2022-2023学年云南省昆明市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年云南省昆明市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在复平面内，（3+i）i对应的点位于（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合4={x|/+x—6W0},B={-3,135},则AnB=()

A.{-3,1}B.{1}C.{3,5}D.[1,3}

3.若tana=2,则cos2a=()

43C21

A---D-

5555

4.将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（）

5.已知基函数/（x）为偶函数，且在（0,+8）上单调递减，则/（%）的解析式可以是（）

C./(%)=x~2D./(%)=%-3

A.f(x)=X2

6.“必＞0”是+的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.己知圆锥的顶点为P,底面圆心为。，PO=1,底面半径为2,M,N是底面圆周上两点,

且4MON=*则二面角P-MN—。的大小为（）

A—p~Q-n-

12D'6J4U'3

8.二战期间，为估计德军坦克的月生产能力，盟军请统计学家参与情报的收集和分析，统

计学家从缴获的德军坦克中，随机抽取某月生产的坦克编号作为样本来估计坦克月生产量.抽

取的坦克编号从小到大依次为X1，%2.....xn,假设坦克的月生产量为N（N＞功），Xi（i=

1,2,…,n）将区间（0,N]分成n+1个小区间：（0,xJ,（xltx2],..（xn_i，xn],（xn,N],统计

学家利用前n个区间的平均长度工来估计所有n+1个区间的平均长度，进而得到N的估计值.

若抽取的某月生产的坦克编号为2,13,41,75,107,118,159,194,206,230,则N的

估计值为（）

A.236B.253C.360D.420

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.函数、=（：05（2%-今图象上所有的点经过变换得到函数y=s讥2%的图象，这种变换可以

是（）

A.向左平行移动萼个单位长度B.向左平行移动若个单位长度

o1Z

C.向右平行移动会个单位长度D.向右平行移动雪个单位长度

o1Z

10.高一某次数学考试中，某班学生原始成绩最高分为100分，最低分为20分，现将每个学

生的原始分数%按丫=。％+”见匕为常数，a>0）进行转换，y是转换后的分数，转换后，全

班最高分为100分，最低分为60分，则下列结论正确的是（）

A.转换后分数的众数的个数不变

B.转换后分数的标准差是原始分数标准差的0.5倍

C.转换后分数的平均数一定大于原始分数的平均数

D.转换后分数的中位数一定大于原始分数的中位数

11.已知函数/。）=[3工1'则下列结论正确的是（）

（2x-2,x>1,

A.函数y=/（x）有两个零点

B.函数y=f（x）的值域是[-1,+8）

C.函数y=f（x+2）的单调递减区间为（一%3）

D.不等式f（x）<2的解集为（-8,2]

12.正方体-的棱长为1,P为线段4G上的动点，则下列结论正确的是（）

A.平面4BD〃平面8停。1

B.BP1B]C

C.直线CD】与BP所成的角可以为直角

D.P€平面a,且AC】_L平面a,则平面a截正方体所得截面面积的最大值为手

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若向量落3满足|a|=|b|=1,\a—b\—贝腺与b的夹角为.

14.己知函数/⑶=|10g3%|的定义域为由m],值域为[0,1],则满足要求的一个机的值为

15.从某地随机抽取100户居民进行月用电量调查，每户居民的月用电量都在50KW-/i至

300KVV，之间，分组后画出频率分布直方图如图，则根据直方图估计该地居民月用电量的

第80百分位数为.

050100150200250300月用电后/(kW・h)

16.在梯形力BCD中，AB//CD,/-BAD=pAB=AD=2CD=2,P为线段BC上的动点，

则方•丽的最小值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知函数/(x)=2\/~3sinxcosx+sin2x—cos2x.

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)求/(x)在区间［0,夕上的最大值和最小值.

18.(本小题12.0分)

新高考实行“3+1+2”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考：

“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科：“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、

思想政治中任选两科.某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选

一科.

Q)从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合

该大学某专业报考条件的概率；

(2)甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率.

19.(本小题12.0分)

已知△4BC中，AB=3,cosB=々g，点。在线段BC上，BD=「,力。平分NB4C.

⑴求NBAC；

(2)求△4CC的面积.

20.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱ABC-AiBiC］中，M,N分别为棱BC,当&的中点.

(1)求证：AM〃平面4CN；

(2)若平面ABC1平面44//,AB=AC,=&B,点E满足方=4丽，1

求实数;I的值.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=aex+x(a>0).

(1)判断/(x)的单调性，并证明；

(2)当x20时，不等式/Q)飞+In?恒成立，求a的取值范围.

