【2023小升初】等积变形（思维提高）-小升初数学思维拓展卷二

等积变形

选择题（共14小题）

I.如图，将107个小盒子放到箱子里，可以记为“1箱2层2排3格”。那么个小盒

子可以记为“3箱1层2排3格”。（）

D.221

2.如图，在由1X1的正方形组成的网格中写有2015四个数字（阴影部分），其边线要么是

水平或竖直的直线段，要么是连接1X1的正方形相邻两边中点的线段，或者是1X1的

正方形的对角线，则图中2015四个数字（阴影部分）的面积是（）

A.56B.44C.32D.78

4.如图中，正八边形ABa3EFGH的面积为1,其中有两个正方形ACEG和PQRS.那么正

八边形中阴影部分的面积（)

c.35D.58

5.如图，大正方形的边长为14,小正方形的边长为10,阴影部分的面积之和是（）

A.25B.40C.49D.50

6.大、中、小三个正方形，边长都是整数厘米，小正方形的周长比中正方形的边长小，把

这两个正方形放在大正方形上（如图），大正方形露出的部分的面积是10平方厘米（图

中阴影部分）.那么，大正方形的面积是（）平方厘米.

□

A.25B.36C.49D.64

7.如图，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形，已知阴影部分的面积是180平方

厘米.那么大正六边形的面积是（）平方厘米.

8.如图所示，在5X8的方格中，阴影部分的面积为37C∙,M.则非阴影部分的面积为（)

cm2.

9.图中，将两个正方形放在一起，大、小正方形的边长分别为10,6,则图中阴影部分面

10.下图中，四边形ABC。都是边长为1的正方形，E、F、G、，分别是AB、BC、CD、

的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn,那么,

11.有5个长方形，它们的长和宽都是整数，且5个长和5个宽恰好是1~10这10个整数；

现在用这5个长方形拼成1个大正方形，那么，大正方形面积的最小值为（）

A.169B.144C.121D.100

12.一个梯形的上底增加2厘米，下底减少2厘米，高不变，它的面积与原面积相比（）

A.变大了

B.变小了

C.不变

D.高不知道，所以无法比较

13.已知图中正方形的两个顶点正好是两个等腰直角三角形斜边上的中点，小等腰直角三角

形与正方形中的圆面积相等，请问正方形中的阴影面积与大等腰直角三角形面积的比值

是（)

A.13B.12c.1D.32

14.如图，梯形ABC。中，AB∕∕DC,ZADC+ZBCD=90°,J≡LDC=IAB,分别以ZM、

AB.BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为Si,52,S3,则S∣,S2,$3之间的关系是

下列选项中的（）

n

A.Si+S2>S3B.S1+S3=S2C.S1+S3<S2D.无法确定.

二.填空题（共26小题）

15.直角三角形的两条直角边分别是3与9,以三角形的每条边长作为正方形的边长，分别

厘米.平行四边形PFCG的面积是16平方厘米.那么三角形P8D的面积是平方

厘米.

17.如图所示，长方形ABCZ）中，AO-AB=9厘米，梯形ABCE的面积是三角形AoE面积

的5倍，三角形ADE的周长比梯形ABCE的周长短68厘米.长方形ABCD的面积是

平方厘米.

18.如图，三角形ABC的面积为1,DO：OB=I:3,EO：0A=4:5,则三角形£＞。E的

面积为.

19.右图是由甲乙丙丁拼成的正方形，其中甲与丁都是边长为整数厘米数的正方形，乙与丙

都是长方形，且甲与丁的面积之和为IOO平方厘米，那么长方形乙与丙的面积之和为

平方厘米.

甲乙

丙T

20.如图所示，已知大圆的半径为2,则阴影部分的面积为（圆周率用π表示）.

21.如图：直角边长分别为20o",12c,*的直角AABC和直角边长分别为14。"，4αw的直

角E如图摆放.M为AE的中点，则4ACM的面积为cm2.

22.如图中三个正方形的边长从左到右依次减半，小正方形的边长为3,那么图中阴影部分

23.勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”，是一个有着悠悠4000多年历史的重要几何定理.它

揭示了这样一个事实：对任何一个直角三角形而言，以它的两条直角边的长度为边长的

正方形的面积之和，等于以斜边的长度为边长的正方形的面积.关于勾股定理，人们发

现了400多种证明，甚至连美国总统也曾加入到证明一者的队伍中.在众多证明方法中，

我国古代数学家刘徽给出的证明简单直观，耐人寻味（如图所示）这个证明实际上给出

了一个通过有限次直线切割，将两个正方形拼补为一个更大的正方形的方法.设两个小

正方形的边长分别为3和4,按照刘徽的方法，这两个小正方形被切割成5部分，请分别

计算出这5部分的面积，并按从小到大的顺序写在下面：.

