五年中考一年模拟圆压轴题-2023年宁波中考数学真题模拟题分类汇编

专题19圆压轴题

1.(2022•宁波)如图1,。。为锐角三角形Z8c的外接圆，点。在京上，AD交BC于点E,点F在AE

上，满足NAFB-NBFD=NACB,FG"AC交BC于■点、G,BE=FG,连结8。，DG.设=

(1)用含a的代数式表示NBFD.

(2)求证：NBDE=\FDG.

(3)如图2,为O0的直径.

①当麻的长为2时，求族1的长.

②当OF:OE=4:11时，求cosc的值.

【答案】(1)ABFD=W---.(2)见解析；(3)①3；②』

2一8

【详解】（1）•;NAFB-NBFD=NACB=a,①

又•；NAFB+NBFD=18Q0,②

②-①，得2N8产。=180°-a,

ZBFD=90°--；

2

zy

（2）由（1）得NBFD=90。-巴,

2

•・・AADB=NACB=a,

・•.NFBD=180°-ZADB-ZBFD=90°--,

2

DB=DF,

•/FG!IAC,

NCAD=ZDFG,

•・・ZCAD=ZDBE,

4DFG=ZDBE,

在ABDE和AFQG中，

DB=DF

<NDFG=/DBE,

BE=FG

^BDE=^FDG(SAS)；

(3)®-：\BDE=\FDG,

/.NFDG=NBDE=a,

・•.ZBDG=/BDF+NEDG=la,

・・•DE=DG,

・•.ZDGE=1(180°-Z.FDG)=90°-y,

3a

/DBG=180°-ZBDG-4DGE=90°-—

2

・・•4。是。。的直径，

・•.ZABD=90°,

/ABC=/ABD-ZDBG=—，

2

/.元与凝所对的圆心角度数之比为3:2,

/./1与荔的长度之比为3:2,

-：AB=2f

AC=3；

②如图，连接8。，

•;OB=OD,

・•.NOBD=/ODB=a,

/BOF=NOBD+NODB=2a，

•・•ZBDG=2a,

・•・ZBOF=/BDG,

•・•NBGD=ZBFO=90°--,

2

:.\BDG^\BOF,

设ABOG与ABOF的相似比为左，

DGBD,

-----=-----=k,

OFBO

OF4

---=—，

OE11

.•.设。/=4x,则OE=llx,DE=DG=4kx,

OB=OD=OE+DE=llx+4kx,BD=DF=OF+OD=15x+4fcv,

.8P_15x+4fcc15+4,

,'OB~llx+4Ax-11+4*'

由！=）,得4公+7%-15=0,

11+4左

解得左=』或-3（舍去），

4

OD=1lx+4kx=16x,BD=15x+4点=20x,

/.AD—2OD=32x,

Dr\onr5

在RtAABD中，cosZ^M=—

AD32x8

5

coscr=—.

8

方法二：连接。3,作力。于M,

A

BEGC

由题意知，MQR和ME尸都是等腰三角形，

:.EM=MF,

设OE=11,0F=4,

设OE=阳，则。8=加+11,OM=3.5,BD=m+\5,DM=m+7.5,

OB2-OM2=BD2-DM2,

即（m+1-3.52=（加+15）2-（m+7.5）2,

解得用=5或阳=-12（舍去），

MD5

COSCL=-----=—•

BD8

2.（2021•宁波）如图1,四边形/8C。内接于00,BD为直径,介上存在点E,满足筋=无，连结8E

并延长交。＞的延长线于点F,BE与AD交于点、G.

（1）若NDBC=a,请用含a的代数式表示N/G8.

（2）如图2,连结CE,CE=BG.求证：EF=DG.

（3）如图3,在（2）的条件下，连结CG,AD=2.

①若tanN4DB=®,求△尸G。的周长.

2

②求CG的最小值.

