2024届河北省承德市腰站中学数学九年级上册期末监测试题含解析

2024届河北省承德市腰站中学数学九上期末监测试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.关于抛物线.y=]χ2-6χ+21的说法中，正确的是（）

A.开口向下B.与y轴的交点在X轴的下方

C.与X轴没有交点D.）'随X的增大而减小

2.如图，。的半径等于4,如果弦AB所对的圆心角等于120，那么圆心。到弦AB的距离等于（）

A.1B.6C.2D.2√3

3.己知，则等于（）

■1*⅛-y

4.如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊

A在草地上的最大活动区域面积是（）

TT

y小羊H/,

A.9πm2—πmC.15πm2

5.已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是

A.当AC=BD时，四边形ABCD是矩形

B.当AB=AD,CB=CD时,四边形ABCD是菱形

C.当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形

D.⅛AC=BD,AD=AB时，四边形ABCD是正方形

6.小明制作了十张卡片，上面分别标有1〜10这十个数字.从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是

7.将抛物线y=3f-l向右平移2个单位，则所得抛物线的表达式为（）

2

A.y=3X2—3B.J=3X+1

C.y=3(x+2)2-1D.y=3(x-2)2-1

8.如图，二次函数y=aχi+bx+c的图象与X轴交于点A（-1,0）,与y轴的交点B在（0,1）与（0,3）之间（不包

括这两点），对称轴为直线x=l.下列结论：abcVO；②9a+3b+c>0;③若点M（ɪyι),点N(∣∙,yι)是函数图

32

象上的两点，则yiVyi；其中正确结论有（

D.4个

9.已知两圆的半径分别是2和4,圆心距是3,那么这两圆的位置是（）

A.内含B.内切C.相交D.外切

10.如图，点A、B、C均在。。上，若NAOC=80。，则NABC的大小是（）

二、填空题（每小题3分,共24分）

11.已知抛物线的对称轴是y轴，且经过点（1,3）、（2,6）,则该抛物线的解析式为.

12.设，〃是一元二次方程好-X-2019=（）的一个根，则机2-wι+l的值为一.

_4

13.如图，P是的边。4上一点，且点P的横坐标为3,Sincif=—,则tana=

L£G

OlX

,3

14.如图，菱形48。的三个顶点在二次函数y=ac2—2αχ+](α<0)的图象上，点4、8分别是该抛物线的顶点和

抛物线与ʃ轴的交点，则点D的坐标为.

15.关于X的一元二次方程3/一4%+攵=O有两个不相等的实数根，则左的取值范围是.

16.用配方法解方程χ2-2x-6=0,原方程可化为.

17.如图是一个圆锥的展开图，如果扇形的圆心角等于90。，扇形的半径为6cm,则圆锥底面圆的半径是<

18.在一块边长为30Cm的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为IOCm的圆形阴影区域，则飞镖落在阴影区域内的概

率为.

三、解答题(共66分)

19.(10分)已知四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD边上的点，DE与CF相交于点G.

DE_AD

(1)如图①，若四边形ABCD是矩形，且DELCF,求证:

~CF~~CD

(2)如图②，若四边形ABCD是平行四边形，要使定=而成立，完成下列探究过程：

DFADDFCFDFDF

要使U="，转化成"=匕，显然ADEA与KFD不相似，考虑士=",需要3EASADFG,只需NA

CFCDADCDADGD

CFDFDEAD

=N_______;另一方面，只要k=k，需要ACFDSACDG,只需NCGD=N________.由此探究出使k=k

CDGDCFCD

成立时，NB与NEGC应该满足的关系是.

DE

（3）如图③，若AB=BC=6,AD=CD=8,NBAD=90。，DE±CF,那么一的值是多少?（直接写出结果）

CF

图①图②图③

20.（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线.丫=如2+"+<?的图象与*轴交于4（4,0）,B两点，与y轴交于点

C（0,2）,对称轴％=］与X轴交于点H.

（1）求抛物线的函数表达式

（2）直线.丫=履+1（k*0）与丫轴交于点£,与抛物线交于点HQ（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP,

CQ,若一CPQ的面积为姮，求点P,Q的坐标.

2

（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G,在对称轴上是否存在一点K,连接GK,将线段GK绕点G逆时针旋

转90°,使点K恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K的坐标不存在，请说明理由.

