2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）专题06 二次函数中的特殊四边形含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练专题06二次函数中的特殊四边形1．如图，已知抛物线的顶点为A(4，3)，与y轴相交于点B(0，﹣5)，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．(1)求抛物线的表达式；(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式；(3)设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．2．已知抛物线与ｘ轴交于A（－2，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，）．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上一个点，点Q是平面内一点，当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为边的菱形时，求点P的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中抛物线L：y＝﹣x2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点为A（﹣3，0），顶点B的横坐标为﹣1(1)求抛物线L的函数表达式；(2)点P为坐标轴上一点将抛物线L绕点P旋转180后得到抛物线L′，且A、B的对应点分别为C、D，当以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形时，请求出符合条件的点P坐标．4．已知抛物线过点C（4，0），顶点为D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，直线BD交y轴于点A．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A的坐标；(3)点M在抛物线的对称轴上，且四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，求点M的坐标（直接写出答案）．5．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式；(2)将平移后得到抛物线，点D，E在上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线的解析式．6．已知二次函数的图象与x轴相交于点A和点，与y轴相交于点，抛物线的对称轴是直线．(1)求二次函数的表达式及A点的坐标；(2)D是抛物线的顶点，点E在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，直线BE交对称轴于点F，试判断四边形CDEF的形状，并说明理由．7．如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝，其图象与直线y＝x＋2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为x0，当x0为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．8．已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．(1)抛物线的解析式；(2)若点是轴左侧抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，则是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图,在坐标系中△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A(1,0),B(0,2),抛物线的图象过点（2，-1）及点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)求点C的坐标(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使以P，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.10．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过A（0，-1），B（4，7）．(1)求抛物线的函数表达式；(2)把抛物线y=x2+bx+c向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得新抛物线．在新抛物线上是否存在一点M、新抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得以AB为边，且点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M，N的坐标，若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线与x轴交于点A(-2，0)，与反比例函数图象交于点B，过点B作BQ⊥y轴于点Q，BQ=1．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P是抛物线对称轴上一点，当BP+OP的值最小时，求线段QP的长；(3)若点M是平面直角坐标系内任意一点，在抛物线的对称轴上是否存在一点D，使得以A，B，D，M为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．12．综合与探究如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点M是y轴右侧抛物线上一动点，过点M作的平行线，交直线于点D，交x轴于点E．(1)请直接写出点A，B，C的坐标及直线的解析式；(2)当时，求点D的坐标；(3)试探究在点M运动的过程中，是否存在以点A，C，E，M，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M的坐标，若不存在说明理由．13．综合与探究如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A(−2，0)，B(4，0)，点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PE⊥x轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F．(1)求二次函数的表达式．(2)当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段，求此时点P的坐标．(3)试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，点E的坐标为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点E，F关于抛物线的对称轴直线l对称，Q点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点P，使得以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点（点P不与点B，C重合），连结PB，PC，以PB，PC为边作平行四边形CPBD，点P的横坐标为m．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)当平行四边形CPBD有两个顶点在x轴上时，点P的坐标为；(3)当平行四边形CPBD是菱形时，求m的值．16．如图已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交二次函数的图象于点B，连接．(1)求该二次函数的表达式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向上平移个单位，使平移后每到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围；(3)若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线与轴交于点，抛物线经过点，点是轴上一动点．(1)求此抛物线的函数表达式；(2)抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与y轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相较于点C，顶点为D．(1)直接写出A、B、C三点的坐标；(2)连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示PF的长，并求出当m为何值时四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．