【答案】(1)ZAGB=90°-a；(2)见解析；(3)①三立；②百

2

【详解】(1)・・・8。为。。的直径,

/BAD=90°,

•：AE=CD,

Z.ABG=Z.DBC—a,

4G8=90。一a；

(2)・・・8。为0。的直径，

Z5CZ)=90°,

NBEC=4BDC=90。-a,

/./BEC=ZAGB,

•••NCEF=180°-NBEC,Z.BGD=180°-Z.AGB,

ZCEF=NBGD,

又♦;CE=BG,ZECF=AGED,

\CFE=\BDG{ASA),

EF=DG；

(3)①如图，连接OE，

•・•BD为OO的直径,

N4=/BED=90°,

在RtAABD中，tanZADB=—,AD=2,

2

AB=—xAD=y/39

2

•：AE=CD,

AE+DE=CD+DE,

即花=丽，

AD=CE,

•・•CE=BG,

BG=AD=2,

・・•在RtAABG中，sinZ^G^=—=—,

BG2

:.ZAGB=60Q,AG=-BG=\,

2

，EF=DG=AD—AG=T,

・・•在RtADEG中，AEGD=60°,

AEG=-DG=-,DE=—DG=—

2222f

在RtAFED中，DF=4EFTTDET=—,

2

:.FG+DG+DF=^s^/-?,

2

△尸GO的周长为把互；

②如图，过点C作C7/J.BF于，,

\BDG=\CFE，

...BD=CF,ZCFH=NBDA,

•・•/BAD=NCHF=90°,

bBADwkCHF(AAS),

・•.FH=AD,

・・•AD=BG,

・•.FH=BG,

•・•ZBCF=90°,

NBCH+ZHCF=90°,

•・•Z.BCH+NHBC=90°,

Z.HCF=ZHBC,

・••NBHC=NCHF=90。,

\BHCsbCHF,

.BHCH

设G〃=x,

・•.BH=2-x,

:.CH2=2(2-x),

在RtAGHC中，CG2=GH2+CH2,

/.CG2=X2+2(2-X)=(X-1)2+3,

当x=l时，CG?的最小值为3,

・•.CG的最小值为VJ.

3.（2020•宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该

三角形第三个内角的遥望角.

(1)如图1,NE是A48C中N/的遥望角，若乙4=a,请用含a的代数式表示NE.

(2)如图2,四边形内接于0。，AD=BD,四边形NBC。的外角平分线。尸交O。于点F,连接

"并延长交C。的延长线于点E.求证：4EC是A48c中4/C的遥望角.

(3)如图3,在(2)的条件下，连接/E,AF,若4c是。。的直径.

①求N/ED的度数；

②若/8=8,CD=5,求ADE尸的面积.

图1图2图3

【答案】(1)Z£=-a；(2)见解析；(3)①NZEO=45。；②一

29

【详解】(1),••8E平分NZ8C,CE平分NNC。，

NE=NECD-NEBD=；(N4CD-N4BC)=；N4=,

(2)如图1,延长BC到点7,

图1

•.•四边形F8CC内接于。。，

ZFDC+ZFBC=\SO0,

又•••ZFDE+Z.FDC=180°,

ZFDE=ZFBC,

DF平分AADE,

NADF=NFDE,

NADF=NABF,

・•.ZABF=NFBC,

BE是乙48C的平分线，

•：AD=BD,

NACD=NBFD,

・・•NBFD+4BCD=180°,ZDCT+4BCD=180°,

・•.NOCT=4BFD,

・•.ZACD=NOCT,

:.CE是AABC的外角平分线，

NBEC是\ABC中ABAC的遥望角.