24.如图，ABC。和A8E/都是长方形，如果长方形ABEB的面积是30平方厘米，那么阴

影部分的面积是平方厘米.

25.如图，在一块长为10米，宽为5米的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路，小路任何

地方的水平宽度都是1米.则空白部分的草地的面积是平方米.

26.如图所示，四边形A88是梯形，四边形ABM是平行四边形，四边形FGH是长方

形，E、F、G分别是边C。、AD.BC的中点.如果平行四边形ABE。的面积是48平方

厘米，那么，长方形FGH/的面积是平方厘米.

27.四个正方形A、B、C、。如图放置，其中正方形A的周长是12厘米，正方形。的周长

是60厘米，则阴影部分的面积会为平方厘米.

28.如图，正六边形ABa)EF面积是2014平方厘米，在AB、BC、DE、EF上分别取中点

G、H、I、J,四边形GH〃的面积是平方厘米.

CD

29.在一个长为I(X)米，宽为88米的长方形湖中，有一座宽为2米的九曲回廊，如图，九

曲回廊拐弯处均为直角，请问，没有被九曲回廊覆盖的湖水面积为平方米.

30.如图，5个等腰直角三角形叠放在一起，它们的斜边都在一条直线上，已知最小的等腰

直角三角形的斜边长是4厘米，其余等腰三角形的斜边依次多4厘米，则图中阴影部分

的面积是平方厘米.

31.如图，正方形中套着一个长方形，正方形的边长是16厘米，长方形的四个角的顶点恰

好分别把正方形四条边都分成两段，其中长的一段是短的3倍.这个长方形的面积是

平方厘米.

32.如图，正方形ABC。中，等腰直角三角形4E尸的面积是1,长方形EFGH的面积是10,

那么，正方形ABa）的面积是.

34.三个正方形ABC£）、BEFG、C”〃如下图所示摆放，已知ABC。的边长为10,BEFGW

边长为6,阴影部分的面积是

36.如图，校园中有两个大小相同的正方形花坛（图中阴影部分），花坛的四周是1米宽的

水泥路.如果水泥路的总面积是41平方米，那么一个花坛的面积是平方米.

37.如图，直角梯形ABC。的上底与高相等，正方形Z）EFH的边长等于6厘米，阴影部分

的面积是平方厘米.

38.如图，已知一个四边形的两条边的长度和它的三个角的度数.那么这个四边形的面积是

39.如图所示，一个正方形被4个相同的黑条分割成9个相同的小正方形（单位：厘米）,

那么图中阴影部分的面积是平方厘米.

40.在一个边长50米的正方形菜园里修二纵二横四条宽2米的小路（如图），则剩下可以种

菜的面积是平方米.

41.如图，在正方形ABC。中，正方形AMOP的面积是8平方厘米，正方形CNOQ的面积

是24.5平方厘米.问：正方形ABC。的面积是多少平方厘米？

DNC

≡AMB

42.如图是一个直角梯形.请你画一条线段，把它分成两个形状相同面积相等的四边形.（请

标明表示线段位置的数据及符号或写出画法）.

1厘米

2厘米

43.如图，有一个圆和三个正方形，中间正方形的顶点都在圆上，圆与最大正方形的交点以

及最小正方形的顶点都是所在线段的中点.最大正方形的面积是12平方厘米，问：最小

正方形的面积是多少平方厘米？

44.如图所示的四个正方形的边长都是1,图中的阴影部分的面积依次用Si,S2,S3,S4表

示，则S”S2,S3,S4从小到大排列依次是

(1)(3)

45.如图，长方形Mcd内部有三个边长为整数的正方形A,B,C,其中正方形C的边长为

长方形长的716,而正方形A的边长是长方形宽的14,若长方形A8CQ的面积大于

200CW2小于800c7"2试求图中阴影部分的面积.

46.已知AABC面积为5,且8O=2OC,AE^ED,求阴影部分面积.要求写出关键的解题

推理过程.

47.如图，长方形ADEH由上中下三个小长方形组成的，已知AB+CD=BC,三角形ABl

的面积为3,四边形G/JF的面积为12,求四边形CQE/的面积.

48.如图，每个四边形都是平行四边形.其中三个平行四边形面积分别是10、15、24平方

厘米，那么，阴影部分的面积是____平方厘米.

49.如图所示，长方形ABC。的长为25,宽为15.四对平行线截长方形各边所得的线段的

长已在图上标出，且横向的两组平行线都与BC平行.求阴影部分的面积.

