2022-2023学年七年级数学下册举一反三系列专题8.1 幂的运算【八大题型】（举一反三）（苏科版）含解析

2022-2023学年七年级数学下册举一反三系列专题8.1幂的运算【八大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1幂的基本运算】 1【题型2幂的运算法则逆用（比较大小）】 2【题型3幂的运算法则逆用（求代数式的值）】 2【题型4幂的运算法则逆用（整体代入）】 2【题型5幂的运算法则逆用（求参）】 3【题型6幂的运算法则逆用（代数式的表示）】 3【题型7幂的运算法则（混合运算）】 3【题型8幂的运算法则（新定义问题）】 4【知识点1幂的运算】①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。任何不等于0的数的0次幂都等于1。【题型1幂的基本运算】【例1】（2022•谷城县二模）下列各选项中计算正确的是（）A．m2n﹣n＝n2 B．2（﹣ab2）3＝﹣2a3b6 C．（﹣m）2m4＝m8 D．x【变式1-1】（2022秋•南陵县期末）(5A．1 B．512 C．225 【变式1-2】（2022秋•孝南区月考）计算x5m+3n+1÷（xn）2•（﹣xm）2的结果是（）A．﹣x7m+n+1 B．x7m+n+1 C．x7m﹣n+1 D．x3m+n+1【变式1-3】（2022秋•温江区校级期末）下列等式中正确的个数是（）①a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【题型2幂的运算法则逆用（比较大小）】【例2】（2022春•宣城期末）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【变式2-1】（2022春•晋州市期中）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab＞cb，根据上述材料，回答下列问题．（1）比较大小：520420，9612741；（填“＞”“＜”或“＝”）（2）比较233与322的大小；（3）比较312×510与310×512的大小．[注（2），（3）写出比较的具体过程]【变式2-2】（2022秋•滨城区月考）已知a＝3231，b＝1641，c＝821，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞a＞c【变式2-3】（2022春•泰兴市校级月考）若a＝2555，b＝3444，c＝4333，d＝5222，试比较a、b、c、d的大小．（写出过程）【题型3幂的运算法则逆用（求代数式的值）】【例3】（2022春•巨野县期中）已知：52n＝a，9n＝b，则154n＝．【变式3-1】（2022秋•西青区期末）若2x＝a，16y＝b，则22x+4y的值为．【变式3-2】（2022春•萧山区期中）若xm＝5，xn=14，则x2m﹣A．52 B．40 C．254【变式3-3】（2022春•高新区校级月考）已知32m＝a，27n＝b．求：（1）34m的值；（2）33n的值；（3）34m﹣6n的值．【题型4幂的运算法则逆用（整体代入）】【例4】（2022•铁岭模拟）若a+3b﹣2＝0，则3a•27b＝．【变式4-1】（2022秋•淇滨区校级月考）当3m+2n﹣3＝0时，则8m•4n＝8．【变式4-2】（2022春•东台市期中）已知a﹣2b﹣3c＝2，则2a÷4b×(18)【变式4-3】（2022春•昌平区期末）若5x﹣2y﹣2＝0，则105x÷102y＝．【题型5幂的运算法则逆用（求参）】【例5】（2022秋•西城区校级期中）若a5•（ay）3＝a17，则y＝，若3×9m×27m＝311，则m的值为．【变式5-1】（2022春•建湖县期中）规定a*b＝2a×2b，例如：1*2＝21×22＝23＝8，若2*（x+1）＝64，则x的值为．【变式5-2】（2022秋•卫辉市期末）已知2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1，则n﹣m＝．【变式5-3】（2022春•兴化市期中）若（2m）2•23n＝84，其中m、n都是自然数，则符合条件m、n的值有____组．【题型6幂的运算法则逆用（代数式的表示）】【例6】（2022秋•崇川区校级期中）若a2m（1）请用含x的代数式表示y；（2）如果x＝4，求此时y的值．【变式6-1】（2022•高新区校级三模）已知m＝89，n＝98，试用含m，n的式子表示7272．【变式6-2】（2022•高新区校级三模）（1）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代数式表示y．（2）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代数式表示y．【变式6-3】（2022春•新泰市期末）若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题：（1）如果2x•23＝32，求x的值；（2）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y．【题型7幂的运算法则（混合运算）】【例7】（2022春•沭阳县校级月考）计算：（1）（﹣a）2•a3（2）（﹣8）2013•（18）（3）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数）（4）（a2•a3）4．【变式7-1】（2022秋•道外区校级月考）计算：（1）y3•y2•y（2）（x3）4•x2（3）（a4•a2）3•（﹣a）5（4）（﹣3a2）3﹣a•a5+（4a3）2．【变式7-2】（2022春•太仓市期中）用简便方法计算下列各题（1）（45）2015×（﹣1.25）2016（2）（318）12×（825）11×（﹣2）【变式7-3】（2022春•漳浦县期中）计算（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2；（4）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2•a]．【题型8幂的运算法则（新定义问题）】【例8】（2022春•大竹县校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）•h（2022）的结果是（）A．