19．已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，）三点，顶点为D．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求经过A、D两点的直线的表达式；(3)设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．20．如图，直线交横轴、纵轴分别于、两点，且直线的表达式为：，点为横轴上原点右侧的一点，且满足，抛物线经过点、、．(1)点、、的坐标分别为______、______、______；(2)求抛物线表达式；(3)如图，点为直线上方、抛物线上一点，过点作矩形，且轴，求当矩形为正方形时点的坐标．21．如图，已知直线与抛物线交于点P(，4)，与轴交于点A，与轴交于点C，PB⊥轴于点B，且AC=BC，若抛物线的对称轴为，且S△PBC=8．(1)求直线和抛物线的函数解析式；(2)物线上是否存在点D，使以B、C、P、D为顶点的四边形是为菱形?如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由专题06二次函数中的特殊四边形1．如图，已知抛物线的顶点为A(4，3)，与y轴相交于点B(0，﹣5)，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．(1)求抛物线的表达式；(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式；(3)设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．【答案】(1)(2)M（2，﹣1），y＝2x﹣5(3)P、Q的坐标分别为(6，1)或(2，1)、(4，﹣3)或(4，1)或(4，5)【分析】（1）函数表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；（2）、，则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；（3）分当是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．（1）解：函数表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：；（2）解：∵、，∴点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式得：，解得：，故直线的表达式为：；（3）解：设点、点，①当是平行四边形的一条边时，当点在的下方时，点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，即：，，解得：，，即点的坐标为、点的坐标为，故当点在点上方时，，同理可得点的坐标为、点的坐标为，②当是平行四边形的对角线时，由中点定理得：，，解得：，，故点、的坐标分别为、；综上，、的坐标分别为或，或或．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．2．已知抛物线与ｘ轴交于A（－2，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，）．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上一个点，点Q是平面内一点，当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为边的菱形时，求点P的坐标．【答案】(1)(2)点的坐标为：，，，，，【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）设，，则，，，根据以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，可得：或，分两种情况分别建立方程求解即可得出答案．（1）解：抛物线与轴交于，两点，设抛物线解析式为，将代入得：，解得：，，该抛物线的解析式为；（2），抛物线对称轴为直线，设，，，，，，，以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，或，当时，，，解得：，，，，，；当时，，，，，；综上所述，点的坐标为：，，，，，．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、菱形性质等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质，运用分类讨论思想是解题关键．3．如图，在平面直角坐标系中抛物线L：y＝﹣x2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点为A（﹣3，0），顶点B的横坐标为﹣1(1)求抛物线L的函数表达式；(2)点P为坐标轴上一点将抛物线L绕点P旋转180后得到抛物线L′，且A、B的对应点分别为C、D，当以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形时，请求出符合条件的点P坐标．【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3(2)P点坐标为（2，0）或（0，1）【分析】（1）把顶点B的横坐标﹣1代入对称轴方程，可解得b得值；将b，A（﹣3，0）代入y＝﹣x2＋bx＋c可得c的值，继而可得到抛物线L的函数表达式；（2）由抛物线L与L′关于坐标轴上一点P对称，且四边形ABCD为矩形，可得P为矩形ABCD对角线的交点，PA＝PC＝PB＝PD；因为P在坐标轴上，所以本题需分两种情况进行分析①当P在x轴上时，设点P坐标为（x，0）②当P在y轴上时，设点P坐标为（0，y），然后根据矩形的性质可求解．(1)解：∵顶点B横坐标为﹣1，∴解得b＝﹣2；将A（﹣3，0）代入，得0＝﹣9+6+c；解得c＝3；∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．(2)解：由（1）可求出B的坐标为（﹣1，4）；∵抛物线L与L′关于坐标轴上一点P对称，且四边形ABCD为矩形；∴P为矩形ABCD对角线的交点；∴PA＝PC＝PB＝PD；①当P在x轴上时：设点P坐标为（x，0）；∴PB2＝（x+1）2+42＝PA2＝（x+3）2；解得x＝2，∴P（2，0）．②当P在y轴上时：设点P坐标为（0，y）；∴PB2＝（﹣1）2+（4﹣y）2＝PA2＝（﹣3）2+y2；解得y＝1；∴P（0，1）．即综上所述，P点坐标为（2，0）或（0，1）．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质及矩形的性质是解题的关键．4．已知抛物线过点C（4，0），顶点为D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，直线BD交y轴于点A．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A的坐标；(3)点M在抛物线的对称轴上，且四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，求点M的坐标（直接写出答案）．【答案】(1)y＝﹣x2+3x；(2)（0，4）；(3)（2，1）或（2，﹣1）．【分析】（1）将C（4，0）代入y＝ax2+3x，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先利用配方法求出（1）中抛物线的顶点D的坐标，再由点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，可知B（4，2），设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B、D两点的坐标代入，运用待定系数法求出直线BD的解析式，令x＝0求出y的值，进而得到点A的坐标；（3）由于点M在抛物线的对称轴上，所以DMBCAO．分两种情况讨论：①当DM＝BC时，四边形BCMD是平行四边形，再证明四边形AOMD是等腰梯形；②当DM＝AO时，四边形AOMD是平行四边形，再证明四边形BCMD是等腰梯形．(1)解：抛物线y＝ax2+3x过点C（4，0），∴16a+12＝0，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x；(2)解：∵y＝﹣x2+3x＝﹣（x2﹣4x）＝﹣（x﹣2）2+3，∴顶点D的坐标为（2，3）．∵点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，∴B（4，2）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B（4，2），D（2，3）代入，得，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4，当x＝0时，y＝4，∴点A的坐标为（0，4）；(3)解：在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形．理由如下：设点M的坐标为（2，y）．由AOMD和BCMD都是四边形，得y＜3．分两种情况：①如图1所示，∵DMBC，∴当DM＝BC时，四边形BCMD是平行四边形．∵D（2，3），DM＝BC，∴3﹣y＝2，解得y＝1，∴当M的坐标为（2，1）时，四边形BCMD是平行四边形，此时，∵OM＝，AD＝，∴OM＝AD，又∵AODM，AO≠DM，∴四边形AOMD是等腰梯形；②如图2所示，