(3)①如图2,连接C/7,

B^—^C

图2

•・•ZBEC是\ABC中NBAC的遥望角,

/.ABAC=2ZBEC,

•・・NBFC=ZBAC,

・•・4BFC=24BEC,

•・•NBFC=NBEC+NFCE,

NBEC=NFCE,

•・・NFCE=NFAD,

・•・4BEC=NFAD,

又•；/FDE=NFDA,FD=FD,

/.AFDE^AFDA(AAS)，

DE=DA♦

・•.NAED=Z.DAE,

•・FC是。。的直径,

，NADC=90°,

4AED+NDAE=90°,

・•.ZAED=/DAE=45°,

②如图3,过点4作4G_L8E于点G,过点尸作尸W_LCE于点〃，

图3

・・・4c是oo的直径，

・•.ZJ«C=90°,

・・•BE平分NABC,

・•・/FAC=NEBC=-Z.ABC=45°，

2

•・•ZAED=45°,

...NAED=/.FAC,

・・•/FED=NFAD，

NAED-/FED=Z.FAC-NFAD,

/AEG=Z.CAD,

•・•Z.EGA=/ADC=90°,

...\EGAS\ADC,

AE_AG

~AC~~CD

・・•在RtAABG中，48=8,ZJ5G=45°,

吟AB=班,

AG

在RtAADE中，AE=6AD,

42AD472

:.-----=----,

AC5

AD4

----=一，

AC5

在RtAADC中，AD2+DC2=AC2,

.•.设4£)=4x,AC=5x,则有(4x)2+5?=(5x)2,

5

/.x=—

3

33可

35

：.CE=CD^DE=—

3

・・・ZBEC=/FCE,

:.FC=FEf

FMICE,

:.EM=-CE=—

26f

:.DM=DE-EM=),

6

・・•Z.FDM=45°,

:,FM=DM=',

6

125

：,SgFF=—DEFM=—.

isLftyr29

4.(2019•宁波)如图1,。。经过等边A48C的顶点Z,C(圆心。在A4BC内)，分别与N8,CB的延

长线交于点。，E,连接OE,BFLEC交AE于点F.

(1)求证：BD=BE.

(2)当4F:EF=3:2,ZC=6时，求ZE的长.

(3)设=x,tan/.DAE=y.

EF

①求y关于x的函数表达式：

②如图2,连接0/，OB,若A4EC的面积是△。b8面积的10倍，求y的值.

AA

।[/\/

C

cE\~/B----7

图1图2

【答案】（1）见解析；（2）/E=2旧；（3）①尸，②丫=£~或£

【详解】证明：（1）•.•ZU8C是等边三角形，

ZBAC=ZC=60°,

vZDEB=ZBAC=60°,ZD=ZC=60°,

/DEB=NO,

BD=BE；

（2）如图1,过点Z作ZG1BC于点G,

A48C是等边三角形，AC=6,

/.BG=-BC=-AC=3,

22

・•・在RtAABG中，AG=6BG=36

•/BF1EC,

BFIIAG,

AFBG

…~EF~~EB'

vAF:EF=3:2»

BE=-BG=2,

3

EG=BE+BG=3+2=5,

在RtAAEG中，AE=y/AG2+EG2=J（3百＞+5?=2M；

(3)①如图1,过点E作EH14D于点H,

A

图1

・・•/EBD=/ABC=60°,

・•.在RtABEH中，—=sin60°=—

BE2

77i

?.EH=—BE,BH=-BE,

22

BGAF

'：-----=-----=x，

EBEF

BG=xBE,

/.AB=BC=2BG-2xBE，

AH=AB+BH=2xBE+；BE=（2x+,

73

DE.

EH2

在RtAAHE中,tanZ.EAD

~AH（2x+；）8£4x+l

“4x+l

②如图2,过点。作OM_L8C于点M,

图2

设BE=a,

/.CG=BG=xBE=ax,

/.EC=CG+BG+BE=a+2ax,

,EM=—EC=—a+ax

229

...BM=EM-BE=ax--a,

2

•・・BF//AG,

...\EBFs怔GA,

BFBE_a_1

二.---=-----------....>

AGEGa+ax1+x

AG—下>BG=6ax,

1y/3ax

..BF=-----AG=--------,

x+1x+1

的面积=BFBM®(以_〃)，

\OFB=1X_L

22x+12

\AEC的面积=K=g”拒ax(a+2at),

•・・A4EC的面积是AOq的面积的10倍，

—x也ax(a+2ax)=10x—x""(ax--a),

22x+12

/.2x?—7x+6=0,

3

解得：Xj=2,X2=—,

T邛或卑

5.(2018•宁波)如图1,直线/:y=--x+b与x轴交于点2(4,0),与y轴交于点8,点C是线段0/上一

4

动点(0<4C<葭).以点工为圆心，4c长为半径作。/交x轴于另一点。，交线段N8于点E,连接OE并

延长交于点F.

图1图2备用图

(1)求直线/的函数表达式和tan/BN。的值；

(2)如图2,连接CE,当CE=E/时，

①求证：\OCE^\OEA；

②求点£的坐标；

(3)当点C在线段04上运动时，求尸的最大值.

