江西省九江市永修县2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷

2023-2024学年江西省九江市永修县九年级第一学期月考数学试

卷（10月份）

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中

只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内.错选、多选或未选均不得分.

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.3x-1=0

B.ax2+bx+c=0（a,b,c为常数）

C.x2+x—3

D.39-2xy-5）2=0

2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A.对角线互相垂直B.对边相等

C.对角相等D.是中心对称图形

3.解方程n=4的结果为（）

A.x=2B.x=4C.xi=-2,xi=2D.xi=-4,也=4

4.如图，四边形ABC。是平行四边形，下列结论中错误的是（）

A.当时,它是正方形

B.当AC_LB。时,它是菱形

C.当AC=B£)时,它是矩形

D.当/ABC=90°时，它是矩形

5.已知关于x的一元二次方程/+限+0=0有一个非零实数根c,则b+c的值为（）

A.1B.-1C.0D.2

6.如图，把一张矩形纸片ABC。按如下方法进行两次折叠：第一次将D4边折叠到DC边

上得到D4',折痕为。M,连接4'M,CM,第二次将沿着MC折叠，M8边恰

好落在边上.若AD=1,则AB的长为（）

D.>/2-l

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

7.把一元二次方程x(x-3)=4化成ax^bx+c=O的一般形式，其中。=1,则常数项c

8.如图，在矩形A8C。中，对角线AC,80相交于点0,如果NAOB=25°,那么乙4。8

9.关于x的方程/-左+后二。有两个相等的实数根，则％的值是

10.若关于x的一元二次方程ajfi=b(ab>0)的两个根分别为m与2m-6,则m的值

为

11.如图，在平面直角坐标系中，四边形0ABe是正方形，点A的坐标是(2,1),则点C

12.如图，在菱形ABCD中，AB=20,乙4=45°，点E在边AB上，AE=13,点P从点A

出发，沿着A-O-CfB的路线向终点8运动，连接PE,若△APE是以AE为腰的等腰

三角形，则AP的长可以是

DC

AEB

三、解答题(本大题共6小题，每小题3分，共30分)

13.解方程：x2-?%-1=0.

14.如图，在Rt/XABC中，ZACB=90°，。为AB的中点，乙4=30°,BC=2,求CQ

15.如图，矩形ABC。的对角线AC,80相交于点。，过点C作8。的平行线交AB的延长

16.如图，菱形4BC。的对角线AC,相交于点O,过点4作4ELBC于E,若OB=2,

S第彩ABCO=4,求AE的长.

17.如图，ZV1CB和△CE。都是等腰直角三角形，点B,C,E在同一直线上，且E是BC

的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).

(1)在图1中，作oABMC；

(2)在图2中，作正方形ACBN.

BB

图1图2

18.如图，矩形绿地的长为12〃?，宽为9,〃，将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地

面积增加了72〃落求绿地的长、宽增加的长度.

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

19.设关于x的一元二次方程为^+bx+c=O.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的

值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.

①b=2,c=l；

②b=l,c—2；

③〃=3,c=-1；

@b=-3,c=2.

注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分.

20.定义：如果关于x的-•元二次方程or2+bx+c=0（“#0）满足。=a+c,那么我们称这个

方程为“完美方程”.

⑴下面方程是“完美方程”的是.（填序号）①N-4X+3=0；②及+/3=0；

③"-X-3=0.

（2）已知3/+加r+〃=0是关于x的“完美方程”，若机是此“完美方程”的一个根，求

m的值.

21.如图，在。48。中，E,尸分别是边C£>,8c上的点，连接BE,DF,BE与DF交于

点P,BE=DF.添加下列条件之一使口ABC。成为菱形：①CE=b；②DFA.

BC.

（1）你添加的条件是（填序号），并证明.

（2）在（1）的条件下，若NA=45°,△2FP的周长为4,求菱形的边长.

B

F

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

22.【阅读】

解方程：（x-1）2-5（X-1）+4=0.

解：设x-l=y,则原方程可化为炉-5y+4=0,

解得yi=l,y2=4.

