个交点，即为S点，由（2）知，，以及直线AC的解析式为，∴设直线BS的解析式为：，将代入得：，∴直线BS的解析式为：；设直线PC的解析式为：，将，代入得：，解得：，∴直线PC的解析式为：；联立，解得：，即：S点的坐标为，∴此时点平移至，等同于向左平移个单位，向上平移个单位，即：当平移后的图象M与线段PC恰好仅有一个交点时，可由原图像G向左平移个单位，向上平移个单位，∵原图像G的顶点坐标为：，∴平移后图象M1的顶点的横坐标；②当图象G沿直线AC平移至恰好经过C点时，如图中M2所示，设图象G与直线AC的交点为R，联立，解得：或，∴点R的坐标为：，由平移至，等同于向右平移2个单位，向下平移1个单位，∴当平移后的图象M与线段PC恰好仅有一个交点时，可由原图像G向右平移2个单位，向下平移1各单位，∵原图像G的顶点坐标为：，∴平移后图象M2的顶点的横坐标；∴当图象G在M1和M2之间平移时，均能满足与线段PC有且仅有一个交点，此时，图象M的顶点横坐标n的取值范围为：；③当图象G沿直线AC平移至A点恰好经过C点时，如图中M3所示，此时，由平移至，等同于向右平移5个单位，向下平移个单位，即：原图像G向右平移5个单位，向下平移个单位，得到图象M3，∵原图像G的顶点坐标为：，∴平移后图象M3的顶点的横坐标；综上所述，当新的图象M与线段PC只有一个交点时，图象M的顶点横坐标n的取值范围为：或．【点睛】本题考查二次函数综合问题，包括图象的翻折变换和平移变换等，掌握二次函数的基本性质，翻折和平移变换的性质，以及准确分类讨论是解题关键．7．已知函数，记该函数图像为G．（1）当时，①已知在该函数图像上，求n的值；②当时，求函数G的最大值；（2）当时，作直线与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若时，求m的值；（3）当时，设图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，过B做交直线与点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若，求m的值．【答案】（1）①，②函数G的最大值为；（2）；（3）或【分析】（1）由题意易得，①把点代入求解即可；②根据二次函数的性质可进行求解；（2）由题意可得如图所示，然后可得，是等腰直角三角形，则有，进而代入求解即可；（3）由题意可得如图所示，则有，然后可得，设直线与x轴的交点为E，过点C作CD⊥y轴于点D，进而易证，然后根据全等三角形的性质可求解．【详解】解：（1）∵，∴，①∵在该函数图像上，∴；②由题意得：当时，函数G的解析式为，当时，函数G的解析式为，∵，当时，则，∴当时，函数G有最大值，即为；当时，则有函数G的最大值为，∵，∴当时，函数G的最大值为；（2）由当时，作直线与x轴交于点P，与函数G交于点Q，可得点Q必定落在的函数图象上，如图所示：∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，化简得：，解得：，∵，∴；（3）①当时，由题意可得如图所示，设直线与x轴的交点为E，过点C作CD⊥y轴于点D，∴，令y=0，则有，解得：，∵，∴，由题意得：，四边形DOEC是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，化简得：，解得：（不符合题意，舍去），∴；②当时，设直线与x轴的交点为E，过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示：∴令y=0，则有，解得：，∴，同理可得，∴，化简得：，解得：（舍去）；综上所述：或．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．8．已知抛物线（为常数），点A（-1，-1），B（3，7）．（1）当抛物线经过点A时，求抛物线解析式和顶点坐标；（2）抛物线的顶点随着的变化而移动，当顶点移动到最高处时，①求抛物线的解析式；②在直线AB下方的抛物线上有一点E，过点E作EF⊥轴，交直线AB于点F，求线段EF取最大值时的点E的坐标；（3）若抛物线与线段AB只有一个交点，求的取值范围．【答案】（1）抛物线的解析式为：，顶点坐标为：；（2）①函数解析式为；②EF取得最大值时，；（3）m的取值范围为：或或．【分析】（1）将点代入函数解析式求解确定，即可确定函数解析式，将解析式化解为顶点式即可得出顶点坐标；（2）①写出抛物线的顶点坐标，进行整理，使顶点移动到最高处，即使顶点坐标的纵坐标最大，化简可得出，即可确定解析式；②设直线AB的解析式为，将A、B两点代入解析式求解确定函数解析式，然后与抛物线解析式联立求解确定自变量的取值范围，设点，，且，根据题意，表示出，化为顶点式即可得出取得最大值时自变量的取值，然后代入函数解析式即可；（3）将一次函数与二次函数解析式联立求解可得，，在线段AB上，根据题意中抛物线与线段AB只有一个交点，分三种情况讨论：①抛物线与直线AB只有一个交点，即点M与点N重合；②点N在线段AB的延长线上时；③点N在线段BA的延长线上时，依次进行讨论求解即可得．【详解】解：（1）将点代入函数解析式可得：，解得：，∴抛物线的解析式为：，∴，∴顶点坐标为：；（2）①抛物线的顶点坐标为：，整理可得，使顶点移动到最高处，即取得最大值，，当时，取得最大值，此时函数解析式为：将代入可得：；②如图所示：设直线AB的解析式为，将A、B两点代入解析式可得：，解得：，∴直线解析式为：，将直线解析式与抛物线解析式联立可得：，解得：；，∴，，设点，，且，，，，∵，∴当时，EF取得最大值，，∴；（3），将①代入②可得：，整理可得：，∵，，，∴，，，∴抛物线与直线AB有交点，解方程，，解得：，，∴；，∴抛物线与直线AB的交点为：，，将代入直线AB解析式，可得：，∴在直线AB上，∵，∴在线段AB上，∵抛物线与线段AB只有一个交点，∴分三种情况讨论：①抛物线与直线AB只有一个交点，如图所示，即点M与点N重合，∴，∴；②点N在线段AB的延长线上时，如图所示：∴，∴；③点N在线段BA的延长线上时，如图所示：∴，∴；综上可得：m的取值范围为：或或．