2023-2024学年广东深圳市红岭中学数学高二年级上册期末经典试题含解析

2023-2024学年广东深圳市红岭中学数学高二上期末经典试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数用3-。的共期复数是

A.1+3ZB.1-3/

C.—1+3，D.—1—3i

2.在等差数列｛斯｝中，ai=l9。3=5,则。7=()

A.13B.14

C.15D.16

3.某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概

率为()

13

A.-B.——

510

21

C.一D.—

52

4.观察下列各式：1=俨，2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=7\L,可以得出的一

般结论是

A.〃+（〃+1）+（〃+2）++（3〃—2）二"

B.AZ+（〃+1）+（孔+2）++（3几-1）=/I2

C.〃+（〃+1）+（〃+2）++（3〃-2）=（2/?-1）

D.〃+（〃+l）+（〃+2）++（3n—1）=（2zz—l）2

22

5.已知椭圆。：++==1（。〉6〉0）的左右焦点分别为鸟，F2,过C上的P作y轴的垂线，垂足为。，若四边形

ab

是菱形，则的离心率为()

FXF2PQC

A.也於

22

c6D.4I

'22

6.设函数"%)=%3+1,贝！'和/'(—2)的值分别为()

A.-8、-8B.12、12

C.0>0D.0、12

7.一个几何体的三视图都是半径为1的圆，在该几何体内放置一个高度为1的长方体，则长方体的体积最大值为()

43

A.一71B.-

32

3

C.—71D.l

2

8.直线x+阳一1=0与圆/+/一2%一4丁=0的位置关系是()

A.相切B.相交

C.相离D.不确定

4

9.已知函数/(》)=以3-4%+。在x=2处取得极小值—则必=()

44

A.~B.——

33

88

c.一D.——

33

10.在ABC中，a=x,b=6,A=1,若该三角形有两个解，则x范围是()

A.(A6)B.(2,2⑹

D.1|⑹

ii.已知两条直线4：x-h(m+l)y-2=0,/2：mc+2y+4=0,且乙〃4，则加的值为()

A.-2B.1

C.一2或1D.2或一1

12.设R为抛物线。：必="焦点，直线/：y=-1,点A为C上任意一点，过点A作于尸，则||叫—仙刊=

()

43B.4

C.2D.不能确定

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2

13.若椭圆乙+必=1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则机=.

m

14.命题“玉:eR,0c2+公+2<0，，为假命题，则实数。的取值范围是

15.直线班x—y+1=0的倾斜角为

16.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依

次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直

到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第七个孩子分得斤数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4,先从盒子中随机取出一个

球，该球的编号记为加，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为〃.

(1)写出试验的样本空间；

(2)求“加+以=5”的概率.

18.(12分)已知A,3两地相距200km,某船从A地逆水到3地，水速为8km/h,船在静水中的速度为咏m/h(v>

8).若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为上当v=12km/h,每小时的燃料费为720元

(1)求比例系数左

(2)当8<vW20时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？

(3)当(X为大于8的常数)时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？

19.(12分)已知动圆/过点耳(-2,0),且动圆加内切于定圆(X-2)?+32,记动圆〃圆心的轨迹为曲线「

(1)求曲线「方程；

(2)若A、3是曲线「上两点，点满足尸工+尸4+尸2=0,求直线43的方程.

「+==1(a>方>0)的离心率为立，尸是椭圆E的右焦点，直线A尸的斜

20.(12分)已知点4(0,-2),椭圆E：

CTb22

率为。为坐标原点.

3

⑴求E的方程；

⑵设过点A的动直线/与E相交于P,。两点.当AOP0的面积最大时，求/的方程.

21.(12分)如图1是直角梯形ABCnAB/yDC/DugOO.ABMZ,ADuG,CEMZEDuZ,以防为折痕将BCE

折起，使点C到达CI的位置，且平面5GE与平面A5ED垂直，如图2

\/Q「一74…度

\、//■\//\%\I

\///\I

\\//[I/M\|

A-----------------VBAL___B______i

ffll图2

(1)求异面直线BG与A。所成角的余弦值；

TT

(2)在棱DG上是否存在点尸，使平面PEB与平面GE3的夹角为I?若存在，则求三棱锥G-P3E的体积，若

不存在，则说明理由

22.(10分)奋发学习小组共有3名学生，在某次探究活动中，他们每人上交了1份作业，现各自从这3份作业中随

机地取出了一份作业.