当y=l时，即x-l=l,解得x=2；

当y=4时，即x-l=4,解得x=5.

所以原方程的解为第=2,X2=5.

上述解法称为“整体换元法”

【应用】

（1）若在方程—^^-=0中，设，则原方程可化为整式方

XX-1X

程：.

（2）请运用“整体换元法”解方程：（2x-3）2-（2x-3）-2=0.

23.如图1,在。A8CD中，点E,F在对角线AC上，AE=CF,DEYAC,过点。作£>G〃

AC交的延长线于点G.

（1）求证：四边形QEFG是矩形.

（2）如图2,连接。F,BE,当时，判断四边形QEFG的形状，并说明

理由.

六、解答题（本大题共12分）

24.（1）如图1,在正方形ABCD中，F为对角线AC上一点，连接BF,DF.图中的全等

三角形有（写出一对即可，不必证明）.

(2)如图2,P为OF延长线上一点，且DP交BC于点、E.判断△BPE的形

状.并说明理由.

(3)如图3,过点尸作”尸，BF交。C的延长线于点儿

①求证：HF=DF.

②若AB=E+1,ZCBF=30°，请直接写出C”的长.

图I图2

参考答案

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中

只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内.错选、多选或未选均不得分.

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.3x-1=0

B.ax2+hx+c—0（a,h,c为常数）

C.x2+x=3

D.3x2-2xy-5）2=0

【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的

整式方程叫做一元二次方程判断即可.

解：A.方程3x-1=0不是一元二次方程，故本项不符合题意；

B.方程ax2+fcr+c=0当。=0时不是一元二次方程，故本项不符合题意；

C.方程/+彳=3符合定义，是一元二次方程，故本项符合题意；

D.方程3/-2孙-5产=0含有两个未知数，不是一元二次方程，故本项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的

定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.

2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A.对角线互相垂直B.对边相等

C.对角相等D.是中心对称图形

【分析】利用菱形的性质和平行四边形的性质进行判断可求解.

解：A、菱形具有对角线互相垂直平分，平行四边形具有对角线互相平分，符合题意；

8、菱形具有对边相等，平行四边形具有对边相等，不符合题意：

C、菱形具有对角相等，平行四边形具有对角相等，不符合题意；

。、菱形是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形，不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质和平行四边形的

性质是解题的关键.

3.解方程？=4的结果为（)

A.x=2B.x=4C.xi=-2,X2=2D.x\=-4,X2=4

【分析】两边直接开平方即可.

解：匕2=4,

*-2,X2~~2,

故选：C.

【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方

法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.

4.如图，四边形A8C。是平行四边形，下列结论中错误的是（）

A.当时，它是正方形

B.当时，它是菱形

C.当时，它是矩形

D.当/ABC=90°时，它是矩形

【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定可得出答案.

解：•••四边形ABCO是平行四边形，

.•.当AB=8C,平行四边形4BCO是菱形，但不一定是正方形，故选项A错误，符合题

士.

足、;

当ACLB。，平行四边形ABCD是菱形，故选项B正确，不符合题意；

当AC=B£>,平行四边形ABC。是矩形，故选项C正确，不符合题意；

当NA8C=90°,平行四边形ABC。是矩形，故选项。正确，不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它

们各自的判定方法.

5.己知关于x的一元二次方程N+6x+c=0有一个非零实数根c,则b+c的值为（）

A.1B.-1C.0D.2

【分析】由关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有一个非零实数根c,可得c+b+l=O,然

后移项变形即可得解.

解：•••关于X的一元二次方程/+区+'=0有一个非零实数根C,

c^+bc+c—O,即c(c+b+1)=0

：cW0,

c+/?+l=0,

b+c—-11

故选：B.

【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解答本

题的关键.

6.如图，把一张矩形纸片ABC。按如下方法进行两次折叠：第一次将D4边折叠到。C边

上得到D4',折痕为OM,连接A，M,CM,第二次将△MBC沿着折叠，MB边恰

D.V2-1

【分析】由第一次折叠可知ND4'M=ZDAM=90°,DA1=DA,则四边AMA'。为

正方形，AM=A'M=AD,DM=&AD，由第二次折叠可知MC,利用平

行线的性质得/OCM=NBMC,于是可得NB，MC^ZDCM,由等边对等角得

CD=DM=V2AD-以此即可求解.

