函数的单调性及最值-2023年高考数学一轮复习（解析版）

考向05函数的单调性与最值

1.(2022年浙江卷第7题)已知2"=5,log83=8,则4"j=()

255

A.25B.5C.—D.-

93

【答案】C

14a(2"YS22ς

【解析】因为2"=5,6=1。883=§1。823,即2%=3,所以4=不=以■=?=：

故选：C.

2.(2022年新高考1卷第7题)设α=0.1e°∣∕=g,C=-Ino.9,则()

A.a<b<cB.c<h<aC.c<a<hD.a<c<b

【答案】C

【解析】设/(x)=In(I+x)-x(x>T),因为/(X)=」一一I=一——,

1+x1+x

当x∈(T,0)时，J'(X)>0,当x∈(0,+∞)时/'(x)<0,

所以函数/(X)=ln(l+X)-X在(0,+0。)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

所以/(f)<∕(0)=0,所以ln9-1<0,故">ln^=-InO.9,即方>c，

1919--1-1

所以/(一-L)<∕(0)=0,所以姑二+「-<0,故2<e∣o,所以-Le∣°<L,

10101010109

故α<0,

,λ

设g(x)=Xe*+ln(l-X)(O<x<1)，则g(x)=(χ+l)e+-!—=~ɪ^-^ɪ，

x-∖x-∖

令∕?(X)-ex(x2-1)+1,h'(x)-ev(x2+2x-l),

当O<x<JΣ-l时,Λ,U)<O,函数力(X)=e*(∖-l)+l单调递减,

当夜一l<x<l时，h'(x)>0,函数∕z(x)=e，(f—1)+1单一调递增，

又以O)=0,

所以当O<X<√5-1时，h(x)<O,

所以当0<x<近一1时，g'(x)>°,函数g(x)=xe"+ln(I-X)单调递增，

所以g(().l)>g(O)=O,即().le°∣>-ln().9,所以

故选：C.

[-αx+l,x<a,

3.(2022年北京卷第14题)设函数/(X)=。.2若/O)存在最小值，则”的一个取值为

(X-2),x≥a.

；α的最大值为.

【答案】①.0(答案不唯一)②.1

1,x<0,

【解析】若α=0时，/(x)={,Z.：.f(X)=Q;

(X-2)-,x20min

若α<0时，当x<a时，/(x)=-ox+l单调递增，当x→-8时，/(ɪ)→-∞,故/(χ)没有最小值，不

符合题目要求；

若α>0时，

当x<α时，/(x)=-ox+l单调递减，/(%)>f(a)=-a2+1,

0(0<«<2)

当x>α时，/(x)={

min(«-2)3≥2)

-a2+120或一a?+l≥(α-2)2,解得0<α≤l,

综上可得0≤αWl;故答案为：0(答案不唯一)，1

，方法技巧)

(1)函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。

(2)函数/氏)在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。

(3)函数的单调定义中的为、龙2有三个特征：①任意性②有大小③属于同一个单调区间。

(4)求函数的单调区间必须先求定义域。

(5)求函数的最值的常用方法，①数形结合法②配方法③单调性法。

γ⅜用受言)

1.函数单调性的两个等价结论

设Vxi，X2∈D(%I≠X2)，则

(ir------∑l-----乂)(或(XLX2)IyUl)-AX2)]>。)号∕ω在D上单调递增.

ʌl%2

(2.3)—/°2)<0(或(XLX2)[∕⅛)~∕U2)]<0)3∕(X)在D上单调递减.

Xl-X2

2.函数最值存在的两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在

端点取到.

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.

【易错点1]求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数的单调性是常

见的错误.

【易错点2】有多个单调区间应分开写，不能用符号“U”联结，也不能用“或”联结，只能

用“逗号”或“和”联结.

rSMBft\

J基础练)

1.下列C函数中，定义域是R且为增函数的是

x

A.y=e'B.y=x3C.y=∖nxD∙y=χ

【答案】B

【解析】四个函数的图象如下

显然B成立.