∵DMAO，∴当DM＝AO时，四边形AOMD是平行四边形．∵D（2，3），DM＝AO，∴3﹣y＝4，解得y＝﹣1，∴当M的坐标为（2，﹣1）时，四边形AOMD是平行四边形，此时，∵CM＝，BD＝，∴CM＝BD，又∵BCDM，BC≠DM，∴四边形BCMD是等腰梯形．综上可知，在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，此时点M的坐标为（2，1）或（2，﹣1）．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线的顶点坐标，平行四边形的判定与性质，等腰梯形的判定，综合性较强，难度不大．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．5．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式；(2)将平移后得到抛物线，点D，E在上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线的解析式．【答案】(1)(2)、或【分析】(1)由点B是该抛物线的顶点．可设抛物线的顶点式，代入点A的坐标，进一步即可得到答案；（2）令，则，得到．分AC为正方形的对角线和AC为边两种情况分别画出图形进行求解即可．(1)解：∵点是该抛物线的顶点，∴可设抛物线的表达式是，∵抛物线过点，∴，得，∴．即．即抛物线的表达式是．(2)解：令，则，∴．当AC为正方形的对角线时，如图1所示，∵，∴点的坐标为，点的坐标为．设平移后得到抛物线的解析式为，把点E代入得，，解得∴抛物线的解析式是．当AC为边时，分两种情况，如图2，第①种情况，点，在AC的右上角时．∵，∴点的坐标为，点的坐标为．设，把点E的坐标代入得，，解得：∴抛物线的解析式是．第②种情况，点，在AC的左下角时，过点作轴，则∠MA＝∠AO＝90°，∵AC＝A＝A，∠AM＝∠AO，∴（AAS），∴＝2，＝2．过作轴，同理可得，，∴＝2，＝2．∴OM＝AO＋AM＝4，ON＝CO＋CN＝4，∴点的坐标为，点的坐标为，设，则，解得，即抛物线的解析式是．综上所述：的表达式为：，或．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，二次函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，分类讨论是解决此题的关键．6．已知二次函数的图象与x轴相交于点A和点，与y轴相交于点，抛物线的对称轴是直线．(1)求二次函数的表达式及A点的坐标；(2)D是抛物线的顶点，点E在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，直线BE交对称轴于点F，试判断四边形CDEF的形状，并说明理由．【答案】(1)，；(2)四边形CDEF是菱形，理由见解析．【分析】（1）将点B、C的坐标代入可求出，，然后根据对称轴公式可得，然后可求出a，b，得到二次函数解析式，再根据二次函数的对称性可得A点的坐标；（2）连接CE交二次函数对称轴于点H，由轴对称的性质可得E（－2，3），EH＝CH且DF⊥CE，利用待定系数法求出直线BE的解析式，然后可求得F（－1，2），再根据二次函数的性质求出点D的坐标，可得HD＝HF＝1，再由菱形的判定得出结论．（1）解：将点，代入，可得，∴，又∵抛物线的对称轴是直线，∴，∴，∴，，∴二次函数解析式为：，∵，抛物线的对称轴是直线，∴；（2）四边形CDEF是菱形，理由：如图，连接CE交二次函数对称轴于点H，∵，点E与点C关于抛物线的对称轴对称，∴E（－2，3），EH＝CH且DF⊥CE，∴H（－1，3），设直线BE的解析式为，代入，E（－2，3）得：，解得：，∴直线BE的解析式为，当x＝－1时，，∴F（－1，2），∵，∴D（－1，4），∴DH＝1，HF＝1，∴HD＝HF＝1，又∵HE＝HC，DF⊥EC，∴四边形CDEF是菱形．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，轴对称的性质，一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的判定等知识，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．7．如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝，其图象与直线y＝x＋2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为x0，当x0为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．【答案】(1)(2)x0＝1或2或【分析】（1）根据对称轴和C点坐标即可确定抛物线解析式；（2）因为OC和PE都垂直于x轴，所以只要PF＝OC就能确定以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，求出此时x0的值即可．（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝，∴对称轴x＝＝＝，∴b＝，又∵直线y＝x+2与y轴交于C，∴C（0，2），∵C点在抛物线上，∴c＝2，即抛物线的解析式为；（2）解：∵点P的横坐标为x0，且在抛物线上，∴P，∵F在直线y＝x+2上，∴F（x0，x0+2），∵PF∥CO，∴当PF＝CO时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，①当0＜x0＜3时，PF＝，∵OC＝2，∴，解得x01＝1，x02＝2，即当x0＝1或2时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，②当x0≥3时，PF＝，∵OC＝2，∴，解得x03＝，x04＝（舍去），即当x0＝时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，综上当x0＝1或2或时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数及平行四边形的性质等知识点，难点在第二小题中要分情况考虑P点在F点上和下两种情况．8．已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．(1)抛物线的解析式；(2)若点是轴左侧抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，则是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，点的坐标为或【分析】（1）根据待定系数法建立方程组即可求解；（2）求出点，设，将点的坐标代入可得，根据平行四边形的性质进行解答．（1）解：抛物线过，点，，解得：，抛物线的解析式为．（2）解：如图：抛物线的解析式为，令，则，解得，，，设，将点的坐标代入得，，，设点坐标为，则点坐标为，，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，，，，当时，解得，，此时点坐标为；当时，解得：（正数不合题意，舍去），若，则，此时点的坐标为，；综上，存在，点坐标为或，．【点睛】本题是二次函数综合题、考查了待定系数法、抛物线与坐标轴的交点、平行四边形的判定和性质，解题的关键是根据平行四边形的判定建立方程．9．如图,在坐标系中△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A(1,0),B(0,2),抛物线的图象过点（2，-1）及点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)求点C的坐标(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使以P，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)（3，1）(3)满足条件的P点只有一个，为(-2，1)【分析】（1）把点（2，-1）代入计算即可；（2）过点C作CD垂直轴于点D，利用全等即可求出C点坐标；（3）分别过A,B,C三点作对边的平行线，分类讨论.（1）把点（2，-1）代入得=∴该抛物线的解析式为（2）过点C作CD垂直轴于点D∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°∴BA=AC，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3

