定积分的分部积分法

关于定积分的分部积分法第一节定积分的概念

一、定积分问题举例1．曲边梯形的面积

图6-1所围成的平

面图形称为曲边梯形,如图6-1.求其面积的四个步骤：

(1)分割

任取分点把底边分成个小区间.(2)取近似(3)求和

(4)取极限

第2页,共27页，2024年2月25日，星期天要计算这段时间内所走的路程．

(3)求和

二定积分的定义2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动，

上的连续函数，

(1)分割任取分点,

(2)取近似

(4)取极限设函数上有定义,

任取分点

=1,2,…,n），记

…,第3页,共27页，2024年2月25日，星期天在每个小区间上任取一点

作乘积

的和式：

上述和式的极限存在，则称此极限值为函数

在区间

上的定积分，

（此时，也称）记为根据这个定义，两个实际问题都可用定积分表示为：曲边梯形的面积

变速运动路程

第4页,共27页，2024年2月25日，星期天三定积分的几何意义图形在轴之上，积分值为正，有

图形在轴下方，积分值为负，即则积分值就等于曲线在轴上方的部分

与下方部分面积的代数和，如图6－2所示，有图6－2四定积分的性质

性质1性质2

性质3

性质4第5页,共27页，2024年2月25日，星期天

性质5

则性质6

则至少存在一点使得例估计定积分的值．

解先求在[－1，1]上的最大值和最小值．得驻点

在驻点及区间端点处的函数值，

故最大值最小值

由估值定理得，

第6页,共27页，2024年2月25日，星期天

习题6-11．利用定积分的几何意义，说明：2．利用定积分的几何意义，求下列定积分．3．利用定积分估值定理，估值定积分

的值．

第二节微积分基本公式一、变上限的定积分第7页,共27页，2024年2月25日，星期天

通常称函数Φ为变上限积分函数或变上限积分．定理1

如果函数

则变上限积分

推论连续函数的原函数一定存在．例1

计算

解因为

故

第8页,共27页，2024年2月25日，星期天

例2

求下列函数的导数：解⑴

⑵设

例3求

解

二、牛顿——莱布尼茨公式定理2设函数第9页,共27页，2024年2月25日，星期天

则有上式称为牛顿——莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式．

为方便起见，

常记作

例4求定积分解1第10页,共27页，2024年2月25日，星期天

习题6-21．计算2．计算下列各定积分第三节定积分的换元法例1求

解法1

第11页,共27页，2024年2月25日，星期天

于是解法2设于是一般地，定积分换元法可叙述如下：,且当

例1求

于是第12页,共27页，2024年2月25日，星期天

例2求

于是,例3求于是第13页,共27页，2024年2月25日，星期天

例4求

由定积分换元法，得于是第14页,共27页，2024年2月25日，星期天于是例6求

例7证明

证比较两边被积函数，可以看出，于是第15页,共27页，2024年2月25日，星期天

习题6-3

1．计算下列定积分2．利用函数的奇偶性计算下列定积分：3．证明

第四节定积分的分部积分法这就是定积分的分部积分法．例1

第16页,共27页，2024年2月25日，星期天

例2求

例3求

这样依次进行下去．第17页,共27页，2024年2月25日，星期天当n为奇数时，当n为偶数时，这个公式称为递推公式．例4求习题6-4计算下列定积分第18页,共27页，2024年2月25日，星期天

第五节广义积分一、无究区间上的广义积分定义1设函数

我们把极限上的广义积分，记为若极限存在，称广义积分收敛；若极限不存在，则称发散．

类似地，可以定义在

上的广义积分为上的广义积分定义为其中c为任意常数，当右边的两个广义积分都收敛时，

广义积分

才是收敛的，否则是发散的．第19页,共27页，2024年2月25日，星期天例1计算广义积分解

例2讨论

的敛散性．

解

所以发散．例3计算广义积分

解例4

讨论的敛散性

.解

⑴当p＞1时，

（收敛）；⑵当p＝1时

（发散）；第20页,共27页，2024年2月25日，星期天

⑶当p＜1时，

（发散），综上，

二、无界函数的广义积分取ξ＞0，

称极限

的广义积分，记为若该极限存在，则称广义积分

收敛；若极限不存在，则称

发散．

类似地，当的无穷间断点时，即上的广义积分定义为：第21页,共27页，2024年2月25日，星期天

当无穷间断点

位于区间内部时，则定义广义积分

为：上式右端两个积分均为广义积分，当这两个广义积分都收敛时，才称

是收敛的，否则，称是发散的．上述无界函数的积分也称瑕积分．例5求广义积分

解因为被积函数的无穷间断点，于是例6证明广义积分当p＜1时收敛，当p≥1时发散．证

⑴p＜1时，

（收敛）；⑵当p＞1时，

（发散）；

第22页,共27页，2024年2月25日，星期天⑶当p＝1时，

（发散）．因此，当p＜1时，此广义积分收敛，其值为当p≥1时，广义积分发散．复习题六一、填空题的极小值为＿＿＿．的取值范围为＿＿＿

;第23页,共27页，2024年2月25日，星期天

二、单项选择题为连续函数，则积分

A．与

，s，t有关;

B．与t，

C．与s，t有关;

D．仅与

有关.A＞0; B≥0; C＜0;D≤0.A．充分条件; B．必要条件; C．充分必要条件;D．无关条件.为连续函数，则下列各式正确的是（）第24页,共27页，2024年2月25日，星期天

A．＜2; B．＜1 ; C．＞1 ; D．＞2. A．0; B．2; C．1; D．－1.A．0; B．1; C．2; D．3.A．必要条件; B