【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法确定函数解析式，函数最值问题，二次函数图象的性质及分类讨论思想，熟练掌握二次函数的图象与性质，作出相应图象是解题关键．9．已知抛物线（是常数），顶点为．（1）若抛物线经过点；①求抛物线的解析式及顶点坐标；②若将抛物线向上平移8个单位长度，再向左平移2个单位长度，得抛物线．点的横坐标为，且点在抛物线上，若抛物线与轴交于点，连接，为抛物线上一点，且位于线段的上方，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标；（2）已知点，且无论取何值，抛物线都经过定点，当时，求抛物线的解析式．【答案】（1）①，抛物线的顶点坐标为；②；（2）．【分析】（1）①把点（3，-7）代入可得关于k的一元一次方程，解方程求出k值即可得抛物线C1解析式，把解析式配方即可得顶点坐标；②由平移的性质可得出抛物线，根据点A横坐标及抛物线与轴交于点可得出点A、B坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，设，得出，由点在直线上可得出答案；（2）分时，时，时三种情况，由直角三角形的性质即可求出答案．【详解】（1）∵抛物线经过点（3，-7），∴，解得：，∴抛物线的表达式为，∵，∴抛物线的顶点坐标为；②如图，∵把向上平移8个单位，再向左平移2个单位长度，∴抛物线C2解析式为，即，当时，，∴，当时，，∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，设，∵点位于线段的上方，且，∴，∵点在直线上，∴，解得，∴．（2）∵，∴当时，，，∴无论取何值时，抛物线都经过定点．∵，∴抛物线的顶点坐标为．①若时，则，如图，过点作轴于点，分别过点，作轴，轴的垂线交于点，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得或（不合题意，舍去），∴．②若时，则，如图，过点作轴于点，分别过点，作轴，轴的垂线交于点，同理可得，∵，∴，即，解得（不合题意，舍去）．③若，则，重合，不合题意，舍去．综合以上可得，抛物线的解析式为．【点睛】本题考查二次函数综合及三角函数的定义，熟练掌握二次函数各形式解析式的性质及特殊角的三角函数值是解题关键．10．在平面直角坐标系中，点，抛物线c（，是常数）经过点，，与轴的另一个交点为A，顶点为D．（I）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（II）连接AD，CD，BC，将沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点与点重合时停止移动．记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，当时，求与时间的函数解析式．【答案】（I），；（II）．【分析】（Ⅰ）B（1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c可得解析式及顶点；（Ⅱ）当0＜t＜1时，设B′C′交y轴于E，重合部分是梯形，分别用t表示上、下底和高即可．【详解】解：（Ⅰ）B（1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点D（﹣1，4）；（Ⅱ）当0＜t＜1时，设B′C′交y轴于E，如答图1：∵B（1，0），C（0，3），△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O′B'C'，∴OB＝1，OC＝O′C′＝3，tan∠CBO＝tan∠EB′O＝3，∴OB′＝1﹣t，OE＝3（1﹣t），OO′＝t，∴△O′B'C'与四边形AOCD的重叠部分的面积为S＝＝＝．【点睛】本题考查二次函数及面积的综合知识，解题的关键是用t的代数式表示相关线段的长度和图形面积．11．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，直线y＝kx＋m，经过点B，C．（1）求k的值；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形ACPB面积最大时点P的坐标；（3）若M是抛物线上一点，且∠MCB＝∠ABC，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）；（2）P（2，﹣3）；（3）点M（，）或（3，﹣2）【分析】（1）先求出点A，点B，点C坐标，利用待定系数法可求解；（2）过点P作PE⊥AB交BC于点E，点P（a，a2﹣a﹣2），则点E（a，a﹣2），利用面积和差关系和二次函数的性质可求解；（3）分两种情况讨论，先求出直线BM或BM'的解析式，联立方程组可求解．【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，当x=0时，y=-2，C点坐标为（0，﹣2），当y=0时，0＝x2﹣x﹣2，解得，x1=-1，x2=4，点A（﹣1，0），点B（4，0），∵直线y＝kx＋m，经过点B，C，∴，解得：，直线解析式为y＝x-2，∴k的值为；（2）如图1，过点P作PE⊥AB交BC于点E，由（1）可知，A（﹣1，0），设点P（a，a2﹣a﹣2），则点E（a，a﹣2），∴PE＝a﹣2﹣（a2﹣a﹣2）＝﹣a2＋2a，∵四边形ACPB面积＝（4＋1）×2＋×（﹣a2＋2a）×4＝﹣（a﹣2）2＋9，∴当a＝2时，四边形ACPB面积有最大值，此时点P（2，﹣3）；（3）如图2，当点M在BC上方时，设CM交AB于点H，∵∠MCB＝∠ABC，∴CH＝BH，∵CH2＝OC2＋OH2，∴BH2＝4＋（4﹣BH）2，∴BH＝，∴OH＝，∴点H（，0），∵点C（0，﹣2），点H（，0），∴直线CH解析式为：y＝x﹣2，联立方程组可得，解得：（舍去），，∴点M（，），当点M'在BC下方时，∵∠M'CB＝∠ABC，∴M'C∥AB，∴点M'的纵坐标为﹣2，∴点M'的坐标为（3，﹣2）；综上所述：点M（，）或（3，﹣2）．