2012年4月自考04184线性代数经管类试题及答案含解析

线性代数（经管类）年月真题

0418420124

1、【单选题】

-12

-6

A:

6

B:

12

C:

答D:案：D

解析：

本题考查利用行列式性质计算行列式。.故选择D.

2、【单选题】

-6

-3

A:

3

B:

6

C:

答D:案：A

解析：

本题考查矩阵的伴随矩阵的概念。故选择A。

3、【单选题】设A为3阶矩阵，且|A|=3，则|(-A)-1|=（）.

-3

A:

B:

3

C:

答D:案：B

解析：

本题考查方阵的逆及方阵行列式的性质。故选择B。

4、【单选题】已知4×3矩阵A的列向量组线性无关，则AT的秩等于（）.

1

2

A:

3

B:

4

C:

答D:案：C

解析：本题考查矩阵的秩。因为，4×3矩阵A的列向量组线性无关，所以矩阵A的列秩＝

3＝矩阵A的秩＝矩阵A转置的秩。故选择C.

5、【单选题】

第1行的2倍加到第2行

第1列的2倍加到第2列

A:

第2行的2倍加到第1行

B:

第2列的2倍加到第1列

C:

答D:案：A

解析：本题考查初等变换的初等阵方法。因为P是E的第一行的2倍加第二行，所以P左

乘A相当于将A的第一行的2倍加第二行。故选择A。

6、【单选题】

1

2

A:

3

B:

4

C:

答D:案：B

解析：本题考查齐次线性方程组基础解系的结构。显然，系数矩阵的秩＝2，n＝4，4－2

＝2故选择B。

7、【单选题】设4阶矩阵A的秩为3，η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的

解，c为任意常数，则该方程组的通解为（）.

A:

B:

C:

答D:案：A

解析：本题考查非齐次线性方程组通解的结构。因为，4阶非齐次线性方程组Ax=b的系

数矩阵的秩＝3，其相伴方程组的通解含一个向量，再根据非齐次线性方程组通解的结

构，所以，选择A.故选择A.

8、【单选题】设A是n阶方阵，且|5A+3E|=0，则A必有一个特征值为（）.

A:

B:

C:

答D:案：B

解析：若|λE-A|=0，则λ是A的特征值故选择B.

9、【单选题】

E

D

A:

A

B:

-E

C:

答D:案：C

解析：

本题考查相似矩阵的性质。已知A与D相似，存在非奇异矩阵P，使D=P-1AP，则A=PDP-

1，A3=(PDP-1)(PDP-1)(PDP-1)=PD3P-1而，所以，A3=PDP-1=A

10、【单选题】

正定的

负定的

A:

半正定的

B:

不定的

C:

答D:案：D

解析：本题考查二次型的分类。因为二次项系数2正1负，故是不定的。故选择D.

11、【问答题】

答案：16

解析：

本题考查行列式的性质。故填写16.

12、【问答题】

答案：2

解析：本题考查矩阵的秩。因为矩阵P，Q均为非奇异矩阵，可以分解为若干初等方阵的

乘积，Q左乘A相当于对A进行若干次初等行变换，A右乘P相当于对A进行若干出初等

列变换，且初等变换不改变矩阵的秩，所以，r（B）＝r(A)=2.

13、【问答题】

答案：

解析：

本题考查矩阵的乘法。AB＝＝故填写。

14、【问答题】向量组a1=(1,1,1,1),a2=(1,2,3,4),a3=(0,1,2,3)的秩为______________.

答案：2

解析：

本题考查向量组的秩的求法。构造矩阵并进行初等行变换（aT1,aT2,aT3）＝

所以，向量组的秩为2故填写2.

15、【问答题】设η1,η2是5元齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则

r(A)=______________.

答案：3

解析：本题考查齐次线性方程组基础解系的构成。因为n＝5，n－r＝2，所以r＝3故填写

3.

16、【问答题】

答案：

解析：

本题考查非齐次线性方程组的通解的求法。，其中k为任意常数。

17、【问答题】.设A为3阶矩阵，若A的三个特征值分别为1，2，3，则|A|=___________.