解：•・•四边形A8C。为矩形,

.•.NAOC=NA4D=90°,AB//CD,AB^CD,AD^BC.

由第一次折叠可知，ZDA'M=ND4M=90°,DA'=D4,

四边形AMA'。为正方形，

：.AM=A'M=AD,

DM=7AD2+AM2=72AD='/2-

由第二次折叠可知，ZBMC=ZB'MC,

,:BM〃CD,

，NDCM=ZBMC,

：.ZB'MC=NDCM,

•'-CD=DM=V2>

•"•AB=CD=V2-

故选：B.

【点评】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的

判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

7.把一元二次方程x(x-3)=4化成如2+公+,=0的一般形式，其中。=1,则常数项，=

-4.

【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案.

解：x(x-3)=4,

；.x2-3X-4=0,

：a=l,

二常数项c=-4.

故答案为：-4.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式

ar2+bx+c=0(“W0)其中a为二次项系数，人为一次项系数，c,为常数项是解题的关键.

8.如图，在矩形4BCD中，对角线4C,8。相交于点0,如果/4。8=25°,那么NA0B

【分析】根据矩形的性质证得04=0。，根据三角形的外角的性质即可解决问题.

解：••,四边形ABCO是矩形，

:.OA=—ACOD=—BD,AC=BD

2929

：.0A=0Df

VZADB=25°,

：.ZOAD=ZODA=25°,

/.ZAOB=ZOAD+ZODA=50°.

故答案为：50°.

【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题.

9.关于x的方程/-级+&=0有两个相等的实数根，则k的值是1.

【分析】根据根的判别式A=0,即可得出关于大的一元一次方程，解之即可得出k值.

解：••・关于x的方程/-2X+A=0有两个相等的实数根，

；.△=(-2)2-4XlXA=0,

解得：k=\.

故答案为：1.

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△=()时，方程有两个相等的实数根”是解题

的关键.

10.若关于x的一元二次方程ax2=h(帅＞0)的两个根分别为m与2m-6,则m的值为

2.

【分析】根据题意可得，〃+2机-6=0,然后进行计算即可解答.

解：由题意得：

m+2m-6=0,

3/n=6,

m=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程的解是解题的关键.

11.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(2,1),则点C

【分析】如图，过点C作CDLx轴，过点A作AELx轴，由“A4S”可证

OCD,可得QO=AE=1,CD=OE=2,即可求解.

解：如图，过点C作C£>，x轴，过点A作AE_Lx轴,

:点4的坐标是(2,1),

；.4E=1,0E=2,

•.•四边形0ABe是正方形，

：.AO=CO,NAOC=90°,

AZAOE+ZCOD=90°,且NAOE+NOAE=90°,

：.ZCOD^Z0AE,且A0=C。，ZAE0^ZCD0=W0,

.♦.△AOE空△08(AAS)

：.DO=AE=\,CD=0E=2,

.•.点C坐标为（-1,2）

故答案为：（-1,2）

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，添加

恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

12.如图，在菱形48C。中，AB=20,/A=45°,点E在边AB上，AE=13,点P从点A

出发，沿着A-。一C-8的路线向终点8运动，连接PE,若△/!「£；是以AE为腰的等腰

三角形，则AP的长可以是13或13、万或5、房.