2k+2021 B．2k+2022 C．kn+1010 D．2022k【变式8-1】（2022•兰山区二模）一般的，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：由于23＝8，所以3是以2为底8的对数，记作log28＝3；由于a1＝a，所以1是以a为底a的对数，记作logaa＝1．对数作为一种运算，有如下的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么（1）loga（M•N）＝logaM+logaN；（2）logaMN=logaM﹣logaN；（3）logaMn＝nlogaM．根据上面的运算性质，计算log2（23×8）﹣log2165−log【变式8-2】（2022春•泰兴市期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作a※b：如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2（1）根据上述规定，填空：2※16＝，※136（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明：设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n所以3x＝4，即3※4＝x，所以3n※4n＝3※4．请你尝试运用这种方法解决下列问题：①证明：6※7+6※9＝6※63；②猜想：（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝※（结果化成最简形式）．【变式8-3】（2022秋•南宁期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，那么（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”．例如：∵23＝8，∴（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义证明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5．∴3m•3n＝3m+n＝3×5＝15．∴（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．（1）根据上述规定，填空：（2，4）＝；（5，25）＝；（3，27）＝．（2）计算：（5，2）+（5，7）＝，并说明理由．（3）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c专题8.1幂的运算【八大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1幂的基本运算】 1【题型2幂的运算法则逆用（比较大小）】 2【题型3幂的运算法则逆用（求代数式的值）】 4【题型4幂的运算法则逆用（整体代入）】 5【题型5幂的运算法则逆用（求参）】 6【题型6幂的运算法则逆用（代数式的表示）】 8【题型7幂的运算法则（混合运算）】 10【题型8幂的运算法则（新定义问题）】 13【知识点1幂的运算】①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。任何不等于0的数的0次幂都等于1。【题型1幂的基本运算】【例1】（2022•谷城县二模）下列各选项中计算正确的是（）A．m2n﹣n＝n2 B．2（﹣ab2）3＝﹣2a3b6 C．（﹣m）2m4＝m8 D．x【分析】根据实数的运算法则计算各个选项得出结论即可．【解答】解：A．m2n﹣n＝n（m2﹣1），故A选项不符合题意；B.2（﹣ab2）3＝﹣2a3b6，故B选项符合题意；C．（﹣m）2m4＝m6，故C选项不符合题意；D.x6yx故选：B．【变式1-1】（2022秋•南陵县期末）(5A．1 B．512 C．225 【分析】根据xa•ya＝（xy）a，进行运算即可．【解答】解：原式＝（512×12=5故选：B．【变式1-2】（2022秋•孝南区月考）计算x5m+3n+1÷（xn）2•（﹣xm）2的结果是（）A．﹣x7m+n+1 B．x7m+n+1 C．x7m﹣n+1 D．x3m+n+1【分析】利用同底数幂的乘法运算、幂的乘方以及同底数幂的除法的知识求解即可求得答案．【解答】解：x5m+3n+1÷（xn）2•（﹣xm）2＝x5m+3n+1÷x2n•x2m＝x5m+3n+1﹣2n+2m＝x7m+n+1．故选：B．【变式1-3】（2022秋•温江区校级期末）下列等式中正确的个数是（）①a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】①和④利用合并同类项来做；②③都是利用同底数幂的乘法运算法则做（注意一个负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数）．【解答】解：①∵a5+a5＝2a5，故①的答案不正确；②∵（﹣a）6•（﹣a）3•a＝﹣a10故②的答案不正确；③∵﹣a4•（﹣a）5＝a9，故③的答案不正确；④25+25＝2×25＝26．故④的答案正确；所以正确的个数是1，故选：B．【题型2幂的运算法则逆用（比较大小）】【例2】（2022春•宣城期末）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【分析】将a、b、c转化为同底数形式，即可比较大小．【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124；b＝2741＝（33）41＝3123；c＝961＝（32）61＝3122；∴3124＞3123＞3122，即a＞b＞c．故选：A．【变式2-1】（2022春•晋州市期中）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab＞cb，根据上述材料，回答下列问题．（1）比较大小：520＞420，961＜2741；（填“＞”“＜”或“＝”）（2）比较233与322的大小；（3）比较312×510与310×512的大小．