2023-2024学年莆田市擢英中学高二数学上学期期中试卷附答案解析

2023-2024学年莆田市擢英中学高二数学上学期期中试卷

2023.11

（满分150分考试，时长120分钟.）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目

要求的）

1.如图，在平行六面体A'。。一ABCQ中，M是8G的中点，设"=。，仞=匕，的=。，则AM=（）

11,JijI

—a+b+cciH—b+ccibc-(—bt—c

22

A.B.C.2D.22

2.已知直线I：7加+2y—2=0与直线4：5x+(m+3)y—5=0,若k〃I2,贝()

A.巧B.2C.2或一5D.5

3.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=A1A=2,M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成

角的余弦值等于（）

^23

A.2B.4c5D.5

4.设直线4»+3y_7=O与直线Lx_y+l=0的交点为尸，则尸到直线/：》+殴+2-。=0的距离最大值为

A.而B.4c.3亚D.V1T

5.圆0：/+丁=4和圆Q:x2+y2+2x-4y=0的交点为人，B；贝第（）

A.公共弦AB所在直线方程为》一2丁+1=°

士至

B.公共弦AB的长为5

C.线段AB中垂线方程为2》-'=0

1

n

ZAO.B>-

D.2

££

6.已知椭圆«2+廿=l（a>b>0）的右焦点为F（3,0）,过点F的直线交椭圆于A、B两点.若AB的中点坐

标为（1,—1）,则E的方程为

.21

A.45+36=1B.36+27=1C,药+布=1D.18+9=1

7.如图，在正方体ABCD-A用GA中，0是AC中点，点尸在线段AG上，若直线°P与平面ABC所成

的角为6,贝Usin。的取值范围是（）.

V26「11][走走]「11]

545

R32c3n4*3

D.1-」C.1-」D.1-」

8.己知AC,3。为圆°：尤2+^=4的两条互相垂直的弦，且垂足为加（1"2）,则四边形ABCD面积的

最大值为（）

A.4B.5C.8D.10

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全

部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.）

9.下列说法错误有（）

A.=-1”是“--y+1=0与直线x—3—2=0互相垂直，，的充要条件

B.过（/‘兀），（毛，人）两点的所有直线的方程为%一%一起一玉

"乃[[3"）

0,—u,兀

C.直线xcosc+y+l=0的倾斜角6的取值范围是L4JL4）

D.经过点（L2）且在X轴和y轴上截距都相等的直线方程为尤+y-3=0

22

工-匕=1

10.已知双曲线C：84上的两点A,B关于原点对称，点P是C上的任意点，则下列结论正确的

是（）

,闷>变

A.若直线'=近与双曲线C无交点，贝『2

2

B.焦点到渐近线的距离为2

8

C.点P到两条渐近线的距离之积为§

D.当P与A,B不重合时，且直线PA,PB的斜率存在，则直线PA,PB的斜率之积为2

%2_,

----Fy2=1077

11.已知椭圆C：4,心分别为它的左右焦点，A,B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的

一个动点，下列结论中正确的有（）

71

ZFXPF2=-

A.不存在P使得2

3

B.cosNAPb的最小值为5

若/百Pg=H,则AGP鸟的面积为行

C.

D.P到点（1°）的距离的最小值为了

12.椭圆4土三一1的左、右焦点分别是”、片,尸（工。，几）是椭圆第一象限上的一点（不包括轴上的点），

△尸牝的重心是G,4户2的角平分线交x轴于点加（九°）,下列说法正确的有（）

A.G的轨迹是椭圆的一部分

B.OG的长度范围是I33>

幽

C.Ml的取值范围是（L3）

1

m=—xn

D.4

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.已知点A"?）,，（-1,1,2）,则点A到直线BC的距离是

/y2/\221

14.已知动点p（%y）在椭圆石+宅=1上，过点p作圆"+-a的切线，切点为M,贝I俨叫的最小

值是

15.在平面直角坐标系xOy中，点&（2,3（4，°）.若直线3x-2y+m=°上存在点p,使得照=#明，

则实数m的取值范围是

16.已知双曲线C：«2段的右焦点为F,过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为M,交另一条渐

3

近线于N,若5FM=2FN,则C的离心率为

四、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.一条光线从点尸（一21）射出，经x轴反射后穿过点°（4,2）.