【分析】过点。作。于，，可求得分四种情况：当点P在A。

边上时，若AP=AE,若尸E=AE,可分别求得AP的长；当点P在CD边上时，AP>PE

>AE,不可能为等腰三角形；当点尸在BC边上，且PE=AE=\3时，可求得AP=

5场

解：过点。作。于”，

・・•四边形ABC。是菱形，A8=20,NA=45°,

：.AD=DC=BC=AB=20,

：.AH=DH=叵40=10点＞13,

2

又点E在边AB上，AE=13,

当点尸在AQ边上时，

若AP=AE,则AP=13；

若PE=AE,则/APE=NA=45°,

/.ZAEP=90Q,

...△APE是等腰直角三角形，

AP=\J~2AE=13'y^；

当点尸在CO边上时，AP>PE>AE,不可能为等腰三角形;

当点P在BC边上，且PE=AE=13时，如图，过点P作尸GLAB于G,

•••四边形A8CO是菱形,

：.AD//BC,

.".ZPBG=ZA=45°,

...△P8G是等腰直角三角形,

：.PG=BG,

设PG=BG=y,

贝ijEG^y+1,

'：EG2+PG2=PE1,

：.(y+7)2+)2=132,

解得：y=5(负值舍去)，

・・・PG=5,AG=25,

；•AP=VAG2+PG2=V252+52=5V26；

综上所述，AP的长为13或13衣或5726.

故答案为：13或13或5J芯.

【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理以及等腰三角形的性质.注意掌握辅助线的

作法，注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用是解此题的关键.

三、解答题（本大题共6小题，每小题3分，共30分）

13.解方程：x2-2x-1=0.

【分析】先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解，或者利用配方法求解

皆可.

解：解法一：Va=Lb=-2,c=-1

：.b2-4ac=4-4X\X（-1）=8>0

--bivb^-4ac2±^/§,rz

，，x=~a—土加

AXj=l+\/2,X2=1-V2；

解法二：'：x2-2x-1=0,

则尤2-2x+l=2

（X-1）2=2,

开方得：X-1=±&，

/.X1=1+\/2,X2=1-'/2.

【点评】命题意图：考查学生解一元二次方程的能力，且方法多样，可灵活选择.本题

考查了解一元二次方程的方法，公式法适用于任何一元二次方程.方程ax2+bx+c^0的

解为-b±Vb2-4ac（心-4ac20）.

2a

14.如图，在RtZ\4BC中，ZACB=90°，。为AB的中点，/A=30°,BC=2,求CO

的长.

B

D.

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AB,根据直角三角形30°角

所对的直角边等于斜边的一半求出2BC=AB即可得解.

解：；NACB=90°,。为A8的中点，

.•.C。是AB边上的中线，

：.CD=—AB,

2

VZA=30Q,

；.AB=2BC=4,

.•.8=微y=枭4=2,

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形30°角所对

的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键.

15.如图，矩形43CD的对角线4C,8。相交于点。，过点C作8。的平行线交AB的延长

线于点E.求证：AC=CE.

【分析】根据矩形的性质可以得到AC=8。，根据平行四边形的判定和性质可以得到BD

=CE,从而可以得到AC=C£

【解答】证明：・・•四边形A3CQ是矩形，

：.BD=AC,AB//DC,

：.BE//DCf

又,：BD//CE、

・・・四边形BECQ是平行四边形,

:.BD=CE,

：.AC=CE.

【点评】本题考查矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出8O=CE.

16.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,过点4作AELBC于E,若08=2,

S英般ABCD=4,求AE的长.

【分析】由四边形ABC。是菱形，0B=2,根据菱形的性质可得8。=4,再根据菱形的

面积等于两条对角线乘积的一半求得AC=2,再根据勾股定理求得BC,进而利用面积

即可求得AE的长.

解：；四边形ABC。是菱形，

.,.0A=0C,0B=0D^-BD,BD1AC,

；.8力=2。8=4.

S菱物uKD—AaBD=4,

.,.AC=2,

•BC=VOB2OC2=V5-

•S^ABCD=BC-AE=4,

ab4麻

.皿言一.

【点评】本题考查了菱形的性质及勾股定理，根据菱形的面积公式(菱形的面积等于两

条对角线乘积的一半)求得AC=2是解题的关键.

17.如图，AACB和都是等腰直角三角形，点B,C,E在同一直线上，且E是8c

的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).

(1)在图1中，作。ABMC；

(2)在图2中，作正方形ACBN.