【名师点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及指数、对数、幕函数的性质，属于基础题.根

据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案.

2.函数/(x)=KJ的单调递减区间是

A.(→x),+∞)B.(—00』)C.(3,÷∞)D.(l,+∞)

【答案】D

【解析】设f=χ2∙Zr∙3,则函数在(-8,1］上单调递减，在［1,+oo)上单调递增.

因为函数y=(g)在定义域上为减函数，

所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是(1,+8).

故选D.

【名师点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法.复合函数的单调性，一要先确定函

数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异

减解答本题时，利用复合函数的单调性确定函数/(X)的单调递减区间.

0502

3.已知函数/(x)=∕7,«=/(2),^=∕(θ.3),c=/(Iog032),贝∣]α,b,C的大小关系为()

A.c<h<aB.a<h<cC.b<c<aD.c<a<h

【答案】B

02

【解析】函数/(X)=J,α=∕(2°5),⅛=∕(θ.3),c=∕(log032)

根据指数函数和对数函数的单调性可得：

02o

2°5>2°=1,O<O.3<O.3=blog0,32<Iog031<O,

因为函数/(X)=—在R上单调递减，且log032<0∙3°∙2<2。5,

e

所以/(log032)>/(0.3l,2)>/(2°5),即α<力<c.

故选：B

【点睛】

对于指数累的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幕的底数或指数不相同,

不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幕的大小比较时，若底数

不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指

数塞的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确.

4.已知函数/(x)=CoS(TX)+3T)SinqX)+α,g(X)=2*,若/ɪg(尤)]≤0对x∈[θ,l]恒成立,

则实数。的取值范围是()

A.(-∞,√3-l]B.(-∞,0]C.[0√3-l]D.(→x),l-√3]

【答案】A

3

【解析】在同一坐标系内画出丁=尤2+1,〉=2",〉=%2+5的图象，由图象可知,

在[0,1]上，X2+1≤2Λ<X2

3

当且仅当X=O或X=I时等号成立，.∙.1≤g(X)<5,

设g(χ)=r,则13<5，/(8(力「0等价于/(。6,

2τz^7T

即cos3t+(Q-1)sin—E+o≤0,

ππ

^39T

再设Sin曰=也乎≤m<l,原不等式可化为l-2siM∣√+(α-I)SinI√+α≤0,

即

.2/,\/八2m2+zn-l_

1—2加+(Q-1)∕九+"≤(),Q≤----------------=2m-l1,

"?+1

而G-1<2m-1<1».*.a≤ʌ/ɜ-1，

故选：Λ.

【点睛】

关键点点睛：本题考杳恒成立问题，考查三角函数的图象和性质，解决本题的关键点是设g(χ)=/,则原

不等式等价于/(f)≤0,再设Sin丝=相，并参变分离求出最值解出实数。的取值范围，考查了数形结合

的解题思想方法，考查学生计算能力，属于中档题.

5.设函数/(x)的定义域为R,满足/(x+l)=2∕(x),且当x∈(0,l]时，/(x)=x(x-l).若对任意

Q

x∈(-∞,m],都有/(>)2—2,则加的取值范围是()

9758

A.~∙∞,一B.-00,一C.—00,一D.—∞,-

4323

【答案】B

【解析】；xe(0,l]时，/(x)=x(x-1),/(x+l)=2∕(x),Λ/(X)=2∕(x-l),即f(χ)右移1个单位,

图像变为原来的2倍.

Q

如图所示：当2<xW3时，/(X)=4∕∙(X-2)=4(X-2)(X-3),令4。一2)。-3)=一孩，整理得:

9

788

9X2—45x+56=O,(3x—7)(3x—8)=O(舍)，・，・％=q，Ζ=§，・・]£(―∞,/川时，f(x)N——

7f7

成立，即〃?W-,二"2∈∣-8,—，故选B.

3I3.

