2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习 复数（精练：基础+重难点）

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

第26练复数（精练）

刷真题明导向

一、单选题

1.（2022.全国•统考高考真题）（2+2i）（l-2i）=（

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【分析】利用复数的乘法可求（2+2i）（l-2i）.

【详解】（2+2i）（l-2i）=2+4-4i+2i=6-2i,

故选：D.

2.（2021•全国•统考高考真题）已知z=2-i,贝UzR+i）=（）

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

【分析】利用复数的乘法和共朝复数的定义可求得结果.

【详解】因为z=2-7,故吊=2+〃ftz（z+z）=（2-z）（2+2z）=4+4z-2z-2z2=6+2i

故选：C.

3.（2021•全国•高考真题）已知（l-i）2z=3+2i,贝l|z=（）

3333

A.-1——iB.-1+—iC.------FiD.------i

2222

【答案】B

【分析】由已知得2=货，根据复数除法运算法则，即可求解.

-21

【详解】（1一1）叱=一2匕=3+21,

故选:B.

4.（2022•全国•统考高考真题）已知z=l-2K且z+应+人=0,其中a,b为实数，则（）

A.a=l,b=-2B.a=—l,b=2C.a=l,b=2D.a=—l,b=—2

【答案】A

【分析】先算出N,再代入计算，实部与虚部都为零解方程组即可

【详解】z=l-2i

z+uz+Z7=1—2i+a(l+2i)+Z?=(1+a+Z?)+(2a—2)i

由z+应+人=0,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等,

l+a+b=0a=l

得，即

2a—2=0'b=-2

故选:A

5.(2022•全国•统考高考真题)若z=-l+/,则仁广()

ZZ—1

A.-l+>/3iB,-1-V3iC.D.」一且i

3333

【答案】C

【分析】由共朝复数的概念及复数的运算即可得解.

【详解】z=-l-^3i,zz=(-l+73i)(-l-V3i)=l+3=4.

z_-l+^i_1也.

-----=--------------1----1

ZZ-1333

故选：C

6.(2022•全国•统考高考真题)设(l+2i)“+6=2i,其中。涉为实数，贝|()

A.a=1,=—1B.a=l,b=lC.a=-l,b=lD.a=—l,b=—1

【答案】A

【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出.

【详解】因为R,(a+/?)+2ai=2i,所以a+Z?=0,2a=2,解得：a=l,b=-l.

故选：A.

5（l+i3）

7.（2023•全国•统考高考真题）「、（）

2+12-1

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【答案】C

【分析】利用复数的四则运算求解即可.

5(1+?)5(1一i)].

【详解】

(2+i)(2-i)5

故选：C.

8.（2023・全国•统考高考真题）在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（).

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为（l+3i）（3—i）=3+8i—3i，=6+8i,

则所求复数对应的点为（6,8）,位于第一象限.

故选：A.

9.（2023•全国•统考高考真题）设。£尺（。+。（1-勿）=2,,贝（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.

【详解】因为（a+i）（l—ai）=a—4i+i+a=2〃+（1—〃]=2,

[2a=2,

所以112八，解得：。=1,

[l-a=0

故选：C.

10.（2023•全国•统考IWJ考真题）|2+i-+2i3|=（）

A.1B.2C.下D.5

【答案】C

【分析】由题意首先化简2+i?+2i3,然后计算其模即可.

【详解】由题意可得2+i?+2i3=2-l-2i=l-2i,

贝!112+i?+2i31=|1一2i|=+（一2）=小.

故选：C.

.1-i_

11.（2023•全国•统考图考真题）已知z=^——,则z-z=（）

2+21

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共朝复数的概念得到已从而解出.

-2i1-1

【详解】因为z=G-i，所以z=3i,即z==—i

2（l+i）。-D~T

故选：A.

12.（2023•全国•统考高考真题）设z=,2；贝%=（）

1+1+1

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共粗复数的定义确定其共朝复数即可.

2+i2+ii（2+i）

【详解】由题意可得z=

l+i2+i51-1+i-1

则彳=1+2i.

故选：B.

13.（2021.全国•统考高考真题）设iz=4+3i,则z=（）

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

【答案】C

【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.

【详解】由题意可得：z=—=^^=—=3-4z.

ii—1

故选：C.