50.如图所示，如果长方形ABC。的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ的面积是多少

平方厘米？

（单位为厘米）

51.从图。那样的等边三角形开始，将三角形的每条边三等分，然后以中间的线段为边向外

作新的等边三角形，如图6,得到一个“雪花六角形”.接着将“雪花六角形”的12条边

的每一条三等分，仍以中间的线段为边向外作新的等边三角形，如图c,得到一个新的“雪

花形”.问：图C的面积与图4的面积的比是多少？

52.如图，已知正方形ABa）的边长是9厘米，正方形CEFG的边长是6厘米.阴影部分

的面积是多少平方厘米？

53.如图，把正方形的土地分成如下四个长方形（它们的面积分别为10平方米、20平方米、

30平方米、40平方米），阴影部分是正方形且它包含在40平方米的长方形之内.求阴影

54.图中正六边形ABCDEF的面积是54.AP=2PF,CQ=IBQ,求阴影四边形CEPQ的面

55.如图所示，一个长为70厘米宽为30厘米的长方形（甲），被补成一个长为70厘米宽为

40厘米的长方形（乙），现从（乙）下端剪去一个长为40厘米的长方形；使余下的面积

与（甲）的面积相等.问：剪去的长方形的宽等于多少厘米？

甲乙丙

56.如图，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米.问：大正六角星形面积是多少

平方厘米.

57.如图，左边是边长为10厘米的大正方形，右边是边长为5厘米的小正方形.求阴影部

分的面积.

58.这是一个楼梯的截面图（如图），高2.8米，每级台阶的宽和高都是20厘米.问：此楼

梯截面的面积是多少？

59.如图是一个跳棋棋盘，请你算算棋盘上共有多少个棋孔?

60.如图是一块黑白格子布.白色大正方形的边长是14厘米，白色小正方形的边长是6厘

米.问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？

等积变形

参考答案与试题解析

一.选择题（共14小题）

1.如图，将107个小盒子放到箱子里，可以记为“1箱2层2排3格”。那么个小盒

子可以记为“3箱1层2排3格”。（）

【分析】根据题目可以分析出一箱、一层、一排分别能装64个、16个和4个，然后代入

运算即可。

【解答】解：由图可知，一箱可以装：4×4×4-64（个）；

一层可以装：4X4=16个；

一排可以装：4个；

则3箱1层2排3格有盒子数：64×3+I6×1+4X2+3=219（个）。

故选：Bo

【点评】本题主要考查图文理解能力，较为基础。

2.如图，在由1X1的正方形组成的网格中写有2015四个数字（阴影部分），其边线要么是

水平或竖直的直线段，要么是连接1X1的正方形相邻两边中点的线段，或者是1X1的

正方形的对角线，则图中2015四个数字（阴影部分）的面积是（）

【分析】将每个数字中的阴影小三角形进行位置的移动，组合成小正方形，然后数出一

共有多少个小正方形，即可求出阴影部分的面积.

【解答】解：据分析可知：

将小三角形移到空白处补全完整正方形，共47.5个，

所以阴影部分的面积是4712；

故选：Bo

【点评】解答此类题目，一般都是将阴影部分转化成规则的图形，再根据规则图形的面

积公式进行解答.

3.如图中的正方形的边长为10,则阴影部分的面积为（)

A.56B.44C.32D.78

【分析】如下图进行切割，图中a、b、c、14个部分空白处面积和对应的阴影部分面积

相等，找到这个等量关系即可解.

【解答】解：

如上图的方法进行切割，可知：图中a、b、c、d4个部分空白处面积和对应的阴影部分

面积相等；

空白的面积=（正方形面积-3X4的小长方形面积）÷2=（10×10-3×4）÷2=44i

阴影部分面积=正方形面积-空白的面积=IOX10-44=56.

故选：Ao

【点评】对图形的分割是本题的关键.

4.如图中，正八边形ABCf>EFGH的面积为1,其中有两个正方形ACEG和PQRS.那么正

八边形中阴影部分的面积（）

A.12B.23c.35D.58

【分析】可以将图中阴影部分进行等积变形，将一部分进行平移，等积变形后不难发现

阴影部分和空白部分的面积刚好相等.

【解答】解：根据分析，将图中阴影部分进行等积变形，

由图不难发现，阴影部分和空白部分的面积刚好相等,

正八边形中阴影部分的面积占：12

故选：A。

【点评】考查了等积变形，突破点是：利用等积变形，不难求得结果.

5.如图，大正方形的边长为14,小正方形的边长为10,阴影部分的面积之和是（）

A.25B.40C.49D.50

【分析】按题意，将图①逆时针旋转90°,阴影部分可拼成一等腰直角三角形，不难求

得阴影部分的面积.

【解答】解：根据分析，如下图所示，图①逆时针旋转90°,

阴影部分可拼成一等腰直角三角形，S=142÷4=49

故选：Co

【点评】本题考查了等积变形，突破点是：将图①逆时针旋转90°,阴影部分可拼成一

等腰直角三角形.