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的综合，主要考查了待定系数法，二次函数的最值，等角问题，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．12．在平面直角坐标系中，点在抛物线上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知，当时，的取值范围是，求，的值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数，当时，的取值范围是，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2），；（3）存在，．【分析】（1）利用对称点与对称轴的关系：对称点的横坐标之和等于对称轴的2倍，即可求出该抛物线的对称轴．（2）分别讨论的取值范围与对称轴的位置，分别求出不同情况下取最大值与最小值时，对应的的取值，进而求出求，的值．（3）由于的取值范围是，取不到最大值和最小值，故不包含对称轴，分别讨论在对称轴的左右两侧即可．【详解】（1）解：依题意，∵抛物线过点（0，3），（4，3），∴该抛物线的对称轴为直线．

（2）解：∵抛物线对称轴为直线，∴，即①．∵，∴．∵，抛物线开口向上，∴当时，函数值在上取得最小值．即②．联立①②，解得，．

∴抛物线的表达式为，即．∵，∴当时，y随x的增大而减小，当时取得最大值，当时，y随x的增大而增大，当时取得最大值，∵对称轴为，∴与时的函数值相等．∵，∴当时的函数值大于当时的函数值，即时的函数值．∴当时，函数值在上取得最大值3．代入有，舍去负解，得．

（3）解：存在，．当时，的取值范围是，无法取到最大值与最小值，关于的取值范围一定不包含对称轴，①当时，在对称轴的左侧，二次函数开口向上，时，有最大值，时，有最小值，由题意可知：，解得：，故，②当时，在对称轴的右侧，二次函数开口向上，时，有最小值，时，有最大值，由题意可知：，此时无解，故不符合题意，．【点睛】本题主要是考查了对称点与对称轴的关系，以及二次函数的最值求解，熟练通过分类讨论，分别讨论对称轴与的取值范围的关系，进而确定函数取最值时的的取值，是求解该题的关键．13．如图，抛物线y＝－＋x＋2与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，点C在y轴右侧的抛物线上，且AC＝BC，求点C的坐标；（3）如图2，将△ABO绕平面内点P顺时针旋转90°后，得到△DEF（点A，B，O的对应点分别是点D，E，F），D，E两点刚好在抛物线上．①求点F的坐标；②直接写出点P的坐标．【答案】（1）A（-1，0），B（0，2）；（2）点C的坐标（，）；（3）①求点F的坐标（1，2）；②点P的坐标（，）【分析】（1）令x=0，求得y值，得点B的坐标；令y=0，求得x的值，取较小的一个即求A点的坐标；（2）设C的坐标为（x，－＋x＋2），根据AC＝BC，得到，令t=－＋x，解方程即可；（3）①根据题意，得∠BPE=90°，PB=PE即点P在线段BE的垂直平分线上，根据B，E都在抛物线上，则B，E是对称点，从而确定点P在抛物线的对称轴上，点F在BE上，且BE∥x轴，点E（3，2），确定BE=3，根据旋转性质，得EF=BO=2，从而确定点F的坐标；②根据BE=3，∠BPE=90°，PB=PE，确定P到BE的距离，即可写出点P的坐标．【详解】（1）令x=0，得y=2，∴点B的坐标为B（0，2）；令y=0，得－＋x＋2=0，解得∵点A在x轴的负半轴；∴A点的坐标（-1，0）；（2）设C的坐标为（x，－＋x＋2），∵AC＝BC，A（-1，0），B（0，2），∴，∵A（-1，0），B（0，2），∴，即，设t=－＋x，∴，∴，∴，∴，整理，得，解得∵点C在y轴右侧的抛物线上，∴，此时y=，∴点C的坐标（，）；（3）①如图，根据题意，得∠BPE=90°，PB=PE即点P在线段BE的垂直平分线上，∵B，E都在抛物线上，∴B，E是对称点，∴点P在抛物线的对称轴上，点F在BE上，且BE∥x轴，∵抛物线的对称轴为直线x=，B（0，2），∴点E（3，2），BE=3，∵EF=BO=2，∴BF=1，∴点F的坐标为（1，2）；②如图，设抛物线的对称轴与BE交于点M，交x轴与点N，∵BE=3，∴BM=，∵∠BPE=90°，PB=PE，∴PM=BM=，∴PM=BM=，∴PN=2-=，∴点P的坐标为（，）．【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，旋转的性质，两点间的距离公式，一元二次方程的解法，换元法解方程，熟练掌握抛物线的对称性，灵活理解旋转的意义，熟练解一元二次方程是解题的关键．14．已知抛物线与轴交于点O、A两点，顶点为B．（1）直接写出：A点坐标________，B点坐标_______，△ABO的形状是_______；（2）如图，直线(m<0)交抛物线于E、F(E在F右边)，交对称轴于M，交y轴于N．