广东省珠海市容闳书院2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含答案解析）

广东省珠海市容闵书院2023-2024学年九年级上学期期中数

学试题

学校:.姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（）

2.下列方程是一元二次方程的是（）

A.x2—2x=0B.x+l=2C.x2+y=OD.X3+2X2=1

3.如果2是方程x2-3x+k=0的一个根,则常数上的值为（)

A.2B.1C.-1D.-2

4.“。是实数，/之0，，这一事件是（）

A.必然事件B.不确定事件C.不可能事件D.随机事件

5.下列关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是)

2222

A.X+4=0B.X-2X+1=0C.X-X-3=OD.X+2X=0

6.抛物线y=V-9与x轴交于A、B两点，则A、3两点的距离是（）

A.3B.6C.9D.18

k

7.反比例函数y=—（原0）的图象经过点A（-2,3）,则此图象一定经过下列哪个点

x

)

A.(3,2)B.(-3,-2)C.(-3,2)D.(-2,-3)

8.如图所示，点E是正方形ABCD内一点，把^BEC绕点C旋转至△DFC位置，则NEFC

的度数是（）

A.90°B.30°C.45°D.60°

9.若3（-3,%）为二次函数丁=/+4.丫的图像上的两点，则（）

A.B.%=%C.D.不能确定

10.二次函数,=以2+次+0的图像如图所示，有如下结论：@abc>0；@b2-46/C>0：

③9a+3b+c>0；©3a+c>0-,⑤若方程中?+foc+c=0两根为毛，4，贝汁丁+丁〉。•其

C.4个D.5个

二、填空题

n.如果关于X的一元二次方程加+次_1=0的一个解是x=l,则2020-4-6=.

12.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件

日平均增长率为x,则根据题意可列方程为.

13.将抛物线、=-2（》-1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物

线是.

14.小丽生日那天要照全家福，她和爸爸、妈妈随意排成一排，则小丽站在中间的概率

是•

k

15.如图，点尸（尤，y）在双曲线>=—的图象上，PA±x^,垂足为A,若右4。尸=2,

尤

则该反比例函数的解析式为—.

试卷第2页，共6页

16.如图，A点坐标为(2,3),2点坐标为(0,-3),将线段AB绕点2逆时针旋转90。,

得到线段则点4坐标为.

三、解答题

17.关于X的方程X?—("?+2)X+(771—1)=0.

(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；

(2)若此方程的一个根为-1,求的值.

18.一名男生推铅球，其铅球运行的路线如图，是抛物线的一部分，当水平距离x为3

米时，铅球的行进高度y达到最高2米.已知推出铅球的初始高度是1•米.

(1)求铅球运行路线的解析式；

(2)求铅球推出的水平距离OA.

19.如图，已知ABC和过点0的两条互相垂直的直线无，

(1)将&ASC绕A点逆时针旋转90。得到与G，请在图中画出4G.

⑵画出,ABC关于点。对称的图形△4与Q.

20.某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元.每天可以销售48件，为

尽快减少库存，商场决定降价促销.

(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率；

(2)经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得最大利润，请

问每件降价应为多少元？最大利润是多少？

21.小帅和小帆参加学校的“六一”减压活动，该活动场地有A、8两个入口，有C、。、

E、厂四个出口.活动规定：每位同学只能玩一次，且同学进入场地须随机选择一个入

口进入，出场地须随机选择一个出口离开.

(1)小帅从B入口处进入场地的概率为；

(2)用树状图或列表法求小帆恰好从B入口进入场地，从E或歹出口离开场地的概率.

22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数丁=〃a(〃冲0)与反比例函数y=的

图象交于点A,B,已知点A的坐标为(3,1).

⑴求反比例函数解析式；

⑵根据图象直接写出当，如〉工时，x的取值范围；

X

(3)若点尸为y轴上一动点，当二45尸的面积为4时，求点P的坐标.

试卷第4页，共6页

23.如图，利用一面墙(墙长25米)，用总长度49米的橱栏(图中实线部分)围成一

个矩形围栏ABCD且中间共留两个1米的小门，设选栏BC长为x米.

(1)AB=米(用含尤的代数式表示)；

(2)若矩形围栏A2C。面积为210平方米，求橱栏的长；

(3)矩形围栏A8CD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；

若不可能，则说明理由.

