4.3 用乘法公式分解因式（分层练习）（解析版）

第4章因式分解4.3用乘法公式分解因式精选练习基础篇基础篇1．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据因式分解的方法进行逐一判断即可．【详解】解：A、不能进行因式分解，不符合题意；B、，原因式分解错误，不符合题意；C、，原因式分解错误，不符合题意；D、，因式分解正确，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键．2．（2023春·七年级课时练习）用分组分解的因式，分组正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．【详解】解：．故选：D．【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．3．（2023春·广东佛山·七年级佛山市第四中学校联考阶段练习）如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为的正方形卡片1张，边长为的正方形卡片4张，长，宽分别为，的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】计算大正方形的面积，因式分解即可得到边长．【详解】解：大正方形的面积为，∴大正方形的边长为，故选：A．【点睛】此题考查了因式分解的应用，正确理解题意列得面积进行因式分解是解题的关键．4．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，则的值为（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【答案】D【分析】原式先提取公因式，再运用平方差公式进行计算即可求解．【详解】解：，又，，．故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．5．（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）已知，，计算：等于（

）A． B．6 C．5 D．【答案】A【分析】先提取公因式，再化为，再整体代入求值即可．【详解】解：∵，，∴，故选：A【点睛】本题考查的是因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“提公因式分解因式”是解本题的关键．6．（2023春·七年级课时练习）已知，，，那么，代数式的值是（

）A． B．2022 C． D．3【答案】D【分析】先求解，，，再把原式化为，再代入求值即可．【详解】解：∵，，，∴，，，∴；故选D．【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“完全平方公式的应用”是解本题的关键．7．（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）若，则代数式的值是（

）A．2019 B．2017 C．2024 D．2023【答案】D【分析】把所给代数式变形后把代入计算即可．【详解】解：∵，∴．故选D．【点睛】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．8．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）已知多项式，多项式．（1）；（2）若，，则；（3）代数式的最小值为2023．以上结论正确的个数有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】（1）把A，B代入化简后，根据完全平方公式变形为，故（1）错误；（2）根据完全平方公式的变形可得，再由，可得，故（2）正确；（3）根据完全平方公式变形为，故（3）正确，即可．【详解】解：（1），故（1）错误；（2）∵，∴，即∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故（2）正确；（3），故（3）正确；故选：C【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形及其应用，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．9．（2022·湖南湘潭·校考一模）分解因式：_____．【答案】##【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】本考主要考查了提公因式法与公式法分解因式的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）如图，长与宽分别为、的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为________．【答案】490【分析】利用面积公式得到，由周长公式得到，所以将原式因式分解得出．将其代入求值即可．【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，∴，∴．故答案为：490【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键．11．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）当时，代数式的值为______________．【答案】【分析】将所求式子因式分解，再整体代入计算即可．【详解】解：∵，∴故答案为：．【点睛】此题主要考查了代数式求值，因式分解，正确将原式变形得出是解题关键．12．（2023春·全国·七年级专题练习）若，则的值________．【答案】1【分析】对所求代数式每相邻四项为一组提取公因式，然后代入已知条件式进行求解即可．【详解】解：，原式．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解答本题的关键是把原式每相邻的四项提取公因式，此题难度不大．13．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是，例如：，按照这个规定请你计算：当时，的值是__________．【答案】【分析】根据：时，可得：，据此求出的值是多少，进而求出的值是多少即可．【详解】解：时，，，解得，故答案为：．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．14．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：；．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：；．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：．利用这种方法，将下列多项式分解因式：（1）_______________；（2）_________________；（3）_________________；（4）______________________．【答案】