若EM-FN=MN，求m的值；（3）在(2)的条件下，y轴上有一动点P，当∠EPF最大时，请直接写出此时P点坐标___________【答案】（1）（4,0），（2，-2），等腰直角三角形；（2）；（3）（0，）【分析】（1）令中y=0，求出A的坐标，由，求出顶点B坐标，利用勾股定理的逆定理判定△ABO是等腰直角三角形；（2）过点E作EG⊥y轴于G，过点F作FH⊥y轴于H，过点M作MC⊥y轴于C，设（m＜0）交x轴于D，先求出∠OND=45°，利用锐角三角函数可得FN==，MN==，EN==，联立解析式求出点E、F的横坐标，最后根据已知等式即可列出方程，求出m；（3）作以EF为弦且与y轴相切的圆D，切点为P，连接EP、FP，利用圆周角定理和三角形外角的性质先证此时∠EPF最大，然后确定点P的坐标，设点P的坐标为（0，p），用含p的式子表示出DP和DF，列出方程即可求出结论．【详解】解：（1）令中y=0，得，解得x=0或x=4，∴A（4，0）；∵，∴顶点B坐标为（2，-2）；连接AB、OB，∴，，，∴，AB=OB，∴△ABO是等腰直角三角形，故答案为：（4,0），（2，-2），等腰直角三角形；（2）过点E作EG⊥y轴于G，过点F作FH⊥y轴于H，过点M作MC⊥y轴于C，设（m＜0）交x轴于D将x=0代入中，解得y=m；将y=0代入中，解得x=-m∴点N的坐标为（0，m），点D的坐标为（-m，0）∴ON=OD∴△OND为等腰直角三角形∴∠OND=45°∴FN==，MN==，EN==，∴EM=EN－MN=∵抛物线的对称轴为直线x=2∴CM=2联立消去y，解得：x1=，x2=∴点F的横坐标为，点E的横坐标为∴HF=，EG=∴FN=，MN=，EM=∵EM-FN=MN，∴－=解得：，经检验，是原方程的解；（3）如下图所示，作以EF为弦且与y轴相切的圆D，切点为P，连接EP、FP，先证此时∠EPF最大，在y轴上任取一点，连接，与圆D交于点C∴∠EPF=∠ECF∵∠ECF是△的外角∴∠ECF＞∴∠EPF＞即此时∠EPF最大，然后确定点P的坐标，设点P的坐标为（0，p），如下图所示，连接DP、DF，作EF的中垂线ST，交EF于S，交y轴于T，过点S作SK⊥y轴于K由（2）知∴点E的坐标为（5，），点F的坐标为（1，）∴点S的坐标为（3，），∴OK=，SK=3由（2）知：∠SNO=45°，∵∠TSN=90°∴∠STK=45°∴△TSK、△TDP为等腰直角三角形∴TK=SK=3，TP=DP∴TP=TK＋OK－OP=∴DP=，∴点D的坐标为（，p）∴DF=∵DP=DF∴=解得：p=或p=∵EF==∴ES=EF=＜SK∴以EF为直径的圆与y轴相离∴点P必在以EF为直径的圆的外边∴△EPF为锐角三角形∴点D在△EPF内部，也必在S的左上方∴点D的纵坐标大于0，即p＞0∴p=∴点P的坐标为（0，）．【点睛】此题考查的是二次函数、一次函数和圆的综合大题，掌握二次函数图象及性质、求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定及性质、圆周角定理、锐角三角函数是解题关键．15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和点，抛物线经过点，且与直线的另一个交点为．（1）求的值和抛物线的解析式；（2）已知点是抛物线上位于之间的一动点（不与点重合），设点的横坐标为当为何值时，∆的面积最大，并求出其最大值；（3）在轴上是否存在点，使以点为顶点的三角形与∆相似？若存在，直接写出点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）当时，△的面积最大，最大面积为18；（3）点坐标为（0，4）或（0，10）．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由△APC的面积＝S△PHA＋S△PHC，即可求解；（3）分∠BM′C为直角、∠BCM为直角两种情况，利用数形几何即可求解．【详解】（1）已知直线：，令x＝0，则y＝−2，令y＝x−2＝0，解得x＝2，，点在直线上，，故点，将点的坐标代入得：，解得：，故抛物线的表达式为：；（2）如图，过点P作y轴的平行线交AB于点H，设点P的坐标为（a，a2−5a−2），则点H（a，a−2），则△APC的面积＝S△PHA＋S△PHC＝×PH×（xC−xA）＝×（a−2−a2＋5a＋2）×（6−2）＝−2a2＋12a，∵−2＜0，故△APC的面积存在最大值，当a＝3时，△APC的面积的最大值为18；（3）存在，理由：由点A、B的坐标知，△ABO为等腰直角三角形，如图：当△BMC与△BAO相似时，则△BMC为等腰直角三角形，①当∠BM′C为直角时，则点M′的纵坐标与点C的纵坐标相同，故点M′（0，4）；②当∠BCM为直角时，则点M′是BM的中点，故点M（0，10）；故点M的坐标为（0，4）或（0，10）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．16．我们约定：图象关于y轴对称的函数称为偶函数．（1）下列函数是偶函数的有（填序号）；①y＝x+1；②y＝﹣2020x2+5；③y＝||；④y＝2021x2﹣2020x+2018．（2）已知二次函数y＝（k+1）x2+（k2﹣1）x+1（k为常数）是偶函数，将此偶函数进行平移得到新的二次函数y＝ax2+bx+c，新函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，若AB＝2，且以AB为直径的圆恰好经过点C，求平移后新函数的解析式；（3）如图，已知偶函数y＝ax2+bx+c（a≠0）经过（1，2），（2，5），过点E（0，2）的一次函数的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），过点AB分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问：是否存在实数m，使S22＝mS1S3都成立？