2024年中考数学复习（全国版）重难点08 全等三角形8种模型（一线三等角、手拉手模型、倍长中线、截长补短、婆罗摩笈多、半角模型、平行线中点模型与雨伞模型）（原卷版）

重难点突破08全等三角形8种模型（一线三等角、手拉手模型、倍长中线、截长补短、婆罗摩笈多、半角模型、平行线中点模型与雨伞模型）目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01一线三等角模型（含一线三垂直模型）题型02手拉手模型题型03倍长中线模型题型04平行线中点模型与雨伞模型题型05截长补短模型题型06婆罗摩笈多模型题型07半角模型题型01一线三等角模型（含一线三垂直模型）【一线三垂直模型介绍】只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等.根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系.已知（一线三垂直）图示结论（性质）如图AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE∆ABD≌∆BCE，DE=AD+EC如图AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE∆ABD≌∆BCE，DE=AD-EC已知∠AOC=∠ADB=∠CED=90°，AB=DC∆ADB≌∆DEC延长DE交AC于点F，已知∠DBE=∠ABC=∠EFC=90°，AC=DE∆ABC≌∆DBE【一线三等角模型介绍】三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.一线三等角类型：（同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD（异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD1．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得BD=8

2．（2023·全国·九年级专题练习）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA=∠BAC=∠AEC应用：(1)如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点(2)如图3，在△ABC中，D是BC上一点，∠DBA=∠DAB，AB(3)如图4，在▱ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB∠DEF=∠B，3．（2022·北京·校考一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”．(1)点A关于原点O的“垂直图形”为点B．①若点A的坐标为0,3，则点B的坐标为___________；②若点B的坐标为3,1，则点A的坐标为___________；(2)E(-3,3)，F(-2,3)，G(a,0)，线段EF关于点G的“垂直图形”记为E'F'，点①求点E'的坐标（用含a②若⊙O的半径为2，E'F4．（2021·浙江嘉兴·校考一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB．(1)探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝12x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．5．（2022下·安徽淮北·九年级校联考阶段练习）数学模型学习与应用．【学习】如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D；又(1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且∠ABP=∠APC=∠PDC=α．若BP=x(2)【拓展】在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，∠B=∠ADE=∠C，AB=5(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为2,4，点B为平面内任一点．△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B6．（2021上·山东青岛·九年级统考期中）【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．【模型探究】如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CB于点F．（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．【模型应用】（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH⊥AE于F，过H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有个．（4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；②2DE＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE+2BF；正确的结论有个．【模型变式】（5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线与点N，求证：MD＝MN（6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则∠FMN和∠NMB之间有怎样的数量关系？请给出证明．【拓展延伸】（7）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．如图7，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．（8）如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是．7．（2022上·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期中）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：[模型呈现]如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥[深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点8．（2020上·河南安阳·八年级统考期末）（1）如图①．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．则线段DE

（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠（3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE．若∠9．（2023上·湖南长沙·八年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点Ba(1)若a、b满足等式a+32+(2)如图1，在（1）的条件下，动点C以每秒2个单位长度的速度从O点出发，沿x轴的负半轴方向运动，同时动点A以每秒1个单位长度的速度从O点出发，沿y轴的正半轴方向运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，△ABC是AB(3)如图2，C、A分别是x轴负半轴和y轴上正半轴上一点，且△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，若E是线段OC上一点，连接BE交AC于点D，连接AE，当AE=CE，∠OAE=45∘，①求证：BE平分∠ABC；②设BD的长为a，10．（2022上·江苏南京·八年级校考阶段练习）已知，在△ABC中，AB=AC，D，A