22.(本小题12.0分)

小乐所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型(图一)，该模型由两个相同的

部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板NCEM(图二)沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长

方形。CE尸卷后为圆柱。1。2的侧面,为准确画出裁前曲线，建立如图所示的以。为坐标原点的平

面直角坐标系(图二)，设PQ,y)为裁剪曲线上的点，作PH1无轴，垂足为H.

(1)设图二中线段。“卷后形成的圆弧例(图一)对应的圆心角为火rad),求x与。的关系式；

(2)求裁剪曲线y=/(x)的解析式.

y

M

图一图二

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：（3+i）i=-l+3i,对应的点（一1,3）位于第二象限.

故选：B.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：,：/+x-6W0,二（x+3）（x-2）W0,二-3SxW2,

A={x\-3<x<2},B={-3,1,3,5},

则4nB={-3,1}.

故选：A.

先将集合4表示出来，再与集合B找公共元素.

本题考查集合的运算，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：因为tana=2,

所以cos2a=-28s2a2___J_-1

sina+cos2atanza+l2+15

故选：D.

由已知利用同角三角函数基本关系式即可化简求解.

本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：由题意知，球内切于正方体，.•.2R=1,.•./?=：,

所以球的体积U6.（如=%即可能制作的最大零件的体积为泉

33'2，6o

故选：C.

先求出球的半径，然后利用球的体积公式求解即可.

本题考查球的体积公式，是基础题.

5.【答案】C

【解析】解：对于选项A,函数/(x)=A的定义域为［0,+8),因为定义域不关于原点对称，所以

函数人乃既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；

2

-

对于选项8,函数X3=泞，定义域为R,

又因为/(—x)=^/(―x)2==y(x),

所以f(x)为偶函数，

因为|>0,所以/。)=表在(0,+8)上单调递增，故B错误；

对于选项C,函数f(X)=X-2=3定义域为R,

又因为八一乃=17=*=/。)，所以/"(X)为偶函数，

因为一2<0,所以/'(X)=广2在(0,+8)上单调递减，故c正确：

对于选项D,函数/(%)=X-3=点，定义域为R,

又因为/(-乃=±=-+=-中)，所以/(x)为奇函数，故。错误.

故选：C.

根据事函数的单调性，以及函数奇偶性的定义，逐个判断各个选项即可.

本题主要考查了幕函数的奇偶性和单调性，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：由必>o可得卷:；或｛其Q.

当时，由基本不等式可得。鼻2,当a=b时，等号成立；

3>0ab

当时，2>0,£>°，由基本不等式可得?+?22,所以充分性满足；

挈+展2时,设t=2

aba

则有t+：22,由对勾函数的性质可得t>0,即2>0,可得就>0,所以必要性满足.

ta

故“ab>0”是+£22"的充要条件.

ab

故选：c.

由ab>0可得｛此概｛箕:，从而可得，牌2；由！+岸2,可得!>0,进而可得ab>0,

即可得答案.

本题考查了充要条件的判断，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：过点。作OE1MN,连接PE,

根据题意可得P。面MON,

因为MNu面MON,OEu面MON,

所以PO1MN,PO1OE,

因为。EJ.MN,POCOE=0,

所以MNl^POE,

又PEu面POE,

所以MNJ.PE,

所以二面角P-MN-。的平面角为NPE。，

因为P0=l,M,N是底面半径为2圆周上两点，且NM0N=全

所以OE=ON-cos300=2x?=y/'l,

所以tan/PE。=第=2=浮，

OEV33

所以NPE。=[.

O

故选:B.

过点。作OE1MN,连接PE,根据题意可得P。_L面M0N,进而可得P。1MN,PO1OE,推出MN1

面POE,进而可得MN1PE,则二面角P-MN-0的平面角为4PEO,计算tan4PE。，即可得出

答案.

本题考查二面角的大小，解题关键是找到二面角，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：因为统计学家利用前71个区间的平均长度零来估计所有71+1个区间的平均长度,

已知抽取的某月生产的坦克编号为2,13,41,75,107,118,159,194,206,230,

所以71=10,x10=230,

此时也=

J1010+1

解得N=253.

故选：B.

由题意，根据题目所给信息，列出等式即可求解.

本题考查样本估计总体，考查逻辑推理和运算能力.

9.【答案】BD

【解析】解：因为y=cos(2x-=sin(2x+7-J)=s讥2(x+工)，

再将函数向右平移:个单位，得到函数y=s讥2x的图象；

或者y—cos(2x一号)=sin(2x+-2n)—sin2(x一||兀)，

再将函数向左移:兀个单位，得到函数y=sin2x的图象.

故选：BD.

将已知函数由诱导公式化简成正弦形式，再由左右平移结论.

本题考查诱导公式及左右平行移动的应用，属于基础题.