备用图

21.（6分）如图，在菱形ABCD中，作JBEJ于E,BF_LCD于F,求证：AE=CF.

22.（8分）已知。，〃关于X的方程/一（攵+2）》+2左=0的两个实数根.

(1)若Z=3时，求α%+αZ>2的值

(2)若等腰ZVLBC的一边长c=l,另两边长为。、b,求ZVWC的周长.

23.(8分)计算：√9+2'-2cos60°+(π-3)°

24.(8分)如图，一次函数y=-x+b的图象与反比例函数y=—(x>0)的图象交于点A(m,3)和B(3,n).过A

X

作ACJ_x轴于C,交OB于E,且EB=2EO

(1)求一次函数和反比例函数解析式

(2)点P是线段AB上异于A,B的一点，过P作PD_Lx轴于D,若四边形APDC面积为S,求S的取值范围.

25.（10分）在AABC中，AB=6cm,AC=8cm,BC=IOcm,P为边BC上一动点，PE_LAB于E,PFJ_AC于F,

连接EF,则EF的最小值为多少cm?

26.(10分)如图1,在RJABC中，NB=90。，BC=8,AB=6,点D,E分别是边BC,AC的中点，连接DE.将

EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

(图1)(图2)(备用图)

(1)问题发现：

①当a=0°时，AE：BD=；②当a=180°时，AE：DB=.

（2）拓展探究：

试判断：当0。,，α<360。时，AE：DB的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.

（3）问题解决：

当.EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.

参考答案

一、选择题（每小题3分,共30分）

1,C

【分析】根据题意利用二次函数的性质，对选项逐一判断后即可得到答案.

【详解】解：A.』>（）,开口向上，此选项错误；

2

B.与）'轴的交点为（0,21）,在X轴的上方，此选项错误；

C.与X轴没有交点，此选项正确；

D.开口向上，对称轴为x=6,x<6时》随X的增大而减小，此选项错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握并利用二次函数的性质解答.

2、C

【分析】过O作OD_LAB于D,根据等腰三角形三线合一得NBoD=60。，由30°角所对的直角边等于斜边的一半求

解即可.

【详解】解：过。作ODjLAB,垂足为D,

VOA=OB,

二NBOD=LNAoB=L*120°=60°,

22

ΛZB=30o,

11

ΛOD=-OB=-X4=2.

22

即圆心O到弦AB的距离等于2.

故选：C.

【点睛】

本题考查圆的基本性质及等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，解直角三角形是

解答此题的关键.

3、A

【解析】由题干可得y=2x,代入计算即可求解.

【详解】∙.∙二二,

故选A.

【点睛】

本题考查了比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积.即若，则ad=bc,比较简单.

β-c

b=Σ

4、B

【解析】小羊的最大活动区域是一个半径为6、圆心角为90。和一个半径为2、圆心角为60。的小扇形的面积和.所以

根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围.

【详解】大扇形的圆心角是90度，半径是6,如图，

小扇形的圆心角是180。-120。=60。，半径是2m,

r,HE60∙τx42,八

则面积=--------—it(m2),

3603

229

则小羊A在草地上的最大活动区域面积=9π+-π=二π(m2).

33

故选B.

【点睛】

本题考查了扇形的面积的计算，本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的，然后分别计算即可.

5、C

【解析】试题分析：A、对角线AC与BD互相垂直，AC=BD时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误.

B、当AB=AD,CB=CDfft,无法得到四边形ABCD是菱形，故此选项错误.

C、当两条对角线AC与BD互相垂直，AB=AD=BC时，ΛBO=DO,AO=CO,

.∙.四边形ABCD是平行四边形.

两条对角线AC与BD互相垂直，.∙.平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确.

D、当AC=BD,AD=AB时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误.

故选C.

6、C

【详解】∙.T0张卡片的数中能被4整除的数有：4、8,共2个，

21

.∙.从中任意摸一张，那么恰好能被4整除的概率是历=W

故选C

7、D

【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律直接求得.

【详解】因为抛物线y=3χ2-l向右平移2个单位,得：y=3(x-2)2-l,故所得抛物线的表达式为y=3(x-2>T.故选：D.

【点睛】

本题考查平移的规律，解题的关键是掌握抛物线平移的规律.

8、D

【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案.