6.大、中、小三个正方形，边长都是整数厘米，小正方形的周长比中正方形的边长小，把

这两个正方形放在大正方形上（如图），大正方形露出的部分的面积是10平方厘米（图

中阴影部分）.那么，大正方形的面积是（）平方厘米.

A.25B.36C.49D.64

□【分析】一条阴影部分的面积为10÷2=5平方厘米.因为边长都是整数，所以只能为1

×5.故可以求得大正方形的边长为1+5,大正方形面积不难求得.

【解答】解：根据分析，一条阴影部分的面积为10÷2=5平方厘米.

因为都是整数，所以只能为1X5.

故，大正方形面积=（1+5）X（1+5）=6X6=36平方厘米.

故选:Bo

【点评】本题考查了等积变形，突破点是：利用边长都是整数，而乘积为5的特点求出

正方形的边长，从而求得面积.

7.如图，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形，已知阴影部分的面积是180平方

厘米.那么大正六边形的面积是（）平方厘米.

【分析】按题意，显然可以将图进行分割，分割后阴影部分有六个面积相等的小正六边

形，而空白部分是3个面积相等的小正六边形，利用面积之比不难求得大正六边形的面

积.

【解答】解：如图所示，将图分割成面积相等的小正三角形,

显然，图中的空白部分的面积和等于3个小正六边形.

而阴影部分由6个小正六边形组成，

所以，大正六边形是由9个小正六边形组成的.

一个小正六边形的面积为：180+6=30（平方厘米），

大正六边形的面积为：30X9=270（平方厘米），

故选：Bo

【点评】本题考查了等积变形，突破点是：利用等积变形，求得每个个正六边形的面积,

最后不难求得大正六边形的面积.

8.如图所示，在5X8的方格中，阴影部分的面积为37cwΛ则非阴影部分的面积为（）

A.43B.74C.80D.Ill

【分析】如图所示，在5X8的方格中，阴影部分占了18.5个格，非阴影就分占21.5格;

阴影面积为37c>,据此可求出每格的面积，进而求出则非阴影部分的面积.

【解答】解：如图，

阴影部分占了18.5个格，面积为37CMJ2,

每格的面积是:37÷18.5=2(crrr)；

非阴影就分占21.5格，其面积是:21.5×2=43(c∕n2);

答：则非阴影部分的面积为43c∕√;

故选：Ao

【点评】解答此题的关键是看阴影部分占多少格，由阴影部分所占的面积及格数即可求

出每格的面积，进而求出非阴影部分的面积.

9.图中，将两个正方形放在一起，大、小正方形的边长分别为10,6,则图中阴影部分面

【分析】由图意可知：阴影部分的面积就等于两个正方形的面积和减去两个空白三角形

的面积，利用正方形和三角形的面积公式即可求解.

【解答】解：10×10+6×6-6×(10+6)÷2-10×10÷2

=100+36-48-50

=38

答：阴影部分的面积是38.

故选：C。

【点评】解答此题的关键是弄清楚：阴影部分的面积可以由哪些图形的面积和或差组成，

找出关系即可求出.

10.下图中，四边形A8CD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、

D4的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn,那么,

m+n的值等于()

D.12

【分析】左图BG与CE相交于一点/,/是平行四边形BCGE的中心点，同时是三角形

BCI的顶点,可得三角形BCI的面积是平行四边形BCGE的四分之一,而平行四边形BCGE

的面积又是正方形ABCn的二分之一，所以三角形BC/的面积是正方形的八分之一，这

样的三角形有4个，也就是非阴影的面积为正方形面积的二分之一，阴影的面积为正方

形面积的二分之一;

右图的面积为：S阴影=4X23SZ∖HOE=4X23X12S正方形AEOH=4x23X12X

14s正方形ABCD=S正方形ABCD的三分之一.

【解答】解：由以上可知，两个阴影面积比为12：13=3：2,

3+2=5.

故选：Ao

【点评】认真观察，找出能计算面积的突破点，然后计算.

11.有5个长方形，它们的长和宽都是整数，且5个长和5个宽恰好是1~10这10个整数;

现在用这5个长方形拼成1个大正方形，那么，大正方形面积的最小值为（）

A.169B.144C.121D.100

【分析】先确定出正方形的边长，再利用正方形的面积公式，即可求得其面积.由题意

知，大正方形的面积应是5个长方形面积的和，则正方形的边长必定大于10,于是可求

结果.

【解答】解：如图所示,

29

7

4

65,

于是可得：正方形的边长为11,则其面积为IIXlI=121.

答：大正方形面积的最小值为121.

故选：Co

【点评】此题主要考查正方形的面积公式及据条件找出合适的组合，就可以求解.