∴△BOA≌△ADC∴OA=DC，BO=AD∵A(1,0),B(0,2),∴OA=DC=1，BO=AD=2∴点C的坐标为（3,1）（3）分别过A,B,C三点作对边的平行线，交于P1、P2、P3①当AP//BC,且AP=BC时，如图:将点C向下平移1个单位向左平移2个单位与点A重合，点B也向下平移1个单位向左平移2个单位与点P1重合，则P1(-2,1)，经检验:点P1在抛物线上，故P1满足条件，②当BP//AC,且BP=AC时:由平移可得则P2(2,3)，经检验，P2不在抛物线上；③当CP//AB,且CP=AB时，由平移可得则P3(4,-1)，经分析，点P3不在抛物线上，不合题意.综上所述，满足条件的P点只有一个，为(-2,1).【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．10．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过A（0，-1），B（4，7）．(1)求抛物线的函数表达式；(2)把抛物线y=x2+bx+c向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得新抛物线．在新抛物线上是否存在一点M、新抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得以AB为边，且点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M，N的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=x2-2x-1；(2)存在，，M（6，12），N（2，4）或M（-2，12），N（2，20）．【分析】（1）把A（0，-1），B（4，7）代入抛物线y=x2+bx+c解方程组即可；（2）先根据（1）中解析式求出平移后函数解析式y=x2-4x，再N（2，n），然后分若四边形ABMN为平行四边形和若四边形ABNM为平行四边形两种情况，由平移的性质求出M坐标，再根据M在抛物线y=x2-4x上，得到关于n的方程，解方程求出n即可．(1)解：∵抛物线y=x2+bx+c经过A（0，-1），B（4，7），∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-1；(2)解：存在，理由如下：∵y=x2-2x-1=（x-1）2-2，∴顶点为（1，-2），把抛物线y=x2-2x-1向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则新抛物线顶点为（2，-4），∴新抛物线解析式为y=（x-2）2-4=x2-4x，∵点N在对称轴上，设N（2，n），①如图1，若四边形ABMN为平行四边形，∴AB∥MN，由平移可知，点A向右平移4个单位再向上平移8个单位到B，∴点N（2，n）向右平移4个单位再向上平移8个单位到M，∴M（6，n+8），∵点M在抛物线y=x2-4x上，∴n+8=62-4×6，解得，n=4，∴M（6，12），N（2，4）；②如图2，若四边形ABNM为平行四边形，∴AB∥MN，由平移知，点B（4，7）向左平移4个单位再向下平移8个单位到A（0，-1），∴点N（2，n）向左平移4个单位再向下平移8个单位到M（-2，n-8），∵点M在抛物线y=x2-4x上，∴n-8=（-2）2-4×（-2），解得，n=20，∴M（-2，12），N（2，20）．综上所述，M（6，12），N（2，4）或M（-2，12），N（2，20）．

【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、平移的性质、平行四边形的性质、用待定系数法求函数解析式等知识与方法，注意分类讨论．11．如图，抛物线与x轴交于点A(-2，0)，与反比例函数图象交于点B，过点B作BQ⊥y轴于点Q，BQ=1．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P是抛物线对称轴上一点，当BP+OP的值最小时，求线段QP的长；(3)若点M是平面直角坐标系内任意一点，在抛物线的对称轴上是否存在一点D，使得以A，B，D，M为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，，，，，（-1，2）【分析】（1）根据反比例函数的解析式求得点点的坐标，结合点的坐标，待定系数法求解析式即可；（2）设点P的坐标为：（-1，p）作点О关于抛物线称轴的对称点，恰好为点A，连接AB，与抛物线对称轴将才点P，连接OP，PQ．求得直线AB的表达式为，将点代入，可得的值，进而求得点的坐标，根据点B的坐标为（1，3），BQ⊥y轴，可得点Q的坐标为（0，3），勾股定理即可求解；（3）根据菱形的性质，分类讨论，①当为对角线时，，②当为边时，，分别根据勾股定理即可求解．(1)解：∵BQ=1，∴点B的横坐标为1，∵B在反比例函数的图象上，∴点B的纵坐标为3，∴点B的坐标为（1，3）．把点A（-2，0）、B（1，3）分别代入y=ax2+bx解得∴抛物线的表达式为．(2)由题意可知，该抛物线的对称轴为直线x=-1，设点P的坐标为：（-1，p）如解图，作点О关于抛物线称轴的对称点，恰好为点A，连接AB，与抛物线对称轴交于点P，连接OP，PQ．∵AP=OP，∴BP+OP=BP+AP，∴BP+OP的最小值为AB的长．设直线AB的表达式为y=kx+d，将点A(-2，0)，B(1，3)代入可得，，解得∴直线AB的表达式为．将点P的坐标代入直线AB的表达式可得，p=-1+2=1．∴点P的坐标为（-1，1）∵点B的坐标为（1，3），BQ⊥y轴，∴点Q的坐标为（0，3），∴；(3)，设则，，①当为对角线时，，解得②当为边时，时，解得（），（），时，解得（），（），综上所述（），（），（），（），（-1，2）【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，反比例函数，轴对称求最短线段和，菱形的性质，掌握以上知识是解题的关键．12．综合与探究如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点M是y轴右侧抛物线上一动点，过点M作的平行线，交直线于点D，交x轴于点E．(1)请直接写出点A，B，C的坐标及直线的解析式；(2)当时，求点D的坐标；(3)试探究在点M运动的过程中，是否存在以点A，C，E，M，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M的坐标，若不存在说明理由．【答案】(1)，，，(2)点(3)存在，点M的坐标为（3,4）或【分析】（1）令抛物线y=0，得，进行计算即可得点A，点B的坐标，令抛物线x=0，得，即可得点C的坐标，令直线的解析式为，将点B的坐标和点C的坐标代入即可得；（2）过点D作轴，垂足为F，根据平行线的性质得，根据轴，可得，即可得，根据相似三角形的性质得，在直角中，根据勾股定理得，AC=5，则，设点D横坐标为t，则，即可得出EF，DE，根据，，求解出t即可；（3）分情况讨论，过点C作轴交抛物线于点M，作，则四边形AEMC为平行四边形，此时点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，即当y=4时，，进行计算求出满足要求的解；当且时，四边形AEMC为平行四边形，此时M的横坐标为-4，即y=-4时，，计算求出满足要求的解即可．（1）解：令抛物线y=0，得，解得，，，∴，，令抛物线x=0，得，∴，令直线的解析式为，将点和点代入得，解得，，∴直线BC的解析式为：；（2）解：过点D作轴，垂足为F，∵，∴，∵轴，∴∴，∴，在直角中，根据勾股定理得，，∴，设点D横坐标为t，则，∴，，∵，，∴，解得，当时，，∴点．（3）解：①过点C作轴交抛物线于点M，作，则四边形AEMC为平行四边形，此时点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，∴当y=4时，，整理得∴解得，（舍），，∴；②如图所示，当且时，四边形AEMC为平行四边形，此时M的纵坐标为-4，∴y=-4时，，整理得解得，，（不合题意，舍去），∴点M的坐标为；综上，M的坐标为（3,4）或．【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，解题的关键在于对知识的熟练掌握．13．综合与探究如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A(−2，0)，B(4，0)，点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PE⊥x轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F．(1)求二次函数的表达式．(2)当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段，求此时点P的坐标．(3)试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，点Q的坐标为(0，2)或(0，4)或(0，-4)．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）利用待定系数法求得直线BC的表达式为，用m表示点P、E、F的坐标，根据，列方程求解即可；（3）分当FP=FC和FP=PC时，两种情况讨论，建立方程，解方程即可求解．