BB

图1图2

【分析】⑴延长AE和CZ),它们的交点为〃点，则四边形ABMC满足条件；

(2)延长OE交AB于。点，然后分别延长CO和MB,它们相交于点M则四边形4CBN

满足条件.

解：(1)如图1,nABMC为所作；

(2)如图2,正方形ACBN为所作.

图1图2

【点评】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性

质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行四

边形和正方形的判定.

18.如图，矩形绿地的长为12〃?，宽为9,〃，将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地

面积增加了72〃落求绿地的长、宽增加的长度.

【分析】设绿地的长、宽增加的长度为x/n,由题意：将此绿地的长、宽各增加相同的长

度后，绿地面积增加了72加，列出一元二次方程，解方程即可.

解：设绿地的长、宽增加的长度各为x〃?，

由题意得：(12+x)(9+x)=12X9+72,

整理得：N+21X-72=0,

解得：X1=3,X2--24(不符合题意，舍去)，

答：绿地长、宽增加的长度各为3，〃.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

19.设关于x的一元二次方程为N+bx+c=O.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的

值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.

①6=2,c=l；

②6=1,c—2；

③6=3,c--1；

④b=-3,c—2.

注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分.

【分析】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得〃>4c,由此可知氏c的值可在①

②③中选取，然后求解方程即可.

解：.••这个方程有两个不相等的实数根，

：.b2-4ac>0,

：.b2>4c,

选①②时，不符合，

，③④均可.

选③解方程，则这个方程为/+3x-1=0,

--b±JbjCC-3+\^13

,,V=-------------------二，

X2a2

.-3+713-3-713

=

..X[=-，x2-2-；

选④解方程，则这个方程为N-3x+2=0,

--b+vb2-4aa3+1

x2a2

/.X|=2,X2=l.

【点评】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二

次方程中根的判别式大于0,方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0,方程有两

个相等的实数根；根的判别式小于0,方程无解.

20.定义：如果关于X的一元二次方程以2+&+°=。OW0）满足%=q+c,那么我们称这个

方程为“完美方程”.

(1)下面方程是“完美方程”的是③.(填序号)①d-4/3=0；②ZT2+X+3=0；

③2r-x-3=0.

(2)已知#+蛆+”=0是关于x的“完美方程”,若〃?是此“完美方程”的一个根，求

m的值.

【分析】(1)根据“完美方程”的定义进行求解即可；

(2)根据“完美方程”的定义得到”=机-3,则原方程为3x2+〃1r+〃?-3=0,再由机是

此“完美方程”的一个根，得到4,〃2+〃L3=0,解方程即可.

解：⑴①N-4X+3=0,

b--4,c—3,

：.a+c=4^h,则方程N-4x+3=0不是“完美方程”；

②2r2+x+3=0,

""a=2,b=l,c=3,

：.a+c—5^b,则方程2/+x+3=0不是"完美方程”；

③2%2-x-3=0,

""a=2,h—-1,c=-3,

.'.a+c=b,则方程212-x-3=0是"完美方程”；

故答案为：③.

(2)•••3/+3+”=0是关于x的“完美方程”，

,'.m=?>+n,

'.n=m-3,

.,.原方程为3*2+"a+,〃-3=0.

是此“完美方程”的一个根，

.'.3m2+m2+m-3=0,HP4m2+m-3=0,

解得：，〃=-1或nFg.

4

【点评】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解

题的关键.

21.如图，在QABC。中，E,尸分别是边C。，BC上的点，连接8E,DF,BE与DF交于

点P,BE=DF.添加下列条件之一使。ABC。成为菱形：①CE=CF；©BEVCD,DF1

BC.

(1)你添加的条件是②(填序号)，并证明.

(2)在(1)的条件下，若/A=45°,△BFP的周长为4,求菱形的边长

B

【分析】(1)可证△CFD丝△CEB,可得C£>=CB,即可求证；

(2)连接CP,可证RtAC£P^RtACFP,可得PE=PF,再证BE=CE,BF=PF,即

可求解.

解：⑴②.

