2020-2021学年吕梁市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年吕梁市高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

-1

1,若集合力={—集合B={y|y=2，,xe4},则集合Ar）B=（）

111

A.[-1,0,-,1}B.C.{-,1}D.{0,1}

2.某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将50个同学按01,02,03,

50进行编号，然后从随机数表第9行第11列开始向右读，则选出的第7个个体是（）

（注：表为随机数表的第8行和第9行）

630163785816955567199811050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954.

A.02B.13C.42D.44

3.设a=logo,53,b=0.53,c—则a,6,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

4.管理部门对某品牌的甲、乙两种食品进行抽样检测，根据两种食品中某种物质的含量数据，得

到下面的茎叶图：

用乙

58569

220,956

由图可知两种食品中这种物质含量的平均数与方差的大小关系是（）

——22

A.%甲V%乙，s甲)s乙B.久甲>%乙,s甲m<乙

S2<2

C.%甲二%乙，s甲)s乙D.无甲<%乙,甲s乙

5.下列两个函数相同的是()

A./(%)=Inx2,g(%)=2lnxB.f(%)=x,g。)=(V%)2

C./(%)=cosx•tanx,g(%)=sinxD./(x)=x2g(x)=

6.已知％,y的一组数据如下表

则由表中的数据算得的线性回归方程可能是()

A./V=2x+2/B,y=2x—1,C.2y---x+12"D.5y=5-x--

7.若数列中，册=43—3n,则又取得最大值时，n=()

A.13B.14C.15D.14或15

8.在去年的足球甲a联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5,全年比赛失球个数的标准差为1.1,；

二队每场比赛平均失球数是2.1,全年失球个数的标准差是0.4,你认为下列说法中正确的个数有

()

①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队技术水平更稳定；③一队有时表现很差，有

时表现又非常好；④二队很少不失球。

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数

分别为爪，n,则nm是奇数的概率是()

A.-B.\C.-D.；

2346

10.执行如图所示的程序框图，如果输入的盯=2,%3=5,输出的国始]

b=l,则输入的久1的值不可能为()房J----------7

/覆入/，宾2.知/

A.100J------

B.1000。=旺

C.2000

D.10000

fc<10?

11.设F(x)=/(%)+/(—x),*CR,[—兀,-自为函数F(>)的单调递增区间，将F(x)的图象向右平移兀

个单位得到一个新的GQ)的图象，则下列区间必定是GQ)的单调减区间的是()

A.[-pO]B.[pTT]C.[7T,y]D,[y,2兀］

12.三国时代吴国数学家赵爽所注调髀算经》中给出了勾股定理的绝

妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边

的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小

正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2x

勾X股+（股一勾）2=4X朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2,

设勾股中勾股比为1：V3,若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形

内的图钉数大约为（）

A.866B,500C.300D.134

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.用辗转相除法（或更相减损术）求得78和36的最大公约数是.

14.将二进制数110101（2）转为七进制数，结果为.

15.在国的边区上随机取一点回，记网和网的面积分别为国和回，则国的概

率是一.

16.已知函数/'（x）=|loga|x||（a>0,aH1）,<x2<x3<x4,且/'（勺）=f（冷）=/'（久3）=

/（x4）,则比1+x2+x3+x4=.

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.如图是某重点中学学校运动场平面图,运动场总面积15000平方米，运动场是由一个矩形,题豳豳

和分别以.，遨、.需为直径的两个半圆组成，塑胶跑道宽8米，已知塑胶跑道每平方米造价为150

元，其它部分造价每平方米80元，

（I）设半圆的半径懒!=岁（米），写出塑胶跑道面积圈与岁的函数关系式巍建;

（口）由于受运动场两侧看台限制，岁的范围为十，纪:额蚪5：,问当岁为何值时，运动场造价最低（第2问

策取3近似计算）.

18.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)，

(1)由图中数据求a的值

(2)若要从身高在［120,130),［130,140),［140,150］三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参

加一项活动，则从身高在［140,150］内的学生中选取的人数应为多少？

(3)估计这所小学的小学生身高的众数，中位数(保留两位小数)及平均数.

4频率/组距

0.035----------------

0.010

0.005

100110120130140150身高

19.某公司近年来特别注重创新产品的研发，为了研究年研发经费双单位：万元)对年创新产品销售

额y(单位：十万元)的影响，对近10年的研发经费々与年创新产品销售额为(i=1,2，…,10)的数据

作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值.

其中2g々=65,鹉%=75,£旦(々―3)2=205,£旦(阳—3>=8773,£旦(%—3产％=

2016.