(1)如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为___________，CE与AD的数量关系为(2)如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；(3)如图③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F题型02手拉手模型【模型介绍】两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”.文字说明：1）点A为共用顶角顶点，看作头2）线段AB、AC为等腰∆ABC的两腰，看作两条手臂线段AM、AN为等腰∆AMN的两腰，看作两条手臂3）点B与点M看作左手，线段BM看作左手拉左手点C与点N看作右手，线段CN看作右手拉右手解题步骤：①找共用顶点，确定“四只手”；②连接对应端点；③SAS证明全等.已知图示结论（性质）如图，直线AB的同一侧作∆ABC和∆AMN都为等边三角形（A、B、N三点共线），连接BM、CN，两者相交于点E1）∆ABM≌∆ACN2）BM=CN3）∠MEN=∠2=60°（拉手线的夹角等于顶角）4）∆ANF≌∆AMD5）∆AFC≌∆ADB6）连接DF，DF∥BN7）连接AE，AE平分∠BEN8）存在3组四点共圆9）EN=EM+EA，EB=EC+EA,EA=ED+EF如图，∆ABC和∆AMN都为等边三角形（A、B、N三点不共线），连接BM、CN，两者相交于点O1）∆ABM≌∆ACN2）BM=CN3）∠MON=60°（拉手线的夹角等于顶角）4）连接AO，AO平分∠BON5）存在2组四点共圆6）ON=OM+OA，OB=OC+OA如图，四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，连接EB和GD，两者交于点O1）∆AGD≌∆AEB2）GD=EB3）GD⊥EB4）AO平分∠EOD11．（2023·安徽黄山·校考一模）已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，△ADE绕点

(1)如图1，连接BD，CE，则BD与CE的数量关系为_______；直线BD与CE所夹角的度数为_______．(2)当△ADE旋转至如图2所示的位置时，取BC，DE的中点M，N，连接MN，BD．试问：MNBD的值是否随(3)M，N分别为BC，DE的中点，连接MN．若AB=310，AD=6，当△ADE旋转至B，D，12．（2023下·江西抚州·九年级校考阶段练习）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接PC，将线段PC绕点P旋转α得到线段PD，连接

(1)当α=60°时，①如图1，当点P在△ABC的边BC上时，线段PC绕点P顺时针旋转α得到线段PD，则AP与BD的数量关系是_______________②如图2，当点P在△ABC内部时，线段PC绕点P顺时针旋转α得到线段PD，①中AP与BD(2)当α=90°①如图3，线段PC绕点P顺时针旋转α得到线段PD．试判断AP与BD的数量关系，并说明理由；②若点A，C，P在一条直线上，且AC=3PC，线段PC绕点P逆时针旋转α得到线段DP，求13．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．

(1)操作判断

已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α0°<a<360°，连接BD，AE，如图①线段BD与线段AE的数量关系是________；②直线BD与直线AE相交所夹锐角的度数是________；(2)迁移探究

如图2，若∠ABC=∠EDC=90°，(3)拓展应用：如图3，若∠BAC=∠DEC=90°，AB=AC，CE=DE，BC=214．（2023·河南郑州·郑州市第八中学校考二模）由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．

(1)【问题发现】如图1所示，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE，两线交于点P，BD和CE的数量关系是(2)【类比探究】如图2所示，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC、PC于点M、N．①求∠DMC②连接AC交DE于点H，直接写出DHBC(3)【拓展延伸】如图3所示，已知点C为线段AE上一点，AE=6，△ABC和△CDE为AE同侧的两个等边三角形，连接BE交CD于N，连接AD交BC于M，连接MN15．（2022·青海·统考中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：

