2024届黑龙江省大庆市实验中学高三第五次模拟考试数学试卷含解析

2024届黑龙江省大庆市实验中学高三第五次模拟考试数学试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是()A．18种 B．36种 C．54种 D．72种2．抛物线的准线与轴的交点为点，过点作直线与抛物线交于、两点，使得是的中点，则直线的斜率为（）A． B． C．1 D．3．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取得最大值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．4．若，满足约束条件，则的取值范围为（）A． B． C． D．5．定义在R上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数满足，的取值范围是（）A． B． C． D．6．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则的取值范围是（）.A． B． C． D．7．设全集，集合，，则（）A． B． C． D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．9．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是A．函数的最小正周期是B．函数的图象关于点成中心对称C．函数在单调递增D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）.A．432 B．576 C．696 D．96011．已知集合A，B=,则A∩B=A． B． C． D．12．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则公比的值为（

）A． B． C．或 D．或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，以A,B为焦点，且过C,D两点的双曲线的离心率为____________.14．若幂函数的图象经过点，则其单调递减区间为_______．15．已知均为非负实数，且，则的取值范围为______．16．的展开式中项的系数为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）若,且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并说明理由.18．（12分）已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）已知，若对于任意恒成立，求的取值范围.19．（12分）如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，且.（1）求证：平面；（2）若，，，，求二面角的正弦值.20．（12分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，，，，，是棱中点.（1）已知点在棱上，且平面平面，试确定点的位置并说明理由；（2）设点是线段上的动点，当点在何处时，直线与平面所成角最大？并求最大角的正弦值.21．（12分）P是圆上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足．（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．22．（10分）如图，三棱柱中，平面，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇即得.【详解】把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇，则不同的分配方案有种.故选：.【点睛】本题考查排列组合，属于基础题.2、B【解析】

设点、，设直线的方程为，由题意得出，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合可求得的值，由此可得出直线的斜率.【详解】由题意可知点，设点、，设直线的方程为，由于点是的中点，则，将直线的方程与抛物线的方程联立得，整理得，由韦达定理得，得，，解得，因此，直线的斜率为.故选：B.【点睛】本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.3、B【解析】

设，利用两点间的距离公式求出的表达式，结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【详解】设，因为是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，所以，则，当时，，当时，，当且仅当时取等号，此时，，点在以为焦点的椭圆上，，由椭圆的定义得，所以椭圆的离心率，故选B.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．4、B【解析】

根据约束条件作出可行域，找到使直线的截距取最值得点，相应坐标代入即可求得取值范围.【详解】画出可行域，如图所示：由图可知，当直线经过点时，取得最小值－5；经过点时，取得最大值5，故.故选：B【点睛】本题考查根据线性规划求范围，属于基础题.5、C【解析】

先从函数单调性判断的取值范围，再通过题中所给的是正数这一条件和常用不等式方法来确定的取值范围.【详解】由的图象知函数在区间单调递增，而，故由可知.故，又有，综上得的取值范围是.故选：C【点睛】本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.6、C【解析】

框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n.【详解】第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；此时满足输出结果，故.故选：C.【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题.7、D【解析】

求解不等式，得到集合A，B，利用交集、补集运算即得解【详解】由于故集合或故集合故选：D【点睛】本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.8、D【解析】

结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积,下半部分的正三棱柱的体积,故该几何体的体积.故选:D.【点睛】本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.9、B【解析】

根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，所以的最小正周期，不妨令，，由周期，所以，又，所以，所以，令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B．【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．10、B【解析】

先把没有要求的3人排好，再分如下两种情况讨论：1.甲、丁两者一起，与乙、丙都不相邻，2.甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻.【详解】首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有种不同排列方式，甲、丁排在一起共有种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有种不同方式；根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为种.故选：B.【点睛】本题考查排列组合的综合应用，在分类时，要注意不重不漏的原则，本题是一道中档题.11、A【解析】

先解A、B集合，再取交集。【详解】,所以B集合与A集合的交集为，故选A【点睛】一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。12、D【解析】

