圆的切线证明e

的切线证明1（2021中考）.如图，PA为。。的切线，A为切点，过A作0P的垂线AB,垂足为点C,交。0于点B,延长B0与。0交于点D,与PA的延长线交于点E,（1）求证：PB为。0的切线；2。0中，AB是直径，过B点作。O的切线，连结CO,假设AD〃OC交。O于D,求证：CD是。O的切线。3如图，AB=AC,AB是0O的直径，。。交BC于D,DMJ_AC于M求证：DM与。O相切.（第23（第23题）（1）求证：PD是e。的切线;4（2021年厦门市）：如图，△上£］中，AB=AC,以48为直径的巳。交3C于点尸，FDUC于点5：如图。0是4ABC的外接圆，P为圆外一点，PA/7BC,且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交。0于另一点D,连结CD.⑴试判断直线PA与00的位置关系，并证明你的结论.⑵当AB=13,BC=24时，求。。的半径及CD的长.6如图，点B、C、D都在半径为6的。0上，过点C作AC〃BD交0B的延长线于点A,连接CD,ZCDB=Z0BD=30°.(1)求证：AC是。。的切线；(2)求弦BD的长；(3)求图中阴影局部的面积.(2021北京中考)：如图，在ZMBC中，。是边上一点，圆。过。、(2021北京中考)：如图，在ZMBC中，。是边上一点，圆。过。、B、C三点,ZDOC=2ZACD=90°o(1)求证：直线AC是圆。的切线；(2)如果NACB=75。，圆。的半径为2,求80的长。(2021•北京)如图，在△阳€：,AB=AC,以AB为直径的。O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上，且NCBF=/NCAB.(1)求证：直线BF是0O的切线：ABAB9。0的半径OALOB,点P在OB的延长线上，连结AP交。O于D,过D作。O的切线CE交OP于C,求证：PC=CDc10（2021年广东省9分）如图，。。是RtZ\ABC的外接圆，ZABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE±DC交DC的延长线于点E.（1）求证：ZBCA=ZBAD；（3）求证:BE是。。的切线。11（7分）（2021•珠海）如图,。。经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D,11（7分）（2021•珠海）如图,求证：BC为。O的切线;求NB的度数.细说如何证明圆的切线E

2G»O中，AB是直径，过B点作。O的切线，连结CO,假设AD〃OC交。O于D,求证：CD是。O的切线。点悟：要证CD是。。的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD0证明：连结OD。VAD//OC,AZCOB=NA及ZCOD=ZODAVOA=OD,AZODA=ZOADAZCOB=ZCOD〈CO为公用边，OD=OB・•△COB且△COD,即NB=NODC・・BC是切线，AB是直径，••NB=90°,ZODC=90°,，CD是。O的切线。点拨：辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形〃两个根本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。3如图，AB=AC,AB是。O的直径，。。交BC于D,DM_LAC于M求证：DM与。O相切.D3（2021年厦门市）：如图，△在C中，AB=AC,以48为直径的巳。交3C于点F,FDUC于点B(第B(第23题)(1)求证：上叨是巳。的切线；(2)假设NQ43=120°,AB=2,求BC的值.(1)证明：=又N0FB=N8/C=N0F8OPIIAD又。如_1_4。于3,J4Q尸=90。，尸。=90。.:即是巳0的切线4：如图00是aABC的外接圆，P为圆外一点，PA〃BC,且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交00于另一点D,连结CD.⑴试判断直线PA与00的位置关系，并证明你的结论.

⑵当AB=13,BC=24时，求。0的半径及CD的长.如图，点B、C、D都在半径为6的。0上，过点C作AC〃BD交0B的延长线于点A,连接CD,NCDB二N0BD=300.(1)求证：AC是。。的切线；⑵求弦BD的长；⑶求图中阴影局部的面积.(2021北京中考)：如图，在中，。是A8边上一点，圆。过O、&C三前,NDOC=2ZAC-(1)求证：直线AC是圆。的切线；(2)如果ZACB=75。，圆。的半径为2,求80的长。（2021•北京）如图，在△阳€：,AB=AC,以AB为直径的。O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上，KZCBF=|ZCAB.（1）求证：直线BF是。。的切线；例6.。0的半径OA_LOB,点P在OB的延长线上，连结AP交。O于D,过D作。O的切线CE交OP于C,求证：PC=CDo点悟：要证PC=CD,可证它们所对的角等，即证NP=NCDP,又OALOB,故可利用同角（或等角）的余角相等证题。证明：连结OD,那么OD_LCE.AZEDA+ZODA=90<;VOA±OB・・・NA+NP=9（T,又・・・OA=OD,，NODA=NA,ZP=ZEDAVZEDA=ZCDP.ZP=ZCDP,APC=CD点拨：在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。7(2021年广东省9分)如图，。。是Rtz^ABC的外接圆，ZABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE±DC交DC的延长线于点E.(i)求证：ZBCA=ZBAD：(2)求DE的长；(3)求证:BE是。。的切线。【答案】解：(1)证明：VBD=BA,ZBDA=ZBADoVZBCA=ZBDA(圆周角定理)，/.ZBCA=ZBADo

(2)VZBDE=ZCAB(圆周角定理)，NBED=NCBA=90。,，ABED^ACBA,Z.—=—ACABVBD=BA=12,BC=5,•••根据勾股定理得：AC=13o•12_DE144解得：DE= 13 12 13(•12_DE144解得：DE= 13 12 13(3)证明：连接OB,OD,[AB=DB在AABO和△DBO中，VBO=BO,OA=ODAAABO^ADBO(SSS)oZDBOZABOo锦元数学工作室绘制VZABO=ZOAB=ZBDC,AZDBO=ZBDCoAOBZ/EDoVBElEDtAEBlBOoAOBlBEo••,OB是。。的半径，・・田£是。。的切线。8.17分)(2021•珠海)如图，。。经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D,且与AB相切于点A(1)求证：BC为。。的切线；(2)求NB的度数.考点：切线的判定与性质；菱形的性质.分析：(1)连结OA、OB、OC、BD,根据切线的性质得OA_LAB,即NOAB=90。，再根据菱形的性质得BA=BC,然后根据"SSS"可判断aABC且△CBO,那么NBOC=NOAC=90%于是可根据切线的判定方法即可得到结论；(2)由△ABCgAkCBO得NAOB=NCOB,那么NAOB=NCOB,由于菱形的对角线平分对角，所以点O在BD上，利用三角形外角性质有NBOC=NODC+NOCD,刃「么NBOC=2NODC,由于CB=CD,那么NOBC=NODC,所以NBOC=2NOBC,根据NBOC+NOBC=90。可计算出NOBC=30。，然后利用NABC=2NOBC计算即可.解答：(1)证明：连结OA、OB、OC、BD,如图，・，AB与。切于A点，AOA1AB.即NOAB=90。，・•四边形ABCD为菱形，BA=BC,在4ABC和△CBO中(AB二CBI0A=0C,[oB=OBAAABC^ACBO,，ZBOC=ZOAC=90°,AOC±BC,ABC为。O的切线；(2)解：VAABC^ACBO,，ZAOB=ZCOB.・•四边形ABCD为菱形，，BD平分NABC,CB=CD,••点O在BD上，NBOC=NODC+NOCD,而OD=OC,AZODC=ZOCD.，ZBOC=2ZODC,而CB=CD»AZOBC=ZODC.，ZBOC=2ZOBC,ZBOC+ZOBC=90°,，N