【答案】(1)直线/的函数表达式y=-5x+3,tanN及1。=1；(2)①见解析；②夙||，||)；(3)黑

【详解】•・•直线］:/=一久x+b与％轴交于点4(4,0),

4

3

—x4+6=0，

4

:.b=3,

・•・直线/的函数表达式y=-%+3,

・•.8(0,3),

「0=4,08=3,

在RtAAOB中，tanZ^(9=—=-；

OA4

(2)①如图2,连接。/，*/CE=EF,

/CDE=NFDE,

ZCDF=2ZCDE,

•••NOAE=2ZCDE,

NOAE=NODF,

•・•四边形CEF0是。力的圆内接四边形，

/.ZOEC=ZODF，

NOEC=NOAE,

••・NCOE=NEOA,

・•.ACOES\EOA,

②过点E作屈W_L。/于M,

3

由①知，tanZOAB=-,

4

设则Z〃=4m,

OM=4-4加,AE=5tn，

，E(4-4〃Z,3〃7),AC=5nj,

OC=4一5〃？，

由①知，\COE^\EOA,

.OCOE

''OE~~OA'

OE1=OAOC=4(4一5m)=16—20〃z,

•/E(4—4〃?,3加),

/.(4-4/7?)2+9m2=25nr-32m+16,

/.25m2-32m+16=16-20加，

12

m=0(舍)或加=石，

…52r36

4-4〃？=—,3m=—,

2525

赵，吗，

2525

(3)如图，设OZ的半径为尸，过点。作于G,

・・,4(4,0),8(0,3),

OA=4»OB=3,

/.AB=5，

-ABxOG=-OAxOB,

22

，包OG旦…

tanAOAB535

・•.EG=AG-AE=--r

5

连接尸H,

•・・£//是04直径，

EH=2rfNEFH=90°=NEGO,

•・•NOEG=ZHEF,

kOEGs^HEF,

.OEEG

…~HE~~EF'

:.OE-EF=HE-EG=2r(^--r)=-2(r-^)2,

.”=§时，OE-E尸最大值为世.

525

图2

6.(2022•镇海区一模)如图,。0是&48c的外接圆，点。在8c上，连结。8,DC,DA,过点C作8。

的平行线交于点£.

(1)如图1,求证：AABCsACDE；

(2)如图2,若NB4D=NC4D=30°,AB=6,BD=4,求DE；

(3)如图3,/为&48c的内心，若/在线段NE上，/8=10,tanNB/O=L,当/E最大时，求出。。的

5

半径.

图3

【详解】(1)证明：:•点。在圆。上,

ZJBC=NADC,NADB=N4CB,

又•：CEMBD,

AADB=ZDEC,

\ABCsXCDE；

(2)解：由(1)可得AABCsACDE,

DEDC

•//BCD=/BAD=ACAD=ZCBD=30°,

BC=^BD=A6

:.DE旦

3

(3)解：由(2)得：DE,AB=BC•DC,

;.10DE=BCDC,

如图，BF1CF,

A

图3

tan/.BCD=tan/BAD=—，

5

设=CF=5x,CD=BD=t,

•・・BD2=BF2+DF1,

13

解得，/=—x,

5

故=

13

3名，

26

连接C/,

I为\ABC的内心，

:ZCI=NBCI,/BAD=NCAD=/BCD,

ZDIC=/CAD+ZACI=/BCD+ZBCI=ZDCI,

DC=DI=t,

-IE=ID-DE=t-叵A

26

.•.当叵时，/E最大，

2

此时3C=空6/=5,

13

连接。。交8c于点由勾股定理可得出。

2

■.■OM2+MC2=0C-,

.•99+号）。,

解得尸=上

2

即圆。的半径为M

7.（2022•宁波模拟）如图①，在RtAABC中，ZC=90°,。是4c上一点（不与点”,C重合），以力为

圆心，4。长为半径作04交Z8于点E,连结8。并延长交。力于点尸，连结EO,EF,AF.

（1）求证：NEAF=2NBDE；

（2）如图②，若4EBD=22EFD,求证：DF=2CD-

（3）如图③，BC=6,AC=8.

①若NEZ尸=90。，求。/的半径长；

②求8E-DE的最大值.

【答案】（1）见解析；（2）见解析：（3）①厂=5；②5M

【详解】（1）证明：在优弧EF上任意取一点G,连接GE,GF,

①

•••四边形EDCG是圆内接四边形,

・•.Z£，DF+ZG=180°,

•・・NEDB+NEDF=18。。,

ZG=ZBDE,

・・•NEAF=2ZG,

NEAF=2/BDE；

(2)作47_L。尸于H,

•・•NEBD=2Z.EFD,2ZEFD=NB4D,

.・.NEBD=Z.BAD,

.・.BD=AD,

在ABDC和MDH中，

NC=NAHD

<Z.BDC=Z.ADH,

BD=AD

：,\BDC=\ADH(AAS),

・•.CD=DH,

・・•AHVDF.