【详解】①由开口可知：aVO,

对称轴X=------>0,

2a

Λb>O,

由抛物线与y轴的交点可知：c>0,

.,.abc<O,故①正确；

②；抛物线与X轴交于点A(-1,0),

对称轴为x=l,

.∙.抛物线与X轴的另外一个交点为（5,0）,

x=3时，y>0>

.∙.9a+3b+c>0,故②正确；

-.,_15

③z由于彳VlV”,

22

53

且（5,yι）关于直线X=I的对称点的坐标为（5,yi），

22

∙,.yι<yι.故③正确，

Cb

④T——=1,

2a

•∙b=-4a,

Vx="Ly=0,

:∙a-b+c=0,

.*.c=-5a,

Vl<c<3,

.φ.l<-5a<3,

32

ʌ--,故④正确

故选D.

【点睛】

本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型.

9、C

【分析】先求两圆半径的和与差，再与圆心距进行比较，确定两圆的位置关系.

【详解】解：Y两圆的半径分别是2和4,圆心距是3,

则2+4=6,4-2=2,

Λ2<3<6,

圆心距介于两圆半径的差与和之间，两圆相交.故选C.

【点睛】

本题利用了两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间求解.

10、C

【分析】根据圆周角与圆心角的关键即可解答.

【详解】VZAOC=80o,

Λ?ABCɪ?AOC40?.

2

故选：C.

【点睛】

此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

二、填空题（每小题3分,共24分）

11、j=x'+l

【分析】根据抛物线的对称轴是y轴，得到6=0,设出适当的表达式，把点（1,3）、（1,6）代入设出的表达式中，

求出。、C的值，即可确定出抛物线的表达式.

【详解】V抛物线的对称轴是y轴，J.设此抛物线的表达式是y=αx∣+c,

[a+c—3

把点（1,3）、（1,6）代入得：\,解得：α=l,c=l,

[4α+c=6

则此抛物线的表达式是y=χ∣+l,故答案为：y=χ∣+L

【点睛】

本题考查代定系数法求函数的解析式，根据抛物线的对称轴是y轴，得到6=0,再设抛物线的表达式是y=αx∣+c是解

题的关键.

12、2020.

【分析】把x=m代入方程计算即可求解.

【详解】解：把x=∕n代入方程得：”,-»1-2019=0,即W∣2-WZ=2019,

则原式=2019+1=2020,

故答案为2020.

【点睛】

本题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

4

13、一

3

【分析】由已知条件可得出点P的纵坐标为4,则tanc就等于点P的纵坐标与其横坐标的比值.

【详解】解：由题意可得，

.4

,.SIna=—,

5

.∙.点P的纵坐标为4,

.•"21!£就等于点P的纵坐标与其横坐标的比值，

4

.∙.tan«=—.

3

4

故答案为：-.

3

【点睛】

本题考查的知识点是正弦与正切的定义，熟记定义内容是解此题的关键.

3

14、(2,

2

3

【详解】解：由题意可知：抛物线y=aχ2-2ax+—(a<0)的对称轴是直线x=l,

3

与y轴的交点坐标是(2,∣-),

3

即点B的坐标是(2,-)

2

3

由菱形ABCD的三个顶点在二次函数y=aχ2—2ax+ɪ(aV0)的图象上，

点A,B分别是抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，

3

.∙.点B与点D关于直线X=I对称，得到点D的坐标为(2,

2

3

故答案为(2,-).

2

,4

15、k<-

3

【分析】根据根的判别式即可求出答案；

【详解】解：由题意可知：A=∕-4αc=(-4)2-4χ3xk=16-12k>0

4

解得：k<-

—4

故答案为：^<—

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式并应用.

16、(x-1)2=1

【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形后，即可得到结果.

【详解】解：方程变形得：χ2-2x=6,

配方得：X2-2x+l=l,即(x-1)2=1.

故答案为：(x-l)2=1.

【点睛】

本题考查了配方法求解方程,属于简单题,熟悉配方的方法是解题关键.

3

17、

2

【分析】把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解.

【详解】设此圆锥的底面半径为r,

根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得,

C90<χ6

2πr=----------,

ISO

解得：r=ɜcm,

2

故答案为3.

2

【点睛】

本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长,

扇形的半径等于圆锥的母线长.

