2022年辽宁省大连市中考数学试卷

2022年辽宁省大连市中考数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣2．（3分）下列立体图形中，主视图是圆的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．＝2 B．＝﹣3 C．2+3＝5 D．（+1）2＝34．（3分）如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD＝70°，则∠EGF的度数是（）A．35° B．55° C．70° D．110°5．（3分）六边形内角和的度数是（）A．180° B．360° C．540° D．720°6．（3分）不等式4x＜3x+2的解集是（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜27．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋20双，各种尺码鞋的销售量如表所示．则所销售的女鞋尺码的众数是（）尺码/cm22.52323.52424.5销售量/双14681A．23.5 B．23.6 C．24 D．24.58．（3分）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）A．36 B．9 C．6 D．﹣99．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（）A．6 B．3 C．1.5 D．110．（3分）汽车油箱中有汽油30L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x≤300时，y与x的函数解析式是（）A．y＝0.1x B．y＝﹣0.1x+30 C．y＝ D．y＝﹣0.1x2+30x二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）方程＝1的解是．12．（3分）不透明袋子中装有2个黑球、3个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是．13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，2），将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是．14．（3分）如图，正方形ABCD的边长是，将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，则弧CE的长是（结果保留π）．15．（3分）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为．16．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A的对应点A'落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，连接MF，若MF⊥BM，AB＝6cm，则AD的长是cm．三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）17．（9分）计算：÷﹣．18．（10分）为了解某初级中学落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，调查组从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），并对数据进行整理、描述和分析．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．平均每周劳动时间频数统计表平均每周劳动时间t/h频数频率1≤t＜232≤t＜3a0.123≤t＜437b4≤t＜50.355≤t＜6合计c根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）若该校有1000名学生，请估计平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的学生人数．19．（10分）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF．求证：CE＝CF．20．（10分）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）21．（9分）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式；（2）若3≤V≤9，求二氧化碳密度ρ的变化范围．22．（10分）如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．（1）索道车从A处运行到B处的距离约为米；（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）23．（10分）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．（1）如图1，求证∠B＝∠E；（2）如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE＝3，求AD的长．五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）24．（11分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC上，CD＝3，连接DB，AD＝DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设AP＝x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．（1）求AC的长；（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．25．（11分）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC＝∠ACB．求证∠ACD＝∠ABC．独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长CA至点E，使CE＝BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在图中找出与BH相等的线段，并证明．”问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC＝90°时，若给出△ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的长．”26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．（1）求点B，点C的坐标；（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE＝OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，S＝S1+S2，当S取最大值时，求m的值；（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2022年辽宁省大连市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．【解答】解：﹣2的绝对值是2，即|﹣2|＝2．故选：A．【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（3分）下列立体图形中，主视图是圆的是（）A． B． C． D．【分析】根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．【解答】解：A．圆锥的主视图是等腰三角形，因此选项A不符合题意；B．三棱柱的主视图是矩形，因此选项B不符合题意；C．圆柱的主视图是矩形，因此选项C不符合题意；D．球的主视图是圆，因此选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．3．（3分）下列计算正确的是（）A．＝2 B．＝﹣3 C．2+3＝5 D．（+1）2＝3【分析】根据二次根式的加法，算术平方根，立方根，完全平方公式，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：A、＝﹣2，故A不符合题意；B、＝3，故B不符合题意；C、2+3＝5，故C符合题意；D、（+1）2＝3+2，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的加法，算术平方根，立方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．4．（3分）如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD＝70°，则∠EGF的度数是（）A．35° B．55° C．70° D．110°【分析】先根据角平分线的定义求出∠GFD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵FG平分∠EFD，∠EFD＝70°，∴∠GFD＝∠EFD＝×70°＝35°，∵AB∥CD，∴∠EGF＝∠GFD＝35°．故选：A．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为；两直线平行，内错角相等．5．（3分）六边形内角和的度数是（）A．180° B．360° C．540° D．720°【分析】根据多边形的内角和公式可得答案．【解答】解：六边形的内角和的度数是（6﹣2）×180°＝720°．故选：D．【点评】本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．6．（3分）不等式4x＜3x+2的解集是（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2【分析】根据不等式的计算方法计算即可．【解答】解：4x＜3x+2，移项，得x＜2．故选：D．【点评】本题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法，细心计算即可．7．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋20双，各种尺码鞋的销售量如表所示．则所销售的女鞋尺码的众数是（）尺码/cm22.52323.52424.5销售量/双14681A．23.5 B．23.6 C．24 D．24.5【分析】根据众数的意义解答即可．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．【解答】解：∵众数是在一组数据中出现次数最多的数，24cm出现的次数最多，∴众数是24cm．故选：C．【点评】本题考查众数，熟练掌握众数的求法是解题关键．8．（3分）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）A．36 B．9 C．6 D．﹣9【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝62﹣4c＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝62﹣4c＝0，解得c＝9，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（）A．6 B．3 C．1.5 D．