・•.DF=2DH,

DF=2CD；

(3)解：①在RtAABC中，由勾股定理得，48=10,

•;/BDC=NADF=NAFD,NC=NEAF=90。,

：.ACDBSMFB,

.BCCD

"~AB~^F'

尸

­——6=-8--—---,

10r

解得尸=5；

②作EG_LZ。于G,

EGIIBC,

\AEG^\ABC,

431

:.AG=-r,EG=-r,DG=-r,

555

在RtAEDG中，由勾股定理得，

nrV10

5

:.BE•DE=(IQ-r).*r=-当r?+2瓦,

当，=」=2现=5时,BE•DE最大值为5M.

2。cW

8.(2022•北仑区一模)有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形.

(1)如图1,在等邻边互补四边形力8C。中，AD=CD,且4O//8C,BC=2AD,贝ljN8=.

(2)如图2,在等邻边互补四边形48C。中，ABAD=90°,且8C=CO,求证：AB+AD=yf2AC.

(3)如图3,四边形内接于0。，连结。O并延长分别交4C,BC于点、E,F,交。。于点G,

若点E是4c的中点，AB=BG,tanN/8C=—，AC=6,求FG的长.

7

【答案】(1)60°；(2)见解析：(3)-

2

【详解】(1)解：如图1中，作AH“CD交BC于H,

A—D

vAD//BC,AH//CD,

.•・四边形4”。是平行四边形，

/.AH=CD,AD=HC,Z.D=AAHC,

vAD=CD,BC=2AD=BH+CHf

BH=AH=AD,

vZB+ZD=180°,NZ〃C+NZ"B=180。，

/B=Z.AHB,

AB=AH,

：.A434是等边三角形,

NB=60°,

故答案为：60°；

(2)证明：如图2中，延长到E,使=4Q,连接CE,

・・•/.BAD=90°，Z.BAD+ZBCD=180°,

...NBCD=90°,

vZD+ZJ^C=180°,ZCBE+ZABC=\S00,

・•.Z£>=Z.CBE，

在\ADC和AEBC中，

AD=BE

,Z.D=ZCBE

CD=BC

:.\ADC^\EBC(SAS),

・•,AC=EC,/BCE=NACD,

・•.NACE=NBCE+NACB=NACD+Z.ACB=Z.BCD=90°,

/.AE2=(AB+BE)2=AC2+EC2,

即(45+<£>)2=24C?,

♦：AB、AD.ZC均为正数，

・•.4B+4D=y/2AC；

(3)解：如图3中，连接OZ,OC,AG,CG,作在A/_LCG于〃，FN上AG于N,

图3

•・•点E是力。的中点，AC=6,

AE=EC=3,

/.OD1ACfAD=DC,

:ZOE=NCOE,GA=GC,

...NAGF=Z.CGF,

•・•ZAOC=2ZABC,

Z.AOE=/ABC,

24AF

：,tanZ.AOE=tanZ.ABC=—=,

7OE

:.OE=-

8f

：.OA=ylAE2+OE2=—,

8

250

GD=20A=—,DE=OD-OE=-,GE=OG+OE=4,

44

AD=yjAE1+DE2=—,

4

•••QG是0。的直径，

:.ZGAD=90°,

：.GA=GC=y/DG2-AD2=5,

BG=AB,

ZACB=ZBCG,

ZAGF=ZCGF,

r.点尸是A4GC的内心,

FM=FN=FE,设FM=FN=FE=d,

•：SMCG=-(AC+GA+GCYd=^AC-EG,

:.d=-,

2

35

:.FG=EG-EF=4--=~.

22

9.（2022•宁波模拟）如图，己知48是。。的直径，弦CDL4B于点E,点尸是线段CO延长线上的一点,

连结E4交。。于点G,连结CG交于点P,连结C4.

(1)求证：NACG=NF.

(2)如图②，若C4=CG,求证：AG=CD.

(3)如图③，连结OG,AE=8.BE=2.

①若tan/F=3,求N尸的长；

4

②求/GQG的最大值.

【答案】（1）见解析：（2）见解析：（3）①6：②50-10石

【详解】（1）证明：连接8G,如图,

•・•45是OO的直径，

.・.ZAGB=90°.

