四川省自贡市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

第第页2023－2024学年九年级上学期期末考试数学试卷第Ⅰ卷选择题（共48分）一、选择题（每小题4分，共48分）1.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不合题意．故选B．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.2.一元二次方程的解是（）A. B. C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】解：∴或，解得：，，故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．3.在平面直角坐标系中，的半径为5，以下各点在内的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据勾股定理求出各点到O的距离，再与的半径5相比较即可．【详解】解：A、点到O的距离为，则点在内，本选项符合题意；B、点到O的距离为，则点在上，本选项不符合题意；C、点到O的距离为，则点在外，本选项不符合题意；D、点到O的距离为，则点在外，本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．4.将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线解析式为：，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象的平移法则是解题的关键．5.下列说法正确的是（）A.不可能事件发生概率为0，而随机事件发生的概率为；B.某校370名学生中肯定存在生日相同的同学；C.任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数的概率是；D.在疫情防控期间，有一天我市筛查出了一名新冠患者，小明当天拨错了电话号码，发现接电话的人正是这名患者，这是一个不可能事件．【答案】B【解析】【分析】分别利用随机事件的定义以及利用频率估计概率的方法分析求出即可．【详解】解：A、不可能事件发生的概率为0，而随机事件发生的概率为大于等于0、小于1，原说法错误，本选项不符合题意；B、某校370名学生中肯定存在生日相同的同学，正确，本选项符合题意；C、任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数的概率是，原说法错误，本选项不符合题意；D、在疫情防控期间，有一天我市筛查出了一名新冠患者，小明当天拨错了电话号码，发现接电话的人正是这名患者，这是一个随机事件，原说法错误，本选项不符合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了随机事件以及确定时间和利用频率估计概率等知识，正确把握相关定义是解题关键．6.一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以（每次降价的百分率），列出函数关系式，即可求解．【详解】解：∵每次降价的百分率都是x，∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是．故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．7.如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由于是直径，由圆周角定理可知，则和互余，欲求需先求出的度数，已知了同弧所对的圆周角的度数，则，由此得解．【详解】解：是的直径，，即；又，．故选：D．【点睛】此题主要考查的是圆周角定理及其推论；半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等．8.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据图像可以知道，进而得出的正负，求出一次函数经过的象限，进而得出答案.【详解】解：根据图像可得：，，故经过一、二、三象限，不经过第四象限，故选：D.【点睛】本题考查的二次函数图像与的关系，进而得出系数的正负值，再根据一次函数性质求出答案即可.9.如图，小颖在围棋盘上两个相邻格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先找出符合的所有情况，再得出选项即可．【详解】如图所示，共有12种情况，恰好摆放成如图所示位置的只有1种，所以概率是，故选：D．【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率，能找出符合的所有情况是解本题的关键．10.某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有70人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A.5人 B.6人 C.7人 D.8人【答案】A【解析】【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，第一轮传染后有人患了流感，第二轮有人，根据两轮后共有72人，列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，第一轮传染后有人患了流感，第二轮有人，依题意，得解得：（舍去）故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．11.