10.【答案】ABC

【解析】解：根据题意，由于a>0,有点叱噌］：°°，解可得

即转换的规则为y=0.5x+50,由此分析选项：

对于4,转换后分数的众数的个数不变，A正确；

对于B,由于转换的规则为y=0,5x+50,转换后分数的方差是原始分数方差的(0.5)2倍，故转换

后分数的标准差是原始分数标准差的0.5倍，B正确；

对于C,设原始分数的平均分为3则转换后的平均数为0.51+50,必有或<100,

又由(0.51+50)-x=50-0.5x=0.5(100-%)>0.C正确；

对于D,当原始成绩的中位数为100时，其转化后成绩的中位数也为100,。错误.

故选：ABC.

根据题意，列出方程，求出a、b的值，由此分析选项是否正确，综合可得答案.

本题考查合情推理的应用，涉及数据平均数、中位数、众数和标准差的分析，属于基础题.

11.【答案】AD

【解析】解：当*<1时，/(%)=f==1+S，

'、'x-2x-2x-2

当x21时，/(%)=2x-2.

作出函数y=f(x)的图象如图：

由图可知，函数y=/(x)有两个零点：0和1,故A正确；

函数y=f(x)的值域是(一1,+8),故8错误；

函数y=/(%+2)的图象是把y=/(x)的图象向左平移2个单位得到的,

则函数y=/(x+2)的单调递减区间为(—8,-1),故C错误；

当x21时，由2才一2三2,得2*W4,即久W2,即1WXW2；

当尤<1时，由图可知自<2恒成立，即x<L

・••不等式f(x)S2的解集为(―8,2],故。正确.

故选：AD.

由已知函数解析式画出图形，数形结合判断ABD；由函数图象的平移求得减区间判断C.

本题考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：对于4因为ABCD—4B1GD1为正方体，所以Dp4i〃BiG，。出=8心,

又BC〃B]Ci，BC=BiG，所以Di&〃BC,=BC,

所以DM/C为平行四边形，所以48〃DiC,

又0平面8传。1，DiCu平面&CD1，

由直线与平面平行的判定定理得〃平面&CD,同理DB〃平面/CD1，

又A]BCDB=B,&Bu平面&BC,DBu平面4闻,

所以平面4BD〃平面BiCDi，故A正确；

对于B,1平面BCCiBi，8传u平面BCC1a,

•••BiC1AB,•：B]C1BCi，ABnBJ=B,AB,BJu平面48的。1，

•••B]C1平面48。也

vBPu平面ABC15，B[C1BP,故8正确；

对于C,连接B4,则B4IICD1，则4&BP或其补角为直线CD]与BP所成的角,

因为△44G三ABACi，所以&P=BP,

若直线CD1与BP所成的角为直角，贝IJ乙4/P=NP&B=90°,

则4&BP+4PA1B=180。，与三角形内角和定理矛盾，故C错误；

对于D,由正方体中心对称性可知，平面a经过对称中心所得截面的面积最大,

所以P为4cl的中点时，平面a截正方体所得截面的面积最大，

取4遇1的中点M,的中点N,DO1的中点E,

DC的中点尸，BC的中点G,BE1的中点H,

连接MN,NE,EF,FG,GH,HM,则MNEFGH为正六边形，

AAtMNc,[SiA1B1C1D1,AAX1MN,

**MN-LA】C[,AiC]C1AA-1=4],41C]，AA^u面441Ci，

MNJ"面ZU】Ci，「AC】u面44iG，MN_LAC】，

同理MH14Ci，

vMNCiMH=M,MN,MHu面MNEFGH,:.ACrL^MNEFGH,

所以平面a截正方体所得截面为正六边形MNEFGH时，面积最大，

其面积为6XTNM2=6XTX〈=^I故。正确.

4424

故选：ABD.

由题意得占B|平面8传。1，0B〃平面当。。1，由面面平行的判定定理可判断4由4C1AB,B】C1

BQ可证得81c1平面ABCWi，可判断8；连接B&,则44BP或其补角为直线CQ与8P所成的角，

结合三角形内角和定理可判断C;由正方体中心对称性可知，P为4cl的中点时，平面a截正方体所

得截面的面积最大，作出截面求出面积，可判断D.

本题考查空间中点线面的位置关系，空间直线与直线所成角等知识，属中档题.

13.【答案】y

【解析】解：设立与方的夹角为d6G[0,71],

v|a-K|=C，

.-.a2+b2-2a-b=3>即1+1—2cos。=3,解得cos。=一看

:.0A=y27.r

故答案为：y.

\a-b\=C两边同时平方，即可求解.

本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题.

14.【答案】2

【解析】解：令?n=2,则/'(x)=|log3%|在停,1)递减，在Q2］递增，

而后)=1>/(2)，〃1)=0，

故函数的值域是［0,1］,满足题意.