由成等差数列得，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程.【详解】由题意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q=故选：D．【点睛】本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】

根据为焦点，得；又求得，从而得到离心率.【详解】为焦点在双曲线上，则又本题正确结果：【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.14、【解析】

利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求出的单调递减区间．【详解】解：幂函数的图象经过点，则，解得；所以，其中；所以的单调递减区间为．故答案为：．【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．15、【解析】

设,可得的取值范围,分别利用基本不等式和，把用代换,结合的取值范围求关于的二次函数的最值即可求解.【详解】因为,，令，则,因为,当且仅当时等号成立,所以,,即,令则函数的对称轴为,所以当时函数有最大值为,即．当且，即，或，时取等号；因为,当且仅当时等号成立,所以,令,则函数的对称轴为,所以当时,函数有最小值为,即，当,且时取等号，所以.故答案为:【点睛】本题考查基本不等式与二次函数求最值相结合求代数式的取值范围;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;基本不等式:和的灵活运用是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.16、40【解析】

根据二项定理展开式，求得r的值，进而求得系数．【详解】根据二项定理展开式的通项式得所以，解得所以系数【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）不存在.【解析】

（1）由已知，利用基本不等式的和积转化可求，利用基本不等式可将转化为，由不等式的传递性，可求的最小值；（2）由基本不等式可求的最小值为，而，故不存在．【详解】（1）由，得，且当时取等号．故，且当时取等号．所以的最小值为；（2）由（1）知，．由于，从而不存在，使得成立．【考点定位】基本不等式．18、（1）或；（2）.【解析】

（1）时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.（2）时，分类讨论去绝对值，得到解析式，由函数的单调性可得的最小值，通过恒成立问题，得到关于的不等式，得到的取值范围.【详解】（1）因为，所以，所以不等式等价于或或，解得或.所以不等式的解集为或.（2）因为，所以，根据函数的单调性可知函数的最小值为，因为恒成立，所以，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.19、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）要证明平面，只需证明，，即可求得答案；（2）先根据已知证明四边形为矩形，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立坐标系，求得平面的法向量为，平面的法向量，设二面角的平面角为，，即可求得答案.【详解】（1）平面，平面，.，，.又，平面.（2）由（1）可知.在中，，..又，，四边形为矩形.以为原点，为轴，为轴，为轴，建立坐标系，如图：则：，，，，：，设平面的法向量为，即，令，则，由题平面，即平面的法向量为由二面角的平面角为锐角，设二面角的平面角为即二面角的正弦值为：.【点睛】本题主要考查了求证线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直判断定理和向量法求二面角的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20、（1）为中点，理由见解析；（2）当点在线段靠近的三等分点时，直线与平面所成角最大，最大角的正弦值.【解析】

(1)为中点,可利用中位线与平行四边形性质证明，，从而证明平面平面；（2）以A为原点，分别以，，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出当点在线段靠近的三等分点时，直线与平面所成角最大，并可求出最大角的正弦值.【详解】（1）为中点，证明如下：分别为中点，又平面平面平面又，且四边形为平行四边形，同理，平面，又平面平面（2）以A为原点，分别以，，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系则，设直线与平面所成角为，则取平面的法向量为则令，则所以当时，等号成立即当点在线段靠近的三等分点时，直线与平面所成角最大，最大角的正弦值.【点睛】本题主要考查了平面与平面的平行，直线与平面所成角的求解，考查了学生的直观想象与运算求解能力.21、（1）点M的轨迹C的方程为，轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆（2）【解析】

（1）设，根据可求得，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆；（2）设，与椭圆方程联立，利用求得；利用韦达定理表示出与，根据平行四边形和向量的坐标运算求得，消去后得到轨迹方程；根据求得的取值范围，进而得到最终结果.【详解】（1）设，则由知：点在圆上点的轨迹的方程为：轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆（2）设，由题意知的斜率存在设，代入得：则，解得：设，，则四边形为平行四边形又