如图，在等腰中，，将边绕点A逆时针旋转到，连接，连接交于点E，若，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出辅助圆，利用圆周角定理求得，，利用等边对等角以及三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵，∴点B、C、D在以A为圆心，AD为半径的圆上，如图：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，作出辅助圆是解题的关键．12.如图，九（1）班同学准备用8米长的围栏，在本班劳动实践基地内围出一块一边靠墙的等腰三角形菜地，他们能围出的最大面积是（）A.米 B.米 C.8米 D.米【答案】C【解析】【分析】腰相等的不同等腰三角形中直角三角形面积最大，再结合三角形的面积知识求得．【详解】∵在等腰三角形中，根据三角形面积公式，，当时，三角形面积最大，（平方米）故选C．【点睛】此题考查了三角形的面积，解题的关键是熟悉三角形的面积公式．第Ⅱ卷非选择题（共102分）二、填空题（本大题共6个小题，每题4分，共24分）13.抛物线的对称轴是______．【答案】直线【解析】【分析】根据抛物线的对称轴是直线即可确定．【详解】解：∵抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴为直线，故答案为：直线．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握由抛物线的顶点坐标式写出抛物线的对称轴方程，比较容易．14.关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______．【答案】且【解析】【分析】根据一元二次方程定义和一元二次方程根的判别式列不等式组求解即可．【详解】解：根据题意，得，解得：且，故答案为：且．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．15.如图，在中，点C在弦上，，则的半径为______．【答案】【解析】【分析】过点O作于点D，连接，先根据垂径定理求出的长，再由勾股定理求出的长，在中根据勾股定理即可得出的长．【详解】解：过点O作于点D，连接，∵，∴，∴．在中，∵，∴，在中，∵，∴．即的半径为．故答案为：．【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．16.如图，用一个圆心角为，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．【答案】【解析】【分析】根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解．【详解】解：扇形弧长，设圆锥的底面半径为R，则，所以．故答案为：．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．17.在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．根据这个法则，下列结论中错误的是______．（只填写番号）①；②若，则；③是一元二次方程；④方程有一个解是．【答案】①③④【解析】【分析】根据运算法则为，一一判断即可．【详解】解：①，故①符合题意；②若，则，∴，，∴，故②不符合题意；③，是一元一次方程，故③符合题意；④方程，即，整理得，由于，∴，方程无实数解，故④符合题意；综上，①③④符合题意；故答案为：①③④．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，实数的运算等知识，解题的关键是理解题意，学会利用新的定义解决问题．18.在平面直角坐标系中，已知，，，，，与直线相切于点C，点D是线段上一动点，则的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】作点C关于x轴的对称点G，且交x轴于点E，点G向右平移3个单位得到点H，过H作轴于点F交于点D，作轴于点N，求得的最小值为，利用等腰直角三角形的性质以及相似三角形的判定和性质即可求解．【详解】解：∵，，∴，作点C关于x轴的对称点G，且交x轴于点E，点G向右平移3个单位得到点H，过H作轴于点F交于点D，作轴于点N，此时，，∴，故的最小值为，∵，，∴是等腰直角三角形，且，∵与直线相切于点C，∴，则，∴是等腰直角三角形，则，∵，，∴，，，∵轴，轴，∴，∴，∴，即，∴，∴，CE＋DF的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，坐标与图形，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．三、解答题（共8个题，共78分）19.解方程：．【答案】．【解析】【详解】试题分析：利用公式法解方程即可.试题解析：．．=12．．．．∴方程的解为．20.一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1，2，3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．（1）第一次摸到标有奇数的乒乓球的概率是______；（2）小李和小刘两同学约定，若两次摸到的乒乓球上所标数字之积为偶数则小李胜，否则小刘胜，这个游戏规则公平吗？请说明理由，【答案】（1）（2）不公平，理由见解析【解析】【分析】（1）第一次的可能性有三种，直接求解即可．（2）列出表格，得到两次数字的积，直接判断即可．【小问1详解】第一次摸出求的可能性有3种可能的结果，摸到标有奇数的乒乓球有2种可能的结果那么第一次摸到标有奇数的乒乓球的概率是【小问2详解】列表如下：那么两次摸到的乒乓球上所标数字之积为分别为1，2，3，2，4，6，3，6，9，其中偶数有5种可能的结果，奇数有4种可能的结果若两次摸到的乒乓球上所标数字之积为偶数则小李胜，否则小刘胜，即，，因此小李的胜利的可能性更大一些，游戏规则不公平．【点睛】此题考查概率，解题关键是将事件分步骤计算可能性．21.如图，是的直径，C为上一点，与过点C的直线互相垂直，垂足为点D，平分．求证：直线是的切线．