证明：•:BELCD,DFLBC,

:.NCFD=NCEB=90°,

在△CF£>和△CEB中

，ZCFD=ZCEB

'zc=zc，

DF=BE

/.△CFD^ACEB(MS),

：.CD=CB,

•.•四边形ABC。是平行四边形，

，四边形ABC。是菱形.

(2)如图，连接CP,

：.CF=CE,

在RtACEP和RtACFP

fCP=CP

1cE=CF，

.,.RtACEP^RtACFP(HL),

：.PE=PF,

在菱形A3C。中，NA=45°,

：.ZBCD=45°,

•：NCFD=NCEB=90°,

；・NBFP=NDEP=90°,

：・NCBE=NBPF=NBCD=45°,

：.BE=CE,BF=PF,

:△BFP的周长为4,

：.BP+PF+BF

=BP+PE+BF

=BE+BF

=CE+BF

=CF+BF

=BC=4.

即菱形的边长为4.

【点评】本题考查了菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定

及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键.

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

22.【阅读】

解方程：（x-1）2-5（x-1）+4=0.

解：设x-l=y,则原方程可化为V-5y+4=0,

解得力=1,72=4.

当y=l时，即x-l=l,解得x=2；

当y=4时，即x-l=4,解得x=5.

所以原方程的解为》=2,及=5.

上述解法称为“整体换元法”

【应用】

（1）若在方程上LT―0中，设了以匕，则原方程可化为整式方程：y2-3=

xxTx

0

⑵请运用“整体换元法”解方程：（2r-3）2-（2x-3）-2=0.

【分析】(1)将原方程变形为只含有2二1的形式，再将yW工代入，化为整式方程即

XX

可；

(2)根据“整体换元法”，设y=2x-3,解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可

求解原方程的解.

解：(1)y=――

x

工13=0变形为：工±_3+/1=0，

XX-1XX

则X-1一31=0可化为:y—=0-即卡-3=0,

xx-1y

故答案为：>2-3=0；

(2)设y=2x-3,则原方程变形为^->-2=0,

(y-2)(y+1)—0,

；.y-2=0或y+l=O,

解得yi=2,yz=-1,

当y=2时，即2x-3=2,解得xj；

当y=-l时，即2x-3=-l,解得x=l.

原方程的解为xi，x2=I,

【点评】本题主要考查解一元二次方程的方法，熟练掌握解一元二次方程的基本方法，

利用整体换元法解方程是解答本题的关键.

23.如图1,在QABCQ中，点E,F在对角线AC上，AE=CF,DE1AC,过点。作。G〃

AC交BF的延长线于点G.

(1)求证：四边形OEFG是矩形.

(2)如图2,连接。凡BE,当NOFG=/BE尸时，判断四边形。EFG的形状，并说明

【分析】(1)由平行四边形的性质可得AD=C8,AD//CB,从而得出NDAE=NBCF,

推出△AQEgaCBF(SAS),得到NAEZ)=NCFB.再证出。后〃GF,从而得到最后结

果；

(2)先证得DEBb是平行四边形，得出£>F〃8E,从而得出NA尸。=NBE/.进一步得

出NAF0=NOFG.最后可得出。EFG是正方形.

【解答】(1)证明：在口43。中，AD=CB,AD//CB,

：.ZDAE=ZBCF.

又.：AE=CF,

：.AADE^ACBF(SAS),

・・・NAED=NCFB.

•・•/AFG=/CFB,

：.ZAED=ZAFG,

：.DE//GF.

*：DG//AC,

，四边形DEFG是平行四边形.

VDE±AC,

：.ZCED=90°.

・・・四边形DEFG是矩形.

(2)四边形OE/G是正方形.

理由：由(1)知DE:〃BEDE=BF,

・・.四边形DEBF是平行四边形，

:,DF〃BE,

：.ZAFD=ZBEF.

ZDFG=NBEF,

：./AFD=/DFG.

在矩形DEFG中，NEFG=NDEF=90°,

：.ZDFE=ZEDF=45°,

：.DE=EF,

・,・矩形。EFG是正方形.

【点评】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质及判定、矩形的性质与判定、正方

形的判定和性质，全等三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会特殊四边形的有

关性质