【分析】根据题意，（1）将式子分解因式，这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数；（2）将式子分解因式，这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数；（3）将式子分解因式，这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数；（4）将式子分解因式，这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数．【详解】（1）将式子分解因式，这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，．（2）将式子分解因式，这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，．（3）将式子分解因式，这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，．（4）将式子分解因式，这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，．故答案为：（1），（2），（3），（4）．【点睛】本题主要考查了因式分解－十字相乘法，根据题意可知、是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出、的值是解题的关键．15．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解；（2）先提公因式，再利用平方差公式分解．【详解】（1）解：；（2）【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．16．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛第七中学校考期中）因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式进行计算即可求解；（2）先根据完全平方公式展开，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法以及乘法公式是解题的关键．17．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）阅读材料：教科书中提到“和这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．例如：分解因式：求代数式的最小值∵，∴当时，代数式有最小值．结合以上材料解决下面的问题：(1)分解因式：；(2)当a，b为何值时，有最小值？最小值是多少？【答案】(1)；(2)时，最小值为2019．【分析】（1）将多项式加9再减9，利用配方法可得；（2）将多项式配方后可得结论．【详解】（1）解：；（2）解：，∵，，∴当，，即时，原代数式有最小值，最小值为2019．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键．18．（2023秋·重庆黔江·八年级统考期末）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由得，；利用这个式子可以将某些二次项系数是的二次三项式分解因式．例如：将式子分解因式．分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以．解：．请依照上面的方法，解答下列问题：(1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)若可分解为两个一次因式的积，请写出整数的所有可能的值．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）将看作整体，利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解可得；（3）找出所求满足题意p的值即可．【详解】（1）解：（2）解：原式；（3）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是：；；；，即整数的所有可能的值是：，．【点睛】此题考查了因式分解——十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．19．（2023秋·云南昆明·八年级统考期末）（1）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（如图1），把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式①______．（2）【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为b的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）．根据它们的体积关系得到关于a，b的等式为②______．（结果写成整式的积的形式）（3）【知识运用】已知，，求的值．【答案】【知识再现】；【知识迁移】；【知识运用】100．【分析】（1）由题意可知，图1阴影面积为大正方形面积减小正方形面积，图2剪拼后一个长方形长为，宽为，据此列等式即可得到答案；（2）由题意可知，图3的体积为大正方形体积减小正方形体积，图4切割拼成的几何体正面面积为，高为，据此列等式即可得到答案；（3）先利用完全平方公式求出，再根据结论对进行变形，即可计算求值．【详解】（1）【知识再现】解：根据题意可得：，故答案为：；（2）【知识迁移】解：根据题意可得：，故答案为：；（3）【知识运用】，，，．【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用数形结合的方法解决问题是解题关键．20．（2022春·湖南永州·七年级统考期中）提出问题：你能把多项式因式分解吗？探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．解决问题：运用结论：(1)基础运用：把多项式进行因式分解．(2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：【答案】(1)(2)【分析】（1）把拆成即可；（2）把拆成，把-14拆成即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题属于阅读理解题型，考查了因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律．提升篇提升篇1．（2023春·七年级课时练习）将下列多项式因式分解，结果中不含因式的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】将四个选项的式子分别进行因式分解，即可作出判断．【详解】A、，故该选项不符合题意；B、，故该选项不符合题意；C、，故该选项符合题意；D、，故该选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了因式分解，涉及提公因式法、公式法、十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．2．（2023·浙江宁波·校考一模）如果能被整除，则的值是（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】先把因式分解为，找到进而得到是方程的根，代入整理得，计算即可解题．【详解】解：∵∴能被整除，即是方程的根，∴，解得，∴，∴，故选A．【点睛】本题考查整除问题，转化为求方程的解是解题的关键．3．（2023春·全国·七年级专题练习）计算的值为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式，，，，故选：C．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．4．（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）已知，则的值为（）A． B．0 C． D．【答案】A【分析】首先根据，可得：，据此求出m、n的值各是多少，然后代入即可．【详解】解：，，，，，，解得：，，．故选：A．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，熟练掌握解题的方法是解题的关键．5．（2023·全国·九年级专题练习）已知当和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于（）A． B． C．3 D．11【答案】C【分析】根据和时，多项式的值相等，得到或，由，得到，推出，即可得解．【详解】∵和时，多项式的值相等，∴，∴，∴∴，即：，∴或，∵，∴，当时，，∴；故选C．【点睛】本题考查代数式求值．解题的关键是利用整体思想，求出的值．6．（2023春·七年级单元测试）对于两个整式，，有下面四个结论：（1）当时，的值为；（2）当时，则；（3）当时，则；（4）当时，则或；以上结论正确的有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】将代入代数式即可判断（1）计算，又根据平方根的定义即可判（2），利用因式分解即可判断（3）（4）．【详解】解：（1）当时，,故（1）正确；（2）∵又当时，∴，故（2）不正确（3）∵，当时，则；故（3）正确（4）∵当时，则∴即∴或，故（4）正确；故选：C．【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解的应用，整式的加减，正确的计算是解题的关键．7．（2022秋·北京·八年级校考阶段练习）在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法生成的密码可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先对多项式提公因式，再利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算，即可确定出密码．【详解】解：，当，时，，，，∴上述方法生成的密码可以是．故选：D【点睛】本题考查了因式分解的应用，涉及分解因式的方法有：提公因式法，以及平方差公式法，属于阅读型的新定义题，其中根据阅读材料得出产生密码的方法是解本题的关键．8．（2022秋·河南周口·八年级校考期末）设m、n是实数，定义一种新运算：．下面四个推断正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】各式利用题中的新定义判断即可．【详解】解：根据题中的新定义得：A．，，故推断正确；B．，，故推断不正确；C．，，故推断不正确；D．，，故推断不正确．故选：A．【点睛】此题考查了整式的运算和因式分解，弄清题中的新定义是解本题的关键．9．（2023·陕西渭南·统考一模）因式分解：________．【答案】【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行因式分解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，正确运用完全平方公式分解因式是解题关键．10．（2023春·浙江·七年级专题练习）利用配方法因式分解：____________；【答案】