【答案】见解析【解析】【分析】连接OC，根据圆的半径相等OA＝OC,得出∠OAC＝∠OCA，根据AC平分∠DAB，可证∠OCA＝∠CAD.利用直线平行判定可得OC∥AD.根据AD⊥DC，证出OC⊥DC即可.【详解】证明：连接OC，∵OA＝OC,∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠CAD.∴∠OCA＝∠CAD.∴OC∥AD.∵AD⊥DC，∴∠OCD＝180°－∠ADC＝90°.∴OC⊥DC.∵OC为半径，∴直线CD是⊙O的切线.【点睛】本题主要考查的就是切线的判定定理属于中等题型．解决这个问题就是利用辅助线，有切点连半径，证垂直，没切点作垂线，证半径是解题关键．22.已知关于x的方程．（1）求证：当时，方程总有两个不相等实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．【答案】（1）见解析（2），，(答案不唯一)【解析】【分析】（1）根据根的判别式符号进行判断；（2）根据判别式以及一元二次方程解法即可求出答案．【小问1详解】证明：∵，∴，∵，∴，即，方程总有两个实数根；【小问2详解】解：由题意可知，，即：．以下答案不唯一，如：当，时，方程为．解得．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，本题属于基础题型．23.如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是、、，将绕坐标原点O顺时针方向旋转后得到．（1）画出，并写出点B对应点F的坐标；（2）求出点C旋转到点G过程中，点C走过的路径长度；（3）求出在旋转过程中，线段扫过的图形面积．【答案】（1）图见解析，（2）（3）【解析】【分析】（1）根据要求画出，根据图形，写出F的坐标即可；（2）求出的长即可得解；（3）连接，求出扇形的面积，即为所求．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；由图可知：；【小问2详解】解：∵，∴，∴的长为：；即：点C走过的路径长度为；【小问3详解】解：连接，，∵，∴，∴线段扫过的图形面积为：．【点睛】本题考查坐标系与图形变换—旋转，以及弧长和扇形面积的计算．熟练掌握旋转三要素，弧长和扇形的计算公式，是解题的关键．24.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x…0123…y…03430…（1）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）当时，直接写出函数值y的取值范围；（3）求该二次函数的函数值不大于时，自变量x的取值范围．【答案】（1）见解析（2）（3）或【解析】【分析】（1）直接用描点法作画出二次函数图象即可；（2）利用图象法，直接由图象求解即可；（3）先用待定系数法求出二次函数解析式，再求出二次函数图象与直线的交点，然后画出图象，利用图象求出解集即可．【小问1详解】解：根据表格数据描点连线绘制函数图象如下：【小问2详解】解：由图象可得，当时，；【小问3详解】解：设二次函数解析式为，把，，分别代入，得，解得：，∴次函数解析式为，当时，则，解得：，，∴二次函数与直线的交点坐标为，，如图，∴二次函数的函数值不大于时，自变量x的取值范围为或．【点睛】本题考查画二次函数的图象，二次函数与不等式的关系，二次函数与一元二次方程的联系，掌握利用图象法求不等式的解集是解题的关键．25.在平面直角坐标系中，的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于的限距点的定义如下：若为直线与的一个交点，满足，则称为点P关于的限距点，如图1为点P及其关于的限距点的示意图．（1）当的半径为时．①分别判断点，，关于的限距点是否存在？若存在，求其坐标；②如图2，点D的坐标为，DE，DF分别切于点E，F，点P在的边上．若点P关于的限距点存在，求点的横坐标的取值范围．（2）保持（1）中D，E，F三点不变，点P在的边DE，DF上沿F→D→E的方向运动，的圆心C的坐标为，半径为r，若点P关于的限距点不存在，则r的取值范围为______．【答案】（1）①；②（2）【解析】【分析】（1）①画出图形，由图可求解；②分两种情况：Ⅰ、当点在线段上时，Ⅱ、当点在线段，上时，分别求解即可；（2）过点C作于M，如图，求得，根据点P关于的限距点不存在，所以或，求解即可．【小问1详解】解：①如图，从图中可以看出点，点关于的限距点不存在，点关于的限距点存在，其坐标为；②如图所示，连接并延长交于点，连接并延长交于点，点的坐标为，．切于点，．，，．，分别切于点，点，，，．．．，，，，，设点关于的限距点的横坐标为，Ⅰ、当点在线段上时，直线的延长线与点交点满足，点关于的限距点存在，其横坐标满足；Ⅱ、当点在线段，上时，直线与的交点满足或，点关于的限距点不存在；综上所述，点关于的限距点的横坐标的取值范围为：；【小问2详解】解：由（1）可知，，，，∴，过点C作于M，如图，则，∵点P关于的限距点不存在，∴或，解得：．【点睛】本题考查新定义，圆的有关概念与性质，直线与圆的位置关系，圆的切线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解决此类问题常用的方法，本题是阅读型题目，准确理解新定义并熟练应用是解题的关键．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标；（2）线段绕点O旋转得到线段，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象W（包含A，B两点），若直线与图象W有公共点，求面积的最大值；（3）在（2）中，当直线与图象W没有公共点时，点D纵坐标t的取值范围是______；当直线与图象W有公共点时，周长的最小值是______；若点F是图象W上一动点，四边形面积的最大值是______．【答案】（1），（