(1)解：∵二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A(−2，0)，B(4，0)，∴，解得，∴二次函数的表达式为y=-；(2)解：令，得，∴点C(0，4)．∵B(4，0)，C(0，4)，设直线BC的表达式为，∴，解得，∴直线BC的表达式为；设点的横坐标为，则，，．∴，，当时，．解得，（舍去）．当时，．∴点坐标为；(3)解：由（2）得，，，C(0，4)，当FP=FC时，∴=，整理得：m2-(4-2)m=0或m2-(4+2)m=0，解得：m=0(舍去)或m=4-2或m=4+2，∴CQ=PF=4-4或4+4，如图①，当点Q在点C上方时，点Q(0，4)；如图②，当点Q在点C下方时，点Q(0，-4)；；当FP=PC时，∴=，整理得：m2-2m=0，解得：m=0(舍去)或m=2，∴CQ=PF=2，∴点Q(0，2)；综上，点Q的坐标为(0，2)或(0，4)或(0，-4)．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质．14．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，点E的坐标为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点E，F关于抛物线的对称轴直线l对称，Q点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点P，使得以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，点P的坐标为或或【分析】（1）先根据一次函数求出B，C点的坐标，再代入，解二元一次方程组即可；（2）先求出抛物线的对称轴，进而求出点F的坐标，分EF为菱形的对角线和EF为菱形的边两种情况讨论，根据菱形对角线互相垂直、四条边长相等的性质作出大致图形，即可求解．(1)解：∵已知直线的解析式为，∴当时，，解得，当时，，∴，，∵抛物线经过B、C两点，∴，解得，∴抛物线的函数表达式为；(2)解：∵抛物线的函数表达式为，∴对称轴直线l的表达式为，∵点E的坐标为，点E，F关于抛物线的对称轴直线l对称，∴点F的坐标为，以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：①当EF为菱形的对角线时，，如图所示，∵Q点是对称轴上的点，点P在抛物线上，∴此时点P为抛物线的顶点，∵当时，，∴；②当EF为菱形的边时，且，∵，∴，设Q点坐标为，则P点坐标为或，如图所示，∵，，∴，解得或当时，则，，，如图所示，经验证，和在抛物线上，符合题意；当时，则，，，如图所示，此时均不在抛物线上，不符合题意；综上所述，存在点P，使得以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为或或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到求二次函数的解析式、抛物线的对称轴、菱形的性质等，其中第2问要注意分类求解，避免遗漏．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点（点P不与点B，C重合），连结PB，PC，以PB，PC为边作平行四边形CPBD，点P的横坐标为m．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)当平行四边形CPBD有两个顶点在x轴上时，点P的坐标为；(3)当平行四边形CPBD是菱形时，求m的值．【答案】(1)(2)（2，-3）(3)【分析】（1）利用交点式求抛物线的解析式；（2）先确定点D在x轴上，再利用平行四边形的性质可判断PC∥x轴，然后根据抛物线的对称性确定点P的坐标；（3）设而先求解，当平行四边形CPBD是菱形时，可得再解方程即可．(1)解：由题意可得：抛物线的解析式为y=（x+1）（x-3），即y=x2-2x-3；(2)解：由（1）可得，点C(0，-3)，∵平行四边形CPBD有两个顶点在x轴上，∴点D在x轴上，而，∴点P和点C为抛物线上的对称点，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴点P的坐标为（2，-3）；(3)解：设而令则当平行四边形CPBD是菱形时，整理得：解得：即：【点睛】本题考查的利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与特殊四边形，勾股定理的应用，熟练的运用二次函数的性质与特殊四边形的性质解题是关键．16．如图已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交二次函数的图象于点B，连接．(1)求该二次函数的表达式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向上平移个单位，使平移后每到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围；(3)若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)二次函数解析式为，点M的坐标为（1，-5）(2)(3)当点Q的横坐标为时，四边形CEQP为顶点的四边形为菱形【分析】（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，进而求得该二次函数的表达式，通过配方法得到点M的坐标；（2）点M是沿着对称轴直线向上平移的，可先求出直线AC的解析式，将代入求出点M在向上平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；（3）由题意分析可得，设点坐标，根据菱形的性质，列方程求解，即可求出点Q坐标．(1)解：把点A（3，-1），点C（0，-4）代入二次函数得：，解得：，∴二次函数解析式为，配方得，∴点M的坐标为（1，-5）；(2)解：设直线AC解析式为，把点A（3，-1），点C（0，-4）代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为，如图所示，对称轴直线与△ABC两边分别交于点E、点F，把代入直线AC解析式，得：，∴点E坐标为（1，-3），点F坐标为（1，-1），∴，解得：；(3)解：存在点Q使以C、E、P、Q为顶点的四边形为菱形，理由如下：如图，由题意可知，且，过点P作轴于点H，直线AB与y轴交于点D设点P坐标为（m，m-4）则点Q坐标为（m，）∴AD=CD=3∴为等腰直角三角形∴∴CH=PH=m根据勾股定理可知∵∴解得（舍）∴点Q的横坐标为∴当点Q的横坐标为时，四边形CEQP为顶点的四边形为菱形【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、菱形的判定及其性质，掌握以上知识点是解题的关键．17．如图，抛物线与轴交于点，抛物线经过点，点是轴上一动点．(1)求此抛物线的函数表达式；(2)抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，所有满足条件的点的坐标为或或或【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；（2）设，，分①、为对角线、②、为对角线和③、为对角线三种情况，分别根据平行四边形的对角线互相平分建立方程，解方程即可得．（1）解：将点代入得：，解得，则此抛物线的函数表达式为．（2）解：存在，求解过程如下：设，，由题意，分以下三种情况：①当、为对角线时，、的中点重合，则，即，此方程根的判别式为，方程没有实数解；②如图，当、为对角线时，、的中点重合，则，解得，由得：，则此时点的坐标为或；③如图，当、为对角线时，、的中点重合，则，解得，由得：，则此时点的坐标为或；综上，存在，所有满足条件的点的坐标为或或或．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的几何应用、平行四边形的性质、一元二次方程的应用等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键．18．如图，抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与y轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相较于点C，顶点为D．(1)直接写出A、B、C三点的坐标；(2)连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示PF的长，并求出当m为何值时四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．【答案】(1)A（-1，0），B（3，0），C（0，3）(2)①当m=2时，四边形PEDF为平行四边形②S=-m2+m（0≤m≤3）【分析】（1）已知了抛物线的解析式，当y=0时可求出A，B两点的坐标，当x=0时，可求出C点的坐标．