第1章三角形的证明复习课课件北师大版八年级数学下册

第一章三角形的证明复习课1.掌握等腰三角形的性质与判定,并能熟练应用2.掌握直角三角形的有关性质,会判定两个直角三角形全等3.知道线段的垂直平分线、角平分线的性质与判定,并会应用它解决问题4.能说出命题与逆命题的概念,会用反证法证明简单问题一、学习目标二、知识结构三、知识梳理1.全等三角形的性质及判定性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.判定：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.2.等腰三角形的性质及判定性质：等腰三角形的两个底角相等,即等边对等角;等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线和高互相重合,两底角的平分线相等,两腰上的中线和高分别相等.三、知识梳理判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形,即等角对等边.等边三角形的三条边、三个角都相等,并且每个角都等于60°;等边三角形的三条角平分线、中线和高都相等.4.直角三角形的性质及判定3.等边三角形的性质及判定性质1：在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半;判定1：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等,简称为HL.

三、知识梳理性质2：直角三角形的两个锐角互余.判定2：有两个角互余的三角形是直角三角形.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.(判定3)逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.5.线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.三、知识梳理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.6.角平分线判定：角平分线的判定定理:在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.定理:三角形三个角的平分线相交于一点,且这一点到三条边的距离相等.

(这一点叫做三角形的内心)7.尺规作图用尺规作等腰、直角三角形、过一点作直线的垂线.四、典型例题（一）等腰(等边)三角形的性质与判定例1：在ΔABC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB，求证:DC⊥AC(提示：延长AC至F使CF=AC，连接DF)证明:延长AC至F使CF=AC,连接DF∵AB=2AC,AC=CF∵∠1=∠2,AD=AD∴ΔADB≌ΔADF(SAS)∵DA=DB∵AC=CF∴DC⊥AF(等腰三角形三线合一)即DC⊥AC21ACFDB21C∴AB=AF∴DB=DF∴DA=DF还有其他的方法可以证明吗？例1：在ΔABC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB，求证:DC⊥AC证明:取AB的中点E,连接DE∵DA=DB,AE=BE∴DE⊥AB(等腰三角形三线合一)∵AB=2AC,E为AB的中点在ΔAED和ΔACD中,AE=AC,∠1=∠2,AD=AD∴ΔAED≌ΔACD(SAS)∴∠AED=∠ACD=90°即AC⊥DCE∴AE=AC方法总结：除了截短法和延长法外,在等腰三角形中,我们通常作底边的中线或高或顶角平分线,以便使用等腰三角形的性质(三线合一).四、典型例题【当堂检测】1.等腰三角形一边的长是5，另一边的长是8，则它的周长是

.18或21(1)若a=b=c=4,则这个三角形是等边三角形；(2)若a=b=3，c=7,则这个三角形是等腰三角形；(3)若∠B=50°,∠C=80°，则这个三角形是等腰三角形；(4)若∠A:∠B:∠C=1：1：2；则这个三角形是等腰三角形；

(5)若∠A的相邻外角是120°，且∠B为60°，则这个三角形是等边三角形；2.结合等腰(等边)三角形的判定，判断正误.√×√√√【当堂检测】3.已知:如图,AB=AC,∠ABD=∠ACE.

求证:(1)OB=OC;ABCEDO求证:(2)BE=CD.证明：∵AB=AC，∵∠ABD=∠ACE，∴OB=OC．分析：由等腰三角形的性质证明∠OBC=∠OCB，由等角对等边，即可解决问题．∴∠ABC=∠ACB；∴∠OBC=∠OCB，证明：如图，在△ABD与△ACE中，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴AD=AE，而AB=AC，∴BE=CD．∠A＝∠AAB＝AC∠ABD＝∠ACE，四、典型例题（二）直角三角形的性质与判定例2：如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF；（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF=90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，分析：结合直角三角形的判定方法HL即可证明.AB＝CBAE＝CF∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）四、典型例题例2：如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF；(2)若∠BCF=30°，BF=3,则BC的长为多少？∵∠ABC=90°,∴∠CBF=90°，又∵BF=3,∵在Rt△CBF中，CF2=BC2+BF2，∴BC2=CF2-BF2=62-32=27，即BC=3∠BCF=30°∴CF=2BF=6【当堂检测】4.在ΔABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是∠BAC的平分线,已知,求AD的长.解:∵∠C=900,∠B=300,∴∠CAB=60°，∵AD是角平分线，∴∠CAD=300设CD=x,那么AD=2x，在RtΔACD中，AD2=CD2+AC2，即(2x)2=x2+()2解得x=2(x=-2舍去),即AD=4.方法总结：本题综合运用了勾股定理，含300角的直角三角形性质.它们都与直角有关,所以当问题中出现直角条件时,要善于联想到这些性质.ABCD四、典型例题（三）线段垂直平分线的性质及应用例3：如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交BC于点D，∠C=60°．解：△ACD是等边三角形.理由如下：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∵∠C=60°，∴△ACD是等边三角形；(1)△ACD是什么特殊三角形？请说明理由；四、典型例题例3：如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交BC于点D，∠C=60°．(2)若AE=4cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长．∵DE是AC的垂直平分线，∴AC=2AE=2×4=8，AD=CD，∵C△ABD=AB+BD+AD=13，∴C△ABC=AB+BC+AC=AB+（BD+CD）+AC=AB+BD+AD+AC=13+8=21.=C△ABD+AC【当堂检测】5.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（）A.90° B.95° C.100° D.105°D【当堂检测】6.如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BE平分∠ABC，求证：点E在线段AB的垂直平分线上．证明：∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=90°-30°=60°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠ABC=×60°=30°，∴∠A=∠ABE，∴EA=EB，∴点E在线段AB的垂直平分线上．例4：要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？（不写作法，保留作图痕迹）解：所作图形如图所示.设集贸市场距离交点Oxm，则解得x=0.025m，OP=0.025m=2.5cm.点P即为所求.（四）角平分线的性质及应用四、典型例题7.填空:利用所给的图形,补充所写的已知、求证和证明.证明：已知:OC平分∠AOB,

,垂足分别是D、E.求证:PD=PE.证明:∵OC平分∠AOB,∴

,∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴

,又∵OP=OP,∴△ODP≌

,∴

.PD⊥OA，PE⊥OB∠AOC=∠BOC∠ODP=∠OEP=90°△OEPPD=PE【当堂检测】解：∵DE⊥AB，DF⊥BG，DE=DF.∴点D在∠ABG的平分线上.∵∠EBD=180°-∠DEB-∠EDB=180°-90°-60°=30°∴∠EBF=2∠EBD=60°由BD=BD，DE=DF，可证Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），∴BE=BF8.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=

°，BE=

.60BFEBDFACG【当堂检测】1.等腰