图1(2)解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段

图216．（2019·山东济宁·统考三模）背景材料：在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们知道这种模型称为手拉手模型．例如：如图1，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE，∠BAC＝∠EAD＝90°，AB＝AC，AE＝AD，如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中易得到△ABD≌△ACE．学习小组继续探究：（1）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，请作出一个手拉手图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并连接BE，CD，证明BE＝CD；（2）小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在△ABC中AB＞AC，DE∥BC，将三角形ADE旋转一定的角度（如图3），连接CE和BD，证明△ABD∽△ACE．学以致用：（3）如图4，四边形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝34，CD＝5，AD＝12．请在图中构造小刚发现的手拉手模型求BD17．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB'，将AC绕点A逆时针旋转β至AC'(0°<α<180°,0°<β<180°)，得到△AB'C'，使∠BAC+∠B'AC'=180°，我们称△AB①△ABC与△②BC=2③若AB=AC，连接BB'和④若AB=AC，AB=4，BC18．（2022·江苏淮安·统考二模）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作：(1)如图1、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，两线交于点P，和△ABD全等的三角形是______，BD和CE的数量关系是________．(2)如图2，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．①求∠DMC的度数；②连接AC交DE于点H，直接写出DHBC(3)如图3，已知点C为线段AE上一点，AE＝8cm，△ABC和△CDE为AE同侧的两个等边三角形，连接BE交CD于N，连接AD交BC于M，连接MN，线段MN的最大值是______．19．（2020·吉林长春·统考一模）[问题提出]（1）如图①,△ABC、△ADE均为等边三角形，点D、E分别在边AB、AC上．将△ADE[学以致用]（2）在1的条件下，当点D、E、C在同一条直线上时，[拓展延伸]（3）在1的条件下，连结CD．若BC=6,AD=4,直接写出△20．（2022·山东烟台·统考中考真题）

(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．连接BD①求BDCE②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．21．（2020·广东深圳·统考中考真题）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由：（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，22．（2022·浙江湖州·统考中考真题）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为(1)如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S①若S1=9，S2②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2(2)如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2.题型03倍长中线模型【模型介绍】当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移.已知图示结论（性质）已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段DF到点E使DF=DE,连接EC∆BDF≌∆CDE23．（2019·山东淄博·统考一模）如图，ΔABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，BE=AC，且BF=9，CF=6，那么

24．（2020上·北京朝阳·八年级统考期末）阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：；②思路二的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．25．（2020上·河北邢台·八年级校考期中）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE【理解与应用】（2）如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x（3）如图3，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF26．（2020·江苏徐州·统考模拟预测）（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交27．（2016·贵州贵阳·中考真题）阅读

（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是________；

（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；

（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．28．（2020上·山西吕梁·八年级统考期中）阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知ΔABC中，AD是BC边上的中线．求证：AB+智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长AD至E，使DE=AD∵AD是BC边上的中线∴BD在ΔBDE和ΔCDA中BD∴ΔBDE≌ΔCDA（依据一）在ΔABE中，AB+∴AB+任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：______________________________________________；依据2：______________________________________________．归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE=AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法任务二：如图3，AB=3，AC=4，则AD的取值范围是

任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在RtΔABE中，∠BAE=90°，AB=AE；RtΔACF中，∠CAF=90°，AC=

题型04平行线中点模型与雨伞模型【平行线中点模型介绍】平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移。已知图示结论（性质）已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的中点，延长PO交CD于点Q∆POE≌∆QOF如图AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足为点D，延长BD交AC于点C∆ABD≌∆ACD，AB=AC，BD=CD29．（2021上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断△BEG的形状，并说明理由．30．（2021上·江苏南京·八年级统考期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝12CD31．（2018下·四川成都·七年级统考期末）如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，且MN//PQ．∠NAB和∠ABQ的平分线交于点（1）求证：BC⊥（2）过点C作直线交MN于点D（不与点A重合），交PQ于点E,①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD+②若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．

32．（2020·全国·九年级专题练习）如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD题型05截长补短模型模型的概述：该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。图解：已知线段AB、CD、EF，简述利用截长补短法证明AB=CD+EF的方法截长法：在线段AB上，截取AG=CD，判断线段GB和线段EF长度是否相等补短法：延长线段CD至点H，使DH=EF，判断线段AB和线段GH长度是否相等33．（2020上·山东济南·八年级统考期末）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．(1)如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是______；【拓展延伸】(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】(3)如图3，两块斜边长都为4cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长为______cm．34．（2022上·湖北孝感·八年级统考期中）如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠

(1)求证：CD=(2)若∠B=75°，求35．（2022上·湖北孝感·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AC平分∠DAB，BD平分∠CBA，