（1）求反射光线所在直线1的方程.

⑵圆心在x轴，半径为3的圆A与（1）中的1相交弦长为4,求圆A的方程.

18.如图，三棱锥尸一.C中，丛，底面ABC,AB1BC,AC=2,BC=1,点M满足加=/生（0<“<1）,

N是PC的中点.

⑴请写出一个力的值使得BC//平面AMN,并加以证明；

2=-

⑵若二面角尸-BC-A大小为45。，且3,求点M到平面PAC的距离.

19.如图，有一码头?和三个岛屿A'，。，PC=306nmile,PB=9Qnmile,AB=30nmile,ZPCB=120°

ZABC=90°

（1）求8，C两个岛屿间的距离；

（2）某游船拟载游客从码头「前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P问该游船应按何路线航行，才能使得

总航程最短？求出最短航程.

4

x2y2,、

从一1a>>0过点4(2,1),且焦距为2G

20.已知椭圆C：/+

(1)求C的方程;

211

---------------.............—I-..................

⑵已知点'(2T),0(3，°),E为线段AB上一点，且直线。E交C于G,H两点.证明：口同lDGl怜叫.

21.如图，四边形ABCD是圆台EF的轴截面，M是上底面圆周上异于C,D的一点，圆台的高七尸二上,

AB^2CD=4

(1)证明：4W3是直角三角形;

(2)是否存在点M使得平面ADM与平面DME的夹角的余弦值为5,若存在，求出点M的位置；若不存

在，请说明理由.

22.设点O为坐标原点，P是圆A：(x+2)+丁=4上任意一点，点3(2,0),线段BP的垂直平分线与直

线AP交于点Q,记点Q的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

⑵设直线1与曲线C(在y轴右侧)恰有一个公共点，且1与直线分别交于M,N两点，求BMN

面积S的最小值.

5

1.B

【分析】利用向量的线性运算法则即可计算.

【详解】解：因为在平行六面体ABCD中，M是旦G的中点，

AM=AB+BB}+B,M=AB+AAl+-BlCl=AB+AAl+-AD=a+-b+c

所以222

故选：B

2.A

【分析】解方程双加+3)一2x5=°,再检验即得解.

【详解】解:若k〃1,贝-W(〃Z+3)-2X5="22+37"-1°=(〃L2)O+5)=°,所以机=2或:〃=-5.

当〃2=2时，44重合，不符合题意，所以舍去；

当初=-5时，符合题意.

故选：A

3.D

【分析】将异面直线平移至有交点的位置,在三角形中求出各边，再用余弦定理即可求出夹角余弦值,即异面

直线夹角余弦值.

【详解】解屈题知找BC中点尸及靠近B点的四等分点为°，连接B\P,MQ,AQ如图所示：

尸是BC中点，二B\N//PC且4N=PC.四边形B.PCN为平行四边形,，4尸〃CN,

・%。是瓦氏8尸中点,‘M2//”.•.AM与CN所成角即为AM知。夹角，

:.BtP=y/5,MQ=—,AM=45,PQ=-,AP=43,AQ=—

因为正三棱柱ABC-A1B1C1,AB=A1A=2,222,

在△40Q中由余弦定理可得:

4叱+校—越

cosZAMQ=44J

2AMMQ2.6a5

2

3

故直线AM与CN所成角的余弦值等于5.

6

故选:D

4.A

【分析】先求出尸的坐标，再求出直线,所过的定点Q,则所求距离的最大值就是尸。的长度.