12.一个梯形的上底增加2厘米，下底减少2厘米，高不变，它的面积与原面积相比（）

A.变大了

B.变小了

C.不变

D.高不知道，所以无法比较

【分析】梯形的面积=（上底+下底）X高+2,若''上底增加2厘米，下底减少2厘米，

高不变”则（上底+下底）的和不变，且高不变，从而得知梯形的面积也不变.

【解答】解：因为梯形的面积=（上底+下底）X高÷2,

若''上底增加2厘米，下底减少2厘米，高不变”则（上底+下底）的和不变，且高不变，

所以梯形的面积不变.

故选：C

【点评】此题主要考查梯形面积公式，关键是明白上底与下底的和不变，高不变，则其

面积不变.

13.已知图中正方形的两个顶点正好是两个等腰直角三角形斜边上的中点，小等腰直角三角

形与正方形中的圆面积相等，请问正方形中的阴影面积与大等腰直角三角形面积的比值

是（）

A.13B.12C.1D.32

【分析】设小等腰三角形的边长是小大等腰三角形的边长为根据勾股定理可分别求

出小等腰三角形和大等腰三角形的斜边是多少，然后分别求出大三角形和小三角形的面

积和是多少，及正方形的面积是多少，再进行比较.

【解答】解：设小等腰三角形的边长是α,大等腰三角形的边长为6,

则小三角形的斜边是2α,大三角形的斜边为助

则正方形的面积是（2a2）2+（2b2）2=a22+b22=a2+b22

小等腰三角形与大等腰三角形的面积和：a22+b22=a2+b22

又因小等腰直角三角形与正方形中的圆面积相等，所以正方形中的阴影面积与大等腰直

角三角形面积相等.

所以它们的比值是1.

故选：Co

【点评】本题的关键是求出正方形的面积与小等腰直角三角形和大等腰直角三角开面积

之间的关系，再进行解答.

14.如图，梯形ABC。中，AB∕∕DC,ZADC+ZBCD=90o,JlDC=IAB,分别以QA、

AB,BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S”52,S3,则Si，S,W之间的关系是

下列选项中的（）

I)

A.S1+S2>S3B.S1+S3=S2C.51+S3<52D.无法确定.

【分析】先过A作AE〃BC,交.CD于E,由于AB〃Cn,AE〃BC,易证四边形ABeE

是平行四边形，从而有AE=BC,CE=AB,ff∏DC=2AB,易得。E=AB,又由于AE〃

BC,那么Nl=NBa>,而∕ADC+∕8CE>=90°,易得NAoC+/1=90°,根据三角形

内角和定理可求∕D4E=90°,利用勾股定理可得DE1=AD1+AE1,进而有AB2=

AD1+BC2,那么S2=S∣+S3.

【解答】解：过点A作交CQ于点E,

所以四边形AEC8是平行四边形，

所以AB=CE,BC=AE,ZBCD=ZAED,

因为NACC+NBCC=90°,DC=IAB,

所以AB=OE,ZADC+ZAED=90°,

所以∕D4E=9（Γ那么AD2+AE2=DE2,

2222

因为SI=AO2,S2=AB=Df,S3=BC=AE,

所以S2=S∣+S3.

故选：Bo

【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键在于通过作辅助线把梯形的问题转换为平行

四边形和直角三角形的问题，然后把三个正方形的边长整理到一个三角形中进行解题.

二.填空题（共26小题）

15.直角三角形的两条直角动分别是3与9,以三角形的每条边长作为正方形的边长，分别

可以画出三个正方形（如图），这个多边形的面积是193.5.

【分析】直角三角形的两条直角边分别是3与9,由勾股定理可得斜边的平方为9+81,

求出两个小正方形的面积与直角三角形的面积，即可得出结论.

【解答】解:直角三角形的两条直角边分别是3与9,由勾股定理可得斜边的平方为9+81,

为大正方形的面积，

所以总面积为9+81+（9+81）+3×9÷2=193.5,

故答案为193.5.

【点评】本题考查勾股定理，等积变形，考查学生的转化能力，求出是大正方形的面积

关键.

16.在平行四边形ABeD中，EF//AH,HG//AD.如果平行四边形A4PE的面积是5平方

厘米.平行四边形PFCG的面积是16平方厘米.那么三角形尸B。的面积是112平

方厘米.

【分析】直接求解三角形P8O的面积很困难，只能通过面积加减的方式确定，本题设定

了：SEPDG,回PFBH的面积后，各图形面积就明晰可求了，经过简单运算即可求解.

【解答】解：

设：I3E尸。G、回尸F8”的面积分别是Si、52;

则：S回ABCO=5+16+SI+S2:

而SZ∖ABD=12∣JlABCD=(2i+Sl+S2)÷2

SAPBD=S∆ABD-S0AHPE-SAPED-SAPBH=(21+S1+S2)÷2-12S]-12$2-5=112

故：应该填112.