14.（2021.全国•统考高考真题）设2（z+N）+3（z—2）=4+6i,则2=（）

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i

【答案】C

【分析】设z=a+bi,利用共粗复数的定义以及复数的加减法可得出关于。、匕的等式，解出这两个未知数的值,

即可得出复数-

【详解】设2=°+历，贝!=a-历，贝1]2（z+彳）+3（z-彳）=4。+6历=4+6i,

[4。=4

所以，么，解得。=人=1,因此，z=l+i,

[6b=6

故选：C.

15.（2022・全国•统考高考真题）若i（l—z）=l,则z+2=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】利用复数的除法可求z,从而可求z+z.

【详解】由题设有l-z=；=]=T,故z=l+i,故z+7=（l+i）+（l-i）=2,

故选：D

16.(2022.全国.统考高考真题)若z=l+i.贝”iz+3济=()

A.4A/5B.4拒C.2A/5D.2夜

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轨复数的概念以及复数模的计算公式即可求出.

【详解】因为z=l+i,所以iz+3N=i(l+i)+3(l-i)=2—2i,所以归+3司=q4=2夜.

故选：D.

【A组在基础中考查功底】

一、单选题

1.(2023•宁夏银川•银川一中校考三模)已知aeR,复数(a+i)。-3i)是实数,则()

A.—B.—C.3D.—3

33

【答案】A

【分析】由复数运算法则和实数定义可构造方程求得结果.

【详解】(q+i)(l-3i)=a-3ai+i-3i2=(a+3)+(l—3a)i为实数，

.'.l—3a=0,解得：a=1.

故选：A.

A.2-iB.2+iC.-2iD.2i

【答案】D

【分析】根据复数的除法和乘方运算可得答案.

【详解】11=[1一A]=%-1+1=%.

故选：D.

3.(2023・海南•统考模拟预测)已知复数z=l-i,则14=().

A.iB.-iC.2+iD.2-i

【答案】D

【分析】利用共朝复数的意义、复数的乘法及加减法运算求解作答.

【详解】因为z=l-i,则』=l+i,所以1一丘=l-i(l+i)=2-i.

故选：D

4.(2023.辽宁葫芦岛.统考二模)若i(l-z)=l,则z—1=()

A.-2iB.-iC.iD.2i

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出复数z,再求出其共物并代入计算作答.

【详解】由i(l-z)=l,得l_z=」=-i,贝！|z=l+i,z=i-i，

1

所以z-W=l+i-(1-i)=2i.

故选：D

5.(2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)已知i是虚数单位，复数z满足z(3+i)=|(2+i)],则复数z

的共朝复数虚部为（）

A.-B.1C.--D.--

2222

【答案】B

【分析】由复数的运算直接求解得到z\3T1，再由共朝复数的概念求解即可.

【详解】由题知，（厘斗鼻=就喜

23+2+5,2=3rMT，

复数二的共轨复数为2=D，..复数z的共辗复数虚部为J，

222

故选：B.

6.（2023•浙江•校联考二模）已知复数z满足（z+2i）（z-2i）=2（i为虚数单位），则2=（）

A.土巫1B.±V2iC.2iD.±«

【答案】B

【分析】根据复数的乘法运算规则计算.

【详解】(z+2i)(z—2i)=z?—4i2=z2+4=2,;.z=±"=±0i；

故选:B.

7.（2023・北京・统考模拟预测）若复数z满足（l+2i>z=5-5i,则2=（）

A.l+3iB.l-3iC.-l+3iD.-l-3i

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算和共辑复数的概念可求出结果.

【详解】因为d+2i）-z=5-5i,所以2=涪=冷|等兴=%曳=7-3i,

所以彳=-l+3i.

故选：C

8.（2023•湖南岳阳•统考三模）设复数z满足（l-i）z=|3+i|,则复数z的虚部是（）

A.一巫iB一aC.巫।D.巫

2222

【答案】D

【分析】根据复数的乘除法规则和复数的实部虚部定义求解.

【详解】因为复数口满足（i—i）z=|3+i|,即（i-i）z=序,

所以7=典=加（1+，）=巫+晒,所以复数z的虚部是叵；

1-i2222

故选：D.

9.(2023•新疆阿勒泰•统考三模)已知“/eR,i是虚数单位，若a+2i与1+历互为共软复数，则(〃-历＞=

A.5-4iB.5+4iC.-3-4zD.-3+4i

【答案】D

【分析】根据a+2i与1+历互为共甄复数，求出。和6,再代入(。-历了计算即可.