Jx+3y-7=0\x=l

【详解】由1尤7+1=°可以得至ub=2,故尸（i，2）,

直线/的方程可整理为：x+2+a（y-l）=°,故直线/过定点（一2』），

因为p到直线I的距离d-\p^,当且仅当/'PQ时等号成立，

故4侬=/（1+2）2+（2-1『=加,

故选A.

【点睛】一般地，若直线4：Ax+&y+G=o和直线/2：4x+B2y+C2=o相交，那么动直线

4工+4〉+。|+处4*+82＞。2）=°（2G7?）必过定点（该定点为44的交点）.

5.D

【分析】A选项，根据两圆的方程求公共弦所在直线的方程；B选项，利用勾股定理求弦长；C选项，根

据圆的性质得到线段相中垂线过圆心°、然后求直线方程；D选项，利用余弦定理得到COSNA.BVO,

联立两圆的方程得到2》一分+4=0,即x-2y+2=0,所以公共弦A3所在的直线方程为“2y+2=0,故

A错；

z2d=a=述

由。Lf+y2=4得4（。，。），半径4=2,则。I到直线的距离A/1^45,所以

|阴=2M

故B错;

由直线A3的方程得线段川中垂线的斜率为-2,根据圆的性质得线段48中垂线过圆心°、所以中垂线方

程为：V=_2x,即2x+y=0,故C错；

7

圆°?的方程可整理为G+丁+(y-2)一=5,所以2A=0/=%

…64

5+5々

_______5__2_

cosZAOB_M±MdK_=<0

2x6x君25，所以

在三角形A02B中，根据余弦定理得2-\O2B\-\O2A\

ZAO,B>-

2,故D正确.

故选：D.

6.D

+

京=1

因

+=1

【详解】设4和%)、8(%，%),所以b2，运用点差法，所以直线Afi的斜率为〃，设直线方

程为，=*3)6b2

，联立直线与椭圆的方程(片+片口2-6/尤+耐一/=0,所以为+%一/+/=2

;又因

22解得

为a-b=9f/=9,Q2=18

【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.

7.A

-^-=A(O<2<1)

［分析］先设棱长为1,AG,建立如图坐标系，根据4P="AG计算点P坐标和向量°P,

Annsin0=cos(OP,DB.

再写出平面43G的一个法向量的坐标，根据I\1构建关系，求其值域即可.

【详解】如图，设正方体棱长为1,AG,则4尸=4AC,

以。为原点，分别以加，DC,所在直线为x,z轴建立空间直角坐标系.

A(1,0,0),C(0,1,0),0[1,1,0

,故AG=AC=(TLO),4P=(-42o),又则p(i—44i).

则

OP=”"一g,l

所以

8

在正方体A'CO-A耳GA中，可知体对角线4"，平面4BG,

所以。4是平面”G的一个法向量,

_1y/3屈

A5———--------

所以当2时，sin。取得最大值3,当a=0或1时，sin。取得最小值3.

V2叵

sin6»e

所以

故选：A.

【点睛】方法点睛：

求空间中直线与平面所成角的常见方法为：

(1)定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；

(2)等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值;

(3)向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.

8.B

,,,2,.2_oS=—ACxBD

【分析】设圆心到AC,BD的距离分别是4,%,则4+出=3,代入面积公式2,利用基本

不等式即可求出四边形ABC。的面积最大值.

【详解】设圆心。到AC,5D的距离分别为4,小，则d；+d；=°"2=3.

S=-ACxBD=--2d4-d；-2d4-d；=2.4-d：•14

四边形ABCD的面积为：22'i7z'i7z,

<4-力+4-以=5,当且仅当片二/时取等号.

故选：B.

【点睛】方法点睛：本题考查了圆中弦长公式以及基本不等式的应用，四边形面积可用互相垂直的两条对

角线长度之积的一半来计算是解题的关键.

9.ABD

【分析】A.由两直线互相垂直求解判断；，B.根据直线的两点式方程判断；C.利用直线的倾斜角和斜率

求解判断；D分直线经过原点和不经过原点时求解判断.