【点评】可以大胆设未知数，这样图形面积都能表示出来，求解就简单明了了.

17.如图所示，长方形ABCD中，4。-A8=9厘米，梯形A8CE的面积是三角形AOE面积

的5倍,三角形AOE的周长比梯形ABCE的周长短68厘米.长方形ABCD的面积是3060

平方厘米.

【分析】如图，作EMLAB于M.首先证明ABCE的面积是AAOE面积的两倍，推出

EC=2DE,设。E=X,JI!!∣EC=2x,A8=CQ=3x,因为三角形A。E的周长比梯形ABCE

的周长短68厘米，列出方程求出X即可解决问题.

因为四边形ABCo是长方形，易知四边形四边形BCEM都是长方形，所以aOEA

与AAEM的面积相等，与ABEM的面积相等，

因为梯形ABCE的面积是三角形ADE面积的5倍，所以aBCE的面积是AAQE面积的

两倍，

所以EC=2DE,设OE=X,W∣jEC=2x,AB=CD=3x,

因为三角形AoE的周长比梯形ABCE的周长短68厘米，所以3x+2X-X=68,所以X=

17c)n,ΛB=5∖

因为AO-A8=9厘米，所以AQ=51+9=6OC”，

所以矩形ABCD的面积为51X60=3060。R

故答案为3060.

【点评】本题考查长方形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅

助线，学会利用参数，构建方程解决问题.

18.如图，三角形ABC的面积为1,DO：OB=L3,EO：OA=4：5,则三角形QoE的

【分析】不难发现当高相同的时候，面积的比等于底边的比，这就是直线间的比例关系

的应用.可以根据份数法求出AOOE的份数占总三角形面积的份数即可.

【解答】解：依题意可知如图：

设三角形DOE的面积为4x,由比例关系不难得出图中另三块的面积分别为5x,12x.15x,

再设三角

形。CE的面积为y,

在ADBC中和中，有CEBE=y4x+12x=y+4x+5xl2x+15x.

得y=14411x.

则E的面积为44+5+12+15+14411=11135.

「△ABC的面积为ɪ.

E的面积为11135.

故答案为：11135.

【点评】本题的关键是根据aOOE的份数求出AABC的份数，然后求出一份量即可知道

所求三角形的面积.问题解决.

19.右图是由甲乙丙丁拼成的正方形，其中甲与丁都是边长为整数厘米数的正方形，乙与丙

都是长方形，且甲与丁的面积之和为100平方厘米，那么长方形乙与丙的面积之和为』

平方厘米.

甲乙

丙T

【分析】由于正方形的面积一定是平方数，6的平方和8的平方之和恰好为100,即可求

出乙和丁的面积之和.

【解答】解：由于正方形的面积一定是平方数，6的平方和8的平方之和恰好为100.

所以乙和丁的面积之和为2X(6×8)=96(平方厘米)，

故答案为96.

【点评】本题考查巧求面积，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用正方形

的面积一定是平方数，6的平方和8的平方之和恰好为100.

20.如图所示，已知大圆的半径为2,则阴影部分的面积为4n-8(圆周率用n表示).

把中间四个“树叶”形的阴影部分，每个都平均分成两份，然后补到正方形的外面，那

么阴影部分的总面积=圆的面积-正方形的面积，据此根据圆和正方形的面积公式(对

角线的长度X对角线的长度÷2)解答即可.

【解答】解：π×22-(2×2)X(2×2)÷2

=4π-8

答：阴影部分的面积为4π-8.

故答案为：4π-8.

【点评】解答这种类型的问题往往利用“割补结合”等积变形：观察图形，把图形分割,

再进行移补，形成一个容易求得的图形.

21.如图：直角边长分别为20"〃，12c，"的直角aABC和直角边长分别为14α",4c〃？的直

角44OE如图摆放.M为AE的中点，则4ACM的面积为62cm1.

【分析】连接CE,因为M是4E的中点，所以SA4CΛ∕=12SAAEC,SAAEC=SiMjkACBE-

【解答】解：20X12∙÷∙2+14X4÷2+（20-14）×4÷2=160（平方厘米）

160-12×（20-14）÷2=124（平方厘米）

124÷2=62（平方厘米）

故答案为：62.

【点评】此题因为阴影部分不好直接计算，所以通过分析阴影部分的面积同整个图形之

间存在的关系间接求出.

22.如图中三个正方形的边长从左到右依次减半，小正方形的边长为3,那么图中阴影部分

连接A3、BD,则AB〃C£>,所以图中阴影部分ACZ）的面积就等于三角形BCO的面积,

三角形Be。的底是3X2+3,高是3,然后根据三角形的面积公式解答即可.

【解答】解：根据分析可得,

(3X2+3)×3÷2

=9×3÷2

=13.5

答：图中阴影部分的面积是135

故答案为：13.5.