一、单选题

1.(2022•青海•海东市第一中学模拟预测(文))下列函数中是减函数的为()

v2

A./(x)=Iog2%B./(x)=l-3C.f(x)=-十D./(x)=-x+l

【答案】B

【解析】选项A：山2>1,可得/(x)=Iog?X为增函数.判断错误;

选项B：由3>1,可得y=3，为增函数，则/(x)=l-3，是减函数.判断正确;

选项C：⅛-7<0,可得y=χT是减函数，则A©=为增函数.判断错误；

2

选项D:“幻=-/+1在(田,0)上单调递墙判断错误.

故选：B

-3x+3,x<0

2.(2023•河南・洛宁县第一高级中学一模(理))已知函数/(X)=则不等式/⑷</(3〃-1)的

e-r+l,x≥O

解集为()

ʌ-(*)B∙信，0)C.1唱D.(7,一：

【答案】C

f—3x+3,X<O

【解析】因为AX)=Tl、八，

[e+l,x≥O

当x<0时/(x)=—3x+3函数单调递减，>∕(x)>-3×0+3=3,

当x20时/(x)=e^γ+1函数单调递减，且/(0)=e°+l=2v3,

所以函数/(χ)在(-∞,+∞)上是单调递减,

所以不等式/(«)</(3。-1)等价于α>3α-1,解得“.

即不等式的解集为b8,；.

故选：C

3.(2022・辽宁・大连二十四中模拟预测)己知函数y=∕(x),若/(力>0且/'(x)+V(x)>0,则有()

A./(x)可能是奇函数，也可能是偶函数B./(-1)>∕(1)

7171.cos2xI—

C.1<x<3r时t，f(sinx)<e2f(cosx)ɪɔ-f(O)<Jef(↑)

【答案】D

【解析】若/(x)是奇函数，则/(r)=∙√(x),又因为/(x)>0,与〃一x)=-∕(x)矛盾，

所有函数y=∕(χ)不可能时奇函数，故A错误；

令g(x)=e?/(x),贝％(x)=xe1√(x)+e1√,(x)=e2R(χ)+r(χ)),

因为A〉。，f'(χ)+4(χ)>o,所以g'(x)>O,所以函数g(x)为增函数，

所以g(T)<g⑴，即所以"T)<∕⑴，故B错误；

因为J<x<],所以0<cosX<~~~~>~~~<sinx<l,

4222

z.ʌz、sin?X8』X

所以SinX>cosx,故g(smx)>g(8sx),即Q-/(SinXAe丁/(cosx),

_8s2X-Sin2X8S2.Y、

所以/(SinX)>e2/(cosx)=e2/(CoSX),故C储误；

有g(O)<g(l),即F(O)故D正确.

故选：D.

4.(2022•江苏无锡•模拟预测)已知α=ln盯，=eLc=(9-31n3)e-3,则α,b,C的大小为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】C

【解析】令函数/(X)=¥(x2e),当X>e时，求导得：尸(X)=上詈<0,

则函数F(X)在[e,+8)上单调递减，又。=竽=/(3),⅛=-=∕(e),C=空二"='=/(?),

3ee上3

T

显然e<3<[∙,则有/(S)</(3)</(e),所以c<α<8.

故选：C

5.(2022•青海•模拟预测(理))若()<α<h<l,则()

A.eb-ea<↑nb-∖naB.eb-ea>∖nb-∖na

C.bea<aebD.be">aeb

【答案】D

【解析】对于A,B,令/(x)=e*-lnx,则/(χ)=e'-L

X

当0<x<l时，/'(X)=e"-』单调递增，

X

K∕,(l)=e5-2<0√,(∣)=e3-∣=Ver-∙VL5r>√729-VΓ5r>0

12

故存在％∈(若),使得在(XO)=O,

则当x∈(O,Λo)时，/(x)=e*-lnx递减，当Xe(X(J,1)时，f(χ)=e*-lnx递增，

山于()<4<Z><1,此时/(α)=e"-lnαj(6)=e"-lnb大小关系不确定，

故A.B均不正确；

对于C,D,设g(x)=∙≤,则g,(χ)=e'(x-D,当Ovχ<l时，g'(x)<O,故g(x)=^单调递减，

XXX

所以当O<α<%<l时，g(α)>gS),即≤→C,即⅛e">αe",故C错误，D正确，

ab

故选：D

6.(2022・全国•高三专题练习)已知定义在R上的函数/(x)满足/(1)=1,对于Vx∣,x2eR,当占<当时,

都有/(王)一/(々)<2(玉-工2)，则不等式/(bg2x)+l<lθg2∙χ2的解集为()