π

18、一

9

【分析】分别计算半径为IoCm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算》L即可求出飞镖落

»正方形

在圆内的概率;

【详解】解：(1)Y半径为IOem的圆的面积=π∙l()2=100πcm2,

边长为30Cm的正方形ABCD的面积=3()2=900cm2,

S坐IsIIoc)乃TtTi

.∙.P(飞镖落在圆内)=故答案为：

3正方形VUU"9

【点睛】

本题考查了几何概率，掌握概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键.

三、解答题(共66分)

∩Fθʌ/?

19、(1)证明见解析；(2)DGF,CDF,ZB+ZEGC=180o;(3)—=ɪɪ-.

CF20

【分析】(1)根据矩形性质得出NA=NFDC=90。，求出NCFD=NAED,证出AAEDsZiDFC即可；

DFAD

(2)当NB+NEGC=180。时，一=—成立，分别证明即可；

CFCD

(3)过C作CNi.AD于N,CM_LAB交AB延长线于M,连接BD,设CN=x,∆BAD^∆BCD,推出NBCD=NA

=90o,ffi∆BCM<×>∆DCN,求出CM=±x,在RtACMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2,代入得出方程

5

222

(x-2)+(.-∙×)=2,求出CN=型，证出AAEDSAkNFC,即可得出答案.

59

【详解】(1)证明：•••四边形ABCD是矩形，

ΛZA=ZFDC=90o,

VCF±DE,

ΛZDGF=90o,

ΛZADE+ZCFD=90o,ZADE+ZAED=90o,

.∙.ZCFD=ZAED,

VZA=ZCDF,

Λ∆AED<^∆DFC,

.DEAD

**CF-CD1

DEAD

(2)当NB+NEGC=180。时，——=——.

CFCD

np∆nnpCFDFDF

要使一=-~•,转化成一=J,显然ADEA与ACFD不相似，考虑——=—,需要3EAs^DFG,只需NA

CFCDADCDADGD

CFDF

=NDGF;另一方面，只要一=——，需要ACFDsACDG,只需NCGD=NCDF.

CDGD

当NB+NEGC=180。时：'：四边形ABCD是平行四边形，

ΛZB=ZADC,AD/7BC,

.∙.NB+NA=180°,

VZB+ZEGC=180°,

NA=NEGC=NFGD,

VZFDG=ZEDA,

Λ∆DFG^∆DEA,

•DEDF

''~AD~~DG,

VZB=ZADC,ZB+ZEGC=180o,ZEGC+ZDGC=180o,

ΛZCGD=ZCDF,

VZGCD=ZDCF,

.∙.ΔCGD^ΔCDF,

.DFCF

,,DG-C5,

.DE_CF

,"A5-CD,

.DEAD

"'~CF~~CD,

DFAD

即当NB+NEGC=180。时，一=——成立；

CFCD

(3)过C作CN_LAD于N,CM,AB交AB延长线于M,连接BD,设CN=x,

VZBAD=90o,即AB_LAD,

ΛZA=ZM=ZCNA=90o,

.∙.四边形AMCN是矩形，

ΛAM=CN,AN=CM,

AD=CD

∙.∙在ABAD和ABCD中，＜AB=BC,

BD=BD

Λ∆BAD^∆BCD(SSS),

ΛZBCD=ZA=90o,

.∖ZABC+ZADC=180o,

•：NABC+NCBM=180。，

.∙.ZMBC=ZADC,

：NCND=NM=90°,

ΛΔBCM^ΔDCN,

CMBC

~CN~^D

.CM2√5

•∙=

x5

'CM=平

Ofc

在RtACMB中，CM=-X,BM=AM-AB=χ-2,由勾股定理得：BM2+CM2=BC2,

5

Λ（X-2）2+（拽X）占22,

5

,一、20

x=0（舍去），X=—,

20

CN=—

9

VZA=ZFGD=90o,

ΛZAED+ZAFG=180°,

VZAFG+ZNFC=180°,

ΛZAED=ZCFN,

VZA=ZCNF=90o,

.∙.∆AEDo>∆NFC,

_ΛD_√59√5

ʌCF^GV^20-ɪ∙

V

【点睛】

本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和

判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好.