1

【分析】利用完全平方公式和平方差公式求解即可．【详解】解：，故答案为：1；．【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．11．（2023春·广东深圳·七年级坪山中学校考阶段练习）已知，则的值是_____．【答案】【分析】利用完全平方公式进行计算即可求得和的值，再将利用平方差公式进行因式分解，即可求解．【详解】解：，，，又，，．．故答案为：0．【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解，解题的关键是灵活运用完全平方公式和平方差公式，注意整体带入的思想．12．（2023春·八年级课时练习）已知（），则代数式_____．【答案】6【分析】先将变形为，再根据得出即，最后对进行因式分解即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了完全平方公式及因式分解，掌握完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键．13．（2023春·八年级课时练习）若a、b是的两条边的长度，且满足，则面积的最大值是__________．【答案】【分析】利用因式分解得到，利用非负性，求出的值，再根据两条边互相垂直时，三角形的面积最大，进行求解即可．【详解】解：∵，∴∴，∵，∴，∴，设：，∵直角三角形的斜边大于直角边，∴边上高，∴当时，的面积最大，最大值为；故答案为：．【点睛】本题考查因式分解的应用，以及非负性．熟练掌握因式分解的方法，以及非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键．14．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下面材料：分解因式：．因为，设．比较系数得，．解得．所以．解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．【答案】【分析】先用十字相乘法分解因式得到，再设，比较系数得到，解方程组即可求解．【详解】解：∵，设，比较系数得，，解得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查分组分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．15．（2023春·浙江·七年级专题练习）分解因式：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）用提公因式法因式分解即可；（2）先用提公因式，再根据平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：原式（2）解：原式【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．16．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．17．（2023·河北石家庄·统考一模）发现：若两个已知正整数之差为奇数，则它们的平方差为奇数?若两个已知正整数之差为偶数，则它们的平方差为偶数．验证：如______________，______________．探究：设“发现”中的两个已知正整数为n，（两数之差为m）．请论证“发现”中的结论的正确性．【答案】验证：21，40；探究：见解析【分析】验证：；根据算式计算出结果即可；探究：根据完全平方公式，合并同类项法则计算，再分解因式即可求解；【详解】解：验证：；；故答案为：21，40探究：当为奇数时，为偶数，则为奇数，所以为奇数；当为偶数时，为偶数，则为偶数，所以为偶数；【点睛】本题考查了完全平方公式的计算，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的式子的规律，写出相应的结论并进行验证．18．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，将一张长方形大铁皮切割成九块（切痕为虚线），其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的小长方形．(1)这张长方形大铁皮的长为____，宽为_____；（用含a、b的代数式表示）(2)求这张长方形大铁皮的面积S；（用含a、b的代数式表示）(3)若一个小长方形的周长为，一个大正方形与一个小正方形的面积之差为，求a、b的值，并求这张长方形大铁皮的面积S．【答案】(1)，(2)(3)，，【分析】（1）根据图形可知张长方形大铁皮长为，宽为；（2）根据长方形面积公式即可求出面积表达式；（3）根据题意列出方程，联立求值．【详解】（1）解：这张长方形大铁皮长为厘米，宽为厘米；故答案为：，；（2）根据题意得：（平方厘米）；（3）根据题意得：，，整理得：，，解得：，，，，则这张长方形大铁皮的面积为270平