河北省唐山市2022届高三年级上册开学摸底演练数学含答案

唐山市2021-2022学年度高三年级摸底演练

数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上

“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如

需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.设集合4={X[1<X<4},B={X|X<2或X>5},贝l」AUB=

A.{x|l<x<2}B.{x|x<2或x>5}C.{x|l<x<2或x>5}D.{x|x<4或x>5)

2.已知i是虚数单位,若z=(l+i)(2—i),则|z|=

A.VlOB.V2C.10D.2

3.设a=log20.2,b=2°-2,c=0.22,贝U

A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.b>a>c

4.已知单位向量a,b满足(2a+b)，b,则a与b的夹角为

7T71271571

A.—B.—C.D.

6336

5.现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲、乙两人，要求每人至少分得一份，则不同的分法共有

A.10种B.14种C.20种D.28种

6.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(l,m),B(m,4),则cosa

,V5y[5,2752A/5

A.i----B.-----C.i------D.------

5555

7.已知圆O：x2+y2=?(r>0),设直线/：x+2y—8=0与两坐标轴的交点分别为A,B,若圆。上存在点P

满足|AP|=|BP|,则r的最小值为

6V56“仁c

A.----B.—C.2yJ5D.3

55

8.若(2x+l)8=ao+ai(x+l)+a2(x+l)2+—+a8(x+l)8,则a3=

A.56B.448C.-56D.-448

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的是

A.若随机变量X服从两点分布，P(X=1)=,，则E(X)=，

22

B.若随机变量Y的方差D(Y)=3,则D(2Y+1)=6

132

C.若随机变量自服从二项分布B(4,-),则P《=3)=—

381

D.若随机变量n服从正态分布N(l,o2),P(q<2)=0.82,则P(0<n<2)=0.64

龙22

10.已知椭圆E：一+乙=1的左、右焦点分别为Fl,F2,点P在E上，若△FFF2是直角三角形，则△F1PF2

94

的面积可能为

,c4752亚

A.5B.4C.----D.----

33

11.声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的。已知纯音的数学模型是函数y=Asimot。我

们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音。若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+；sin2x,

则

3

A.f(x)的最大值为一B.2兀为f(x)的最小正周期

2

JI

C.X=Q■为曲线y=f(x)的对称轴D.(TT,0)为曲线y=f(x)的对称中心

12.在直四棱柱ABCD-AiBiGDi中，AB//CD,AB±AD,AB=2AD=2DC=2DDi=4。

A.在棱AB上存在点P,使得DF//平面AiBCi

B.在棱BC上存在点P,使得DR/平面AIBCI

C.若P在棱AB上移动，则AiD_LDF

D.在棱A1B1上存在点P,使得DPJ_平面A1BC1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.圆台的轴截面上、下底边长分别为2和4,母线长为2,则圆台的体积是。

14.若函数f(x)=k>g2(4*+a)-x为偶函数，则a=。

15.不过原点的直线/与曲线f(x)=x3相切于A(xi,yi),相交于点B(X2,y2)，则」=。

X1

公式：a3—b3=(a—b)(a2+ab+b2)

16.设抛物线C：y2=4x的焦点为F,直线/：x=my-1与C交于A,B,若AFLBF,则m=，

|AF|+|BF|=«

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知｛aj为等差数列，前n项和为Sn，数列｛、｝是首项为1的等比数列，4b2—b3=4,b4=a4+4ai，2S15

=15b50

(1)求｛an｝和｛bn｝的通项公式；

(2)求数歹U｛anb2n+1｝的前n项和。

18.(12分)

数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币

等价。截至2021年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费、餐饮服务、交通出行、

购物消费、政务服务等领域。为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了

一次问卷调查，部分结果如下：

学历小学及以下初中高中大学专科大学本科硕士研究生及以上

不了解数字

35358055646

人民币

了解数字人

406015011014025

民币

(1)如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为''高学历”，根据所给数据，完

成下面的2X2列联表：

学历

了解情意低学历高学历合计

不了解数字人民币

了解数字人民币

合计

(2)若从低学历的被调查者中，按对数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人，然后从这8人中抽

取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率；

(3)根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？

附：片=——^ad-bcY——。

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸(犬260.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

19.(12分)

在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2c—b=a(73sinC-cosC)»

⑴求A；

S

(2)若a=2,I,S分别表示AABC的周长和面积，求一的最大值。

20.(12分)

如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD,底面ABCD,底面ABCD是菱形，侧面PAD是等边三角

(1)求四棱锥P-ABCD的体积；

(2)求二面角A-PB-C的余弦值。

21.(12分)

厂V

已知双曲线E：=b>0)的离心率为2,点P(2,3)在E上。

a2b-

(1)求E的方程；

(2)过点Q(0,1)的直线/交E于不同的两点A,B(均异于点P),求直线PA,PB的斜率之和。

22.(12分)

己知函数f(x)=aex—ln(x+l)—Inao

(1)当a=l时，讨论f(x)的单调性；

(2)证明：f(x)有唯一极值点t,且

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数学参考答案

选择题：

1-4DACC5-8BBAD

选择题：

9.AD10.BC11.BD12.ABC

三.填空题：

13.△?14.115.-216.土加，8（第一空3分，第二空2分）

四.解答题：

17.解：

（1）设等差数列｛斯｝的公差为4，等比数列｛d｝的公比为（7.