（2）①PF的长就是当x=m时，抛物线的值与直线BC所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出BC所在直线的解析式，然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中，求得出两函数的值的差就是PF的长．根据直线BC的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出DE的长，然后让PF=DE，即可求出此时m的值．②可将三角形BCF分成两部分来求：一部分是三角形PFC，以PF为底边，以P的横坐标为高即可得出三角形PFC的面积．一部分是三角形PFB，以PF为底边，以P、B两点的横坐标差的绝对值为高，即可求出三角形PFB的面积．然后根据三角形BCF的面积=三角形PFC的面积+三角形PFB的面积，可求出关于S、m的函数关系式．（1）解：令y=0，则0=-x2+2x+3，解得：x=-1或3，∵抛物线y=-x2+2x+3与x相交于AB（点A在点B左侧），∴A（-1，0），B（3，0），令x=0，则y=3，∵抛物线与y轴相交于点C，∴C（0，3）．（2）解：①设直线BC的函数关系式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，3）分别代入，得，解得：，∴直线BC的函数关系式为y=-x+3．当x=1时，y=-1+3=2，∴E（1.2）．当x=m时，y=-m+3，∴P（m，-m+3）在y=-x2+2x+3中，当x=1时，y=4，∴D（1，4）．当x=m时，y=-m2+2m+3，∴F（m，-m2+2m+3），∴线段DE=4-2=2，线段PF=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m，∵PFDE，∴当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形．由-m2+3m=2，解得m=2或m=1（不合题意，舍去）．因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3．∵S=S△EPF+S△CPF，即S=PF•BM+PF•OM=PF（BM+OM）=PF•OB，∴S=×3（-m2+3m）=-m2+m（0≤m≤3）.【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，根据二次函数得出相关点的坐标是解题的基础，其中用到的知识点有平行四边形的判定和性质、解一元二次方程、用待定系数法确定一次函数的解析式，三角形面积公式的运用．19．已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，）三点，顶点为D．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求经过A、D两点的直线的表达式；(3)设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可；（2）根据（1）的结论求得点的坐标，进而待定系数法求一次函数解析式即可；（3）根据题意分①当为对角线时，②当为对角线时，两种情形讨论，根据平行四边形的性质以及点的平移知识进行求解即可．(1)解：二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，）三点，设抛物线的解析式为，将代入得，解得抛物线的解析式为∴二次函数解析式为；(2)解：∵设经过A、D两点的直线的表达式为，将A（1，0），代入得，解得经过A、D两点的直线的表达式为；(3)解：如图，为顶点的四边形是平行四边形①当为对角线时，，②当为对角线时，，综上所述，点P的坐标为或．【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，掌握二次函数与平行四边形的性质是解题的关键．20．如图，直线交横轴、纵轴分别于、两点，且直线的表达式为：，点为横轴上原点右侧的一点，且满足，抛物线经过点、、．(1)点、、的坐标分别为______、______、______；(2)求抛物线表达式；(3)如图，点为直线上方、抛物线上一点，过点作矩形，且轴，求当矩形为正方形时点的坐标．【答案】(1)（﹣3，0），（1，0），(2)(3)【分析】（1）先求得点A和点C的坐标，得到OA和OC的长，得到AC2，然后求得AB的长，得到点B的坐标；（2）由点A（﹣1，0）、B（1，0）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），然后代入点C的坐标得到a的值，从而得到抛物线的表达式；（3）设点D的坐标，然后得到点F的坐标，即可得到DH和DF的长，然后利用正方形的性质列出方程求解，即可得到点D的坐标．(1)解：对，当x＝0时，，当y＝0时，x＝﹣3，∴点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为，∴OA＝3，OC＝，∴AC2＝OA2+OC2＝9+3＝12，∵AC2＝AO•AB，∴12＝3AB，∴AB＝4，∴点B的坐标为（1，0），故答案为：（﹣3，0），（1，0），．(2)由点A（﹣3，0）、B（1，0）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将点代入y＝a（x+3）（x﹣1）得，，∴，∴抛物线的表达式为．(3)设点D的坐标为，抛物线的对称轴为：点F的坐标为，∴DH＝，∵四边形DFEH为正方形，∴DH＝DF，即，解得：（舍）或，当时，∴点D的坐标为．【点睛】本题考查了勾股定理，二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，解题的关键是熟知二次函数图象上点的坐标特征．21．如图，已知直线与抛物线交于点P(，4)，与轴交于点A，与轴交于点C，PB⊥轴于点B，且AC=BC，若抛物线的对称轴为，且S△PBC=8．(1)求直线和抛物线的函数解析式；(2)物线上是否存在点D，使以B、C、P、D为顶点的四边形是为菱形?如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】(1)(2)存在，点D的坐标为（8，2）【分析】（1）利用待定系数法，构建方程组即可解决问题；（2）首先证明CB＝CP，作CD⊥PB，则CD平分PB，当PB平分CD时，四边形BCPD为菱形，此时点D的坐标为（8，2），只要证明点D在抛物线上即可；(1)解：∵PB⊥x，P（a，4），S△PBC＝8，∴，PB＝4，∴，∴OB＝4，∴点P的坐标为（4，4），∵AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形∵CO⊥AB，∴OA＝OB＝4，∴点A的坐标是（﹣4，0），把点A、P的坐标代入y＝kx+b得：，解得：，∴直线的解析式为，∵的对称轴为，且经过点P（4，4），∴

解得：∴抛物线的解析式为；(2)解：∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵∠CAB+∠APB＝∠CBA+∠CBP＝90°，∴∠APB＝∠CBP，∴CB＝CP，作CD⊥PB，则CD平分PB，当PB平分CD时，四边形BCPD为菱形，此时点D的坐标为（8，2），把x＝8代入，得，∴点D在抛物线上，∴在抛物线上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时点D的坐标为（8，2）．【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．专题07二次函数中的等角问题1．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A（－1，0），与x轴的另一交点为B，与y轴正半轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，与x轴交于点G．(1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)抛物线的对称轴上存在点P，且点P在x轴上方时，满足∠APB=∠ABC，求PG的长．2．如图，抛物线经过点A（2，3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且．(1)求该抛物线的解析式；(2)点D在y轴上，且，求点D的坐标；(3)点P在直线AB上方的抛物线上，当△PAB的面积最大时，直接写出点P的坐标．3．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，交y轴于点C．已知A（﹣3，0），C（0，﹣3），抛物线的顶点为点D．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式，直接写出顶点D的坐标．（2）P是抛物线上的一动点，当∠PBO＝∠CAO时，则点P的坐标为．4．已知抛物线经过点和点，与轴负半轴交于点，．（1）求抛物线的解析式；（2）若在轴上方有一点，连接后满足，记的面积为，求与的函数关系．5．如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线的顶点，求的面积；（3）抛物线上是否存在点P，使，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，且与x轴的负半轴交于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点D为直线上方抛物线上的一点，，直接写出点D的坐标．