若成立，求出m的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）②③；（2）y＝2x2﹣4x或y＝2x2+4x或y＝2x2﹣2x或y＝2x2+2x﹣；（3）存在，m＝4【分析】(1)根据每个函数是否关于y轴对称进行判断；(2)根据偶函数的概念可得：k2﹣1＝0且k+1≠0，即可求得抛物线解析式，再依据平移的性质可知a＝2，设A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），利用根与系数关系及乘法公式可得：b2﹣8c＝16，再根据圆的性质和勾股定理得：b2+16c2＝16，从而求得b、c，即可得到新函数的解析式；(3)由偶函数性质可知b＝0，再利用待定系数法即可得函数解析式，设过点E（0，2）的一次函数解析式为：y＝kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，根据题意建立方程求解即可．【详解】解：(1)①y＝x+1的图像经过第一、三象限，y轴不是其对称轴，所以y＝x+1不是偶函数；②y＝﹣2020x2+5的图像抛物线是轴对称图形，且对称轴是y轴，是偶函数；③y＝||是关于y轴对称的，是偶函数；④y＝2021x2﹣2020x+2018的图像抛物线是轴对称图形，对称轴是直线x＝，不是偶函数；故答案为：②③；(2)∵二次函数y＝（k+1）x2+（k2﹣1）x+1（k为常数）是偶函数，∴，解得：k＝1，∴该二次函数解析式为：y＝2x2+1，∵平移抛物线时，开口方向和形状都不变，即a的值不变，∴平移得到新的二次函数为y＝2x2+bx+c，由题意知，新函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，设A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），令x＝0，得y＝c，∴C（0，c），∵AB＝2，∴x2﹣x1＝2，由根与系数关系可知：x1+x2＝﹣，x1x2＝，∵（x1+x2）2﹣4x1x2＝（x2﹣x1）2，∴（﹣）2﹣4×＝22，即b2﹣8c＝16，∵以AB为直径的圆恰好经过点C，∴该圆的圆心为F（，0），即F（﹣，0），∴CF＝1，即（﹣）2+c2＝1，整理，得：b2+16c2＝16，联立方程组：，解得：，，，；∴平移后新函数的解析式为：y＝2x2﹣4x或y＝2x2+4x或y＝2x2﹣2x或y＝2x2+2x﹣；(3)∵偶函数y＝ax2+bx+c（a≠0）经过（1，2），（2，5），∴b＝0，即y＝ax2+c，∴，解得：，∴y＝x2+1，设过点E（0，2）的一次函数解析式为：y＝kx+2，将y＝x2+1代入，得：x2+1＝kx+2，即x2﹣kx﹣1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，∴y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2•x1x2+2k（x1+x2）+4＝k2+4，∵用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，∴S1＝AC•（﹣x1）＝y1•（﹣x1）＝﹣x1y1，S2＝CD•OE＝（x2﹣x1）×2＝x2﹣x1，S3＝BD•x2＝x2y2，∴S22＝（x2﹣x1）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝k2﹣4×（﹣1）＝k2+4，S1S3＝﹣x1y1•x2y2＝﹣（x1x2）（y1y2）＝﹣×（﹣1）×（k2+4）＝（k2+4），∵S22＝mS1S3，∴k2+4＝m•（k2+4），∴m＝4．【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数和二次函数交点，根与系数关系，三角形面积，圆的性质等，是一道综合性强，涉及知识点多的中考压轴题型；解题关键是灵活运用根与系数关系和乘法公式．17．抛物线L：与轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴正半轴交于点C，顶点为D，且OC=2OB．（1）求抛物线L的解析式；（2）如图，过定点的直线（）与抛物线L交于点E、F．若DEF的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向下平移m（）个单位长度得到抛物线，抛物线与y轴正半轴交于点M，过点M作y轴的垂线交抛物线于另一点N，G为抛物线的对称轴与x轴的交点，P为线段OM上一点．若PMN与POG相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）当时，P(0，)或(0，)；当时，P(0，)或(0，1)【分析】（1）根据抛物线先求出A、B两点坐标，再根据C点坐标构造方程求解可得；（2）根据直线（）知直线所过定点G坐标为，从而得出DG＝2，由S△DEF＝S△DGF﹣S△DGE＝DG•（x2﹣2）﹣DG•（x1﹣2）＝DG•（x2﹣x1）得出x2﹣x1＝1，联立直线和抛物线解析式求得x的值，根据x2﹣x1＝1列出关于k的方程，解之可得；（3）设抛物线L1的解析式为，m＞0．知M（0，6﹣m）、N（1，6﹣m），由PMN和GOP相似，分两种情况∠MPN+∠OPG=90°和∠MPN=∠OPG，当PMN∽POG，当∠OPG＝∠MPN=∠MNP=∠OGP时由对应边成比例得出关于n与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．【详解】解：（1）∵，∴x1=-2，x2=3，∴OA=2，OB=3，∵，x=0，y=-6，∴OC=-6，∴OC=2OB，∴-6=6，∴，∴抛物线L的解析式为；（2）∵过定点G的直线（），∴，∴，∴定点坐标为G，∴，D，E（x1,），F(x2,)，∴DG＝2．∵S△DEF＝S△DGF﹣S△DGE＝DG•（x2﹣2）﹣DG•（x1﹣2）＝DG•（x2﹣x1）＝×2×（x2﹣x1）＝1，∴x2﹣x1＝1．联立方程组，得：x2+（k-1）x-k+＝0，解得，，∴x2﹣x1＝＝1，解得，∵，∴；（3）设抛物线L1的解析式为，m＞0．