【点评】本题考查了面积的等积变形，关键根据等底等高的三角形面积相等转化.

23.勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”，是一个有着悠悠4000多年历史的重要几何定理.它

揭示了这样一个事实：对任何一个直角三角形而言，以它的两条直角边的长度为边长的

正方形的面积之和，等于以斜边的长度为边长的正方形的面积.关于勾股定理，人们发

现了400多种证明，甚至连美国总统也曾加入到证明一者的队伍中.在众多证明方法中，

我国古代数学家刘徽给出的证明简单直观，耐人寻味(如图所示)这个证明实际上给出

了一个通过有限次直线切割，将两个正方形拼补为一个更大的正方形的方法.设两个小

正方形的边长分别为3和4,按照刘徽的方法，这两个小正方形被切割成5部分，请分别

计算出这5部分的面积，并按从小到大的顺序写在下面:38,278,458,6,778.

iBDC卜、、/

AB=CDABDC

图1图2

【分析】可以利用等积变形，以及线段之间的比例，求得图中各部分的边长，从而求得

各部分的面积.

【解答】解：根据分析，将图进行等积变形，如图，

FD=ED=5,AB=3,BO=4-3=1,HG：BG=FH:BD=3:1

故8G=34,GH=3X34=94,

E

三角形8G。面积=12x1x34=38；三角形GHF面积=12x94x3=278；

四边形ABGF面积=32-278=458；三角形DCE面积=12X(4-1)×4=6；

四边形DGME面积=42-6-38=778

故答案是：38,278,458,6,778.

【点评】考查了等积变形，突破点是：利用等积变形求得三角形的边长，从而求得面积.

24.如图，ABCO和ABEF都是长方形，如果长方形ABEF的面积是30平方厘米，那么阴

影部分的面积是15平方厘米.

【分析】设内部交点为O,如下图，只要证明则阴影部分面积等于aABF的面积即可;

【解答】解：设内部交点为0,如下图，

通过等积变形可知AFOO的面积和△/OC的面积相等，则阴影部分变成了aAFC的面积,

再通过等积变形可知AAFC的面积和AAB尸的面积相等；XABF的面积为长方形ABEF

的一半，即30X12=15平方厘米.

故答案为15.

【点评】本题考查长方形的性质、等积变形、等高模型等知识，解题的关键是灵活掌握

等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题.

25.如图，在一块长为IO米，宽为5米的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路，小路任何

地方的水平宽度都是1米.则空白部分的草地的面积是45平方米.

【分析】根据图形的特点，可以把小路的面积看作是一个底是1米，高是5米的平行四

边形，根据平行四边形的面积=底X高，长方形的面积=长义宽，用长方形的面积减去

小路的面积即可.

【解答】解：10X5-1X5

=50-5

=45（平方米），

答：草地的面积是45平方米.

故答案为：45.

【点评】此题主要考查长方形、平行四边形的面积公式的灵活运用.

26.如图所示，四边形ABCO是梯形，四边形ABEO是平行四边形，四边形R7H/是长方

形，E、F、G分别是边C。、AD.BC的中点.如果平行四边形ABEf）的面积是48平方

厘米，那么，长方形FGm的面积是平方厘米.

【分析】作AP_LCZ）于P,设FG交BE于K.设AB=α,AP=b,想办法求出F/、FG

的长（用“、b表示）即可解决问题.

【解答】解：作AP_LCQ于P,设FG交BE于K.设AB=α,AP=h,

由题意ab-4S,

：四边形ABEO是平行四边形,

.".AB∕∕CD,AB=DE=a,

'CED=EC=a,AF=DF,BG=GC,

.∖FG∕∕AB,

：.BK=KE,FK=AB=a,YBG=GC,

・，.KG=12mFG=32d,

9JFI//AP,AF=DF,

DI=IP,

.∙.Fi=12AP=12⅛,

φ

∙∙S长方形FGHI=126∙324=3448=36

故答案为36∙

【点评】本题考查平行四边形的性质、梯形的性质、长方形的性质，三角形中位线定理，

平行线等分线段定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题.

27.四个正方形A、B、C、。如图放置，其中正方形A的周长是12厘米，正方形。的周长

是60厘米，则阴影部分的面积会为58.5平方厘米.

【分析】本题借助正方形A和正方形B的边长和等于正方形C的边长，正方形B和正方

形C的边长和等于正方形D的边长这一特殊关系找出边长之间的等量关系，从而求解.

【解答】解：设8的边长为尤.

由于。的边长为60÷4=15厘米；

所以C的边长为15-X.