8．如图，已知抛物线经过三点，点D在该抛物线的对称轴l上．(1)求抛物线的表达式；(2)若，求的度数及点D的坐标；(3)若在（2）的条件下，点P在该抛物线上，当时，请直接给出点P的坐标．9．如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，3)，点A在原点左侧，2CO=9AO，连接BC．(1)求点A坐标：(2)求该抛物线的解析式：(3)点D在该抛物线上，∠DCB=∠ABC，求出点D的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中二次函数y＝ax2+bx+3的图象过点A，B两点，其坐标分别为(﹣5，0)，(﹣2，3)．(1)求二次函数的表达式；(2)点C在抛物线上，若∠ABC＝90°，求点C的坐标；(3)在（2）的条件下，BC与y轴交于点D，点P在抛物线上，若∠PBC＝∠OAD，直接写出点P的坐标．11．抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点D（m，3）在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接BC、BD，点P在对称轴左侧的抛物线上，若∠PBC＝∠DBC，求点P的坐标；(3)如图2，点Q为第四象限抛物线上一点，经过C、D、Q三点作⊙M，⊙M的弦QF∥y轴，求证：点F在定直线上．12．如图1抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C顶点为D，对称轴交x轴于点Q，过C、D两点作直线CD．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，连接CQ、CB，点P是抛物线上一点，当∠DCP=∠BCQ时，求点P的坐标；(3)若点M是抛物线的对称轴上的一点，以点M为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点M的坐标．13．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-4，0）和点B（5，）（1）求证:a+b=；（2）若抛物线经过点C（4，0）①点D在抛物线上，且点D在第二象限，并满足∠ABD=2∠BAC，求点D的坐标；②直线y=kx-2（k≠0）与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），点P是直线MN下方的抛物线上的一点，点Q在y轴上，且四边形MPNQ是平行四边形，求点Q的坐标14．如图①，二次函数（a≠0）的图象经过点A（，），并且与直线相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；（3）如图②，过点A，C作直线，求证AC⊥BC；（4）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式；若不存在，请说明理由．专题07二次函数中的等角问题1．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A（－1，0），与x轴的另一交点为B，与y轴正半轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，与x轴交于点G．(1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)抛物线的对称轴上存在点P，且点P在x轴上方时，满足∠APB=∠ABC，求PG的长．【答案】(1)，对称轴为x=1(2)2+【分析】（1）根据题意待定系数法求解析式即可，根据二次函数的性质即可求得对称轴；（2）先根据抛物线解析式求得OB=OC=3，并求出∠ABC=45°，再根据二次函数的对称性质及等腰三角形的性质推出∠MPB=∠MBP，则由等腰三形判定得MP=MB，最后由勾股定理即可求解．（1）把A（－1，0）、C（0，3）分别代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为，∴对称轴为，∴抛物线的解析式为，对称轴为x=1．（2）令y=0得：，解得：，，∴OB=OC=3，∴∠ABC=45°，∵∠APB=∠ABC=45°，且PA=PB，∴∠PBA＝（180°－45°）＝67.5°，∴∠MPB＝∠APB＝22.5°，∵∠MBP=67.5°－45°=22.5°，∴∠MPB=∠MBP，∴MP=MB，在Rt△BMG中，BG=MG=2，由勾股定理可得：BM＝，∴MP＝，∴PG＝MG+MP＝2+．【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，角度问题，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．2．如图，抛物线经过点A（2，3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且．(1)求该抛物线的解析式；(2)点D在y轴上，且，求点D的坐标；(3)点P在直线AB上方的抛物线上，当△PAB的面积最大时，直接写出点P的坐标．【答案】(1)(2)点D的坐标为（0，1）或（0，－1）(3)P（，）【分析】（1）待定系数法即可得到结论；（2）过点A作轴，垂足为H，△AHB是等腰直角三角形．得，即可得到结论；（3）如图2，过点P作PG⊥x轴交直线AB于G，利用直线与抛物线的解析式，以及三角形面积公式列出二次函数关系式，由二次函数最值的求法解答．（1）解：由，令．∴C（0，3），∴∵，点B在x轴负半轴上，∴B（－1，0）把A（2，3），B（－1，0）两点分别代入中，得，解得∴抛物线的解析式为：（2）∵A（2，3），C（0，3）

∴AC//x轴．过点A作轴，垂足为H∴．∴△AHB是等腰直角三角形．∴．由，点D在y轴上，得．∴点D的坐标为（0，1）或（0，－1）．（3）如图，过点P作PG⊥x轴交直线AB于G，设P（x，-x2+2x+3），设直线AB的解析式为y=kx+b，由点A（2，3），B（-1，0）得到直线AB为：y=x+1．∴G（x，x+1）．∴PG=-x2+2x+3-x-1=-x2+x+2．∴S△PAB=PG•（2+1）=（-x2+x+2）×3=-（x-）2+．∴当x=时，△PAB的面积最大．此时P（，）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．3．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，交y轴于点C．已知A（﹣3，0），C（0，﹣3），抛物线的顶点为点D．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式，直接写出顶点D的坐标．（2）P是抛物线上的一动点，当∠PBO＝∠CAO时，则点P的坐标为．【答案】（1），（-1，-4）；（2）（-2，-3）或（-4，5）【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，抛物线过A（﹣3，0），C（0，﹣3），代入解析式得：，解方程组，求出解析式配方为顶点式即可；（2）先用待定系数法求出AC解析式，设PB解析式为，过点B（1，0）根据PB∥AC，得出，PB解析式为，联立方程组求解得出点P（-4，5）再根据OA=3，OC=3，∠AOC=90°，OA=OC，△AOC为等腰直角三角形，当PB⊥AC时，∠CAO=∠OBP=45°，△EOB为等腰直角三角形，求出PB解析式为，联立方程组即可．【详解】解：（1）∵抛物线过A（﹣3，0），C（0，﹣3），代入解析式得：，解得：，抛物线，抛物线，抛物线的顶点（-1，-4）；（2）当PB∥AC时，∠CAO=∠PBO，设AC解析式为把A、C坐标代入得：，解得，AC解析式为，设PB解析式为，过点B（1，0），∵PBAC，∴，∴，∴，∴PB解析式为，点P在直线PB与抛物线上，∴，消去y得，解得，，点P（-4，5），，点B（1，0），∵OA=3，OC=3，∠AOC＝90°，OA=OC，∴△AOC为等腰直角三角形，当PB⊥AC时，∠CAO=∠OBP=45°，PB交y轴于E，∵∠BOE=90°，∴OE=OB=1，点E（0，-1），设BE解析式为，把B、E坐标代入得：，解得，∴BE解析式为，点P在直线BE与抛物线上，，消去y得，解得，当，P（-2，-3），当，B（1，0）．综合得当∠PBO＝∠CAO时，则点P的坐标为（-2，-3）或（-4，5）．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，配方顶点式，一次函数解析式，联立方程组，解方程组，分类讨论思想，掌握待定系数法求抛物线解析式，配方顶点式，一次函数解析式，联立方程组，解方程组，分类讨论思想是解题关键．4．已知抛物线经过点和点，与轴负半轴交于点，．（1）求抛物线的解析式；（2）若在轴上方有一点，连接后满足，记的面积为，求与的函数关系．