48G+N34G=90。.

•/弦CD上4B于点E,

・•.ZF+Z5JG=90°.

・・・NABG=ZF.

・・・ZACG=ZABG,

・•.ZACG=NF.

•••48是OO的直径，弦C0J,Z8,

AC=AD.

・・•CA=CG,

AC=CG.

AD=CG.

AD-DG=CG-DG.

即无=〃.

AG=CD.

(3)解：①过点尸作于点，，连接5C,OC,如图,

•/AE—8,BE—2,

/.OA=OC=5，OE=3.

:.CE=^OC2-OE1=4.

弦CD1AB于点E,

DE=CE=4.

AC=yJCE2+AE2=475,tanZCJ£=—=-.

AE2

由（1）得：NACP=NF.

3

tanZ.ACP=tan/F=—.

4

piT

•・•tanNACP=——,

CH

PH3

CH4

设PH=3k,则CH=4左.

PH1

-PHLAC,tanZC^£=—=一，

AH2

AH=2PH=6k.

•・・/ACB=NAHP=90°,

:.PH//BC.

APAH_3

33

二.ZP=—N8=—xl0=6.

55

②连接Z。，如图,

・・・四边形ZCOG是圆的内接四边形，

:.ZACE+ZAEG=\SO°.

/4L八./AE825/5

/.sinZ-AGD=smZACE==-=-----.

AC4A/55

•1•S..=-xAGDGsmZAGD=—AGDG，

ZA/I£ZOnr25

,当S44DG取最大值时，NG.OG最大•

•••点G为AD上任意一点，

当点G为益的中点时，A/1DG的面积最大.

若G为石的中点，连接0G,交4D于点H,如图,

2

vAD=AC=445,

AH=HD=2V5.

OH=No#-AH?=>/5.

:.HG=OG-OH=5-45.

5Azi0G=gxAD.HG=gx4亚x(5-5.

*ZG3G=；x4右x(5-6.

.•.NGSG的最大值为：50-10>/5.

10.(2022•宁波一模)如图1,在等腰A48c中，AB=AC=2/，乙B4C=120。，点。是线段8c上一点,

以。C为直径作。。，。。经过点力.

(1)求证：是。。的切线;

(2)如图2,过点4作/E_L8C垂足为E,点尸是0。上任意一点，连结EF.

①如图2,当点尸是虎的中点时，求生的值；

BF

②如图3,当点尸是。。上的任意一点时，竺的值是否发生变化？请说明理由.

BF

(3)在(2)的基础上，若射线8尸与。。的另一交点G,连结EG,当NGE尸=90。时，直接写出|E/-EG|

的值.

【答案】(1)见解析；(2)①里，;②见解析；(3)V2

BF2

・•.Z5=ZC=30°,

•・•以。。为直径作。。，O。经过点4,

ZO^C=ZC=30°,

ZBAO=90°,

OA1AB,且点/在0。上,

48是0。切线；

(2)解：①如图，连结OF,OA.

A

F

vOA1AB,AE1BCf/3=NC=30。，

/.OF,=AO=ABAanZ.ABO=273xtan30°=2,

BE=AB-cosAABO=26xcos30°=3,

08=240=4,

EO=4—3=1,

•・•点尸是无的中点，

・•.OFLDC,

£F=722+12=V5,BF=y142s=2后,

£F_V5_1

.•寸与r于

②史的值不发生变化，仍为处=工,理由如下:

BFBF2

连结。厂,

A

~OF~2,~OB~4~2

OEOF

''OF~~OB'

•・•/EOF=/FOB,

/.AEOFs^FOB，

EFOF\

"'BF~'OB~V

(3)解：①如图，当点G在点尸的左侧时，连结OG,OF,EG,FC,设OG与EF交于H.

•・・NEOG=/GOB,

\EOGs\GOB，

-=—=/EGO=NGBO,

BGOB2

设EG=l8G=x,贝ij8G=2x,

2

\EOF^\FOB,

第二器j"F°=NFB。，

设==则8/=2y,

NEFO=NEGO=Z.OBG,NEHG=ZFHO,

:.NGEF=NGOF=90°,

vOG=OF,

GF=应OF=2A/2,

GF=BF-BG=2y-2x=272,d[Jy-x=后，

②当点G在点尸的右侧时,

同理可得…=_曰

:.\y-x\=y/2.