/////"//////

aB

1米1米

24.已知等边边长为8,点A在y轴上，点B在第一象限，反比例函数＞=箝＞0)

经过AB的中点与OB边相交于点N.

(1)求8点坐标；

⑵求反比例函数的解析式；

(3)连接OM、MN,求的面积.

25.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A(3,0)、B两点，与y轴交于点C(0,

(2)若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求aACP的面积的最大值及此时

点P的坐标；

(3)在线段0C上是否存在一点M,使BM+且CM的值最小？若存在，请求出这个

2

最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形如果绕某个点旋转180度后能与原图形完全重

合的图形；由此问题可求解.

【详解】解：选项中符合中心对称图形的只有A选项；

故选A.

【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键.

2.A

【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可.

【详解】解：A.该方程符合一元二次方程定义，故本选项符合题意；

B.该方程未知数的次数为1,不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C.该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

D.该方程未知数的最高次为3,不是一元二次方程，故本选项不符合题意.

故选A.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数

是2的整式方程叫一元二次方程.

3.A

【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值.

【详解】解：是一元二次方程x2-3x+k=0的一个根，

•*.22-3x2+k=0,

解得，k=2.

故选：A.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.一元二次方程的根就是一元二

次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子

仍然成立.

4.A

【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，结合乘方的意义可判断它们分别属

于哪一种类别.

【详解】为实数，

,a2>0,

答案第1页，共16页

,该事件一定成立，是必然事件.

故选A.

【点睛】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念•用到的知识点为：确定

事件包括必然事件和不可能事件•必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指

在一定条件下，一定不发生的事件•不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也

可能不发生的事件.

5.B

【分析】利用一元二次方程的根的判别式，即可求解.

【详解】解：A、A=O?-4x4=-16<0,所以该方程无实数根，故本选项不符合题意；

B、A=22-4xl=0,所以该方程有两个相等实数根，故本选项符合题意；

C、A=(-l)2-4xlx(-3)=13>0,所以该方程有两个不相等实数根，故本选项不符合题意；

D、A=22-4xlx0-4>0,所以该方程有两个不相等实数根，故本选项不符合题意；

故选：B

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数

y^ax2+bx+c(a^0),当△=/—4a>0时，方程有两个不相等的实数根；当

A=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当公=/-4℃<0时，方程没有实数根是解

题的关键.

6.B

【分析】令y=0,求出抛物线与x轴交点的横坐标，再把横坐标作差即可.

【详解】解：令y=0,即d-9=o，解得%=3,x2=-3,

:.A、B两点的距离为6.

故选：B.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点坐标的求法，两点之间距离的表示方法.

7.C

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解.

【详解】解：：反比例函数y=&(际0)的图象经过点A(-2,3),

X

%=-2'3=-6,

A.-3x2=6^-6,图象不经过点(3,2)；

答案第2页，共16页

B.-3x(-2)=6h-6,图象不经过点(-3,-2)；

C.一3x2=—6,图象经过点"3,2)；

D.-2x(-3)=6=6,图象不经过点(-2,-3)；

；.C选项符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据A点的坐标求出左

值.

8.C

【分析】根据正方形的每一个角都是直角可得/BCD=90。，再根据旋转的性质求出

ZECF=ZBCD=90°,CE=CF,然后求出△CEF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角

形的性质解答.

【详解】：四边形A3。是正方形，

ZBCD=90°,

△2EC绕点C旋转至△DFC的位置，

AZECF=ZBCD=90°,CE=CF,

；.△CEP是等腰直角三角形，

Z£FC=45°.

故选：C.

【点睛】本题目是一道考查旋转的性质问题一每对对应点到旋转中心的连线的夹角都等于

旋转角度，每对对应边相等，故ACEF为等腰直角三角形.

9.C

卜4

【分析】根据y=w+4x得到对称轴为x=-==-==-2,结合TV—3V-2,且y随尤的

2a2

增大而减小，得到%>当计算即可.

【详解】*.*y=x2+4x,

h4

・••对称轴为x=———=——=—2,

2a2

VM<-3<-2,0<a,

・・・对称轴左侧y随x的增大而减小，

答案第3页，共16页

故选c.