(1)每个学生恰好取到自己作业的概率是多少？

(2)每个学生不都取到自己作业的概率是多少？

(3)每个学生取到的都不是自己作业的概率是多少？

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,B

【解析】因*3-。＞故其共轨复数,「应选B.

考点：复数的概念及运算.

2、A

【解析】利用等差数列的基本量，即可求解.

【详解】设等差数列的公差为d,%=4+2d=l+2d=5,解得：d=2,

贝！|%=a1+6d=13.

故选：A

3、B

【解析】记另3名同学分别为a,b,c,应用列举法求古典概型的概率即可.

【详解】记另3名同学分别为a,b,c,

所以基本事件为（a,6）,（a,c）,（a,小王），（a,小张），（6,c）,（方，小王），（b,小张），（c,小王），（c,小张），（小

王，小张），共10种

小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为（a,切，M,g,c）,共3种，

3

综上，小王和小张都没有挑出的概率为一

10

故选：B.

4、C

【解析】1=产，

2+3+4=32,

3+4+5+6+7=52,

4+5+6+7+8+9+10=72,

・•・,

由上述式子可以归纳：

左边每一个式子均有2n-l项，且第一项为n,则最后一项为3n-2

右边均为2n-l的平方

故选C

点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表

达的一般性命题（猜想）

5、C

【解析】根据题意求出P点坐标，代入椭圆方程中，可整理得到关于a,c的等式，进一步整理为关于e的方程，解得

答案.

【详解】如图示：

由题意可知耳(—c,O)，B(—c,O),

因为四边形斗鸟PQ是菱形，所以l£QI=IQP=2c,贝!JI0Q|=

所以P点坐标为(2c,A),

将尸点坐标为(2c,gc)代入C:=+二=1(。〉6〉0)得:

ab

2

c3c2整理得4。4—8"+。4=0,

/+官=1，

故4e。8e2+l=0,由于0<e<l,解得e2=2zYI,

2

所以e=归至=更二,

V22

故选：C.

6、D

【解析】求得/'(%)=3/，即可求得(〃_2))'、/'(—2)的值.

【详解】/(x)=x3+l,则/'(尤)=3]2,贝厅(—2)=—7,故(/(_2)j=0，2)=12.

故选：D.

7、B

【解析】根据题意得到几何体为半径为1的球，长方体的体对角线为球的直径时，长方体体积最大，设出长方体的长

和宽，得到等量关系，利用基本不等式求解体积最大值.

【详解】由题意得：此几何体为半径为1的球，长方体为球的内接长方体时，体积最大，

此时长方体的体对角线为球的直径，设长方体长为x,宽为V,则由题意得：y/x2+y2+l=2,解得：x2+y2=3,

而长方体体积为孙V三上=|,当且仅当x=>=曰时等号成立，

故选：B

8、B

【解析】直线恒过定点（LO）,而此点在圆的内部，故可得直线与圆的位置关系.

【详解】直线X+阳—1=。恒过定点（1,0）,

而『+02—2x1—4x0<0，故点（1,0）在圆的内部，

故直线与圆的位置关系为相交，

故选：B.

9、A

【解析】由导数与极值与最值的关系，列式求实数。泊的值.

【详解】/'（尤）=3加-4

由条件可知，/'（2）=12a—4=0,/（2）=8a—8+b=—g,

解得：a=—,Z?=4,

3

检验，a=；,b=4时，/（X）=X2-4=（X+2）（X-2）

当刊;x）>0,得尤>2或x<—2,函数的单调递增区间是（f,—2）和（2,+8）,

当得—2<%<2,所以函数的单调递减区间是（—2,2）,

所以当x=2时，函数取得极小值，满足条件.