2

[详解]A.当/尤―'+1=0与直线丁一3_2=0互相垂直时，a-a=0,解得。=0或a=l,故错误；

y-y,

B.过("J,(王2，%)(且玉*尤2，%*%)

两点的所有直线的方程为％一坊Z-玉故错误;

C.直线xcose+y+l=0的倾斜角。，则tane=-sin/e[Tl],所以倾斜角，的取值范围是

9

L4」L4J,故正确；

D.经过点（L2）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为：当直线经过原点时为x-y=°,当直线不经过

原点时，设方程为x+y-a=°,将点（L2）代入得。=2,则直线方程为x+y-3=0,故错误；

故选：ABD

10.BC

【分析】由双曲线的渐近线可以判断A；

求出双曲线的渐近线和焦点，进而根据点到直线的距离判断B；

设点尸进而求出该点到两条渐近线的距离之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断C；

求出PA,尸3的斜率之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断D.

y一±—x

【详解】对A,双曲线的渐近线方程为.2,

,小也

若直线'=近与双曲线C无交点，则J2.A错误；

对B,由A渐近线方程为x土&>=°,

|±2A/3±O|

d=/2=2

''焦点为（±2否'0）,则焦点到渐近线的距离也+（土母）.B正确；

22

p（\———=\=>x2-2y2=8

对C,设点尸小xv刈，则84,

卜+&V卜-_|x2-2/|_8

3一3

点P到两条渐近线的距离之积为4+（2）V1+卜2）

.C正确；

对D,设V=8+2y2

,22221

UK%+%--%一1

KpAKpB——22-/22\~o

则为一天再+龙。玉-$2o（必一%）2口错误

故选：BC.

11.BCD

【分析】由以.。入<°即可判断A,由余弦定理，即可判断B,结合椭圆的定义以及余弦定理即可判断C,

由两点间距离公式，代入计算，即可判断D.

10

【详解】

----1-y2=1r~

设椭圆的上下顶点分别为“石，因为椭圆C：4•,则。=2*=l,c=，3,

所以耳卜疯0）,马（后0）,4（-2,0）,3（2,0）,。（0,1）,石（0,-1）

贝产=N，T），W=（"T）,所以外.叫=一3+1=-2<0,

71

则/耳「鸟的最大角为钝角，即存在P使得-5,故A错误;

当点p运动到。或E的位置时，/APB最大,则cos/4PB最小，

此时|A*忸*J（-2）2+（力=四且朋=2a=4,

在△ABO中，由余弦定理可得，

|AD|2+|BD2-|AB|25+5-16_3

cosZADB=

21Ao卜BD\2xV5xV5-5

3

所以的最小值为-

cos/4PB5,故B正确;

设=阊=〃，由椭圆定义可得，〃]+〃=2a=4,即疗+/+？根〃二房①,

由余弦定理可得，曜『回『+作「-2电卜1明。若，

4

mn=—

即加十?几一?根〃=12②，则①―②可得，3加=4,即3,

所以12232323,故C正确;

P（X'I—+Jo=1

设。知九r人因为p为椭圆上的点，所以4-

11

其中-2WX0W2,当无。一］时，MD"1-3,故D正确；

故选：BCD

12.AD

【分析】A选项，利用重心坐标公式和代入法求轨迹方程；B选项，根据椭圆的性质求°G长度的范围；C

四=四|沙|I*

选项，根据角平分线的性质得到眼用归国，然后求范围即可；D选项，根据M州「周列等式，然后

整理即可.