【点睛】本题考查了抛物线的对称轴，增减性，熟练掌握对称性和增减性是解题的关键.

10.C

【分析】根据图像与对称轴可判定结论①；根据抛物线与X轴有两个交点，可判定结论②;

根据函数图像当x=3时可判定结论③；根据抛物线的对称轴，》=-1时可判定结论④；根据

函数与尤轴有两个交点，韦达定理的知识可判定结论⑤；由此即可求解.

【详解】解：结论①。历>0,

根据题意可得，a>0,c<0,

b

V抛物线的对称轴为尤==1,

b=-2a,

：.b<0,

abc>0,故结论①正确；

结论②4ac>0,

抛物线与1轴有两个交点，

・•・A=。2一4々°>0,故结论②正确；

结论③9〃+3b+c>0,

•・,抛物线的对称轴为％=1,

・・・当元>1时，函数值随自变量的增大而增大，

・••当％=3是，y=9〃+36+c>0,故结论③正确；

结论④3〃+。〉0,

h

;抛物线对称轴为X=-9=1,

2a

/.b=-2a,

当x=—l时，y=a-b+c=a+2b-^c=3a+c>Qf故结论④正确；

结论⑤若方程加+区+c=。两根为xx,则上+上>0,

xxx2

.抛物线与X轴有两个交点，-1<否<。，2<x2<3,

bc

Xy+%2=—，玉——,且Z?<0,c<0,

aa

答案第4页，共16页

b

•.」+二世三—0,

%x2x^x2£c

a

-1--+—＞。错误，故结论⑤错误；

X]%

综上所述，正确的有①②③④，4个，

故选：C.

【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，掌握二次函数图像与系数符号的关系，对称轴

的计算方法，图像与x轴交点的意义，根与系数的关系等知识的综合运用是解题的关键.

11.2019

【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+b=l,然后把2020-a-6变形为2020-(a+b),

再利用整体代入的方法计算.

【详解】把x=l代入方程依2+陵_1=0得：。+6—1=0,

a+b=l,

：.2020-a-b=2020-(a+Z?)=2020-l=2019.

故答案为：2019.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一

元二次方程的解.

12.200(1+犷=242

【分析】设该快递店揽件日平均增长率为一根据题意列出一元二次方程，即可求解.

【详解】解：设该快递店揽件日平均增长率为x,则根据题意可列方程为

200(1+尤I=242.

故答案为：200(1+x)2=242.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键.

13.y=-2(x+2)2+5

【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可算出正确结果.

【详解】向左平移3个单位，则解析式中的x加3

向上平移2个单位，则解析式中的末尾加2

平移之后的解析式为y=-2(x+3—l)2+3+2=—2(x+2)~+5

答案第5页，共16页

故答案为：y=-20+2)2+5

【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟记平移规律是解决本题的关键.

14.-

3

【分析】先利用树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出小丽恰好排在中间的结果数,

然后根据概率公式求解.

【详解】解：画树状图为:

第一个位置爸爸妈妈小丽

第二个位置妈妈小丽爸爸小丽爸爸小丽

第三个位置小丽妈妈小丽爸爸妈妈爸爸

21

共有6种等可能的结果数,其中小丽站在中间的结果数为‘所以小丽站在中间的概率=京=v

故答案为：—

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,

再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.

4

15.y=——

x

【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解.

【详解】解：根据题意得：$"=；网=2,

•••图象位于第二象限内，

k=-4,

4

•••该反比例函数的解析式为了=--.

X

4

故答案为：＞=—

x

【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的

几何意义是解题的关键.

16.(-6,-1)

【分析】过点A作AD_Ly轴于D,过点A'作A'E_Ly轴于E,根据点A、B的坐标表示

出BD、AD,再求出AABD和ABA'E全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BE=2,

答案第6页，共16页

BD=A/E=6,然后表示出OE,再写出点A'的坐标即可.