[注（2），（3）写出比较的具体过程]【分析】（1）根据“同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab＞cb，”即可比较520，420的大小；根据“对于同底数，不同指数的两个暴ab和ac（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac”，即可比较961，2741的大小；（2）据“对于同底数，不同指数的两个暴ab和ac（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac”，即可比较233与322的大小；（3）利用作商法，即可比较312×510与310×512的大小．【解答】解：（1）∵5＞4，∴520＞420，∵961＝（32）61＝3122，2741＝（33）41＝3123，122＜123，∴961＜2741，故答案为：＞，＜；（2））∵233＝（23）11＝811，322＝（32）11＝911，8＜9，∴233＜322；（3）∵312∴312×510＜310×512．【变式2-2】（2022秋•滨城区月考）已知a＝3231，b＝1641，c＝821，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞a＞c【分析】把a，b，c化成以2为底数的幂的形式，再进行大小比较即可．【解答】解：∵a＝3231＝（25）31＝2155，b＝1641＝（24）41＝2164，c＝821＝（23）21＝263，∴c＜a＜b．故选：D．【变式2-3】（2022春•泰兴市校级月考）若a＝2555，b＝3444，c＝4333，d＝5222，试比较a、b、c、d的大小．（写出过程）【分析】首先原式变形为a＝32111，b＝81111，c＝64111，d＝25111，根据指数相同，由底数的大小就可以确定数的大小．【解答】解：∵a＝2555，b＝3444，c＝4333，d＝5222，∴a＝（25）111，b＝（34）111，c＝（43）111，d＝（52）111，∴a＝32111，b＝81111，c＝64111，d＝25111．∵81＞64＞32＞25，∴81111＞64111＞32111＞25111，∴b＞c＞a＞d．【题型3幂的运算法则逆用（求代数式的值）】【例3】（2022春•巨野县期中）已知：52n＝a，9n＝b，则154n＝a2b2．【分析】将15写成3×5，根据积的乘方得到154n＝（3×5）4n＝34n×54n，再根据幂的乘方变形即可得出答案．【解答】解：∵9n＝b，∴（32）n＝b，∴32n＝b，∴154n＝（3×5）4n＝34n×54n＝（32n）2×（52n）2＝b2a2＝a2b2．故答案为：a2b2．【变式3-1】（2022秋•西青区期末）若2x＝a，16y＝b，则22x+4y的值为a2b．【分析】根据同底数幂相乘，幂的乘方的逆运算可进行求解．【解答】解：∵22x+4y＝22x•24y，＝（2x）2•（24）y．＝（2x）2•16y，将2x＝a，16y＝b代入，∴原式＝a2b，故答案为：a2b．【变式3-2】（2022春•萧山区期中）若xm＝5，xn=14，则x2m﹣A．52 B．40 C．254【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案．【解答】解：∵xm＝5，xn=1∴x2m﹣n＝（xm）2÷xn＝25÷＝100．故选：D．【变式3-3】（2022春•高新区校级月考）已知32m＝a，27n＝b．求：（1）34m的值；（2）33n的值；（3）34m﹣6n的值．【分析】（1）34m＝（32m）2，然后代入计算即可；（2）27n变形为底数为3的幂的形式即可；（3）逆用同底数幂的除法公式进行计算即可．【解答】解：（1）34m＝（32m）2＝a2．（2）∵27n＝b，∴33n＝b．（3）34m﹣6n＝34m÷36n＝a2÷b2=a【题型4幂的运算法则逆用（整体代入）】【例4】（2022•铁岭模拟）若a+3b﹣2＝0，则3a•27b＝9．【分析】根据幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算法则得出即可．【解答】解：∵a+3b﹣2＝0，∴a+3b＝2，则3a•27b＝3a×33b＝3a+3b＝32＝9．故答案为：9【变式4-1】（2022秋•淇滨区校级月考）当3m+2n﹣3＝0时，则8m•4n＝8．【分析】先变成同底数幂的乘法，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，最后代入求出即可．【解答】解：∵3m+2n﹣3＝0，∴3m+2n＝3，∴8m•4n＝（23）m×（22）n＝23m×22n＝23m+2n＝23＝8，故答案为：8．【变式4-2】（2022春•东台市期中）已知a﹣2b﹣3c＝2，则2a÷4b×(18)【分析】先将原式变形为同底数幂的形式，然后再依据同底数幂的除法和乘法法则计算即可．【解答】解：原式＝2a÷22b×2﹣3c＝2a﹣2b﹣3c＝22＝4．故答案为：4．【变式4-3】（2022春•昌平区期末）若5x﹣2y﹣2＝0，则105x÷102y＝100．【分析】根据移项，可得（5x﹣2y）的值，根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．【解答】解：移项，得5x﹣2y＝2．105x÷102y＝105x﹣2y＝102＝100，故答案为：100．【题型5幂的运算法则逆用（求参）】【例5】（2022秋•西城区校级期中）若a5•（ay）3＝a17，则y＝4，若3×9m×27m＝311，则m的值为2．【分析】先利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则计算a5•（ay）3、3×9m×27m，再根据底数与指数分别相等时幂也相等得方程，求解即可．【解答】解：∵a5•（ay）3＝a5×a3y＝a5+3y，∴a5+3y＝a17．∴5+3y＝17．∴y＝4．∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+5m，∴31+5m＝311．∴1+5m＝11．∴m＝2．故答案为：4；2．【变式5-1】（2022春•建湖县期中）规定a*b＝2a×2b，例如：1*2＝21×22＝23＝8，若2*（x+1）＝64，则x的值为3．【分析】把相应的值代入新定义的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可．