四川省成都市郫都区2024届高三上学期阶段检测（三）数学试卷（文）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省成都市郫都区2024届高三上学期阶段检测（三）数学试卷（文）第I卷（选择题）一、选择题1.已知，那么（

）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，解得，则，，故，故选：C.2.已知为虚数单位，则复数的虚部为（）A. B. C.0 D.1〖答案〗D〖解析〗因为，所以虚部为1.故选：D．3.命题“，有”的否定为（）A.，使 B.，使C.，有 D.，有〖答案〗A〖解析〗根据将全称命题否定为特称命题即可.可得“，有”的否定为“，使”，故选：A．4.已知为等比数列的前项和，，则（）A.12 B.24 C.48 D.96〖答案〗C〖解析〗由题知可得，当时，，所以，且，由于为等比数列，可知，解得，所以，.故选：C.5.如图，将框图输出的看成输入的的函数，得到函数，则的图象（）A.关于直线对称 B.关于直线对称C.关于轴对称 D.关于点对称〖答案〗D〖解析〗由框图得到分段函数画出图象如下则由图得D正确故选D.6.是抛物线上一点，是的焦点，为的准线，于，若，则的周长为（）A. B. C.10 D.12〖答案〗D〖解析〗如图，由抛物线，可知，准线方程，因为，所以，代入抛物线方程可得，不妨设在第一象限，则，所以,又，所以,所以的周长为，故选：D7.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē，nào）．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的最长棱长为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据三视图，还原直观图为三棱锥，如图所示，由题意得，在直角三角形中，，同理，所以最长棱为.故选：C.8.已知，则的值为（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可得：

，所以，，故.故选：A.9.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图像，且函数是偶函数，则的最小值是（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意是偶函数，所以，解得，又，所以当且仅当时，.故选：A.10.在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则面积的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，则与的中点坐标为，由题意得，消去得，故点为以为圆心，半径为1的圆，（除去），故的最大值为2，位于的正上方，故面积的最大值为故选：B.11.若函数对任意的都有恒成立，则与的大小关系正确的是（

）A. B.C. D.无法比较大〖答案〗C〖解析〗令，则，因为对任意的都有成立，所以，即在上单调递减，又，故，即，可得.故选：C.12.已知，若存在实数，当时，满足，则的取值范围为（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗作出函数的图象如图，当时，，由得，由可得，由图可知，，点、关于直线对称，则，点、关于直线对称，则，所以，令，其中，，当时，，在上单调递减，当时，，即函数在上单调递增，所以，当时，，当时，；当时，，则，所以的取值范围为.故选：D.第II卷（非选择题）二、填空题13.若实数满足约束条件，则的最大值为________．〖答案〗4〖解析〗题设中的不等式组对应的可行域如图所示（包括边界）：由，得，作出直线，向下平移过点时，目标函数取得最大值，由，得，即，所以的最大值为.故〖答案〗为：414.已知向量满足，则__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，故.故〖答案〗为：15.正方形的边长为2，以为起点作射线交边于点，则的概率为____________.〖答案〗〖解析〗当时，，此时由几何概型概率公式得的概率为故〖答案〗：16.将四个半径为的小球放入一个大球中，则这个大球半径的最小值为________．〖答案〗〖解析〗当大球半径最小时，四个小球两两外切并均与大球内切，大球的半径是棱长为4的正四面体的外接球半径加小球半径2，如图所示，把棱长为4的正四面体扩成棱长为的正方体，其中正四面体的棱为正方体各面的对角线，如图所示，则正四面体的外接球也是正方体的外接球，外接球半径为，所以这时大球的半径为.故〖答案〗为：.三、解答题17.数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，某线下家电商场为提升人气和提高营业额也开通了在线直播，下表统计了该商场开通在线直播的第x天的线下顾客人数y（单位：百人）的数据：x12345y1012151820（1）根据第1至第5天的数据分析，计算变量y与x的相关系数r，并用r判断两个变量y与x相关关系的强弱（精确到小数点后三位）；（2）根据第1至第5天的数据分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，试求出该线性回归方程并估计该商场开通在线直播的第10天的线下顾客人数．（参考公式：相关系数，参考数据：回归方程：，其中，）解：（1）依题意可得，，，，，，，∴两个变量与相关关系很强.（2）因为，，，，所以时（百人），故预估该商场开通在线直播的第天的线下顾客人数为百人.18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．（1）求；（2）若，，求．解：（1）由题意可知，，由，得，由正弦定理可知，，由，得，即（或由正弦定理可知：，因为，所以.）（2）由，可知角为锐角，所以，得，，因为，由正弦定理得，所以，由余弦定理，得19.如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．（1）证明：因为平面，平面,所以,又因为，即，平面，,所以平面，又因为平面,所以平面平面.（2）解：如图，过点作，垂足为.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以四棱锥的高为.因为平面，平面,所以,,又因为，为公共边，所以与全等，所以.设，则，所以为中点，,又因为,所以,即，解得，所以，所以四棱锥的高为．20.已知椭圆，点A，B为椭圆C左右顶点（A点在左），，离心率为．（1）求椭圆C标准方程；（2）过点的直线与椭圆C交于（与A，B不重合）两点，直线与交于点P，证明：点P在定直线上．（1）解：由题意可知：，所以，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）证明：由题意，直线的斜率不为0，设直线，，联立可得，显然，所以，所以，又因为，所以，令，则，解得，即，所以点P在定直线上.21.已知函数．（1）当时，求的极值；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：．（1）解：当时，的定义域为，求导得，当时，，当时，，则在上递减，在上递增，所以有极小值，无极大值.（2）解：由恒成，得，令，求导得，当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，因此，则，所以实数的取值范围是.（3）证明：由（2）知，当时，即于是，，，，因此，所以.请考生在22、23题中任选一题作答.22.瑞士数学家雅各布·伯努利在1694年类比椭圆的定义，发现了双纽线.双纽线的图形如图所示，它的形状像个横着的“8”，也像是无穷符号“∞”.定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求双纽线的极坐标方程；（2）双纽线与极轴交于点P，点M为C上一点，求面积的最大值（用表示）.解：（1）以坐标原点为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，如图，在双纽线C上任取一点，在中，，在中，，依题意，，则，即，整理得：，所以双纽线的极坐标方程为．（2）令，得，则点到极轴所在直线的距离为，则，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为．23.已知函数.（1）解不等式；（2）设函