A的边长为12÷4=3厘米；

由于A的边长+8的边长=C的边长；

所以得到3+x=15-x；

解得x=6；

所以正方形C的边长为9厘米，面积9X9=81平方厘米；

正方形B的边长为6厘米，面积为6X6=36平方厘米；

所以阴影部分面积为：812+362=40.5+18=58.5平方厘米.

故答案为：58.5平方厘米.

【点评】此题考查了学生的读图能力及较灵活的找出图形中的等量关系.

28.如图，正六边形ABCZ)EF面积是2014平方厘米，在AB、BC、DE、EF上分别取中点

G、H、/、J,四边形G”〃的面积是1007平方厘米.

【分析】把正六边形按照如图分割，可见整体是24份，阴影部分占12份，由此即可解

决问题.

【解答】解：把正六边形按照如图分割，可见整体是24份，阴影部分占12份，

ΛSW=12S正六边形=12X2014=1007,

故答案为1007.

【点评】本题考查等积变形，解题的关键是学会利用分割法解决问题.

29.在一个长为100米，宽为88米的长方形湖中，有一座宽为2米的九曲回廊，如图，九

曲回廊拐弯处均为直角，请问，没有被九曲回廊覆盖的湖水面积为8428平方米.

【分析】要求没有被九曲回廊覆盖的湖水面积是多少平方米，就用整个长方形面积减去

上面三个小长方形面积（观察可知，三个小长方形面积相等），再减两个稍大长方形面积，

最后还要减竖着的两个小长方形面积即可.

【解答】解：将回廊部分全部平移至两边，可以得到长廊部分面积为：

2×（88+100）-2X2=372；

所以没有被九曲回廊覆盖的湖水面积为：

100X88-372=8428（平方米）.

答:没有被九曲回廊覆盖的湖水面积为8428平方米.

故答案为：8428.

【点评】此题主要考查学生对长方形面积计算公式的掌握情况.

30.如图，5个等腰直角三角形叠放在一起，它们的斜边都在一条直线上，已知最小的等腰

直角三角形的斜边长是4厘米，其余等腰三角形的斜边依次多4厘米，则图中阴影部分

的面积60是平方厘米.

【分析】如图，画出等腰直角三角形底边上的高线，则把这个图形分成两部分，先看其

中左边的部分，最小的阴影部分是一个直角边等于4÷2=2厘米的三角形，面积是2X2

÷2=2平方厘米；较大的阴影部分是直角边为2+2+2=6厘米的等腰直角三角形的面积

与直角边等于2+2=4厘米的等腰直角三角形的面积之差；最大的阴影部分是直角边为

2+2+2+2=8厘米的等腰直角三角形的面积与直角边等于2+2+2=6厘米的等腰直角三角

形的面积之差；据此求出它们的面积之和，再乘2即可.

【解答】解：如图，画出等腰直角三角形底边上的高线，则可得出左边是直角边分别是2

厘米、4厘米、6厘米、8厘米、10厘米的等腰三角形；

根据题干分析可得：

2×2÷2+6×6÷2-4×4÷2+10×10÷2-8×8÷2,

=2+18-8+50-32,

=30（平方厘米），

30X2=60（平方厘米），

答：图中阴影部分的面积是60平方厘米.

故答案为：60.

【点评】解答此题的关键是明确阴影部分的面积包括哪几个部分，再利用三角形的面积

公式，计算即可解答.

31.如图，正方形中套着一个长方形，正方形的边长是16厘米，长方形的四个角的顶点恰

好分别把正方形四条边都分成两段，其中长的一段是短的3倍.这个长方形的面积是96

平方厘米.

【分析】如图所示，由题意可知：三角形①、②、③、④应均为等腰直角三角形，且①

和②组成1个边长为4厘米的正方形，③和④能组成1个边长为12厘米的正方形，用大

正方形的面积分别减去这两个小正方形的面积，就是长方形的面积.

【解答】解：由题意可得：AE=AH=CG=CF=I4aZ）=I4X16=4（厘米）

OH=OG=BF=BE=34AQ=34x16=12（厘米）

所以长方形EFGH的面积是：

I6×I6-12×12-4×4=96（平方厘米）；

故答案为：96.

【点评】解答此题的关键是：利用其他图形的面积和或差求出长方形的面积.

32.如图，正方形ABez）中，等腰直角三角形力EF的面积是1,长方形EFGH的面积是10,

那么，正方形4BC£＞的面积是24.5•

【分析】由三角形AEF是等腰直角三角形且面积为1,利用勾股定理可以求出边AF及

EF的长；长方形EFGH的面积是10,用面积10除以边EF的长即可得到FG的长；由

题意知，三角形BFG也是等腰直角三角形，已求得斜边FG的长，再由勾股定理可以求

得直角边8尸的长，AF+8F即可得到正方形的边AB的长，利用正方形的面积公式即可解

决.

【解答】解：因为三角形AE尸是等腰直角三角形，

所以AF=A