现拟定y关于久的回归方程为9=&(久一3尸+

(1)求优务的值(结果精确到0.1)；

(2)根据拟定的回归方程，预测当研发经费为13万元时，年创新产品销售额是多少？

附：对于一组数据(%,%),(u2,v2),(un,vn),其回归直线畲=a+Ba的斜率和截距的最小二乘

20.如图，在某城市中，M,N两地之间有整齐的方格形道路网，41,A2,43,44是道路网中位于

一条对角线上的4个交汇处，今在道路网M,N处的甲、乙两人分别要到N,M处，他们分别随

机地选择一条沿街的最短路径，同时以每10分钟一格的速度分别向N,M处行走，直到到达N,

M为止.

(1)求甲经过42的概率.

(2)求甲、乙两人相遇经42点的概率.

(3)求甲、乙两人相遇的概率.

1_11__1

21.(12分)已知函数f(X)=X3-Xg)=23+K3

(1)证明/(>)是奇函数，并写出/(x)的单调区间(不需要证明).

(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值.由此概括出涉及函数f(久)和g(x)的对所

有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.

22.某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样

)从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测.

(1)求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；

(2)记X为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

甲乙

男32

女52

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解:把4中尤=一1,0,1,1分别代入y=2L得：y=l，1,2,

B={|,1,2,72),

则4nB=g,l}.

故选：C.

把力中的元素代入B中y=2、求出y的值，确定出B,找出4与B的交集即可.

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.答案：A

解析：解：抽取时注意：编号不在01〜50的舍去，与前面取出的号码重复的舍去，直至取满7个数，

找到第9行第11列的数开始向右读，

第一个符合条件的是07,

第二个符合条件的数是42,

第三个符合条件的数是44,

第四个符合条件的数是38,

第五个符合条件的数是15,

第六个符合条件的数是13,

第七个符合条件的数是02.

故选：A.

找到第9行第11列的数开始向右读，第一个符合条件的是07,第二个数是42,三个数是44,第四个

数是38,第五个数是15,第六个数是13,第七个数是02.

抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略.在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，

所以每个数被抽到的概率是一样的.本题属基础题.

3.答案:A

3

解析：解：a=log0,53<0,b=0.5e(0,1),c=弓广。,5=3口5>1,

则a<b<c.

故选：A.

利用对数函数和指数函数的性质求解.

本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的

合理运用.

4.答案:B

解析：解：由茎叶图得甲组数据集中于茎叶图的左下方，且相对集中，

乙组数据集中于茎叶图的右上方，且相对分散，

•,.两种食品中这种物质含量的平均数与方差的大小关系为：

式甲〉x乙，s甲<s乙.

故选：B.

由茎叶图得甲组数据集中于茎叶图的左下方，且相对集中，乙组数据集中于茎叶图的右上方，且相

对分散，由此能判断两种食品中这种物质含量的平均数与方差的大小关系.

本题考查两种食品中这种物质含量的平均数与方差的大小关系的判断，考查茎叶图、平均数、方差

的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5.答案：D

解析：解：对于4/Q)=伍/的定义域为芋0},。(久)=2"久的定义域为{x|x>0},定义域不

同，不是相同函数；

对于B,f(x)=x的定义域为R,g(x)=(«)2=无的定义域为N0},定义域不同，不是相同函

数；

对于C,/(x)=cosx•tcmx的定义域为{小力/ot+€Z},g(x)=s讥尤的定义域为R,定义域不

同，不是相同函数；

对于。，f(x)=/的定义域为R,g(x)=旧=/的定义域为R,定义域相同，对应关系也相同，

所以是相同数.

故选：D.

分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数.

本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，判断的标准是判断两个函数的定义域和对应

法则是否相同，是基础题.

6.答案：D

11

解析：解：由题意，x=-(2+3+4+5+6)=4,y=g(3+4+6+8+9)=6,

代入线性回归方程，可得D满足，

故选：D.

求出元=：(2+3+4+5+6)=4,歹=：(3+4+6+8+9)=6,代入线性回归方程，可得。满足，

即可得出结论.

解决线性回归直线的方程，应该利用最小二乘法推得的公式求出直线的截距和斜率，注意由公式判

断出回归直线一定过样本中心点.

7.答案：B

解析：

本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，数列的函数特性，二次函数的性质，属于基础题.

由%1=43—3/1,可得Cl1=40,故S”="(4。+：3-3,2),令，(久)=X(83；3X)“对称轴为％=?，又“为正

226

整数，与学最接近的一个正整数为14,由此求得结果.

6

解析：

解：•.•数列中，厮=43—3n，故该数列为递减的等差数列，公差为—3,且为=40,

c71(40+43—3n)71(83—3?1)

Sn=2,

令f(X)=穴83；3乃,对称轴为％=

zo

又n为正整数，与当最接近的一个正整数为14,故％取得最大值时，n=14.

故选：B.