【详解】解：(1)如图，

过点A作AD_Ly轴于D,过点A'作A'E_Ly轴于E,

/.ZADB=ZBEA/=90°,

ZBAD+ZABD=90°,

由旋转知,AB=A'B,/ABA'=90°,

.♦./ABD+NA'BE=90°,

ZBAD=ZAZBE,

在AABD和ABA'E中，

ZADB=ZBEA'

<AB=A'B,

/BAD=NA'BE

.•.△ABD^ABA7E,

.,.BD=A,E,AD=BE,

VA(2,3),B(0,-3),

；.AD=BE=2,BD=A'E=6,

.•.OE=OB-BE=3-2=1,

.•.Az(-6,-1)；

【点睛】本题考查了坐标与图形性质-旋转，主要利用了全等三角形的性质，作出图形，利

用数形结合的思想求解更形象直观.

17.(1)见解析

⑵-1

答案第7页，共16页

【分析】本题综合考查了根的判别式、一元二次方程解的定义.

(1)根据根的判别式的符号来证明结论；

(2)根据一元二次方程的解的定义，将x=-l代入方程f-(〃2+2)尤+(机-1)=。即可求.

解题的关键是熟知判别式的应用：判别式大于零得到一元二次方程有两个不相等的实数根.

【详解】(1)证明：：A=(m+2)2-4(21)=(m-2?+4

在实数范围内，"z无论取何值(根-2丫+4大于0,

方程恒有两个不相等的实数根；

(2)将％=-1代入方程广一(机+2卜+(〃?-1)=0得1+〃Z+2+(〃L1)=0,

解得〃7=-1.

18.(1)y=X2H—x-\—

1832

(2)OA=9米

3

【分析】(I)根据题意可得抛物线的顶点坐标为(3,2),与y轴的交点为(0.；),设抛物线的

解析式为丫=。(无-3)2+2,运用待定系数法求解即可；

(2)令y=0,即可得出点A的坐标，即。4的长度.

【详解】(I)解：根据题意可得抛物线的顶点坐标为(3,2),与y轴的交点为(0,克，

设抛物线的解析式为y=“(x-3)2+2,

3

则万=9。+2,

解得：a=~,

1O

111a

二抛物线的解析式为>=一白。一3)2+2=—白尤2+：尤+9，

loIX32

11Q

即铅球运行路线的解析式为y=-高/+"+?；

lo32

113

(2)解：令y=0,BP——x2+-x+-=0,

1832

解得：%=9,x2=-3,

•••点A的坐标为(9,0),

即Q4=9米.

答案第8页，共16页

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，读懂题意得出二

次函数的解析式是解本题的关键.

19.⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)利用旋转变换的性质分别作出8,C的对应点与，G即可；

(2)利用旋转变换的性质分别作出A,B,C的对应点生，J即可.

【详解】(1)如图，即为所求；

(2)如图，△人且0即为所求.

【点睛】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型.

20.(1)该商品连续两次下降的百分率为10%；

(2)每件降价应为7元，可获最大利润1352元.

【分析】(1)设每次降价的百分率为x,根据题意列出一元二次方程即可求解；

(2)设降价加元，利润为S元，根据题意列出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质

即可求解.

【详解】(1)设每次降价的百分率为无，由题意得

50x(l-x)2=40.5,

答案第9页，共16页

X,=0.1,X2=1.9（不符合题意，舍去），

答：该商品连续两次下降的百分率为10%；

（2）设降价加元，利润为S元，由题意得

S=（50-30—机）（48+8机）

=—8m2+112〃z+960

=-8（m-7）2+1352,

=即售价为43元时，可获最大利润1352元.

即：每件降价应为7元，可获最大利润1352元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，以及二次函数的应用，解决本题的关键是根据题

目中的等量关系列出方程和二次函数关系式.

21.⑴g

⑵：

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有8种等可能的结果，满足条件的结果有2种，再由概率公式求解即可.

【详解】（1）解：有AB两个入口，

小帅从3入口处进入场地的概率为1,

故答案为：g;

（2）解：列树状图如下：

入口AB

出口CDEFCDEF

共有8种等可能的结果，小帆恰好从3入口进入场地，从E或尸出口离开场地有2种，

21

,小帆恰好从8入口进入场地，从E或歹出口离开场地的概率为2=

84

【点睛】此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结

果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

答案第10页，共16页

3

22.⑴y=-

x

(2)尤>3或一3<x<0

⑶阊或(°号)

【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等.

(1)根据待定系数法即可求得；

(2)根据图象即可求得；

(3)根据反比例函数和正比例函数的对称性求得8的坐标，然后根据三角形面积公式得到

S谢=；。「・(3+3)=4,即可求得尸的坐标.