4

所以〃/?=—.

3

故选：A

10、D

【解析】根据三角形解得个数可直接构造不等式求得结果.

【详解】三角形有两个解，.•2sinA<x<3,即』<x<6.

2

故选：D.

11、B

【解析】两直线平行，倾斜角相等，斜率均不存在或斜率存在且相等，据此即可求解.

【详解】4：x+（m+l）y-2=0,/2：mx+2y+4=0斜率不可能同时不存在,

一im

.・./]〃6n4和k斜率相等，则-----=——=＞加2+冽-2=0=＞加=1或根=一2,

m+1—2

•・•根=一2时，4和，2重合，故加=1.

1m+1

m

另解：lx//l2^\12故加=i.

m+1-2

------7一

[24

故选：B.

12、A

【解析】由抛物线方程求出准线方程，由题意可得|叫=%-(-1)=%+1，由抛物线的定义可得

|AF|=y0+|=y0+4,即可求解・

【详解】由必=16＞可得/(0,4),准线为_v=—4,

设A(x0,%)，由抛物线的定义可得|人司=%=%+4,

因为过点A作AP，/于P,可得|AP|=%—(―1)=%+1,

所以||明一|同|=|%+1—(%+4)|=3,

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4

【解析】根据椭圆焦点在y轴上方程的特征进行求解即可.

2

【详解】因为椭圆匕+d=i的焦点在y轴上，

m

所以有机＞1,因为长轴长是短轴长的2倍，所以有=2x2x1=＞机=4,

故答案为：4

14、[0,8]

【解析】写出原命题的否定，再利用二次型不等式恒成立求解作答.

【详解】因命题“HxeR,加+女+2＜0”为假命题，贝U命题"X/xeR,苏+ox+2之0”为真命题,

当。=0时，220恒成立，则。=0,

a>0

当awO时，必有〈解得0<a<8>

△=/-8a〈O

所以实数〃的取值范围是[0,8].

故答案为：[0,8]

【解析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出

【详解】设直线Gx-y+l=O的倾斜角为。

由直线—y+1=0化为y=6x+1,故tan，=6，

又6e（O,»],故8=3,故答案为三

【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为Ar+By+C=O（BwO）,那么直线的斜率为左=—噂，且％=tanO,其

中。为直线的倾斜角，注意它的范围是（0/]

16、167

【解析】由题设知8个孩子分得斤数是公差为17的等差数列，设第一个孩子分得/斤，应用等差数列前“项和公式求

«!，进而由等差数列通项公式求由即可.

【详解】由题意，设第一个孩子分得/斤，则4=%+17（〃-1）,

所以58=17x7）=996,可得q=65,

故%=65+6x17=167斤.

故答案为：167.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析（2）-

4

【解析】（1）利用列举法列出试验的样本空间，

（2）由（1）可知共有16种情况，其中和为5的有4种，然后利用古典概型的概率公式求解即可

【小问1详解】

由题意可知试验的样本空间为：

Q(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}

【小问2详解】

由(1)可知共有16种等可能情况，其中满足m+〃=5的有：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),4种,

41

所以“相+〃=5”的概率为二=：

164

18、(1)5(2)8km/h

(3)答案见解析

【解析】(1)列出关系式为=%?,根据当y=i2km/h,每小时的燃料费为720元即可求解；

(2)列出燃料费的函数解析式，利用导数求其最值即可；

(3)讨论x的范围，结合(2)的结论可得答案.

【小问1详解】

设每小时的燃料费为％,则刃=kv2

当y=12km/h,每小时的燃料费为720元，

代入得左=m=5.

【小问2详解】

由(1)得刃=5丫2.设全程燃料费为y,

2

向c2200IQOOv

贝!Iy=5vx----------(8<v<20),

v-8v-8

1000丫2一i6000v

所以y=

(v-8)2

令y'=0,解得v=0(舍去)或v=16,

所以当ve(8,16)时，/<0；当ve(16,20］时，/>0,

所以当y=16时，y取得最小值，

故为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为8km/h

【小问3详解】

由(2)得，

若时，则y在区间(8,如上单调递减,

当y=x时，y取得最小值；

若x>16时，则y区间（8,16）上单调递减，在区间口6,X]上单调递增，

当y=16时，y取得最小值；

综上，当x>16时，船的实际前进速度为8km/h,全程燃料费最省；

当XW16时，船的实际前进速度应为（x-8）km/h,全程燃料费最省

22

19、（1）---=1；（2）x—2y+3=0.