故zn=2.

故答案为：2.

根据函数/(乃的特点，写出一个满足条件的m的值即可.

本题考查了函数的定义域，值域问题，考查函数的单调性问题，是基础题.

15.【答案】220

【解析】解：已知月用电量在［200,250)和［250,300］之间的频率为50(0.004+0.0016)=0.28,

所以前三组的频率之和为1-0.28=0.72<0.8,

不妨设第80百分位数为X,

此时0.72+x50x0.004=0.8,

解得x=220.

故答案为：220.

由题意，根据百分数的定义以及所给信息，列出等式即可求解.

本题考查百分位数的应用，考查了数据分析和运算能力.

16.【答案】I

【解析】解：由题作出图形，以4为原点，AB,4。所在直线分别

为x,y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

X

则4(0,0),B(2,0),C(l,2),D(0,2),

设方=4方=4(1,-2)=(九一2；1)，其中0W2W1,

PQ+1,2-24),

PA=(-X-1.2A-2).PD=(-A-1,22)，

.-.PAPD=(-A-l)2+24(24-2)=5A2-22+1=5(A-1)2+%

・・・当；l="时，对而有最小值今

故答案为：

A为原点，AB,4D所在直线分别为x,y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，根据向量的坐标运

算和数量积运算，二次函数的最值计算可得.

本题考查平面向量的坐标运算和数量积运算，还考查了二次函数的最值，属于中档题.

17.【答案】解：(l)/(x)=讥2x-cos2x=2sin(2x-弓)，

所以/(x)的最小正周期为T=n.

(2)因为0-则—群2%—牌名

乙OOO

所以当％=。时,/(x)min—f(0)=-1；

当％=和寸，/(X)max=fG)=2.

【解析】(1)由三角恒等变换化简/(X),再由正弦函数的周期公式求解即可；

(2)由正弦函数的性质即可求解最值.

本题主要考查三角恒等变换的应用，正弦函数的周期，三角函数的最值的求法，考查运算求解能

力，属于基础题.

18.【答案】解：(1)由题意可知，所有选科组合为：

物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化地，史化政，史生地，史生政，史地

政，共12种，

记事件4="所选组合符合该大学某专业报考条件”，

则事件4包含的组合为：物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，共5种，

所以P(4)=卷；

(2)记事件Mi="甲符合该大学某专业报考条件”，事件M2=''乙符合该大学某专业报考条件”，

事件M="甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”，

由⑴可知，P(MQ=Pg)=。，

--一一77QC

所以P(M)=1-P(MI“2)=1-P(MI)P(“2)=1-£X£=泾

【解析】(1)利用古典概型的概率公式求解；

(2)利用独立事件的概率关系求解.

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

19.【答案】解：(1)在AaB。中，由余弦定理可得=482+8。2-248-BDcosB,

又AB=3,cosB=零，点D在线段BC上，BD=C，

即=9+7-2X3XV-7X亨，解得2。=2,

因为cosB所以sinB=^^，

由正弦定理得第=-4?77?即用=嘉端，

sinBsinZ.BADsinz_o/iz7

解得sinaB/D=?，

因为4。平分4BAC,

可得的。=热

所以NB4C=|兀；

(2)因为S-Bc=S4BD+S&ADC，即同B-AC-sm^BAC=^AB-AD-sin/BAC+^AC-AD-

sinZ.CAD,

即4B-AC-^-=AB-AD-+AC-AD-^，

即=+所以34C=6+2AC,解得AC=6,

则SMCO=\AD,AOsing=；x2x6x/=3H.

【解析1(1)A4BD中，由余弦定理可得4。的大小，再由正弦定理可得NB4C的大小，进而求出

NBAC的大小；

(2)由(1)及等面积法求出4c的大小，进而求出△4CD的面积.

本题考查正弦定理及余弦定理的应用，等面积法求三角形的面积的应用，属于中档题.

20.【答案】(1)证明：连接MN,则MN〃B&且MN=8Bi，又441//BB1且441=BBi，

所以44J/MN且力4=MN,所以四边形4遇MN为平行四边形，

所以4iN〃AM,又因为u平面&CN,AMC平面&CN,

所以4M〃平面4CN.

(2)解：取4B的中点0,连接40,因为4送=418,

所以a014B,由平面4BC_L平面

平面ABCC平面44出8=AB,40u平面44出3,所以40JL平面ABC,

因为8Cu平面ABC,所以40，BC,

连接0E,因为BiG〃BC,&EJ.B1G，所以AiE_LBC,

又AiOnAiE=4],所以BC_L平面为0E,

因为0Eu平面40E,所以BC10E,

又因为ZB=4C,所以AMJ.BC,所以0E〃AM,

所以E为MB的中点，即诙