此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.

【详解】(1):反比例函数y的图象经过点A(3,l),

k=3x1=3

・•・反比例函数解析式为y=±；

X

(2)由正比例函数与反比例函数的对称性可得5(-3,-1)

故观察图象，当如>“时，x的取值范围是％>3或-3<兄<0；

x

(3)；一次函数y=mr(〃?HO)与反比例函数y=[(左片0)的图象交于点A,B,己知点A的

坐标为(3,1),

•*-8(-3,-1),

•••5旗「=!。尸.(3+3)=4,

4

・•・OP=-,

点尸的坐标为或

23.(1)(51-3x)：(2)10米；(3)不可能，理由见解析

【分析】(1)设篱笆BC长为尤米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用

含x的代数式表示出AB的长；

(2)根据矩形鸡舍ABC。面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其

答案第11页，共16页

较大值即可得出结论；

（3）根据矩形鸡舍ABC。面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判

别式△=-31<0,可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形鸡舍A8CD面积不可能达到240

平方米.

【详解】解：（1）设篱笆BC长为x米，

:篱笆的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，

.•.AB=49+2-3x=51-3无（米），

故答案为：（51-3x）；

（2）依题意，得：（51-3x）x=210,

整理，得：尤2-17X+70=0,

解得：xi=7,%2=10.

当x=7时，AB=51-3x=30>25,不合题意，舍去，

当A10时,AB=51-3x=21,符合题意，

答：篱笆BC的长为10米；

（3）不可能，理由如下：

依题意，得：（51-3x）x=240,

整理得：x2-17x+80=0,

（-17）2-4x1x80=31<0,

方程没有实数根，

；•矩形鸡舍ABCD面积不可能达到240平方米.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）

根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出的长；（2）找准等量关系，正确列出一

元二次方程；（3）牢记“当A<0时，方程无实数根”.

24.⑴（4国）

⑵产尊（x>0）

⑶12

【分析】（1）根据等边三角形的性质即可求得B的坐标；

答案第12页，共16页

（2）求出M的坐标，代入y=；k（x>0）即可求得上的值；

（3）作轴于C,NDlx轴于。，得到SM℃=SNOD=；3求出OB的解析式，再

联立方程组求出点N的坐标，再根据SMON=§梯形“CON即可求解.

【详解】（1）•••等边三角形OAB,边长为8,点A在y轴上，点B在第一象限,

作轴，

ZA0B=60。

：.ZBOE=30°,

；.BE=；BO=4,0d2=46

（2）是A3的中点，A（0,8）,B（4>/3,4）,

.\M(2A/3,6),

代入y=£(x>0)得至！U=2^5x6=12A/3

:.反比例函数的解析式为y=Uf（x>0）；

1

（3）作MC_Lx轴于C,NDJ.X轴于。，得至JS“冗=S.NOD=；々，

：2（4后4）

代入（4后4）解得加=事,

，设直线。3为y=w,

,直线QB为尸gx,

「126

y=--

IX

答案第13页，共16页

x=6x=-6

解得厂或(舍去),

[y=2y/3y=—2\/3

梯形：（）（）

,,SMON=SMOC+S梯形MCDN-SDON=SMCDN=6+2/6-2^=12.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，反比例函数系数上的几何意义，三角形的面积，求

得M、N的坐标是解题的关键.

此时尸(一|,‘)；(3)当MQ1)

25.(1)y=-x2+2x+3；(2)ACP的面积的最大值为月

8

时，BM+*CM的最小值为2vL

【分析】(1)根据OA=3OB求出B点坐标，设交点式，用待定系数法即可求出函数关系式;

(2)作PDLx轴，与线段AC相交于D,根据+表示ACP的面积，利

用二次函数的性质即可求出.ACP的面积的最大值及此事P点坐标；

(3)构造CM为斜边的等腰三角形，它的直角顶点为第一象限内的N,可得出BM+变CM

2

=&W+MN最小值即为BN.设河(0,㈤可表示N点坐标，继而可表示利用二次函数的

性质即可求的BM+也CM最小值，以及此时M点坐标.

2

【详解】解：(1)VA(3,0),OA=3OB

；.OA=3,OB=1

3(-1,0)

设抛物线的交点式为＞=