8.答案：C

解析：解：在①中，一队每场比赛平均失球数是1.5,二队每场比赛平均失球数是2.1,

・•・平均说来一队比二队防守技术好，故①正确；

在②中，一队全年比赛失球个数的标准差为1」，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4,

・•・二队比一队技术水平更稳定，故②正确；

在③中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1,二队全年比赛失球个数的标准差为0.4,

二一队有时表现很差，有时表现又非常好，故③正确；

在④中，二队每场比赛平均失球数是2.1,全年比赛失球个数的标准差为0.4,

••・二队经常失球，故④错误.

故选：C.

一队每场比赛平均失球数比二队每场比赛平均失球数少，说明一队的技术比二队的防守技术好；一

队全年的比赛失球个数的标准差较大，说明一队的表现时好时坏，起伏较大；二队的平均失球数多，

全年比赛失球个数的标准差很小，说明二队的表现较稳定，经常失球.

本题主要考查对平均数和标准差的概念的理解.平均数反映了一组数据的平均水平，而方差则反映

了一组数据的波动性的大小.

9.答案:C

解析：解：根据题意，记nm是奇数为事件4,

分析可得小、乳都有6种情况，则掷两次骰子，有6X6=36种情况，

若nm为奇数，则巾、门都为奇数，

山为奇数有3种情况，n为奇数有3种情况，

则nm为奇数有3X3=9种情况，

则P⑷=

故选C.

根据题意，记nm是奇数为事件4分析可得加、几都有6种情况，由分步计数原理可得掷两次骰子，机、

九的情况数目，进而由乘法的性质，分析可得若nm为奇数，则巾、九都为奇数，由分步计数原理可得

nm为奇数的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案.

本题考查等可能事件的概率计算，关键是由奇数、偶数的性质，分析得到Z7OT是奇数情况，属于基础

题.

10.答案：C

解析：解：模拟程序的运行可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值；

JEL%2=2,Xg=5,

x-f,a

a=―,b

•••b=

x2-x3

•••是%2,尤3的倍数；

由程序运行结果为输出b=1,

输入的的值不可能为2000.

故选：C.

由己知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可得出答案.

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论.

11.答案：D

解析：试题分析：利用抽象函数的表达式，判断函数的奇偶性，通过函数的单调区间，推出对称区

间的单调性，然后利用平移求出单调减区间即可.

因为F（x）=/（©+/（—x），x&R,所以函数是偶函数，［一兀,一自是函数的单调递增区间,

所以函数的单调减区间为：碎,兀］,将FQ）的图象向右平移兀个单位得到一个新的GQ）的图象,

则GQ）的单调减区间的是［：,2兀］.

故选D

12.答案：D

解析：解：如图,

设勾为a,则股为百a,•,.弦为2a,

则图中大四边形的面积为4a2,小四边形的面积为（痣—1）2a2=（4-

2V3)a2,

则由测度比为面积比,可得图钉落在黄色图形内的概率为*=1

V3

2°

・••落在黄色图形内的图钉数大约为1000（1-彳）«134.

故选：D.

设勾为a,则股为ga,弦为2a,求出大的正方形的面积及小的正方形面积，再求出图钉落在黄色图

形内的概率，乘以1000得答案.

本题考查几何概型，考查几何概型概率公式的应用，是基础的计算题.

13.答案：6

解析：解:要求78和36的最大公约数，

由相减损术的定义可得：

因为78和36是偶数，除以2可得39和18；

则39-18=21；

21—18=3；

18-3=15；

15-3=12；

12-3=9；

9—3=6；

6-3=3；

所以39和18的最大公约数是3；

则78和36的最大公约数是3X2=6,

故答案为：6；

利用更相减损术的定义可求得78和36的最大公约数.

本题考查辗转相除法（或更相减损术）求最大公约数，属于基础题.

14.答案：104（7）

解析：解：先将二进制数110101⑵转为十进制数，

110101⑵=1+1x22+1x24+1x25=53,

再把十进制的53化为七进制：

53+7=7...4,

7-?7=1...0,

1-r7=0...1,

所以结果是1。4⑺

故答案为:104⑺.

本题的考查点为二进制与十进制数，七进制数之间的转换，只要我们根据二进制转换为十进制方法

逐位进行转换，即可得到答案.

二进制转换为十进制方法：按权相加法，即将二进制每位上的数乘以权（即该数位上的1表示2的多少

次方），然后相加之和即是十进制数.大家在做二进制转换成十进制需要注意的是：（1）要知道二进

制每位的权值；（2）要能求出每位的值.本题主要考查了十进制与七进制、二进制的相互转换，属于

基础题，解答此题的关键是要熟练地掌握其转化方法.

15.答案：S

解析：试题分析：如图，点凶在凶的边区上，且满足0，那么当且仅当点□在线段0

上，满足S，所以所求的概率为0.

□

考点：几何概型.