A.S，2)B.(0,2)C.(1,2)D.(2,+∞)

【答案】B

【解析】由题设占时fa)-2x∣<f(x2)-2x2,即〃(X)=/(x)-2X在R上递增，

Xλ(l)=/(1)-2=-1,而F(Iog2x)+l<lθg2Λ2等价于/(logzx)-21吗*<-1,

所以∕7(k>gzX)<∕ι⑴，即k>g2X<l,可得0<x<2.故不等式解集为(0,2).故选：B

二、多选题

7.(2022.江苏无锡.模拟预测)定义：在区间/上，若函数y=∕(x)是减函数，且y=4(x)是增函数，贝IJ称

y=∕(χ)在区间/上是“弱减函数根据定义可得()

A./(X)=L在(0,+8)上是“弱减函数”

B./(X)=W在(1,2)上是“弱减函数”

C.若/(x)=(在(北田)上是“弱减函数”，则m≥e

D.若〃X)=CoSx+A√在jo,M上是“弱减函数，，，则3≤A≤L

k2√3ππ

【答案】BCD

【解析】对于A,y=［在(0,+∞)上单调递减，y=V(X)=I不单调，故A错误;

对于B,/(x)=4>f'(x)==⅛(l,2)上F(X)<0,函数F(X)单调递减,

=VW=p->y=当，>o,.∙.y在(1,2)单调递增，故B正确;

yM*

对于C,若/(X)=笥在(m,+∞)单调递减，由/(%)=上詈=0,得x=e,

.*∙m≥e,y=#(X)=InX在(O,+∞)单调递增,故C正确;

对于D,/(x)=CoSx+履2在(o,j∣)卜单调递减，

广(力=-§足工+2日6在工£(0段)上恒成立=2%《^^)

,xcosx-sinx

令MX)=包二，Λ(x)=,令夕(X)=XCoSX-SinX,

⅞7,(x)=COSX-Xsinx-cos%=—xsinx<O,

.・・φ(x)在(0卷J上单调递减，φ[x)<姒0)=0,

.∙."(x)<0,.∙.∕ι(x)在(0卷)上单调递减，MX)A%]?=2

π

.*.2k≤—=k≤—,

ππ

π

g(x)=V(χ)=XCOSX+Aχ3在0,上单调递增,

g,(x)=cosx-xsinx÷3kx2≥0在x∈O,U上恒成立,

…、(xsinX-cosXI

.∙.3Q—p一

\λ/max

令F(x)—inLXE/∖X2cosx+2cosx八

F(x)=--------------------->O,

.∙.F(x)在(θ,?上单调递增，F(x)<F

22

，3k≥-=>k≥—,

π3冗

综上:A<⅛≤l，故D正确.

3ππ

故选：BCD.

8.(2022•江苏省木渎高级中学模拟预测)当1<占时，不等式WeH-X∕<O成立.若人">e,则(

A.efr>bee^'B.e',+z,<bee"C.aeh<b∖naD.ab>enInb

【答案】AD

【解析】当1<为时，不等式々炉-x∣e*<0oJ<J,令/(X)=土,χ>l,

xtX2X

则/(χ)在(1,内)上单调递增，

he

∣3⅛>e>l,则∕S)>∕(e)o—e>一e<=>ez,>hec~i,A正确；

be

l⅛l⅛>e,z>1.则/(⅛)>/(en)<=>—>—^ea+b>be",B不正确；

be"

由e">e知，4>l,⅛/(^)>/(1)<=>—>e>1<=>ef,>6F,W∣Ja>∖na<^><1,

PbPbIn/7

由选项A知，—>1,即j>丝Oae”>Rn”,C不正确；

bba

,elnz,ea

由h>e">e得，∖nb>a>↑,贝∣J/(In/?)>/(〃)=----->—ah>ei,Inb,D正确.