∴M（0，6﹣m）、N（1，6﹣m），∵PMN和GOP相似，①PMN∽GOP，∠MPN+∠OPG=90°时，∴，即，∴，设P（0，n），PM=6-m-n，OP=n，∴，∴，∵方程只有一个实数根，∴△=（6-m）2-4×=0，∴，∵，∴，∴，∴，当PMN∽POG，∠MPN=∠OPG时，∴．∴n=．当时，点P的坐标为(0，)或(0，)，②当∠OPG＝∠MPN=∠MNP=∠OGP，∴n=OP=OG=，PM=MN=1，∴PMN∽GOP，∴OM=MN+OG=，∴6-m=，m=，当n=OP=MN=1，PM=OG=时，PMN∽GOP，∵OM=OP+PM=1+=，∴6-m=，m=．当时，点P的坐标为(0，)或(0，1)．综上所述，当时，点P的坐标为(0，)或(0，)；当时，点P的坐标为(0，)或(0，1)，此时PMN和GOP相似，【点睛】本题主要考查二次函数综合题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、利用割补法求三角形的面积建立关于k的方程及相似三角形的判定与性质等知识点，解题时，注意“分类讨论”和“数形结合”数学思想的应用，难度较大．18．在平面直角坐标系中，若直线与函数G的图像有且只有一个交点P．则称该直线l是函数G关于点P的“联络直线”，点P称为“联络点”．(1)直线是函数的“联络直线”吗？请说明理由；(2)已知函数，求该函数关于“联络点”的“联络直线”的解析式；(3)若关于x的函数图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是y轴上一点，分别过点P作函数关于点M，N的“联络直线”PM、PN．若直线恰好经过M、N两点，请用含a的式子表示线段PC的长．【答案】(1)直线不是函数的“联络直线”；理由见详解(2)(3)【分析】（1）据题意，联合直线和函数，构成方程组，根据两函数图像只有一个交点，判别式应=0，可作出本题答案；（2）设“联络直线”的解析式为，根据它与只有一个交点，联立方程组，运用判别式等于0，可得到，再把“联络点”及代入，即可分别求出k，b的值，即可得本题答案；（3）由点M，N在函数，直线恰好经过M、N两点，可联立两函数方程得，根据根与系数的关系可得，；设P，，，进而表示出PM，PN两直线的解析式，再和联立，，再次运用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，进而建立等式关系化简可求出P点的坐标，即可求出线段PC的长．（1）解：由题意得，整理得，∵＜0，∴直线与函数没有交点，∴直线不是函数的“联络直线”；（2）解：设“联络直线”的解析式为，，整理可得，∵直线与函数G的图像有且只有一个交点P∴，∴；把“联络点”代入得，解得，进而可得，∴“联络直线”的解析式为；（3）解：由，令x=0，可得，∴点C为；∵点M，N在函数，直线恰好经过M、N两点∴，∴∴，；设P，，则，,∴，即，∴即，∴，，∴，，整理可得，∴．【点睛】本题主要考查了一次函数，反比例函数，二次函数的综合性知识．19．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点，点Q为线段BC上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求的最小值；（3）过点Q作交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记与的面积分别为，，设，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．【答案】（1）；（2）5；（3）时，S有最大值【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）作点O关于直线BC的对称点D，连接AD，交BC于点Q，此时|QO|+|QA|有最小值为AD，利用勾股定理即可求解；（3）先求得直线BC的表达式为y=x−3，直线AC的表达式为y=−3x−3．可设P(m，m2−2m−3)得到直线PQ的表达式可设为y=−3x+m2+m−3，由得到二次函数，再利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）由已知：y=a(x−3)(x+1)，将(0，−3)代入上式得：−3=a(0−3)(0+1)，∴a=1，∴抛物线的解析式为y=−2x−3；（2）作点O关于直线BC的对称点D，连接DC、DB，∵B(3，0)，C(0，−3)，∠BOC=90°，∴OB=OC=3，∵O、D关于直线BC对称，∴四边形OBDC为正方形，∴D(3，−3)，连接AD，交BC于点Q，由对称性|QD|=|QO|，此时|QO|+|QA|有最小值为AD，AD=，∴|QO|+|QA|有最小值为5；（3）由已知点A(−1，0)，B(3，0)，C(0，−3)，设直线BC的表达式为y=kx−3，把B(3，0)代入得：0=3k−3，解得：，∴直线BC的表达式为y=x−3，同理：直线AC的表达式为y=−3x−3．∵PQ∥AC，∴直线PQ的表达式可设为y=−3x+b，由（1）可设P(m，m2−2m−3)代入直线PQ的表达式可得b=m2+m−3，∴直线PQ的表达式可设为y=−3x+m2+m−3，由，解得，即，由题意：，∵P，Q都在四象限，∴P，Q的纵坐标均为负数，∴，即，根据已知条件P的位置可知．∴时，S最大，即时，S有最大值．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数，二次函数的解析式，二次函数的最值等知识，数形结合，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．20．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．【答案】（1）2a﹣b+2=0（a≠0）；（2）①y=﹣x2+2；②详见解析.