:.\EF-EG\的值V2.

11.（2022•北仑区二模）【证明体验】

（1）如图1,。。是等腰A4BC的外接圆，AB=AC,在北上取一点P,连结"，BP,CP.求证:

NAPB=APAC+APCA；

【思考探究】

（2）如图2,在（1）条件下，若点尸为公的中点，AB=6,PB=5,求P/的值；

【拓展延伸】

（3）如图3,。。的半径为5,弦8c=6,弦C尸=5,延长NP交8c的延长线于点E,且=

求4尸.PE的值.

A

（图1）（图2）（图3）

【答案】（1）见解析；（2）4；（3）20+15万

【详解】（1）证明：=,

AB=AC.

ZAPB=/ABC.

ZABC=ZABP+ZCBP,ZABP=ZACP,ACBP=APAC»

・•.ZABC=APAC+ZPCA.

NAPB=NPAC+NPCA.

（2）解：延长8尸至点。，使PD=PC,连接40,如图，

cr

BC

•・•点P为力。的中点，

PA=PC.

:.PA=PC,ZABP=/CBP.

・•.PA=PD.

・•.ZD=ZPAD.

.../APB=/PAD+NO=2ZPAD.

•：AB=AC，

AB=AC.

NAPB=Z.ABC.

•・•/ABC=AABP+ZCBP=2ZABP,

・•.ZPAD=Z.ABP.

•・•4D=4D,

：.NDAPsNDBA,

,PDPAAD

.•布一花一访・

•/ZD=APAD,/PAD=/ABP,

ND=NABP.

AD=AB=6.

设尸4=x,WOPD=x,BD=5+x,

x_6

——=----.

65+x

x2+5x-36=0.

解得：x=4或-9（负数不合题意，舍去）.

...尸力=4；

（3）连接OP,OC,过点C作C//L8尸于点〃，如图,

P

BE

•・•。0的半径为5,CP=5,

-_OP=OC=PC=5,

AOPC为等边三角形.

Z.POC=60°.

NPBC=L/POC=30。.

2

在RtABCH中，

BH=6Ccos30°=6x3=36,

2

CH=1BC=3.

2

在RtAPCH中，

PH=­JPC2-CH2=4.

:.PB=PH+BH+.

■：四边形ABCP是圆的内接四边形，

NPCE=ZBAP.

■：ZE=N4BP,

AEPCSABPA.

.PEPC

AP-PE=PCBP=5（4+3我=20+15瓦

12.（2022•郸州区模拟）如图，Z8为。。的直径，弦CD交4B于点E,SiDE=OE.

（1）求证：ZBAC=3ZACD；

（2）点尸在弧8。上，S.ZCDF=-ZAEC,连接C尸交力8于点G,求证：CF=CD■,

2

（3）①在（2）的条件下，若0G=4,设OE=x,FG=y,求y关于x的函数关系式:

②求出使得y有意义的x的最小整数值，并求出此时。O的半径.

【详解】（1）证明：如图1中，连接。。，0C,设ZD=x.

ND=Z.EOD—x,

•・・OD=OC,

・•.ZD=ZOCD=x,

・•.NCEO=ND+ZEOD=2x,Z.COB=ZOEC+NOCD=3x,

•・•OA=OC,

・•.Z.A=Z,ACO,

•・•ZJ+Z.ACO=/COB=3x，

3

:.ZA=ZACO=-x,

2

・•.ZACD=-x,

2

・•.ZBAC=3/ACD；

（2）证明：连接CO,延长CO交。尸于T.

图2

由（1）可知，ZJ£C=180°-2x,

•・•ZAEC=2ZCDF，

ZCZ）F=90°-x,

:.ZCDF+ZDCO=90°t

・•・CT1DF9

DT=TF,

CD=CF.

(3)解：①连接C。，延长CO交。厂于7,过点。作。M_LC。于M,ON工CF干N.

图3

由（2）可知，CD=CF,CT工DF,

・•・/DCO=NFCO,

vONLCF9OMLCD,

OM=ON,

•・•NGEC=ZGCE,

.\G£=GC=x+4,

：.CD=CF=CG+FG=x^y+4,

ED=OE=x,

EC=CD—DE=y+4,

0L.CE.OM/

...SM>CE=2=OE

OG

SAC。。-CG-ON

2

.y+4_x

..------—―,

x+44

124

y=-x+x-4.