(1)求∠AOB(2)求证：OD=36．（2018上·江苏盐城·八年级校联考期末）例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．37．（2020·辽宁沈阳·统考一模）思维探索：在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的两边分别交射线CB，DC于点E，F，∠EAF＝45°．（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，△CEF的周长是；（2）如图2，当点E，F分别在CB，DC的延长线上，CF＝2时，求△CEF的周长；拓展提升：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点B作BD⊥BC，连接AD，在BC的延长线上取一点E，使∠EDA＝30°，连接AE，当BD＝2，∠EAD＝45°时，请直接写出线段CE的长度．38．（2021·重庆沙坪坝·重庆八中校考一模）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝62，AD＝42，tan∠ABC＝2时，求CQ＋1010BQ题型06婆罗摩笈多模型婆罗摩笈多模型条件：1）公共顶点：顶点C2）等线段：BC=DCCE=CG3）顶角相等：∠DCB=∠GCE=90°已知图示结论（性质）四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线，若点I为中点CH⊥BE，BE=2IC，S∆DCG=S∆BCE四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线，若CH⊥BE点I为中点，BE=2IC，S∆DCG=S∆BCE39．（2021上·重庆开州·八年级校联考期中）如图，在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论是(

)A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④40．（2023上·山西太原·九年级成成中学校考阶段练习）综合与实践以△ABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AM⊥BC于M，延长MA交EG

(1)如图①，若AB=AC，证明：(2)如图②，∠BAC=90°，（(3)如图③，∠BAC≠90°，AB=5，AC=1041．（2017·江西·中考真题）我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=23，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．42．（2019上·湖北十堰·九年级校联考期末）已知，△ABC中，BC＝6，AC＝4，M是BC的中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG，MA的延长线交EG于点N，(1)如图，若∠BAC＝90°，求证：AM＝12EG，AM⊥EG(2)将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至如图，(1)中结论是否仍然成立？请说明理由；(3)将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至B，C，F三点在一条直线上，请画出图形，并直接写出AN的长．43．（2020·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC外分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H．求证：（1）AM=12（2）AH⊥EG；（3）EG2+BC2＝2（AB2+AC2）．题型07半角模型半角模型的概述：当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现12倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2已知图示结论（性质）[90°半角模型]已知正方形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点O、P①EF=BE+DF②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE③C∆CEF=2倍正方形边长④S∆ABE+S∆ADF=S∆AEF⑤AB=AG=AD（过点A作AG⊥EF，垂足为点G）⑥OP2=OB2+OD2⑦若点E为BC中点，则点F为CD三等分点⑧∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA⑨ABEP四点共圆、AOFD四点共圆、OECFP五点共圆⑩∆APE、∆AOF为等腰直角三角形(11)EF=2OP(12)S∆AEF=2S∆APO(13)AB2=BP×OD(14)CE•CF=2BE•DF(15)∆EPC为等腰三角形(16)PX=BX+DP(过点E作EX⊥BD，垂足为点X)[120°半角模型]已知∆ABC为等边三角形，DB=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°MN=NC-BM[135°半角模型]在Rt∆ABC中，点E、点D分别为AB、AC边上动点，四边形AEFD是正方形，且∠BFC=135°CB=CD+BE44．（2022上·广西南宁·九年级统考期中）【探索发现】如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且∠MAN＝45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B(1)试判断DM，(2)如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN45．（2022·江西南昌·模拟预测）【模型建立】(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=45°，探究图中线段EF，BE，小明的探究思路如下：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG，先证明△ADF①EF，BE，DF之间的数量关系为________；②小亮发现这里△ABG可以由△ADF经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程【类比探究】(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠D互补，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=1【模型应用】(3)如图3，在矩形ABCD中，点E在边BC上，AD=6，AB=4，∠CAE46．（2020下·江苏盐城·九年级统考阶段练习）已知如图1，四边形ABCD是正方形，E,F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决

（1）在图l中，连接EF，为了证明结论“EF=BE+DF”，小亮将ΔADF绕点（2）如图2，当∠EAF绕点A旋转到图2位置时，试探究EF与DF、BE（3）如图3，如果四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，∠EAF=45∘47．（2021上·江苏南通·八年级校考阶段练习）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边（