河南省郑州市名校教研联盟2024届高三下学期模拟预测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省郑州市名校教研联盟2024届高三下学期模拟预测数学试卷一、选择题1.已知复数，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B．2.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，即，若，不符题意，若，符合题意，若，不符题意，故，所以.故选:C．3.已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由得，即，即，又，所以.故选：D．4.函数是偶函数，则a的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为是偶函数，所以，所以，故D正确.故选：D.5.知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为的球，这此球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗以8个顶点为球心的球各有在正方体内，以6个面的中心为球心的球各有在正方体内，所以这些球在正方体的体积之和为4个半径为的球的体积之和，所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为.故选：D6.已知点O为坐标原点，点A为直线（）与椭圆C：（）的一个交点，点B在C上，OA⊥OB，若，则C的长轴长为（）A. B.3 C. D.6〖答案〗C〖解析〗设，，由，得，由OA⊥OB可得，所以，，所以，所以，，C的长轴长为，故选：C．7.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设（），则，所以在上单调递减，所以，即，所以，，，所以，故选：A．8.已知第一象限内的点P在双曲线（，）上，点P关于原点的对称点为Q，，，是C的左、右焦点，点M是的内心（内切圆圆心），M在x轴上的射影为，记直线的斜率分别为，，且，则C的离心率为（）A.2 B.8 C. D.〖答案〗A〖解析〗设圆M与，分别切于点A，B，则，，且，所以，点，设，，则，所以，，，所以，.故选：A．二、选择题9.近几年随着AI技术的发展，虚拟人的智能化水平得到极大的提升，虚拟主播逐步走向商用，如图为2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数（较上一年增加的数量）条形图，根据该图，下列说法正确的是（）A.2014～2022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加B.2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为410C.2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为915D.从图中9年企业注册增加数字中任取2个数字，这两个数字的平均数大于110的概率〖答案〗ACD〖解析〗对A，由每年增加数均为正数，可得A正确；对B，2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为121，B错误；对C，2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为，C正确；对D，当且仅当从33，48，76，84，121中任取两个数字，其平均数均不大于110，所以所求概率为，D正确.故选：ACD．10.过点作直线l与函数的图象相切，则（）A.若P与原点重合，则l方程为B.若l与直线垂直，则C.若点P在的图象上，则符合条件的l只有1条D.若符合条件的l有3条，则〖答案〗AD〖解析〗设l与图象切于点，当点与点不重合时，切线斜率，整理得：，当点与点重合时，切线斜率，对于A，若P与原点重合，点在函数图象上，则，此时，，l即x轴，方程为，A正确；对于B，若l与直线垂直，则，，当点为切点时，或，当点不为切点时，满足，整理得，当时，，当时，，B错误；对于C，当点P在的图象上时，，，则，即，所以或，故有两解，符合条件的直线有两条，C错误；对于D，若符合条件的l有3条，则点不在图象上，设l与的图象切于点，则有，设，，由得或，符合条件的l有3条，有3个零点，则，所以，，，D正确.故选：AD．11.已知，则（）A.的图象关于点对称B.的值域为C.在区间上有33个零点D.若方程在（）有4个不同的解（，2，3，4），其中（，2，3），则的取值范围是〖答案〗AB〖解析〗对A：由，所以，则的图象关于对称，故A正确；对B：由，因为，所以的一个周期为，不妨讨论一个周期的值域情况，当，此时，则，因为，所以，则，则；当，此时，则，因为，所以，则，则，当，此时，则，因为，所以，则，则，当，此时，则，因为，所以，则，则，综上所述，故B正确；对C：，令得或，可得（），所以，，所以在上有31个零点，故C错误；对D：是以为周期的周期函数，当时，则在上有2个实根，，且与关于对称，所以；当时，则在上没有实根，则在上有2个实根，，且与关于对称，且，且，，当时，则上没有实根，当时，有2个实根，但只需有4个零点，所以，又因为，所以的取值范围是，故D错误，故选：AB．三、填空题12.展开式中x的系数为______.〖答案〗〖解析〗，的展开式为，所以可得x的系数为.故〖答案〗为：.13.平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍．若点A，B，C都在圆E上，直线BC方程为，且，△ABC的垂心在△ABC内，点E在线段AG上，则圆E的标准方程______.〖答案〗〖解析〗由△ABC的垂心到直线BC距离，设圆E半径为r，由塞尔瓦定理可得，由圆的几何性质可得，联立解得，，因为直线BC方程为，,且，所以直线EG方程为，设，则E到直线BC距离，解得（舍去）或，所以圆E的标准方程为．故〖答案〗为：14.四边形ABCD中，，，，设△ABD与△BCD的面积分别为，，则的最大值为______.〖答案〗〖解析〗因为，由正弦定理得，所以，即，因为，所以，，，所以，，由余弦定理得，所以，当时取等号，所以，设，则，在中由余弦定理得，所以，当时，取得最大值，所以的最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题15.已知等差数列满足，．（1）求；（2）若，数列的前n项和为，求最小时对应的n的值．解：（1）设等差数列的公差为d，由，得，解得，，所以．（2）由（1）得，，当时，又，，所以，因为时，所以数列的前4项或前6项之和最小，即最小时n的值为4或6．16.如图，在三棱锥中，，其余各棱的长均为6，点在棱上，，过点的平面与直线垂直，且与，分别交于点，．（1）确定，的位置，并证明你的结论；（2）求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）取中点，连接，，由已知可得，所以，，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，过作的平行线与的交点即为，过作的平行线与的交点即为，因为，所以，，所以当，时，平面与直线垂直．（2）由题意可得，因为，所以，以为原点，直线，分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，．设平面的一个法向量为，则有，得，取，得，设直线DA与平面DEF所成角为，则，所以直线DA与平面DEF所成角的正弦值为．17.某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长y（cm）与身高x（cm）之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据：x159165170176180y6771737678（1）根据上表数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；（3）从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为X，求．参考数据：，，参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．解：（1）由表中的数据和附注中的参考数据得，，，，，，，∴．因为y与x的相关系数近似为0.997，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．（2）由及（1）得，，所以y关于x的回归方程为．（3）X的取值依次为2，3，4，5，6，7，9，11，，，，，，，，,X的分布列X所以.18.已知倾斜角为（）的直线l与抛物线C：（）只有1个公共点A，C的焦点为F，直线AF的倾斜角为．（1）求证：；（2）若，直线l与直线交于点P，直线AF与C的另一个交点为B，求证：．证明：（1）设，则l的方程为，与联立得，因为直线l与抛物线C只有1个公共点，所以，整理得，所以，又，所以，因为，，所以，，所以．（2）时，C的方程为，把，代入得l的方程为，把代入得，所以，由（1）知，，设，设直线AB方程为，与联立得，t，是该方程的两个根，所以，所以，所以，所以19.已知函数（），．（1）若，的导数分别为，,且，求a的取值范围；（2）用表示a，b中的最小值，设，若，判断的零点个数．解：（1）因为（），所以，由得，