考y；

由题意得。＜不＜2,°＜%＜石,1十石一1①,耳（-2，。），6（2,0）,

-2+x0+2

A,一

＜3

_0+为+0［冗0=3元

设G（x，y）,因为G是△巴第的中心，所以卜3,即［%=3乙

代入黄牛二】中得？+3心1

因为。＜无。＜2,0＜%＜。3,所以3,3,

所以G的轨迹为椭圆的一部分，故A正确；

2昱|OG|ef—,-＞1

因为G的轨迹为椭圆的一部分，长半轴长为5,短半周长为3,所以I33人故B错;

由椭圆定义得四出尸可=2。=4,设用=”，〃«2,3）,

根据角平分线的性质可得附用阀।n"S'人故c错；

12

2.3

1-m2一/

m+l2+-x0m=—x0

由①得’4,代入②得2,整理得4故D正确.

故选：AD.

13.2面

【分析】利用空间向量的方法求点点到直线的距离.

【详解】设直线8C与直线班夹角为，,

BC=(2,0,-4)温=(5,2,0)网=，25+4+0=后

uunuir

I/umuir>BCBA|(2,0,-4)-(5,2,0)|57145

cos0=cos(BC,BA

uuP||Utr-

BC\\BA74+0+16x725+4+0145sin".-cos?。=嚼

|S|-sin(9=V29x^^^=2V6

所以点A到直线BC的距离为

故答案为：2面.

叵

14.2

222

\PM\=J\PF1|-r=./|PF,|--

【分析】结合图形得'4,即求焦半径I尸用的最小值.

(x+3)2+y2~(-3,0),r=-

【详解】圆4的圆心2,

椭圆石+!?=1的焦点为耳(-3,0),尸2(3,。)，Q=5,C=3,

\PM\=JiP*F-严=J,PFip_1

因为"工

即求焦半径13I的最小值.

先证焦半径公式：

22

p(\—+=l(a>b>0)

设"%x，%v)是椭圆/b?上任一点,

耳(-C,0),与(C，。)是椭圆的两焦点，

13

MP=J（x（）+c）2+y2=，（八+°）2+加."Jo=\".*+25+/=a+詈

则Vav。。

a

因为-aVx（）Va,所以"十°-;.\PF\=a+ex0

由焦半径公式知上用="+气，则当％=一。时，取得最小值1尸用="0=2,

四|=小如一产=J咫F-：=，=芈

人U,

A/15

故答案为：2

15[-2后,2屈]

\PA\=-\PB\,,“

【分析】根据21I得到厂+A=4,再根据直线与圆的位置关系得到答案.

尸（xv）向1=3冏（x-4）2+/=4r（x-l）2+y2l

整理得到炉+丁=4,圆心为（°，°）,半径厂=2,

_^L<2

由题意直线3x-2y+m=°与圆有交点，则,解得-2而VmW2&i.

即实数m的取值范围是卜2小，2屈1

故答案为」一2屈，2码.

屈

16.3

y=~~（x~c）

【分析】根据ww垂直渐近线得到直线方用的方程为b，然后分别于渐近线方程联立得到点",

N的坐标，最后根据5根=2网列方程求离心率即可.

14

设P（c，°）,渐近线方程为，=一一+。%,则直线尸河的方程为‘-一-一-石（’"一-"）

a2c

x=----

a-b

babca2cabc、

y=——xv_N

联立a得',贝］J

5ab2abcC^_W

因为=所以5yM=2班，即C~b2-a2,整理得3,

V30

所以C的离心率为亍.

V30

故答案为：3

x-2y=0(x+5)2+/=9^(x-5)2+/=9

17.(1)(2)

【分析】利用尸（一2」）关于x轴的对称点在反射光线所在的直线上，结合点斜式方程可解答案;

利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，再结合弦长与半径的值可求圆心坐标，则圆的方程可求.

【详解】（1）（1）设点P关于x轴的对称点为S（—2，T）,

2-(T)1

y=：(x+2)-l

2

则直线SQ的斜率为4一（一2）,则SQ方程为2,即1方程为x-2y=0.

M

（2）设圆心（区°）,则圆心到直线1的距离为君,

I+22=32

由弦长等于4得，解得"±5.

15

所以圆A的方程为（x+5『+y2=9或（x-5y+y2=9.