Inba

故选：AD

三、填空题

/、/------,x≥O/、1

9.(2022•上海长宁•二模)已知函数/(x)满足：/(Xx)=x+l,则不等式”x)+g≥O的解集为

-f(-χ),x<O

【答案】卜1,一)

ɪ,ɪso

【解析】根据题意可得f(x)=∙”+1,且“X）为奇函数

—z^-,x<0

1-x

当x≥0时，/(ʌ:)ɪɪ=1-J->0,则F(X)在［0,+⑹上单调递增

∙∙∙f(x)在R上单调递增

则/(x)Y，即占=总解得X=T

,f(x)+g≥O即/(x)≥-g的解集为XNT

故答案为：［-1,+8).

IO.(2022∙河南.新乡县高中模拟预测(理))在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域/内单调递增

且有界的函数/(x),B∣J3Λ∕>0,∀x∈/,∣∕W∣≤^∙则下列函数中，所有符合上述条件的序号是.

Λ

①f(x)=G;②/(x)=∙^j;③〃χ)=∙^Ξ^;Φ∕()=-^-Γ.

l+xe+el÷e

【答案】③④

【解析】对于①，f(χ)=y无界,不符合题意；

对于②，/("=ITF=二T不单调，不符合题意；

XH---

X

对于③，"x)==⅛=21=∙⅞l=l-r⅛单调递增，且/(x)∈(T,l),则If(X)I<1,符合题意;

对于④，/(X)=单调递增，且〃X)∈(0,1),则∣"χ)∣<l,符合题意.

故答案为：③④

ι⅛r.

♦真题练)

1.(2021年全国高考甲卷数学(文)试题)下列函数中是增函数的为()

A./(x)=-XB./(X)=2]C./(x)=X2D.f(X)=y/x

‹ɜ7

【答案】D

【解析】对于A,/(X)=TV为R上的减函数，不合题意，舍.

对于B,"χ)=(g］为R上的减函数，不合题意，舍.

对于C,/(%)=%2在(-00,0)为减函数，不合题意，舍.

对于D,/(X)=孤为R上的增函数，符合题意，故选：D.

2.(2018・陕西高考真题(理))下列函数中，满足“/(x+y)=/(x)/(y)”的单调递增函数是

1/1∖x

ʌ-/(χ)=χ5B./(ɪ)-ɪC./(χ)=—D.f(%)=3'

【答案】D

【解析】

试题分析：由于αJ∕=α"+"所以指数函数/(X)=优满足∕α+y)=∕(x)+∕(y),且当4>l时单调

递增，0<x<l时单调递减，所以/(x)=3、满足题意，故选D.

考点：基函数、指数函数的单调性.

3.(2019・陕西高考真题(理))下列函数中，既是奇函数又是增函数的为

A.y=x+∖B.y=-x2C.y=-D.y-X∣X∣

X1

【答案】D

【解析】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D.

4.(2017•浙江高考真题)若函数f(x)=χ2+or+人在区间［0,1］上的最大值是M,最小值是m,则M-机的值

A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关

C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关

【答案】B

2

【解析】因为最值在/(0)=4∕∙(l)=l+α+0,/(-@)=〃一二中取，所以最值之差一定与〃无关，选B.

24

【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，

结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在

区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区

间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值∙

5.(2020年高考数学课标∏卷理科)设函数/(x)=ln∣2x+l∣-ln∣2x-1|,则於)()

A.是偶函数，且在(；,48)单调递增B.是奇函数，且在(-；,；)单调递减

C.是偶函数，且在g)单调递增D.是奇函数，且在(V,-J单