,、123C,、nf-3-√∏-7-3√Π^^f-3+√Π-7+3√Γ7^,、

20、(1)y=—XH-x+2；(2)P------------,--------------»Q-------------,--------------；(3)

-22(22JIk22)

。(39-√21^jz(39+√ΣT]

【分析】(1)利用对称轴和A点坐标可得出6(—1,0),再设y=α(x+l)(x-4),代入C点坐标，求出a的值，即可

得到抛物线解析式;

(2)求C点和E点坐标可得出CE的长，再联立直线与抛物线解析式，得到3/+(左一?)无一1=0,设点P,Q的横

坐标分别为内，工2,利用根与系数的关系求出Ixl-々|，再根据CPQ的面积=g∙CE∙∣%-々I=平可求出k的值，

将k的值代入方程求出牛々，即可得到P、Q的坐标；

(3)先求直线AC解析式，再联立直线PQ与直线AC,求出交点G的坐标，设，机｝K'(x,y),过G作MN〃y

轴，过K作KN_LMN于N,过K'作K，M_LMN于M,然后证明aMGKgZkNKG,推出MiC=NG,MG=NK1建立

方程求出K'的坐标，再代入抛物线解析式求出m的值，即可得到K的坐标.

3

【详解】解：(1)V抛物线对称轴x=1,点A(4,())

2

.∙.B(-1,O)

设抛物线的解析式为y=α(x+I)(X-4)

将点C(0,2)代入解析式得：«(0+1)(0-4)=2,

解得a=_1,

2

I13

：.抛物线的解析式为y=-1(X+l)(x-4),即.y=—5f+5%+2

ɪ3

(2)当X=O时，y———H—X+2=2

22

.∙.C点坐标为(0,2),OC=2

直线y=Ax+l(k≠O)与y轴交于点E,

当x=0时，y=依+1=1

.∙.点E(0,l),OE=I

CE=I

13

联立y=丘+l(k≠0)和y=――/+2为+2得：

,,13C

kx+1——x2H—x+2

22

整理得：→2+(^-∣Jx-I=O

设点P,Q的横坐标分别为与々

则巧,不是方程gi+1左_g)x_]=0的两个根,

=

/.x1+x2=3-2k,xi`x2-2

∙*∙I%-%I=J(Xl+X))—4-XyX1—J(3-2∖J+8

.LCPQ的面积=，。后也一々I=卑

仆0一228=W

2V2

解得K=3,%=0(舍)

将k=3代入方程I*?+1%-/)X-I=O得:

13

—X2+-X-I1=nO

22

翻俎-3-√17-3+√∏

解得：X.=-----------,X,=-----------

'222

.qɪ,-7-3√17.ɪ.-7+3√Π

∙∙>∣=3x∣+l=-----------.γ2=3x2+1=------------

■p[-3-历-7-3√Γ7^j-3+√i7-7+3√i?

「12，―2—产[2，-2—

(3)存在，

设AC直线解析式为y=k'x+b,

代入A(4,0),C(0,2)得

'4k,+b=Qk'=——

,解得2,

b=2

b=2

.,.AC直线解析式为y=—；X+2

联立直线PQ与直线AC得

[2

f1X——

y=—X+27

<2,解得

.y=3x+ly=：

/S

设κ(T'"I，K'(x,y)，

如图，过G作MN〃y轴，过K作KN_LMN于N,过K，作K1MJLMN于M,

VZKGK'=90o,

.∙.NMGK'+NNGK=90°

又YNNKG+NNGK=90°

.∙.ZMGK1=ZNKG

在AMGK和aNKG中，

TNM=NN=90。，NMGK,=NNKG,GK=GK

Λ∆MGK'^∆NKG(AAS)

ΛMK'=NG,MG=NK

21315

X——=-----mX-------m

777

解得

133243

y-----=--------y二—

-727■14

1543

即K'坐标为(----m,—)

714

代入丁=彳上》+得：

_12+2£=__Lx("Tj+-×f--m>∣+2

22142(7j2(7J

解得：,“=9主历

9

.∙.κ的坐标为

【点睛】

本题考查二次函数的综合问题，是中考常考的压轴题型，难度较大，需要熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函

数与一元二次方程的关系，第（3）题构造全等三角形是解题的关键.

21、见解析

【分析】由菱形的性质可得84=8C,NA=NC,然后根据角角边判定ABE=CM,进而得到AE=b.