.1V3

X-=-...

18.（1）2,证明见解析⑵3.

2=-

【分析】（1）根据题意得到2,利用中位线的性质得到W3C,然后根据线面平行的判定定理证

明即可；

⑵根据二面角的平面角的定义得到NP8A就是二面角尸-BC-A的平面角，即可得到尸4=48=6，将

2

点M到平面PAC的距离转化为点B到平面PAC的距离的5,然后求距离即可.

【详解】⑴

/l=-

当2时，满足题意.M是心的中点，又因为N是PC的中点,

所以MN〃BC,

又MNu平面ABC,且平面ABC,所以3c〃平面ABC.

（2）由勾股定理得AB=6,

因为尸4,平面ABC,3Cu平面ABC,所以玄，87,

又AB，BC,ABPA=A?平面尸胡，所以8C」平面PB4,

而PBu平面PH4,故PBLBC,

故"BA就是二面角尸-BC-A的平面角，所以"BA=45。，

所以—Q4B为等腰直角三角形，且以=48=出，

BH=—

过8作8〃LAC于a,则3”，平面P4C,易得2,

-Dll---

所以点/到平面尸AC的距离等于3，为3.

1030>^nmile0、（30+606+30万）〃加历

127.\1J\ZJX7

16

PBPC9030A.1

--------=--------------r=--------smZPBC=—

【详解】试题分析：（1）由正弦定理得，sin/PCBsin/PBC,即sinl20°sin/PBC,解得2,

得/P5C=30°,所以PBC为等腰从而求解（2）根据“两点之间线段最短”可知，最短航线是

“P-A-3-C-P，或，PfCfA-P，，由余弦定理可以算出PA,分别计算每段长求和即可得出

结论

试题解析：

（1）在APBC中，PB=90,PC=30^/3.ZPCB=120°；

PBPC90304.//1

--------=-------------R=------------sinZPBC=—

由正弦定理得，sinZPCBsinZPBC,即sin120sinZPBC,解得2,

又因为在AP8C中，0°<ZPBC<60°,所以/PBC=30°,

所以/BPC=30。，从而BC=PC=306,

即氏C两个岛屿间的距离为30如"mile；

（2）因为4比=90。,々"=30°,所以/尸胡=^/150-/尸30=90°-30°=60<）,

在AR4B中，PB=90,AB=30t由余弦定理得，

22

PA=ylPB+AB-2PB7AB®=J?+_2_x_~~=j

根据“两点之间线段最短”可知，

最短航线是“P-■尸”或“PA-P”，

其航程为S=PA+AB+8C+CP=30占+30+30』+30/=30+60省+306.

所以应按航线“P-A-3-C-P'或"P-CfA-P，航行，

（30+60^f3+30y/1}nmile

其航程为17

20.（1）63（2）证明见解析

【分析】（1）由题得出焦点坐标，再由椭圆定义可求得“，由。，6，。关系可求得结果；

（2）当直线OE与x轴重合时，易证；当直线OE与x轴不重合时，设”;：尤=%>+3,与椭圆联立可得

17

21।1_2__J_+_l_

根与系数关系，要证明口同\DG\您*，即证为%为，根与系数关系代入可得证.

【详解】⑴由己知得焦点坐标为（一

由椭圆定义知2"#+可+1+"2一石『+1=历

=国（6+1）+国（括T）=2&,：,0=m,

片+匚1

则廿=。2_。2=6-3=3,所以c的方程为63.

（2）①当直线与x轴重合时,不妨设°（而°）,"HM,

2_1]

易得①国=1"DG|=3-太，。引=3+",满足网=两+网.

②当直线OE与X轴不重合时，设DE：工=四+3,6（冷％）,"（和％）,现2,%）

/%=my+3

由1无2+29=6,得（加2+2）/+6〃。+3=0,

-6m3

△=24"-1）,%+%=斤，

21121.1

要证明口闵lDGl\DH\,等价于证