【详解】因为“+2i与1+为互为共朝复数，所以。=1,b=-2,

所以①-为了=（l+2i）2=l+4i+4i2=-3+4i.

故选：D.

10.(2023•江苏•校联考模拟预测)若复数(2-i)z=3+4i,则z+I=()

4

A.3B.4D.

7

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算求解Z,再求其共班复数得出结果.

3+4i_（3+4i）（2+i）_211.

【详解】由（2—i）z=3+4^z=

2-i（2-i）（2+i）55

-z=j2-1y1i,所以z+-z=4.

故选：D.

11.(2023•江西南昌・校联考模拟预测)已知复数z满足(z-i)(l-i)=2,则|z卜()

A.1B.C./D.75

【答案】D

【分析】先利用题意算出z=1+27,然后利用复数模的公式即可求解

【详解】由-2可得z=.i=^1L+i+i=l+2i

所以|Z|=J『+22=小

故选：D

12.(2023・湖南•校联考二模)设复数z="(i为虚数单位)，则|z卜()

l+2i

A.0B.6C.V5D.V13

【答案】A

【分析】利用复数的四则运算及模的运算即可得解.

3+i3_3-i_（3-i）（l-2i）l-7i17.

【详解】因为---------=----------1

z=l+2i-l+2i-（l+2i）（l-2i）

故选：A.

13.(2023•河南安阳•统考三模)已知(l+2i)(a+i)的实部与虚部互为相反数，则实数。=()

A.-B.--C.二D.--

3322

【答案】A

【分析】根据复数的乘法运算可得(l+2i)(a+i)=。-2+(l+2a)i,结合题意列出方程，即可得答案.

【详解】由于(l+2i)(a+i)=q_2+(l+2a)i,

(l+2i)(a+i)的实部与虚部互为相反数，故。-2+(l+2a)=0,x=g,

故选：A

14.(2023•山西晋中•统考三模)欧拉公式/=cosx+isinx(xeR)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为

数学中的天桥.若复数4=e胃，z2=e^贝”z?=()

A.-iB.i

C.一走+也iD.

2222

【答案】B

【分析】由欧拉公式求4/2的代数形式，再结合复数运算法则求Z/2.

【详解】由欧拉公式可得：

6兀..兀1百.弓71..71731.

z=©§=cos—+ism—=—H-----1，=eb=cos—+isin—=------F—i，

1332226622

1石X若1.

1旦匕+席走

则Z©2=、22J+

(2274444

故选：B.

15.(2023•黑龙江哈尔滨•哈九中校考模拟预测)已知复数z满足i(2z-l)=2+3i,则复数z的虚部为()

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】B

【分析】根据已知化简可得z=2-i,即可得出答案.

【详解】由已知可得，2z-l=2=3-2i,所以z=2—i,

1

所以，复数Z的虚部为T.

故选:B.

16.（2023•广西桂林•校考模拟预测）已知复数z=（机-机2）+加（机eR）为纯虚数，则|〃z+z|=（）

A.0B.1C.V2D.2

【答案】C

【分析】先利用纯虚数的概念求加，再求|m+z\

【详解】因2=（根-加）+加（meR）为纯虚数,

m-m12=0

所以

m0

解得m=l,z-i

所以m+z|=|l+i|=Jl+1=y/2.

故选：C.

17.（2。23・重庆•统考模拟预测）已知।是虚数单位，复数贵在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】利用复数的乘方运算和除法运算求解作答.

3i3i_3i.(2+i)_-3+6i36.

【详解】-----F—1,

2+i20232-i(2-i)(2+i)555

3i在复平面内所对应的点（-|怖）位于第二象限.

所以复数

2+i2023

故选：B

（•广西玉林・统考模拟预测）设复数则==（

18.2023z=l-i,)

Z

A.-14i11.

B.------ic1D1

2222-14-14

【答案】C

【分析】先求得』=l+i，再利用复数除法即可求得口的代数形式.

z

【详解】z=l—i9则z=l+i

ii11.

i-l+i-(l+i)(l-i)-2+21,

故选：C.

以（2。23・全国•模拟预测）已知复数”餐“为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于第（）象限.