【解答】解：∵2*（x+1）＝64，∴22×2x+1＝26，则22+x+1＝26，∴2+x+1＝6，解得：x＝3．故答案为：3．【变式5-2】（2022秋•卫辉市期末）已知2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1，则n﹣m＝5．【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而得出m，n的值即可．【解答】解：∵2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1，∴2m＝22n﹣2，33n＝3m﹣1，故m=2n−23n=m−1解得：m=−8n=−3故n﹣m＝5．故答案为：5．【变式5-3】（2022春•兴化市期中）若（2m）2•23n＝84，其中m、n都是自然数，则符合条件m、n的值有3组．【分析】先根据幂的乘方进行计算，再根据同底数幂的乘法进行计算，求出2m+3n＝12，再求出二元一次方程的正整数解即可．【解答】解：（2m）2•23n＝84，22m•23n＝（23）4，22m+3n＝212，2m+3n＝12，m＝6−32∵m，n都是自然数，∴6−32n≥0，∴0≤n≤4，∴整数n为0，1，2，3，4，当n＝0时，m＝6，当n＝1时，m=9当n＝2时，m＝3，当n＝3时，m=3当n＝4时，m＝0，即符合条件的m，n的值有3组，故答案为：3．【题型6幂的运算法则逆用（代数式的表示）】【例6】（2022秋•崇川区校级期中）若a2m（1）请用含x的代数式表示y；（2）如果x＝4，求此时y的值．【分析】（1）由已知等式得出x＝am+1，y＝a2m+3，再将am＝x﹣1代入y＝a2m+3＝（am）2+3，整理即可得；（2）将x＝4代入整理后的y关于x的代数式即可得．【解答】解：（1）∵a2m∴x＝am+1，y＝a2m+3，则am＝x﹣1，∴y＝a2m+3＝（am）2+3＝（x﹣1）2+3＝x2﹣2x+4，即y＝x2﹣2x+4；（2）当x＝4时，y＝16﹣2×4+4＝16﹣8+4＝12．【变式6-1】（2022•高新区校级三模）已知m＝89，n＝98，试用含m，n的式子表示7272．【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则把7272变形为（89）8×（98）9，再把m＝89，n＝98代入即可得出结果．【解答】解：∵m＝89，n＝98，∴7272＝（8×9）72＝872×972＝（89）8×（98）9＝m8n9．【变式6-2】（2022•高新区校级三模）（1）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代数式表示y．（2）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代数式表示y．【分析】（1）根据幂的乘方以及完全平方公式解答即可；（2）根据幂的乘方法则解答即可．【解答】解：（1）∵x＝2m+1，∴2m＝x﹣1∴y＝3+4m＝3+（2m）2＝3+（x﹣1）2＝3+x2﹣2x+1＝x2﹣2x+4；（2）∵x＝2m+1，∴2my＝3+4m=3+(2m)【变式6-3】（2022春•新泰市期末）若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题：（1）如果2x•23＝32，求x的值；（2）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y．【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．【解答】解：（1）∵2x•23＝32，∴2x+3＝25，∴x+3＝5，∴x＝2；（2）∵2÷8x•16x＝25，∴2÷23x•24x＝25，∴21﹣3x+4x＝25，∴1+x＝5，∴x＝4；（3）∵x＝5m﹣2，∴5m＝x+2，∵y＝3﹣25m，∴y＝3﹣（5m）2，∴y＝3﹣（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣1．【题型7幂的运算法则（混合运算）】【例7】（2022春•沭阳县校级月考）计算：（1）（﹣a）2•a3（2）（﹣8）2013•（18）（3）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数）（4）（a2•a3）4．【分析】结合幂的乘方与积的乘方的概念和运算法则进行求解即可．【解答】解：（1）原式＝a2•a3＝a2+3＝a5．（2）原式＝[（﹣8）×18]2013＝（﹣1）2013•1=−1（3）原式＝x2n+1+x2n+1＝2x2n+1．（4）原式＝（a5）4＝a20．【变式7-1】（2022秋•道外区校级月考）计算：（1）y3•y2•y（2）（x3）4•x2（3）（a4•a2）3•（﹣a）5（4）（﹣3a2）3﹣a•a5+（4a3）2．【分析】（1）根据同底数幂的乘法求出即可；（2）先算乘方，再根据同底数幂的乘法求出即可；（3）先算乘方，再算乘法即可；（4）先算乘方和乘法，再合并同类项即可．【解答】解：（1）y3•y2•y＝y6；（2）（x3）4•x2＝x12•x2＝x14；（3）（a4•a2）3•（﹣a）5＝a12•a6•（﹣a5）＝﹣a23；（4）（﹣3a2）3﹣a•a5+（4a3）2＝﹣27a6﹣a6+16a6＝﹣12a6．【变式7-2】（2022春•太仓市期中）用简便方法计算下列各题（1）（45）2015×（﹣1.25）2016（2）（318）12×（825）11×（﹣2）【分析】（1）将（﹣1.25）2016写成（−54）2015（2）将（318）12写成（258）11【解答】解：（1）(=(4＝[45×(−54)＝﹣1×（−5=5（2）原式=258×（258）11×（＝﹣25×(＝﹣25．【变式7-3】（2022春•漳浦县期中）计算（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2；（4）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2•a]．【分析】（1）根据同底数幂的乘法计算即可；（2）根据幂的乘方和同底数幂的除法计算即可；（3）根据幂的乘方、同底数幂的乘法和合并同类项解答即可；（4）根据积的乘方和同底数幂的除法计算即可．