答案：6

解析：

本题考查特征值与特征向量的性质及矩阵的运算。若A的三个特征值分别为1，2，3，则

存在非奇异方阵P，有＝Λ，A=PΛP-1所以，|A|=|PΛP-1|=|P||Λ||P-

1|=|P||P-1||Λ|=|Λ|=6故填写6.

18、【问答题】设A为3阶矩阵，且|A|=6，若A的一个特征值为2，则A*必有一个特征值

为_________.

答案：3

解析：

本题考查逆矩阵及特征值的求法。因为A为3阶矩阵，且|A|=6，A的一个特征值为2，所

以|2E-A|=0，又A*=|A|A-1=6A-1，则故填写3.

19、【问答题】二次型f(x1,x2,x3)=x12-x22+3x32的正惯性指数为_________.

答案：2

解析：本题考查二次型的惯性指数的概念。显然，填写2.

20、【问答题】二次型f(x1,x2,x3)=x12-2x22-2x32+4x2x3经正交变换可化为标准形

______________.

答案：

解析：

本题考查用“正交变换”化二次型为标准形的方法；参见课本P156，例2、例3.由已知，

二次型的实对称阵为，令|λE-A|=0，即，得λ＝－4，0，1

所以，所求标准形为.故填写

21、【问答题】

答案：48

解析：

.

22、【问答题】

答案：

解析：

A+X=XA，A=XA-X，A=X(A-E)，因为，所以，A-E可逆，用初等变换求A-E

的逆所以，.

23、【问答题】设a，β，γ2，γ3，γ4均为4维列向量，A=（a，γ2，γ3，γ4）和B=

（β，γ2，γ3，γ4）为4阶方阵.若行列式|A|=4，|B|=1，求行列式|A+B|的值.

答案：40

解析：

本题考查矩阵的加法及行列式的性质.【解析】由矩阵加法法则，A与B为同阶方阵可以相

加，且A+B＝（a+β，2γ2，2γ3，2γ4）再由行列式的运算性质有＝

＝23×5=40.

24、【问答题】已知向量组a1=(1,2,-1,1)T,a2=(2,0,t,0)T,a3=(0,-4,5,-2)T,a4=(3,-

2,t+4,-1)T（其中t为参数），求向量组的秩和一个极大无关组.

答案：当t=3时，向量组的秩为2，极大无关组为a1，a2；当t≠3时，向量组的秩为

3，极大无关组为a1，a2，a3.

解析：

当t=3时，向量组的秩为2，极大无关组为a1，a2；当

t≠3时，向量组的秩为3，极大无关组为a1，a2，a3.

25、【问答题】

答案：原方程组的通解为η=η*+k1ξ1+k2ξ2，其中k1,k2为任意常数.

解析：

构造增广矩阵并进行初等行变换＝(T,d)据

此得到原方程组的同解方程组取x3=x4=0得到一个特解原

方程组的导出组的同解方程组为分别令＝和

，可求得基础解系，，于是求得原方程组的

通解为η=η*+k1ξ1+k2ξ2，其中k1,k2为任意常数.

26、【问答题】已知向量a1=(1,1,1)T，求向量a2,a3,使a1,a2,a3两两正交.

答案：a2=(-2,1,1)T，a3=(0,-1,1)T

解析：

设a2=(x1,y1,z1)T，若a1与a2正交，则（a1，a2）＝0，即x1+y1+z1=0，令y1=a，

z1=b，则x1=-a-b，令a=b=1得a2=(-2,1,1)T设a3=(x2,y2,z2)T，若a1，a2，a3两两正

交，则，即，令z2=1，解得a3=(0，-1,1)T所以，a2=(-

2,1,1)T，a3=(0,-1,1)T.

27、【问答题】设A为m×n实矩阵，ATA为正定矩阵.证明：线性方程组Ax=0只有零解.

答案：齐次线性方程组Ax=0只有零解

解析：

已知