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由题意易得抛物线的解析式为，，则有，进而代入求解即可；（2）作射线与轴的交点记作点，由题意易证，则有，然后可得直线的解析式为，直线的解析式为，过点作轴的平行线交于，进而可得，最后根据割补法可求解问题．【详解】解：（1），，对称轴为直线，抛物线的解析式为，，，，，，，，抛物线的解析式为；（2）如图，，作射线与轴的交点记作点，，，，．设直线的解析式为，则有，解得直线的解析式为点在直线上，，，直线的解析式为过点作轴的平行线交于，，．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．5．如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线的顶点，求的面积；（3）抛物线上是否存在点P，使，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）3；（3）存在，P1（2，3），P2（4，-5）【分析】（1）运用待定系数法将代入，即可求解；（2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，即可求得答案；（3）先求出点C关于对称轴的对称点；先运用待定系数法求出直线的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与平行的直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解．【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（-1，0），B（3，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）在中，令时，得：，∴C（0，3），设直线的解析式为，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线的解析式为，∵，∴D（1，4），过点D作轴交直线于点E，∴E（1，2），∴，∴；（3）抛物线上存在点P，使，①当点P是抛物线上与点C对称的点时，则有，∵点C（0，3）关于对称轴的对称点坐标为（2，3），∴，②当直线时，则有，∵直线的解析式为，∴直线的解析式中一次项系数为，设与平行的直线的解析式为，将A（-1，0）代入，得：，解得：，∴直线的解析式为，联立抛物线解析式得：，解得：，（舍去），∴．综上所述，P1（2，3），P2（4，-5）．．【点睛】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积，互相平行的两直线的关系等，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键．6．如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，，【分析】（1）把点AB的坐标代入即可求解；（2）分点P在轴下方和下方两种情况讨论，求解即可．【详解】（1）∵二次函数的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）存在，理由如下：当点P在轴下方时，如图，设AP与轴相交于E，令，则，∴点C的坐标为(0，3)，∵A(-1，0)，B(3，0)，∴OB=OC=3，OA=1，∴∠ABC=45，∵∠PAB=∠ABC=45，∴△OAE是等腰直角三角形，∴OA=OE=1，∴点E的坐标为(0，-1)，设直线AE的解析式为，把A(-1，0)代入得：，∴直线AE的解析式为，解方程组，得：(舍去)或，∴点P的坐标为(4，)；当点P在轴上方时，如图，设AP与轴相交于D，同理，求得点D的坐标为(0，1)，同理，求得直线AD的解析式为，解方程组，得：(舍去)或，∴点P的坐标为(2，)；综上，点P的坐标为(2，)或(4，)【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质，解方程组，分类讨论是解本题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，且与x轴的负半轴交于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点D为直线上方抛物线上的一点，，直接写出点D的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）由直线解析式求得A、B点的坐标，再由A、B点的坐标待定系数法求抛物线解析式即可；（2）取AB中点E，连接OE，直角三角形斜边中线的性质和三角形外角的性质可得BD∥OE，求得直线OE的解析式，再由平移的性质可得直线BD的解析式，再与抛物线联立解方程，即可求得D点坐标；（1）解：在中，当时，；当时，，∴，把代入中，得∴∴．（2）解：如图，取AB中点E，连接OE，∵OE为Rt△ABO斜边中线，∴OE=AE，∴∠AOE=∠EAO，∴∠BEO=∠EOA+∠EAO=2∠OAE，∵∠ABD=2∠BAC，∴∠ABD=∠BEO，∴BD∥OE，∵A（4，0），B（0，2），∴E（2，1），∴OE所在直线解析式为y=x，∵直线OE向上平移2个单位可以得到直线BD，∴BD所在直线解析式为y=x+2，与抛物线相交时：=x+2，解得：x=0（B点）或x=2（D点），x=2代入y=x+2，可得y=3，∴D点坐标（2，3）；【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合，利用一次函数的平移求直线BD解析式是解题关键．8．如图，已知抛物线经过三点，点D在该抛物线的对称轴l上．(1)求抛物线的表达式；(2)若，求的度数及点D的坐标；(3)若在（2）的条件下，点P在该抛物线上，当时，请直接给出点P的坐标．【答案】(1)(2)，点D的坐标为(3)点P的坐标为或【分析】（1）由A、B、C的坐标，待定系数法求函数解析式即可；（2）根据抛物线的对称轴，设点D的坐标为，由，利用两点距离公式列方程求得m，再由△DAC的三边关系计算∠CDA即可；（3）点P的位置有两种情形，分别在直线的上方和下方：①当点P在直线的上方时，由，根据抛物线的对称性和C关于对称轴l对称，即可解答；②当点P在直线的下方时，根据P1C⊥y轴，得△CEB≌△CP1B（ASA），则CE=CP1，求得E点坐标，再与B点坐标得出直线BE的表达式；进而与抛物线联立求得P2坐标；（1）解：∵抛物线经过三点，∴，

解得：，∴抛物线的表达式为．（2）解：抛物线的对称轴l为，设点D的坐标为，∵，由两点距离公式可得：，，，∵，则，，解得：m=，即D（，），∴，，∵，∴；（3）解：如图：点P在直线的上方时，记为，点P在直线的下方时，记为，抛物线对称轴为l，与x轴交于点E，连接AC，①当点P在直线的上方时，∵，又，∴，∵A和B关于对称轴l对称，∴直线和关于对称轴l对称，又和C均在抛物线上，∴和C关于对称轴l对称，∵，对称轴l为，∴的坐标为；②当点P在直线的下方时，∵P1C⊥y轴，则∠ECB=∠P1CB=45°，∵∠EBC=∠P1BC，BC=BC，∴△CEB≌△CP1B（ASA），∴CE=CP1，∵的坐标为，∴，又，∴E的坐标为，∵，∴直线的表达式为，则由，解得的坐标为（另一点为B），综上所述点P的坐标为或．【点睛】本题考查了二次函数的性质，轴对称的性质，勾股定理及其逆定理，一次函数与二次函数的综合，此题综合性强难度大，结合对称的性质求二次函数与直线的交点是解题关键．9．如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，3)，点A在原点左侧，2CO=9AO，连接BC．(1)求点A坐标：(2)求该抛物线的解析式：(3)点D在该抛物线上，∠DCB=∠ABC，求出点D的坐标．【答案】(1)（-，0）(2)(3)（，3）或（，）【分析】（1）由题意可知OC=3，根据，可求，可知点A坐标；（2）A（-，0），点C（0,3）代入解析式即可；（3）如图分两种情况点：点D在直线BC上方和下方讨论即可．（1）解：由题意可知OC=3∵∴∴∴点A的坐标为（-，0）．（2）解：将点A（-，0），点C（0,3）代入解析式得解得：∴该抛物线的解析式为．（3）解：情况一：如图，过点C作交抛物线于点∴令解得∴点的坐标为（，3）情况二：如图，取BC中点M，过点M作交AB于点N，连接CN，并延长CN交抛物线与于点∵直线MN是线段BC的垂直平分线∴CN=BN∴由（2）可知令解得∴点B坐标为（9,0）设直线BC解析式为将点B（9,0），点C（0,3）代入得解得∴直线BC解析式为∵点M是BC中点∴点M坐标为（）∵∴直线MN的k为3设直线MN解析式为将点M（）代入得∴直线MN解析式为令，解得∴点N坐标为（4,0）设直线CN解析式为将点C（0,3），N（4,0）代入得解得∴直线CN解析式为将直线CN与抛物线联立得解得或∴点的坐标为（，）综上点D的坐标为（，3）或（，）．【点睛】本题是二次函数的综合，掌握待定系数法求解析式以及等腰三角形和平行线的性质是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中二次函数y＝ax2+bx+3的图象过点A，B两点，其坐标分别为(﹣5，0)，(﹣2，3)．(1)求二次函数的表达式；(2)点C在抛物线上，若∠ABC＝90°，求点C的坐标；(3)在（2）的条件下，BC与y轴交于点D