由已知4b2一历=4,得从（4q—q2）=%而6=],所以如―4q+4=0,

解得4=2,所以为=2广1.…2分

由/?4=4u+4ai得5”|+3d=8.①，

由2s|5=15打得ai+7d=8.②，

联立①②解得ai=d=l,所以斯=〃.

故｛。“｝的通项公式为小=〃，｛与｝的通项公式为与=2厂1…5分

（2）设数列｛&历“+夕的前n项和为T,„

由an—n<岳"+|=4"得a”i>2"+i="X4".

7；=1X4+2X42+3X434-----”义4”,

47；,=1X42+2X43+3X44+—+nX4fl+l,

上述两式相减,得一3刀产1X4+1X42+1X434---MX4n-nX4n+1,

口一一4X（l-4"）（1-3〃）4"+1-4

所以一37；=—.'-nX4"+，1=-------------,

I—43

（3〃-1）4"+】+4八

即HnT“=g.“TO分

18.解：

（2）从低学历被调查者中按对数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人,

抽取的8人中，不了解数字人民币的有150X肃=3人，了解数字人民币的有

8

250X府=5人,,•,6分

从这8人中抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率P=\

C9

ci14--8分

（3）根据列联表得

800X（125X250-150X275）2800一

k=275X525X400X400=而心工463<t841••,10分

故没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.,•,12分

19.解：

(1)由正弦定理得2sinC—sinB=y[3sinA•sinC—sinA,cosC,

由sinB=sin(A+C)可得2sinC=yf3s\nA,sinC+cosA•sinC,

即sin(A+点)=1,因为OVAVe所以A=?…4分

(2)由余弦定理可得可+3—bc=4,所以(〃+c)2—4=3〃c........(*)

]S

/=ci+b+c=2+b+c,5=y/?csinA=Z?c,••,6分

S_y[3bc

所以•7=4(2+0+C)・

将⑺式代入，可得好用隹;二＞害S+c—2).,•,8分

因为从'W也誓，所以由(*)式可得3+c)2-4W当江

即方+cW4.(等号当且仅当b=c=2时成立)

故号的最大值为坐.

••,12分

20.解:

(1)过B作BO_LAD于O,连接OP.

；侧面物DJL底面ABCD,且交线为AD,BOA-AD,BOu平面48C。，

.,.BO_L平面PAD,

；.NOPB即为PB与面附。所成的角，于是NOPB=45。，

AOB=OP.…3分

又•.•底面ABC。是菱形，侧面南。是等边三角形，

.•.△以0gZ\8A0,

J.POVAD,故。为4D中点，

又；侧面以O_L底面ABC。，且交线为AO,PO1.AD,尸Ou平面物。，

二20_1_平面48。。，由题意得尸0=80=坐AD=小.

...四棱锥尸-A8CZ)的体积V=1S/?=|X2XV3XV3=2.…6分

(2)以。为坐标原点，OA,OB,9分

别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间

直角坐标系。-孙z,贝I」4(1,0,0),P(0,0,小),8(0,小,0),

0(-1,0,0).

酢=(一1,0,小)，茂=(0,小，一小)，CB=1)A=(2,

0,0)…7分

设平面APB的法向量机=(x”)，”zi),

,AP,m=0,f—xi+VSzi=O,仃

由J得A6八取m=(小，1,1).

〔前5=0,1曲"一母尸0，

,•,9分

设平面PBC的法向量”=(及，”，Z2),

,PB•n=0,/曰卜历丝一小Z2=0，„„八八

由j得；_v取〃=(0,1,1).…10分

[CB.»=0,%一°n，

..、.2回八

..cosM"〉—M"一小X也一5，…11分

又；二面角A-PB-C为钝二面角,

...二面角4-PB-C的余弦值为一早.“T2分

21.解：

(1)由己知可得e=§=2,

/.e2=^2=1+,^2=4,解得序=3层①

4Q

又•・•点P(2,3)在七上，J/一/=1②

由①②可得〃2=1,庐=3.

双曲线E的方程为f一号=1.…5分

(2)过点。(0,1)的直线/斜率显然存在，

设/的方程为：y=kx+l,A(M，》)，8(及，义)，

将/的方程代入双曲线E的方程并整理得(3一标]一2履一4=0,

依题意3一斤¥0,且A>0,所以Q<4且MW3,

2〃~'4

因此，可得xi+及=3二©x\x?=3二话.…7分

y一3y2—3

:*kpA+kpB=

汨-2X2-2

辰i+1—3履2+1~~3

x\—2X2—2

=2%+(2-