2023-2024学年人教A版必修第二册 8-5-2 第二课时　直线与平面平行的性质 课件（51张）

第二课时直线与平面平行的性质新课程标准解读核心素养1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面平行的性质定理，并加以证明逻辑推理2.会应用直线和平面平行的性质定理证明一些空间的简单线面关系直观想象知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS01知识梳理·读教材⁠

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当直线l∥平面α时，l与α没有公共点.此时，若m⊂α，则l∩m＝⌀.这就是说，l与m的位置关系是平行或异面.问题那么在什么情况下l与m平行呢？

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⁠知识点

直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面

平行⁠，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与

交线⁠平行符号语言a∥α，

a⊂β，α∩β＝b

⁠⇒a∥b图形语言⁠

⁠平行交线a⊂β，α∩β＝b

提醒

（1）线面平行的性质定理的条件有三个：①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即a⊂β.三个条件缺一不可；（2）定理的作用：①线面平行⇒线线平行；②画一条直线与已知直线平行.⁠

⁠1.已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是（

）A.b与α相交B.b∥αC.b∥α或b与α相交D.b⊂α解析：由题意得b∥α和b与α相交都有可能.故选C.2.如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则（）A.EF与BC相交B.EF∥BCC.EF与BC异面D.以上均有可能解析：∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF⊂平面SBC，又EF∥平面ABC，∴EF∥BC.故选B.3.若a∥α，b∥α，则两直线a与b的位置关系是

⁠.

答案：相交、平行或异面02题型突破·析典例⁠

⁠题型一直线与平面平行性质定理的应用【例1】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明如图，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.通性通法1.利用线面平行性质定理解题的步骤⁠

⁠2.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行.⁠

⁠一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点.（1）过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应该怎样画线？解：（1）取VC的中点D，BC的中点E，AB的中点F，分别连接PD，PF，EF，DE，则PD，PF，EF，DE即为在木块表面应画的线.（2）在平面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？解：（2）在平面ABC中所画的线EF与棱AC平行，证明如下：因为PF∥DE，所以P，D，E，F四点共面，且AC∥平面PDEF，因为平面ABC∩平面PDEF＝EF，所以AC∥EF.题型二与线面平行性质定理有关的计算问题【例2】如图，在四面体A-BCD中，已知△ABD是边长为2的等边三角形，△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段AB的中点，G为线段BD的中点，F为线段BD上的点.若AG∥平面CEF，求线段CF的长.

通性通法

利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点（1）根据已知线面平行关系推出线线平行关系；（2）在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系；（3）利用所得关系计算求值.⁠

⁠如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度.

题型三线面平行关系的综合应用【例3】如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A'C'.（1）要经过平面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？解（1）如图，在平面A'C'内，过点P作直线EF，使EF∥B'C'，并分别交棱A'B'，D'C'于点E，F.连接BE，CF，则EF，BE，CF就是应画的线.（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？解（2）因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'与平面A'C'相交于B'C'，所以BC∥B'C'.由（1）知，EF∥B'C'，所以EF∥BC.而BC在平面AC内，EF在平面AC外，所以EF∥平面AC.显然，BE，CF都与平面AC相交.通性通法

判定和性质之间的推理关系是由线线平行⇒线面平行⇒线线平行，既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空间和平面之间的相互转化.⁠

⁠如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.解：直线l∥平面PAC.证明如下：因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC.所以EF∥平面ABC，而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以l∥平面PAC.⁠

⁠1.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为（）A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点解析：因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质定理知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.2.若A是直线m外一点，过点A且与m平行的平面（

）A.存在无数个B.不存在C.存在但只有一个D.只存在两个解析：过点A作直线m的平行线l，则经过l且不经过m的所有平面均与m平行，故有无数个.故选A.3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是（

）A.平行B.相交C.异面D.平行或异面解析：由长方体性质，知EF∥AB.∵AB⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又∵EF∥AB，∴GH∥AB.故选A.4.如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为

⁠.

解析：设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1.答案：103知能演练·扣课标⁠

⁠1.已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线（）A.只有一条，不在平面α内B.只有一条，且在平面α内C.有无数条，一定在平面α内D.有无数条，不一定在平面α内解析：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，所以m∥l且n∥l，由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交于点P相矛盾.因为点P在平面α内，所以这条直线也在平面α内.故选B.2.若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中正确的是（）A.若a∥b，b⊂α，则a∥αB.若a∥α，b∥α，则a∥bC.若a∥b，b∥α，则a∥αD.若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b解析：D

若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；若a∥α，b∥α，则a∥b或a与b相交或a与b异面，故B错误；若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，故C错误；由线面平行的性质定理知D正确.故选D.3.已知直线a∥平面α，α内有n条直线相交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有（

）A.0条B.1条C.0条或1条D.无数条解析：过直线a和n条直线的交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b.若所给n条直线中有1条是与直线b重合的，则此直线与直线a平行；若没有与直线b重合的，则与直线a平行的直线有0条.4.如图，四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为（）

5.（多选）如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（）A.MN∥PDB.MN∥平面PABC.MN∥ADD.MN∥PA解析：∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，∴MN∥PA，∵PA⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB.故选B、D.6.（多选）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是（）A.E，F，G，H一定是各边的中点B.G，H一定是CD，DA的中点C.AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GCD.四边形EFGH是平行四边形或梯形解析：因为BD∥平面EFGH，所以由线面平行的性质定理，得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，BF∶FC＝DG∶GC，且EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形或梯形.故选C、D.7.平面α外的两条直线a，b，且a∥α，则a∥b是b∥α的

⁠条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）.

解析：平面α外的两条直线a，b，若a∥α且a∥b，则根据直线与平面平行的判定定理可知b∥α；若a∥α且b∥α，则不一定有a∥b.答案：充分不必要8.如图所示，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是

⁠.

解析：因为AD∩α＝F，BD∩α＝H，则由AD，BD确定的平面ADB∩α＝FH，又AB∥α，AB⊂平面ABD，则AB∥FH；又AC∩α＝E，BC∩α＝G，则由AC，BC确定的平面ABC∩α＝EG，又AB∥α，AB⊂平面ABC，则AB∥EG，故FH∥EG；同理可得EF∥GH，故四边形EFHG为平行四边形.答案：平行四边形9.如图所示，直线a∥平面α，点A∉平面a，并且直线a和点A位于平面α两侧，点B，C，D∈a，AB，AC，AD分别交平面α于点E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝

⁠.

解：如图，连接AC，设AC∩BE＝G，连接FG，则平面SAC∩平面EFB＝FG.∵SA∥平面BEF，SA⊂平面SAC，平面SAC∩平面EFB＝FG，

∵AE∥BC，∴△GEA∽△GBC，

11.若一条直线同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（

）A.异面B.平行C.相交D.不确定解析：如图所示，直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b.设经过a的平面与α相交于直线c，∵a∥α，∴a∥c，同理，设经过a的平面与β相交于直线d，则a∥d，由基本事实4得c∥d，∵c⊄β，d⊂β，∴c∥β，又c⊂α，α∩β＝b，∴c∥b，又a∥c，∴a∥b.故选B.12.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P，D两点，则四边形EFBC是（）A.空间四边形B.矩形C.梯形D.平行四边形解析：因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD.因为BC⊂平面EFBC，平面EFBC∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.因为BC＝AD，EF＜AD，所以EF＜BC，所以四边形EFBC为梯形，故选C.13.在棱