【解答】解：（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4＝（n﹣m）2+3+4，＝（n﹣m）9；（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1＝b6n•b12n÷b5n+5＝b6n+12n﹣5n﹣5＝b13n﹣5；（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2＝a6﹣a6+4a6＝4a6；（4）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2•a]＝﹣64a3m+3÷8a2m+1＝﹣8am+2【题型8幂的运算法则（新定义问题）】【例8】（2022春•大竹县校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）•h（2022）的结果是（）A．2k+2021 B．2k+2022 C．kn+1010 D．2022k【分析】根据h（m+n）＝h（m）•h（n），通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题．【解答】解：∵h（2）＝k（k≠0），h（m+n）＝h（m）•h（n），∴h（2n）•h（2022）＝h(2+2+...+2)︸n个•=ℎ(2)⋅ℎ(2)⋅...⋅ℎ(2)︸n个＝kn•k1010＝kn+1010，故选：C．【变式8-1】（2022•兰山区二模）一般的，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：由于23＝8，所以3是以2为底8的对数，记作log28＝3；由于a1＝a，所以1是以a为底a的对数，记作logaa＝1．对数作为一种运算，有如下的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么（1）loga（M•N）＝logaM+logaN；（2）logaMN=logaM﹣logaN；（3）logaMn＝nlogaM．根据上面的运算性质，计算log2（23×8）﹣log2165−log【分析】根据所给的运算进行求解即可．【解答】解：log2（23×8）﹣log2165−log＝log223+log28﹣（log216﹣log25）﹣log210＝3+3﹣（4﹣log25）﹣log210＝6﹣4+log25﹣log210＝2+log25＝2+log22﹣1＝2+（﹣1）＝1．故答案为：1．【变式8-2】（2022春•泰兴市期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作a※b：如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2（1）根据上述规定，填空：2※16＝4，±6※136（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明：设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n所以3x＝4，即3※4＝x，所以3n※4n＝3※4．请你尝试运用这种方法解决下列问题：①证明：6※7+6※9＝6※63；②猜想：（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝（x﹣1）※（y2﹣y﹣2）（结果化成最简形式）．【分析】（1）规定：如果ac＝b，那么a※b＝c．即可进行求解．（2）①设6※7＝x，6※9＝y，则6x+y＝63，易得6※63＝x+y，即可得证．②根据①中的结论：（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝（x﹣1）※[（y+1）×（y﹣2）]＝（x﹣1）※（y2﹣y﹣2）．【解答】解：（1）∵24＝16，∴2※16＝4，∵6−2=∴6※136=−2，（﹣6）※故答案为：4，±6．（2）①设6※7＝x，6※9＝y，∴6x＝7，6y＝9，∴6x•6y＝6x+y＝7×9＝63，∴6x+y＝63，∴6※63＝x+y，∵6※7+6※9＝6※63．②根据①中的结论，得（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝（x﹣1）※[（y+1）×（y﹣2）]＝（x﹣1）※（y2﹣y﹣2）．故答案为：（x﹣1），（y2﹣y﹣2）．【变式8-3】（2022秋•南宁期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，那么（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”．例如：∵23＝8，∴（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义证明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5．∴3m•3n＝3m+n＝3×5＝15．∴（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．（1）根据上述规定，填空：（2，4）＝2；（5，25）＝2；（3，27）＝3．（2）计算：（5，2）+（5，7）＝（5，14），并说明理由．（3）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．【分析】（1）根据上述规定即可得到结论；（2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y，根据同底数幂的乘法法则即可求解；（3）根据新定义可得3a×3b＝3c，由此可得答案．【解答】解：（1）∵22＝4，∴（2，4）＝2；∵52＝25，∴（5，25）＝2；∵33＝27，∴（3，27）＝3；故答案为：2，2，3．（2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y，则5x＝2，5y＝7，∴5x+y＝5x•5y＝14，∴（5，14）＝x+y，∴（5，2）+（5，7）＝（5，14）．故答案为：（5，14）；（3）∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，∴3a×3b＝30，∴3a×3b＝3c，∴a+b＝c．