16.答案：0

解析：解：当a>l时，函数/（%）=|loga|x||的图象如下图所示：

由图可知，函数f(%)=|loga|%||的图象关于直线第=0对称，同理，当OVa<l时，函数f(%)=

|10gal%ll的图象关于直线汽=。对称

又<工］<冷V%3<且/(%1)=/(%2)=/(%3)=/(%4)，

则+盯+%3+%4=°，

故答案为：0.

画出函数f(%)=|10ga|%||的图象，分析函数的对称性，进而可得答案.

本题考查的知识点是函数图象的对折变换，函数图象的对称性，其中根据已知分析出函数/(%)=

|10ga|%||的图象关于直线％=。对称，是解答的关键.

17.答案：(I)统=酶”吧声吗;(口)岁=畛

岁VS

解析：解析：

试题分析：(I)塑胶跑道由两个半圆和两个矩形构成，利用圆和矩形的面积公式便可得其面积.

(n)单位造价乘以面积便得总造价，这样可得总造价与半径的关系式：

般丑龌颂那，斗w士w也®巴-辔期:，这个式子可用重要不等式求其最小值及相应的半径.

岁

试题解析：(I)典樽=罐户一觌一雪苴卡辞.2竺粤二至

(口)总造价：

了=0W/=：1颤顺婀魂啜=：1懈顿领施中獭顺;密—感感

答।

=3观卿睡"骂魏噢修T,三二一黎期:8分

令诡=翳”书WO士iIflO*i)，则/.=罂一W七OW岁)<©

涉1T*'

.•道=>斗WTOIIO竺IOI)在区间产纪「麴咽1上单调递减

故当岁=蟠时，总造价最低.12分

考点：1、函数的应用；2、重要不等式.

18.答案：解：(1)因为直方图中的各个矩形的面积之和为1,

所以有10X(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,

解得a=0.030；

(2)由直方图知，三个区域内的学生总数为

100X10X(0.030+0.020+0.010)=60人,

其中身高在［140,150］内的学生人数为10人，

所以从身高在［140,150］范围内抽取的学生人数为

—x10=3人；

60

(3)根据频率分布直方图知，身高在［110,120)内的小矩形图最高，

所以该组数据的众数为号叫=115cm；

又0.005X10+0.035x10=0.4<0.5,

0.4+0.030x10=0.7>0.5,

所以中位数在［120,130)内，可设为x,

则(x-120)x0.030+0.4=0.5,

解得x«123.33,

所以中位数为123.33czn；

根据频率分布直方图，计算平均数为

105x0.05+115x0.35+125x0.3+135x0.2+145x0.1=124.5cm.

解析：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题，考查了众数、

中位数和平均数的计算问题，属于中档题.

(1)根据频率和为1,求出a的值；

(2)根据分层抽样方法特点，计算出总人数以及应抽取的人数比即可；

(3)根据频率分布直方图，计算众数、中位数与平均数.

19.答案：解：⑴令t=Q—3)2,则9=+£=卷案?("一3)2=20.5,

y=看鹉%=7.5,鹉=Xi=i(Xt-3)2%=2016,

求汨=£旦(XL3>=8773,

6_£匕J_2016-205x7.5〜°]

_Xi=it?-10t2-8773-205X20.5~,，

b=y—at=7.5—0.1x20.5=5.45~5.5-

(2)由(1)知,y关于久的回归方程为亨=0.1(x-3)2+5.5,

当久=13时,y=0.1X(13-3/+5.5=15.5(十万元)=155万元，

故可预测当研发经费为13万元时，年创新产品销售额是155万元.

解析：本题考查了求回归方程的应用，考查运算求解能力，是中档题.

(1)令t=(乂―3)2,则3=Gt+务，求出亍，根据题中的数据，代入数据，即可求得8,6的值；

(2)由(1)得回归方程，代入求值即可.

20.答案：(1)2(2)三(3)三

解析：(1)甲经过42到达N,可分为两步：第一步：甲从M经过42的方法数：种;第二步：甲从42到

N的方法数：的种，所以甲经过42的方法数为(4)2,所以甲经过42的概率P=*=套

(2)由(1)知：甲经过42的方法数为：(或)2；乙经过42的方法数也为：(或尸；所以甲、乙两人相遇经42

点的方法数为：(C1)4=81;

甲、乙两人相遇经22点的概率P=宗=三.

c|c1400

(3)甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在21,A2,43,44处相遇，他们在人(i=1,2,3,4)相遇的走

法有(或T)4种方法;所以:(eg)4+(cl)4+(cl)4+(ci)4=164,

甲、乙两人相遇的概率为：胃=三.

4001on

21.答案：(1)/0)是奇函数，增区间是(—8,0)和(0,+8);

(2)/(4)-5/(2)5(2)=0,f(9)一5f(3)g(3)=0,f(x2)-5f(x)g(x)=0,证