,4

②设OA=OB=R,

当歹>0时，—x2+x-4>0,

解得x>2y[5-2或x<—2V5—2,

的最小整数值为3,

?.CG=7,FG=-,

4

•:AGGB=CGxFG,

.\(/?+4)(/?-4)=7x-,

4

...夫=豆五(负根已经舍去)，

2

.•.此时。。的半径为血.

2

13.(2022•海曙区一模)【基础认知】

(1)如图1,点/为NMPN内部一点，AB//PN交PM于1B,已知4B=PB,求证:PA平分ZMPN；

【综合运用】

(2)在(1)的情况下,作AH1PN于点H.

①如图2,若/P=12,PH=9,求尸8的长;

②如图3,延长Z4至点C,使=，过P,A,C三点作圆交PN于点。，交PB的延长线于点£.若

BP=a,求圆的直径；（用含。的代数式表示）

③在（2）的情况下，设BE=y,当a=6时，求y关于大的函数关系式.

【答案】（1）见解析；（2）①8；②2°；③y=6-2x

【详解】（1）证明：•.•/8=尸8,

ZBPA=ABAP.

■：AB//PN,

NBAP=NAPN.

：.ZBPA=NAPN.

即PA平分NMPN；

（2）解：①过点5作BE，尸〃于点E,如图，

M

0RZA

PEHN

•/AH1PN,ABIIPN,

四边形48E”为矩形.

:.AH=BE,AB=EH.

•・•AB=PB,

AB=PB=EH.

设4B=PB=EH=x,贝IJPE=PH—E，=9-x.

•/AH2=AP2-PH2=122-92=63,

BE2=63.

在RtAPBE中，

•/PE2+BE2=PB1,

/.（9-x）2+63=x2.

解得：x=8.

08=8；

@-：CH=AH,AH1PN,

.•.PN垂直平分力C.

.•.P。是圆的直径.

设圆心为点。，如图，连接04,

M

・「OP=0A，

NDPA=NPAO.

ZBPA=ZDPA=/BAP=ZPA0.

在ABP4和△。灯中，

/BPA=/OPA

<PA=PA,

NBAP=N0AP

ABPA^AOPA(ASA).

PB=PO.

•/PB=BA,0P=0A,

OP=0A=BA=BP.

OP=PB=a.

二.圆的宜径=20P=2a.

③连接ZE,AD,过点Z作ZFLHAf于点尸，如图,

・•.AF=AH.

,/PA-PA,

...RtAPAFNRtAPAH(HL).

PF=PH.

・「a=6,

:.PB=6,PD=12.

•/DH=x,BE=y,

:,PH=PD-DH=\2-x.

:.PF=\2-x.

EF=PF-PB-BE=6-x-y.

・・•尸。是圆的直径，

・•./PAD=90°.

•/AHLPD.

\PAH^\ADH.

.PHAH

.\2-xAH

AHx

：.AH2=x(I2-x).

AF'=x(12-x).

同理：AD2=DHPD=\2x.

PA平分ZMPN,

ZAPE=NAPD.

AE=AD.

AE=AD.

・•.AE2=AD2=l2x.

•/AF2+EF2=AE2,

/.x(12-x)4-(6-x-y)2=I2x.

/.(6-x—y)~-X2=0.

，(6—x—y+x)(6-x-y-x)=0.

即(6-y)(6-2x-y)=0.

•・,y<6,

..6-yw0.

6—2x—y=0.

y=6-2x.

关于x的函数关系式为y=6-2x.

14.(2022•宁波模拟)如图1,AJ8C内接于0。，A48c的外角/氏4。的平分线交。。于点尸(点/在

弧PC之间)，连结尸3,PC.

(1)求证：PB=PC.

3

⑵若BC=8,cosZBAC=-求尸8的长.

5f

(3)如图2,在(2)的条件下，作尸“JL48于点，.

①若NP84=45。，求AJ8C的周长.

②求ZC+尸”的最大值.

【详解】（1）证明：•・•四边形4cBp是0。的内接四边形,

NPBC=NPAD,

•・•AP是NBAD的平分线，

ZPAD=NPAB，

Z.PBC=NPAB,

•・•ZPAB=ZPCB,

/.ZPBC=4PCB,

PB=PC；

(2)解：如图1,

过点C作CELPB于£,