第8章幂的运算章末题型过关卷【苏科版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022春·天津·八年级统考期末）计算−152018A．−1 B．−5 C．1 D．52．（3分）（2022秋·广东深圳·七年级校考期末）下列计算正确的是（）A．a5+a5=a10 B．3．（3分）（2022秋·山东聊城·七年级统考期末）在等式a3•a2•（）＝a11中，括号里填入的代数式应当是（）A．a7 B．a8 C．a6 D．a34．（3分）（2022秋·江西宜春·七年级校考期末）已知am=6，anA．am+n=8 B．am−n=3 C．5．（3分）（2022春·广东中山·八年级统考期末）计算：−23xA．−2x6y3 B．827x6．（3分）（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）据报道，可见光的平均波长约为580纳米，已知1纳米＝0.000000001米，则580纳米用科学记数法表示为（

）A．58×10﹣6米 B．0.58×10﹣8米 C．5.8×10﹣8米 D．5.8×10﹣7米7．（3分）（2022秋·浙江·七年级期末）若x，y均为非负整数，且2x+1⋅4y=128A．3或4或5 B．4或5 C．4成5或6 D．3成4或5或68．（3分）（2022春·四川眉山·八年级统考期末）已知25a·52b=56A．3 B．6 C．7 D．89．（3分）（2022秋·山东烟台·六年级统考期末）如果a=（-10）0，b=（-0.1）-1，c=（-13）-2，那么a、b、c的大小关系为（

A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a10．（3分）（2022·江苏·九年级自主招生）设m，n是正整数，且m>n，若9m与9n的末两位数字相同，则m−n的最小值为（A．9 B．10 C．11 D．12二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022秋·河北承德·七年级统考期末）计算：0.25212．（3分）（2022春·广东广州·八年级统考期末）计算：（1）x2•x6＝_____；（2）a2n•an+1＝_____；（3）（﹣2）×（﹣2）2×（﹣2）3＝_____．13．（3分）（2022春·湖北鄂州·八年级统考期末）已知2m=a,32n=b，m，n为正整数，则214．（3分）（2022秋·浙江·七年级期末）已知x＝3m+1，15．（3分）（2022秋·山东聊城·七年级统考期末）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S＝1+2+22+23+…+2100，则2S＝2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S＝2101﹣1，所以S＝2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100＝2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+…+3100的值是__________________．16．（3分）（2022秋·浙江·九年级期末）如图，正方形的边长为aa>1，将此正方形按照下面的方法进行剪贴：第一次操作，先沿正方形的对边中点连线剪开，然后粘贴为一个长方形，其中叠合部分长为1，则此长方形的周长为_______，第二次操作，再沿所得长方形的对边（长方形的宽）中点连线剪开，然后粘贴为一个新的长方形，其中叠合部分长为l，……如此继续下去，第n三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022春·广东揭阳·七年级统考期末）计算：−118．（6分）（2022秋·山东泰安·六年级校考阶段练习）（1）已知4×16m×64m＝421，求（﹣m2）3÷（m3•m2）的值．（2）若a2=m，b3=n，求（a4b6）3．19．（8分）（2022秋·甘肃白银·七年级统考期末）根据已知求值：(1)已知am＝2，an＝5，求a3m+2n的值；(2)已知3×9m×27m＝321，求m的值．20．（8分）（2022秋·河北沧州·七年级统考期末）根据题意，完成下列问题．（1）若2m=8,2（2）已知2x+3y−3=0，求4x（3）已知2x+2⋅521．（8分）（2022秋·福建漳州·七年级统考期末）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．(1)[理解]根据上述规定，填空：（2，8）＝，（2，12）＝(2)[说理]记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：a+b＝c；(3)[应用]若（m，16）+（m，5）＝（m，t），求t的值．22．（8分）（2022春·湖北十堰·七年级统考期中）观察下列有规律的三行数：−2，4，−8，16，−32，64……；0，6，−6，18，−30，66……；0，12，−12，36，−60，132…；(1)第一行数的第n个数是______；(2)观察第一行和第二行每个对应位置上的数的关系，写出第二行的第n个数是______；(3)用含n的式子表示各行第n个数的和；(4)在第二行中，是否存在连续的三个数，且它们的和恰好等于198？若存在，请求出这三个数；若不存在，请说明理由．23．（8分）（2022秋·山东东营·六年级期末）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若ax=Na>0,a≠1，那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN．比如指数式24我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga设logaM=m，logaN=n∴M⋅N=am又∵m+n=∴log解决以下问题：(1)将指数43(2)仿照上面的材料，试证明：loga(3)拓展运用：计算log3第8章幂的运算章末题型过关卷【苏科版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022春·天津·八年级统考期末）计算−152018A．