人教A数学必修二教案4.2.1 直线与圆的位置关系

4.2.1直线与圆的位置关系

【教学目标】

1.能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.

2.通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想.

3.通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自

觉应用坐标法解决几何问题的习惯.

【教学重难点】

教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.

教学难点：用坐标法判直线与圆的位置关系.

【教学过程】

㈠情景导入、展示目标

问题：

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西

80km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，

如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

运用平面几何知识，你能解决这个问题吗.？请同学们动手试一下.

㈡检查预习、交流展示

1.初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？

2.怎样判断直线与圆的位置关系呢？

㈢合作探究、精讲精练

探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？

教师：利用坐标法，需要建立直角坐标系，为使直线与圆的方程应用起来简便，在这

个实际问题中如何建立直角坐标系？

学生：以台风中心为原点0,东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取.10km为单

位长度.则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为0的圆的方程为

22

X+y-g

轮船航线所在直线I的方程为

x+2y-8=0.

教师：请同学们运用已有的知识，从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系.

让学生自主探究，互相讨论，探究知识之间的内在联系。教师对学生在知识上进行适当

的补遗，思维上的启迪，方法上点拨，鼓励学生积极、主动的探究.

由学生回答并补充，总结出以下两种,解决方法：

2

方法一：代数法

由直线与圆的方程，得：4•消去y,得2x2—4x+7=0,

x+2y—8=0

因为△=（4）2-4x2x7=-4OV0

所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。

方法二：几何法

圆心（0,0）到直线x+2y-8=0的距离

|lx0+2x()-8|_8_8V5

折+2夕

所以，直线与圆相离，航线不受台风影响.

探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法？

让学生通过实际问题的解决，对比总结，掌握方法.

①代数法：

Ax+By+C=0

由方程组《

(x-a)2+(y-b)r2

得mr?+nx2+p=0),

A=n~-Amp

4>0,则方程组有两解，直线与圆相交；4=0,则方程组有一解，直线与圆相切；4<0,

则方程组无解，直线与圆相离.

②几何法：

直线与圆相交，则d<r；直线与圆相切，则d=r；直线与圆相离，则d>r.

22

例1已知直线I：x+y-5=0和圆C：x+y-4x+6>'-12=0,判断直线和圆的

位置关系.

解析：方法一，判断直线与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数

解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系.

解：（法一）

联立方程组,消y得

2%2-20X+43=0

因为

△=（-20j-4x2x43=216>0

所以直线与圆相交.

（法二）

2

将圆的方程化为（欠一2）+（y+3）=5.

3

可得圆心C(2,-3),半径r=5.

因为圆心到直线的距离d=3V2<5,

所以直线与圆相交.

点评:巩固用方程判断直线与圆位置关系的两种方法.

变式1.判断直线x-y+5=0和圆C：£+炉―4x+6y—12=0的位置关系.

解:将圆的方程化为(厂2)2+。+3”5。

可得圆心C(2,-3),半径r=5.

因为圆心到直线的距离d=5后>5,

所以直线与圆相离.

22

例2.求直线1：3x-y-6=0被圆C：y—2x—4y=0截得的弦AB的长.

解析:可以引导学生画图分析几何性质.

解：(法一)

将圆的方程化为(T+(y-2”5.

可得圆心C(1,2),半径尸店.

圆心到直线的距离

|3-2-6|_V10

弦AB的长w回=2卜|=风.

(法二)

联立方程组,消y得

2

无-5%+6=0

得九=2,趋=3,

则y=0,yr3,

所以直线1被圆C截得的弦AB的长

M=^(2-3j+(O-3)2=Vio.

(法三)

联立方程组,消y得

2

X-5x+6=0

根据一元二次方程根与系数的关系,有X+X2=5,x=6.

4

直线1被圆C截得的弦AB的长

=J(l+-(X1+X2)2-4XiX2

=J(1+1-—4X6)

=Vio

点评:强调图形在解题中的辅助作用，加强了形与数的结合.

㈣反馈测试

导学案当堂检测

㈤总结反思、共同提高

位置关系几何特征方程特征几何法代数法

相交有两个公共点方程组有两个不同实根d<r△>0

有且只有一公共

相切方程组有且只有一实根d=r△=0

点

相离没有公共点方程组无实根d>r△<0

【板书设计】

一.直线与圆的位置关系

(D相交，两个交点；

(2)相切，一个交点；

(3)相离，无交点.

二.实例的解决

方法一

方法二

三.判断直线与圆位置关系的方法

四.例题

例1

变式1

例2

【作业布置】

导学案课后练习与提高

5

4.2.1直线与圆的位置关系学案

课前预习学案

预习目标

回忆直线与圆的位置关系有.几种及几何特征，初步了解用方程判断直线与圆的位置关

系的方法.

—.预习内容

1.初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？

2.怎样判断直线与圆的位置关系呢?

三.提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中

疑惑点疑惑内容

课内探究学案

学习目标

1,能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.

2.通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想.

3.通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自

觉应用坐标法解决几何问题的习惯.

学习重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.

学习难点：用坐标法判直线与圆的位置关系.

二.学习过程

问题：

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西

80km处“受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知.港口位于台风中心正北40km处,

如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？

6

1.如何建立直角坐标系？

2.根据直角坐标系写出直线和圆的方程.

3..怎样用方程判断他们的位置关系？

探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法？

22

例1已知直线I：x+y-5=0和圆C：+y-4x+6y-12=0,判断直线和圆的

位置关系.

22

变式1.判断直线x—y+5=0和圆C：—4x+6y—12=0的位置关系.

7

22

例2.求直线I：3x-y-6=0被圆C：%~+y-2x-4y=0截得的弦AB的长.

三.反思总结

位置关系几何特征方程特征几何法代数法

四.当堂检测

1.已知直线5x—12y+a=0与圆/-2%+/=0相切，则。的值为()

A.8B.-18C.-18或8D.不存在

2.设直线2x+3y+l=0和圆Y+V-2》一3=0相交于点A、B,则弦AB的垂直平

分线方程是.

3.求经过点A(2,-1),和直线x+y=l相切，且圆心在直线y=-2x上的圆的方程.

参考答案：1.C2.3x—2y—3=0

3.解:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=F

8

（2-a）2+（-1一〃『=r2

Itz+/?—11,

由题意则有《J一^产一1=/

V2

b=-2a

解得a=l,b=-2,r=血，故所求圆的"方程为

(x-1)2+(y+2)2=2

课后练习与提高

1.直线x+y=l与圆/+,2-2砂=03>0)没有公共点，则。的取值范围是()

A.(0,72-1)B.(^-1,72+1)C.(-V2-1,V2+1)D.(0,72+1)

2.圆+y2-4x=0在点尸(1,百)处的切线方程为

A、x+—2=0B、x+y[3y—4=0C、-X—VSy+4=0D>x—+2-0

3.若圆/+;/一48一43,-10=0上至少有三个不同点到直线/：奴+勿=0的距离为

2加，则直线/的倾斜角的取值范围是()

,针兀兀、n「"57rr八「%兀、__7t、

A.[—,-]B.1—,—]C.[一,—]