A.四B.三C.二D.一

【答案】A

【分析】利用复数的除法可求z,从而可求其对应的点，故可判断其所处象限.

【详解】

1+1+222

所以Z在复平面内对应的点为位于第四象限.

故选：A.

2-i

20.（2023•全国•模拟预测）已知复数z满足一=l+i（i为虚数单位），［是z的共轨复数，则4zi=（）

z

A.5B.有C.10D.710

【答案】C

【分析】先根据复数的除法求出z,再计算4z.）

【详解】由三=l+i

Z

2-ij2-i)(l-i)^l-3ia_3

传1+i(l-i)(l+i)222

所以-z、1+£3i,

所以4zi=(l—3i>(l+3i)=10.

故选：C.

7

21.(2023・重庆•统考模拟预测)已知复数z=l-i(i是虚数单位)，则—-=()

ZZ+1

A31.11.=13.11.

A.—I—1B.—I—1C.-------1D.-----1—1

55555555

【答案】C

【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.

【详解】因为z=l—i,所以\1+i,所以3=(l_i)(l+i)=2,

z_l-i_（l-i）（2-i）_2-i-2i+i2_l3

Jzz+i2+i（2+i）（2-i）555"

故选：C

22.（2022•全国•高三专题练习）欧拉公式eu=cosx+isinx（i为虚数单位，xeR）是由瑞士著名数学家欧拉发现

的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根

据此公式可知，e》在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据复数的几何意义，以及弧度制即可求解.

【详解】解：e3i=cos3+isin3,又3rad土3x57.3=171.9,为第二象限角,故

3i

cos3<0,sin3>0,故e在复平面内对应的点(COS3,sin3)位于第二象限.

故选：B.

23.(2023•陕西咸阳•统考模拟预测)若(l+«i)i=l-历，其中a/eR,贝"a+历|=()

A.2B.&C.6D.3

【答案】B

【分析】根据复数的相等求得%的值，再根据复数的模的计算求得答案.

【详解】由(l+ai)i=—i可得-a+i=l-6i,/.a=—1,/?=-1,

故|a+历|=卜1|=J(_l)2+(—l)2=垃,

故选：B

24.(2023•浙江•校联考模拟预测)已知复数z满足z?=4-3i,则|z卜()

A.5B.行C.13D.V13

【答案】B

【分析】设2=。+历,a,6eR,利用复数的运算法则和复数相等，建立。,6的方程组，直接求出出如从而可求出结

果.

仿2_匕2=4

【详解】设2=々+玩a,。wR,则z?=(a+bi)2=〃2一62+2〃万=4一31,所以《,

[2ab=-3

,372[372

Cl------Cl=-------

解得2或2,所以目="万=有.

b=~—b=—

[2[2

故选：B.

25.(2023・辽宁・辽宁实验中学校考模拟预测)若复数z满足总=2,则|z+i|的最小值为()

A.OB.72-1C.72+1D.1

【答案】B

【分析】首先设复数z=x+yi,(x,yeR),根据条件化简求得的关系式，再根据复数模的几何意义求最值.

【详解】设2=工+村，(尤,yeR),

由丘=2,得(x+yi)(x—yi)=2,则/+丁=2,

复数z的轨迹是以原点为圆心，0为半径的圆，如图，

根据复数模的几何意义可知，|z+i|的几何意义是圆上的点到（0,-1）的距离，

如图可知，|z+i|的最小值是点/（0,-五）与（0,-1）的距离0-1.

故选：B.

26.（2022・全国•高三专题练习）设2=$也15+isin75（其中i为虚数单位），则zz的共辗复数是（）

A1行R1V3.

2222

1.n

C.-------1L）.-----1——1

2222

【答案】C

【分析】首先利用诱导公式将复数，化简，再根据复数代数形式的乘法运算，以及二倍角公式化简复数z2,即可求

出其共朝复数；

【详解】解：因为z=sin15+isin75=sin15+icosl5

所以z2=（sinl5+icosl5=sin215+i2cos215+2sinl5cos15i

=sin215—cos215+2sinl5cos15i

=—cos30+sin30i

V31.

二-----------1—i

22

所以Z?的共飘复数是一心一匕，

22

故选：C

【B组在综合中考查能力】

一、单选题

1.（2023春・安徽亳州•高三校考阶段练习）已知z=『（加eR）,同=0,则实数机的值为（）

1—1

A.±3B.3C.±73D.也

【答案】C

【分析】根据复数与共飘复数的模的关系，化简复数工，即可列方程求解实数〃，的值.