−1 B．−5 C．1 D．5【答案】D【分析】逆用同底数幂的乘法法则计算即可．【详解】∵−===5．故选：D．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及其逆应用，熟练掌握法则，并灵活逆向应用是解题的关键．2．（3分）（2022秋·广东深圳·七年级校考期末）下列计算正确的是（）A．a5+a5=a10 B．【答案】B【分析】根据合并同类项法则、积的乘方运算的逆用、同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则，进行运算，即可一一判定．【详解】解：A.a5B.4bC.x2D.(x故选：B．【点睛】本题考查了合并同类项法则、积的乘方运算的逆用、同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．3．（3分）（2022秋·山东聊城·七年级统考期末）在等式a3•a2•（）＝a11中，括号里填入的代数式应当是（）A．a7 B．a8 C．a6 D．a3【答案】C【分析】本题根据同底数幂的乘法法则计算a3【详解】∵a3∴a11故括号里面的代数式应当是a6故选：C．【点睛】本题考查同底数幂的运算法则，解题关键在于对乘除法则的熟练运用，其次注意计算仔细即可．4．（3分）（2022秋·江西宜春·七年级校考期末）已知am=6，anA．am+n=8 B．am−n=3 C．【答案】B【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方与幂的乘方运算法则分别计算出各项，然后再进行判断即可．【详解】解：A.∵am=6，∴a∴选项A计算错误，不符合题意；B.∵am=6，∴a∴选项B计算正确，符合题意；C.∵am∴a∴选项C计算错误，不符合题意；D.∵am=6，∴a∴选项D计算错误，不符合题意；故选B【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方与幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．5．（3分）（2022春·广东中山·八年级统考期末）计算：−23xA．−2x6y3 B．827x【答案】D【分析】按照积的乘方法则，先各自乘方，后把积相乘即可．【详解】∵−=(−=−8故选：D．【点睛】本题考查了积的乘方运算，正确进行各自的乘方计算是解题的关键．6．（3分）（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）据报道，可见光的平均波长约为580纳米，已知1纳米＝0.000000001米，则580纳米用科学记数法表示为（

）A．58×10﹣6米 B．0.58×10﹣8米 C．5.8×10﹣8米 D．5.8×10﹣7米【答案】D【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，【详解】解：580纳米=580×0.000000001米=580×10=5.8×10故选：D．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，7．（3分）（2022秋·浙江·七年级期末）若x，y均为非负整数，且2x+1⋅4y=128A．3或4或5 B．4或5 C．4成5或6 D．3成4或5或6【答案】D【分析】先把2x+1•4y化为2x+1+2y，128化为27，得出x+1+2y＝7，即x+2y＝6，因为x，y均为非负整数，求出x，y，即可求出x+y．【详解】解：∵2x+1•4y＝128，∴2x+1•22y＝128，∴2x+1+2y＝128，∴x+1+2y＝7，∴x+2y＝6，∵x，y均为非负整数，∴x＝6，y＝0，此时x+y＝6；x＝4，y＝1，此时x+y＝5；x＝2，y＝2，此时x+y＝4；x＝0，y＝3，此时x+y＝3；∴x+y＝3，4，5，6．故选：D．【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是化为相同底数的幂求解．8．（3分）（2022春·四川眉山·八年级统考期末）已知25a·52b=56A．3 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据25a·52b=【详解】解：∵∴∴a+b=3两式相减，可得a+c=2a故选：B．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则的运用、代数式求值，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减．9．（3分）（2022秋·山东烟台·六年级统考期末）如果a=（-10）0，b=（-0.1）-1，c=（-13）-2，那么a、b、c的大小关系为（

A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【答案】B【分析】根据零指数幂，负整数指数幂进行计算，进而比较大小，即可求解．【详解】解：∵a=（-10）0=1，b=（-0.1）-1=−10，c=（-13）-2=9∵9>1>−10∴c＞a＞b．故选B．【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的大小比较，正确的计算是解题的关键．10．（3分）（2022·江苏·九年级自主招生）设m，n是正整数，且m>n，若9m与9n的末两位数字相同，则m−n的最小值为（A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】由题意可知9m−9n=9n9m−n【详解】解：由题意知，9m∵9n∴9m−n∴9m−n∴m−n的数值一定是偶数，且m，n是正整数，m>n设：m−n=2t（则：9∵812的末尾两位数字为61，813的末尾两位数字为41，814∴t的最小值为5，∴m−n的最小值为10故答案为：B【点睛】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022秋·河北承德·七年级统考期末）计算：0.252【答案】4【分析】先转化为同底数的幂相乘，再利用积的乘方的性质的逆用计算即可．【详解】解：（0.25）2×43，=（0.25×4）2×4，=1×4，=4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查积的乘方的逆运算的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．12．（3分）（2022春·广东广州·八年级统考期末）计算：（1）x2•x6＝_____；（2）a2n•an+1＝_____；（3）（﹣2）×（﹣2）2×（﹣2）3＝_____．【答案】