84

【解析】（1）根据两圆内切，以及圆过定点耳（-2,0）,列式求轨迹方程；（2）利用重心坐标公式可知*+々=-2,

%+为=2,再设直线A3的方程为了=履+私与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解直线方程.

'\MF.\=r

【详解】（1）由已知可得上「，两式相加可得阿3+悭用=4应>忸段=4,则点"的轨迹是以6、F]

J21

22

为焦点，长轴长为4加的椭圆，则。=20,C=2,因此曲线r的方程是卷+T=1.

o4

⑵因为产乙+尸4+尸2=0,则点是耳A3的重心，易得直线AB的斜率存在，设直线的方程为

y=kx+m,A(X，M),5(%,%)，

x+x+2y+%+02

----2-=0,------=—/.玉+%=-2,%+%=2

333

y=kx+m

联立炉产，消V得：（2左2+1）炉+46nx+2,徨2—8=0

——+—=1

I84

A=16k2病-4(2k2+l)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,:.8k2-nr+4>0

-Akm-三

且％+%=-o——=一2①

-2k2+\

+%=kx、+m+kxx+m=左(X]+左)+2m=­2k+2m=2②

„1313

由①②解得上=｝加则直线AB的方程为y=：E+当即尤―2y+3=0.

【点睛】本题考查直线与椭圆的问题关系，本题的关键是根据尸工+尸4+尸3=0,求得±+々=-2,%+%=2.

20、(1)—+y2=1(2)y=土立x—2

4•­-2

【解析】设出R,由直线■的斜率为2叵求得。，结合离心率求得。，再由隐含条件求得b,即可求椭圆方程；（2）

3

点轴时，不合题意；当直线/斜率存在时，设直线/：丁=丘-2,联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求

得左的范围，再由弦长公式求得|P0,由点到直线的距离公式求得。至!)/的距离，代入三角形面积公式，化简后换元,

利用基本不等式求得最值，进一步求出左值，则直线方程可求.

试题解析：⑴设尸(c,0),因为直线A尸的斜率为孚，4(0,-2)

所以2=拽，c=下.

c3

又£=—02

a2

解得a=2,6=1,

r2

所以椭圆E的方程为匕+>2=1.

4'

(2)解：设尸(%(孙％)

由题意可设直线/的方程为：y=kx-2,

2

x2T

联立｛彳+y消去y得(1+4/16区+12=0,

y=kx-2.

当A=16(4J)>。，所以公$*等或Q当时

16k12

X1+X2=T74F，V2=IT4F,

所以|尸。|=J1+/+2)2-4%1%2

=y11+k~16kj48

1+442।-1+4/

4》1+42,4左2—3

1+4-2

,2

点。到直线I的距离d=r-——

7k+1

444k2-3

所以鼠”。=34「。|

1+4左2

设J软2—3=/>（）,贝！14/=『+3,

弋J44

SA。”不一二一市」，

t

当且仅当，=2,即飞4k2-3=2,

解得左=±五时取等号，

2

3

满足左2>巳

4

所以AOPQ的面积最大时直线/的方程为：>=且》-2或>=-2.

-22

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两

种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值

问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均

值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.

21、（1）同

4

（2）存在，靠近点。的三等分点.

\BC.-DA\

【解析】（）由题意建立空间直接坐标系，求得，的坐标，由卜。（，）江

1B4D4s8G/In［求解;

（2）假设棱DG上存在点尸，设DP=2DG，求得点0坐标，再求得平面P3E的一个法向量〃=（x,y,z）,由

平面CM，得到机=卜1,点0）为平面G5E的一个法向量，然后由底加〃

m\­\n\2