【分析】（1）由抛物线经过点A可求出c=2，再把（﹣，0）代入抛物线的解析式，即可得2a﹣b+2=0（a≠0）；（2）①根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y轴、开口向下，进而可得出b=0，由抛物线的对称性可得出△ABC为等腰三角形，结合其有一个60°的内角可得出△ABC为等边三角形，设线段BC与y轴交于点D，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标，再利用待定系数法可求出a值，即可求得抛物线的解析式；②由①的结论可得出点M的坐标为（x1，﹣+2）、点N的坐标为（x2，﹣+2），由O、M、N三点共线可得出x2=﹣，进而可得出点N及点N′的坐标，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N′在直线PM上，进而即可证出PA平分∠MPN．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），∴c=2．又∵点（﹣，0）也在该抛物线上，∴a（﹣）2+b（﹣）+c=0，∴2a﹣b+2=0（a≠0）．（2）①∵当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大；同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，∴b=0．∵OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C，∴△ABC为等腰三角形，又∵△ABC有一个内角为60°，∴△ABC为等边三角形．设线段BC与y轴交于点D，则BD=CD，且∠OCD=30°，又∵OB=OC=OA=2，∴CD=OC•cos30°=，OD=OC•sin30°=1．不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（，﹣1）．∵点C在抛物线上，且c=2，b=0，∴3a+2=﹣1，∴a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2．②证明：由①可知，点M的坐标为（x1，﹣+2），点N的坐标为（x2，﹣+2）．直线OM的解析式为y=k1x（k1≠0）．∵O、M、N三点共线，∴x1≠0，x2≠0，且，∴，∴x1﹣x2=，∴x1x2=﹣2，即x2=﹣，∴点N的坐标为（﹣，﹣）．设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，﹣）．∵点P是点O关于点A的对称点，∴OP=2OA=4，∴点P的坐标为（0，4）．设直线PM的解析式为y=k2x+4，∵点M的坐标为（x，﹣+2），∴﹣+2=k2x1+4，∴k2=﹣，∴直线PM的解析式为y=﹣+4．∵﹣•+4=，∴点N′在直线PM上，∴PA平分∠MPN．【点睛】本题是二次函数的综合题.解决第（2）问的第①题，根据二次函数的性质证得抛物线的对称轴为y轴，开口向下是解决本题的关键；解决第（2）问的第②题，求得点N的坐标是解决本题的关键.期末押题培优01卷（考试范围：21.1-27.3）一、单选题(共30分)1．(本题3分)中国剪纸传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值。在下列四幅剪纸中，为中心对称图形的是（

）A． B． C． D．2．(本题3分)将抛物线沿直角坐标平面先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（）A． B．C． D．3．(本题3分)用配方法解方程，下列配方正确的是（

）A． B． C． D．4．(本题3分)已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P与⊙O的位置关系为（

）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定5．(本题3分)下列事件中，属于随机事件的是（

）A．等腰三角形有两条边相等B．三角形的三条边为3，4，5，则该三角形为直角三角形C．任选一个实数x，使得有意义D．在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球．6．(本题3分)在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手（每两人只握一次）．大家共握了21次手．设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意，可列方程为（

）A． B． C． D．7．(本题3分)下列抛物线中，其顶点在反比例函数y＝的图象上的是（）A．y＝（x﹣4）2+3 B．y＝（x﹣4）2﹣3 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x+2）2﹣18．(本题3分)下列说法不正确的是（）A．所有矩形都是相似的B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2C．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cmD．四条长度依次为lcm，2cm，2cm，4cm的线段是成比例线段9．(本题3分)如图5，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）10．(本题3分)如图，P是等边三角形ABC内一点，将绕点A顺时针旋转得到，若，