【详解】证明：•；菱形ABa）,

；.BA=BC,ZA=ZC,

VBE±AD,BFlCD,

∙∙∙ZBEA=NBFC=90,

在ZSABE与Vc8尸中，

ZBEA=ZBFC

<NA=NC,

BA=BC

ΛABE≡CBFQAAS）,

：.AE=CF.

【点睛】

本题考查菱形的性质和全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质得到全等条件是解题的关键.

22、（1）30；（2）1

【分析】（1）若k=3时，方程为χZlx+6=0,方法一：先求出一元二次方程的两根a,b,再将a,b代入因式分解后的式子

计算即可；方法二：利用根与系数的关系得到a+b=l,ab=6,再将/。+出；2因式分解，然后利用整体代入的方法计算;

（2）分1为底边和1为腰两种情况讨论即可确定等腰三角形的周长.

【详解】解：（1）将％=3代入原方程，

得：X2-5x+6=0.

方法一:

解上述方程得：X1=2,X2=3

因式分解，得：a2b+ab2=ab(a+b).

代入方程的解，

得：a2b+ab^=ab(a+⅛)=2×3×(2+3)=30.

方法二：应用一元二次方程根与系数的关系

因式分解，

得：a2b+ah2=ah(a+b),

由根与系数的关系，得出?=6,a+b^5,

贝!]有：a2b+ab2=ab(a+Z?)=6×5=30.

(2)①当C与α力其中一个相等时，不妨设q=c=ι,

将α=l代回原方程，得Z=I.

解得：b=2,

此时α+c=),不满足三角形三边关系，不成立；

②当α=〃时，A=[―(左+2)『-8左=0,

解得：k=2,

解得：a=b=2,

CΔA8C=2+2+1=5.

综上所述：^ABC的周长为L

【点睛】

本题考查了根的判别式，根与系数的关系，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，解题的关键是熟知两根之和、两

根之积与系数的关系.

7

23、一

2

【分析】本题涉及零指数第、负整数指数幕、特殊三角函数值、二次根式化简等考点.在计算时，需要针对每个考点

分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.

【详解】解：原式=3+工-2X1+1

22

_7

~2

【点睛】

本题是一道关于零指数累、负整数指数幕、特殊三角函数值、二次根式化简等知识点的计算题目，熟记各知识点是解

题的关键.

3

24、(1)v=-x+4,y=-,(2)0<S<4

X

OF1

【分析】(1)由EB=2EO得:潟=§，由3点横坐标为3得A点的横坐标为1,将点A0?)代入解析式即可求得

答案；

(2)设P的坐标为(α,-α+4):,由于点P在线段AB上，从而可知PO=-α+4,OD=a,由题意可知：l<α<3,

从而可求出S的范围.

OE1

【详解】(1)由EB=2E0得:ɪ-=-,

OB3

∙.∙B点横坐标为3,

.∙.A点的横坐标为1,即Zn=L

k

∙.∙点A0?)在直线y=-χ+6及y=：上，

k

.∙.3=-1+人及3=「

解得：b=@?k=,

3

.∙.一次函数的解析式为：y=-χ+4,反比例函数的解析式为：=-

γX5

(2)设尸点坐标为(α,-α+4)?<a《l,

S=^AC+PD).CD=^(3-fl+4)(iZ-l)

Iz八29

=——(a-4)+-,

2v72

2

.∙.当α<4时，S随a的增大而增大，

•••当α=l时，S=O;。=3时S=4：,

Vl<α<3,

Λ0<S<4.

【点睛】

本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式，学会设参数解决问

题.

25、4.8cm

【分析】连接AP,先利用勾股定理的逆定理证明aABC为直角三角形，ZA=90o,可知四边形AEP尸为矩形，则AP

=EF,当A尸的值最小时，EF的值最小，利用垂线段最短得到AP1∙8C时，4尸的值最小，然后利用面积法计算此时

A尸的长即可.

【详解】解：连接AP,

9

JAB=6cιnfAC=8cm9BC=IQcm9

222

：.AB+AC=BCf

.∙.AAbC是直角三角形，

ΛZA=90o,

又TPELA3,PFA.AC,

.∙.四边形AEPk是矩形，

：.AP=EF,

当AP_LBC时，E尸的值最小，

VSAC--Aβ×AC=-BC×AP,

ABIIC22

”XAPXlO