（m+i）（l+i）（m-l）+（m+l）i_m-1m+1.

【详解】解：因为同=同=&,且2=

13T222T

所以j=应,解得加二土道.

故选：C.

2.（2023・新疆和田•校考一模）若复数z满足二为纯虚数，且目=1,贝ijz的虚部为（）

2+1

A.土拽B.也C.±百D.75

55

【答案】A

【分析】设z=a+历（。/eR）,代入上后利用复数的定义求得关系，然后由复数模的定义计算求得z,从而

得结论.

zQ+历（〃+历）（2-i）2a+b+（2b-aji

【详解】设z=a+砥a/eR）则2+i―2+i-（2+i）（2-i）-5

因为输为纯虚数，所以［乃-。：。'所以人二」"/。，z=a-2d,因为|z|=l,所以荷诟了=1,

解得°=士或，贝!!》=.拽，即z的虚部为土拽.

555

故选：A.

3.（2023秋•山西朔州•高三怀仁市第一中学校校考期末）已知复数z满足z（2+i7）=3+i,则复数z的虚部是（）

A.&B."C.iD.1

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算，结合i的性质，进行计算求得复数z,可得答案.

3+i_3+i（3+i）（2+i）

【详解】由z（2+i，）=3+i可得z==l+i

2+i7-2^i-（2-i）（2+i）

则复数二的虚部是1,

故选;D

4.（2023・安徽滁州•安徽省定远中学校考模拟预测）已知复数z=a+bi（a,%eR）满足2z=7-（l+"）,且。＜6,则复

数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】根据题意结合复数的乘法运算以及复数的相等可得〃=麻，利用条件确定a,b的正负，根据复数的

几何意义可求得答案.

【详解】由题意可知，2a+2历=①一历）（1+石i）=a+®+（氐-b）i,

2a=a+\!3b

所以解得a=6b，

2b=\/3a-b

因为。<6,贝!Ja=Gb<b,所以6<0,所以a<0,

即复数工在复平面内对应的点位于第三象限，

故选：C

5.（2023・全国•模拟预测）在复平面内，复数z=a+2i（aeR）对应的点在直线y=-2x上，则舒=（）

A.1B.iC.—iD.---------i

22

【答案】B

【分析】求出复数z对应的点代入直线方程可得z,再利用复数的除法运算可得答案.

【详解】复平面内，复数z=a+2i（aeR）对应的点为（0,2）,

又在直线y=-2x上，所以2=-2〃，解得〃=-1,

所以z=—1+2i,

制zT_T+2i_i__1+i㈠+讥一），2i二

人」1+i1+i1+i（l+i）（l-i）2'

故选：B.

6.（2023・广东揭阳•校考二模）已知W=i-z（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点一定在（）

A.实轴上B,虚轴上

C.第一、三象限的角平分线上D.第二、四象限的角平分线上

【答案】D

【分析】设2=°+历，由三=i.z可解得8=-«，贝!!2=。+仇=。-。"复数工在复平面上对应的点为-a）,即可判

bkr

断

【详解】设z=a+bi,贝!Jz=a_6i，贝!|z=i-z=i-（a+历）=-b+ai,HPa—bi=—b+ai,b=—a,

：.Z=a+bi=a-cd,复数z在复平面上对应的点为（a,-a）,一定在第二、四象限的角平分线上,

故选：D

7.（2023・全国•高三专题练习）已知复数z=」+走i,则寸zi的值为（）

22z=i

A.--+—1B.」_走iC.0D.1

2222

【答案】A

2023

【分析】根据复数i的性质计算可得z3=1,由此利用等比数列的前n项和公式计算£z'，即可求得答案.

1=1

【详解】由于复数2=-工+3i,故z2=（-工+3i）2=-l■一3i,

222222

2023+z»z(l-z力z(l--.)石

故^zz'=z1+z2+zz(1z)

z=l1—z1—z1—z22

故选：A.

8.（2023•全国•高三专题练习）欧拉公式eancos尤+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数

函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数

学中的天桥”，已知”为纯虚数，则复数半上1在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】先利用欧拉公式及纯虚数的概念求得cosa=0,sinawO,由此得到复数半把对应的点为,从

1+1