，，则四边形的面积为（）A． B． C． D．二、填空题(共18分)11．(本题3分)抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为______．12．(本题3分)已知袋中有若干个球，其中只有3个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的概率是，则袋中球的总个数是_______．13．(本题3分)小亮希望测量出电线杆的高度，他在电线杆旁的点D处立一标杆，标杆的影子与电线杆的影子部分重叠（即点E、C、A在一直线上），量得米，米，米．则电线杆的高为___________米．14．(本题3分)圆锥的底面半径为，母线为，则圆锥的侧面积为___________（结果保留）．15．(本题3分)某品牌汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是，汽车刹车后到停下来前进了_______米．16．(本题3分)如图，已知：是的直径，弦，分别过，作的垂线，垂足为，．得到如下结论：①；②；③若四边形是正方形，则；④若为的中点，则为中点；⑤若半径，则扇形的面积为；所有正确结论的序号是__________．三、解答题(共82分)17．(本题6分)解方程(1)(2)18．(本题6分)如图，在中，，，，点D在边上．(1)判断与是否相似？请说明理由．(2)当时，求的长．19．(本题8分)如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．(1)画出将绕原点O顺时针方向旋转得到的；(2)求（1）中线段扫过的图形面积．20．(本题8分)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球．把它们分别标记为1，2，3，4．(1)随机摸取一个小球的标号是偶数，该事件的概率为______；(2)小雨和小佳玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜．小雨先从口袋中摸出一个小球，不放回，小佳再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，分别求出小雨和小佳获胜的概率．21．(本题10分)如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．(1)求抛物线的解析式；(2)结合图形，求y＞0时自变量x的取值范围．22．(本题10分)如图，的直径为，弦为的平分线交于点．（1）求的长；（2）试探究之间的等量关系，并证明你的结论；（3）连接为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长23．(本题10分)某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．月份用电量/度交电费总数/元2月80253月451024．(本题12分)如图，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD，垂足为E，P为上的动点（不与端点重合），连接PD．(1)求证：∠APD＝∠BPD；(2)利用尺规在PD上找到点I，使得I到AB、AP的距离相等，连接AD（保留作图痕迹，不写作法）．求证：∠AIP+∠DAI＝180°；(3)在（2）的条件下，连接IC、IE，若∠APB＝60°，试问：在P点的移动过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．25．(本题12分)已知关于x的一元二次方程﹣+ax+a+3＝0．(1)求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)如图，若抛物线y＝﹣+ax+a+3与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，连结BC，BC与对称轴交于点D．①求抛物线的解析式及点B的坐标；②若点P是抛物线上的一点，且点P位于直线BC的上方，连接PC，PD，过点P作PN⊥x轴，交BC于点M，求△PCD的面积的最大值及此时点P的坐标．期末押题培优01卷（考试范围：21.1-27.3）一、单选题(共30分)1．(本题3分)中国剪纸传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值。在下列四幅剪纸中，为中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．2．(本题3分)将抛物线沿直角坐标平面先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线解析式为：，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象的平移法则是解题的关键．3．(本题3分)用配方法解方程，下列配方正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把常数项移项，两边加上一次项系数一半的平方解题．【详解】解：，，．故选A．【点睛】本题考查配方法解一元二方程，熟记解题方法是解题的关键．4．(本题3分)已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P与⊙O的位置关系为（

）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定【答案】C【分析】先求出方程的根，再根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断位置关系即可．【详解】方程的根为，∵点P到圆心O的距离d为方程的一个根，∴，∵⊙O的半径是4，，∴点P在⊙O外，故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解一元