x8

a3n+1【分析】（1）利用同底数幂的乘法的法则，进行运算即可；（2）利用同底数幂的乘法的法则，进行运算即可；（3）利用同底数幂的乘法的法则，进行运算即可．【详解】（1）原式＝x2+6（2）原式＝a2n+n+1（3）原式＝−21+2+3故答案为：x8；a3n+1；【点睛】此题考查了同底数幂的乘法的法则，掌握同底数幂的乘法的法则是解题的关键．13．（3分）（2022春·湖北鄂州·八年级统考期末）已知2m=a,32n=b，m，n为正整数，则2【答案】a【分析】逆运用幂的乘方公式对已知式子变形后，再逆运用同底数幂的除法计算即可．【详解】解：∵2m∴22m∴22m−5n故答案为：a【点睛】本题考查幂的乘方公式和同底数幂的除法．熟练掌握公式，并能逆运用是解题关键．14．（3分）（2022秋·浙江·七年级期末）已知x＝3m+1，【答案】y=【分析】我们观察x和y的表达式，最主要的问题是底数不相同，所以我们要把底数统一化成3，9可以看成32．根据条件可以得到3m的表达式，然后把3m的表达式代入到y【详解】解：∵x=∴∴y=1+=1+=1+=1+=故答案为：y=【点睛】本题主要考查了幂的乘方，这道题的关键是要把底数不相同的式子转化为底数相同的式子．15．（3分）（2022秋·山东聊城·七年级统考期末）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S＝1+2+22+23+…+2100，则2S＝2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S＝2101﹣1，所以S＝2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100＝2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+…+3100的值是__________________．【答案】12（3101【分析】仿照例子中的方法步骤推理计算即可．【详解】解：令S＝1+3+32+…+3100，则3S＝3+32+…+3101，∴3S﹣S＝3101﹣1，∴S＝12（3101故答案为：12（3101【点睛】本题考查有理数的乘方和幂的运算，读懂例题，认真分析，找准规律，利用类比的方法解决问题是解答的关键．16．（3分）（2022秋·浙江·九年级期末）如图，正方形的边长为aa>1，将此正方形按照下面的方法进行剪贴：第一次操作，先沿正方形的对边中点连线剪开，然后粘贴为一个长方形，其中叠合部分长为1，则此长方形的周长为_______，第二次操作，再沿所得长方形的对边（长方形的宽）中点连线剪开，然后粘贴为一个新的长方形，其中叠合部分长为l，……如此继续下去，第n【答案】

5a−2

1+【分析】先求出长方形的长与宽，再根据长方形的周长公式即可得；然后利用同样的方法求出第二次、第三次操作后得到的长方形的周长，归纳类推出一般规律即可得．【详解】解：第一次操作后得到的长方形的宽为12a，长为则第一次得到的长方形的周长为2(1第二次操作后得到的长方形的宽为14a=1第三次操作后得到的长方形的宽为18a=1归纳类推得：第n次操作后得到的长方形的宽为12观察发现，第一次操作后得到的长方形的长为2a−1=2(a−1)+1，第二次操作后得到的长方形的长为4a−3=4(a−1)+1=2第三次操作后得到的长方形的长为8a−7=8(a−1)+1=2归纳类推得：第n次操作后得到的长方形的长为2n则第n次操作后得到的长方形的周长为21故答案为：5a−2，1+2【点睛】本题考查了图形规律探索、同底数幂的乘法，正确归纳类推出长与宽的一般规律是解题关键．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022春·广东揭阳·七年级统考期末）计算：−1【答案】13【分析】直接利用有理数的乘方、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则求解，然后再算加减法．【详解】解：原式=−1+6−1+9=13．【点睛】本题考查了有理数的乘方、绝对值、零指数幂、负整数指数幂，解题的关键是掌握相应的运算法则．18．（6分）（2022秋·山东泰安·六年级校考阶段练习）（1）已知4×16m×64m＝421，求（﹣m2）3÷（m3•m2）的值．（2）若a2=m，b3=n，求（a4b6）3．【答案】（1）-4；（2）m【分析】（1）将16m、64m转化为以4为底数，再根据同底数幂的运算法则可求出m的值，将（2）根据a4=(【详解】（1）4×16m×64m＝421∵16m=(42)m∴4×16m×64m=4×(42)m∴1+5m=21，解得：m=4，（﹣m2）3÷（m3•m2）=−m6把m=4代入得：原式=-4；（2）（a4b6）3=(∵a2=m，b3=n，∴原式=m2×【点睛】本题主要考查了幂的运算，熟练地掌握幂的运算法则是解题的关键．同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方等于每个因式分别乘方的积；幂的乘方，底数不变，指数相乘．19．（8分）（2022秋·甘肃白银·七年级统考期末）根据已知求值：(1)已知am＝2，an＝5，求a3m+2n的值；(2)已知3×9m×27m＝321，求m的值．【答案】(1)200(2)4【分析】（1）先根据同底数幂乘法的逆运算将a3m+2n变形为a3m•a2n，根据已知条件，再分别将a3m=（am）3，a2n=（an）2，最后代入计算即可；（2）将已知等式的左边化为3的幂的形式，则对应指数相等，可列关于m的方程，解出即可．（1）解：a3m+2n=（am）3•（an）2=23×52=200；（2）解：∵3×9m×27m=321，∴3×32m×33m=321，31+5m=321，∴1+5m=21，m=4．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方法则是关