1【分析】根据题意可知：MN是线段AC的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点D为AB的中点，再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到CD的长．【解答】解：由已知可得，MN是线段AC的垂直平分线，设AC与MN的交点为E，∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，∴ED∥CB，∴△AED∽△ACB，∴，∴，∴AD＝AB，∴点D为AB的中点，∵AB＝3，∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝1.5，故选：C．【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．（3分）汽车油箱中有汽油30L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x≤300时，y与x的函数解析式是（）A．y＝0.1x B．y＝﹣0.1x+30 C．y＝ D．y＝﹣0.1x2+30x【分析】直接利用油箱中的油量y＝总油量﹣耗油量，进而得出函数关系式，即可得出答案．【解答】解：由题意可得：y＝30﹣0.1x，（0≤x≤300）．故选：B．【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，正确得出函数关系式是解题关键．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）方程＝1的解是x＝5．【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：＝1，2＝x﹣3，解得：x＝5，检验：当x＝5时，x﹣3≠0，∴x＝5是原方程的根，故答案为：x＝5．【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．12．（3分）不透明袋子中装有2个黑球、3个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是．【分析】一共有5个球，2黑3白，黑球占总数的，因此可求出随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率．【解答】解：袋子中装有2个黑球、3个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是＝，故答案为：．【点评】本题考查概率公式，理解概率的定义是正确解答的关键．13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，2），将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是（5，2）．【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．【解答】解：将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是（1+4，2），即（5，2），故答案为：（5，2）．【点评】本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．14．（3分）如图，正方形ABCD的边长是，将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，则弧CE的长是π（结果保留π）．【分析】先根据正方形的性质得到∠CAD＝45°，AC＝AB＝×＝2，然后利用弧长公式计算的长度．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD＝45°，AC＝AB＝×＝2，∵对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，∴的长度为＝π．故答案为：π．【点评】本题考查了弧长的计算：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了正方形的性质．15．（3分）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为100x﹣90x＝100．【分析】先根据每人出90钱，恰好合适，用x表示出猪价，再根据“每人出100钱，则会多出100钱”，即可得出关于x的一元一次方程，即可得出结论．【解答】解：∵每人出90钱，恰好合适，∴猪价为90x钱，根据题意，可列方程为100x﹣90x＝100．故答案为：100x﹣90x＝100．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．16．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A的对应点A'落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，连接MF，若MF⊥BM，AB＝6cm，则AD的长是5cm．【分析】由矩形性质和折叠性质可得BE＝3，A′B＝AB＝6cm，∠A＝∠A′EB＝90°，∠ABM＝∠A′BM，可得∠BA′E＝30°，从而可得∠A′BE＝60°，可得∠ABM＝30°，从而可得AM＝2cm，∠DMF＝30°，DF＝3cm，即可求解DM，进而求出AD的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，∴∠A＝90°，由折叠性质可得：BE＝DF＝3cm，A′B＝AB＝6cm，∠A′EB＝90°，∠ABM＝∠A′BM，在Rt△A′BE中，A′B＝2BE，∴∠BA′E＝30°，∴∠A′BE＝60°，∴∠ABM＝30°，∠AMB＝60°，∴AM＝tan30°•AB＝＝2cm，∵MF⊥BM，∴∠BMF＝90°，∴∠DMF＝30°，∴∠DFM＝60°，在Rt△DMF中，MD＝tan60°•DF＝cm，∴AD＝AM+DM＝2cm．故答案为：5．【点评】本题考查折叠性质，长方形的性质，30°角的直角三角形等知识点，解题的关键是利用边之间的关系推出∠BA′E＝30°．三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）17．（9分）计算：÷﹣．【分析】先算除法，后算减法，即可解答．【解答】解：÷﹣＝•﹣＝﹣＝．【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．18．（10分）为了解某初级中学落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，调查组从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），并对数据进行整理、描述和分析．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．平均每周劳动时间频数统计表平均每周劳动时间t/h频数频率1≤t＜232≤t＜3a0.123≤t＜437b4≤t＜50.355≤t＜6合计c根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：a＝12，b＝0.37，c＝100；（2）若该校有1000名学生，请估计平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的学生人数．【分析】（1）由统计图可知，a＝12，根据频率＝可求出调查人数，进而求出相应的频数或频率，确定a、b、c的值；（2）求出平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的学生所占的百分比，即可求出相应的人数．【解答】解：（1）由频数分布直方图可知，a＝12，调查人数为：12÷0.12＝100（人），即c＝100，b＝37÷100＝0.37，故答案为：12，0.37，100；（2）平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的学生所占的百分比为0.37+0.35＝0.72，1000×（0.37+0.35）＝720（名），答：该校1000名学生中平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的大约有720名．【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表，掌握频率＝是正确解答的前提．19．（10分）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF．求证：CE＝CF．【分析】连接AC，由菱形的性质得∠EAC＝∠FAC，再由SAS证△ACE≌△ACF，即可得出结论．【解答】证明：如图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠EAC＝∠FAC，在△ACE和△ACF中，，∴△ACE≌△ACF（SAS）∴CE＝CF．【点评】此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握菱形的性质，证得△ACE≌△ACF是解题的关键．20．（10分）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？【分析】设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，由总价＝单价×数量，结合“购买1个冰墩墩和2个雪容融毛绒玩具需400元；购买3个冰墩墩和4个雪容融毛绒玩具需1000元”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，解二元一次方程组即可得出结果．【解答】解：设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，依题意得：，解得：，答：冰墩墩毛绒玩具的单价为200元，雪容融毛绒玩具的单价为100元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）21．（9分）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式；（2）若3≤V≤9，求二氧化碳密度ρ的变化范围．【分析】（1）设密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ＝（k≠0），利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，进而可得出密度ρ关于体积V的函数解析式；（2）由k＝9.9＞0，利用反比例函数的性质可得出当V＞0时ρ随V的增大而减小，结合V的取值范围，即可求出二氧化碳密度ρ的变化范围．【解答】解：（1）设密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ＝（k≠0）．∵当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3，∴1.98＝，∴k＝9.9，∴密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ＝（V＞0）．（2）∵k＝9.9＞0，∴当V＞0时，ρ随V的增大而减小，∴当3≤V≤9时，≤ρ≤，即二氧化碳密度ρ的变化范围为1.1≤ρ≤3.3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出k值；（2）利用反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，找出ρ的变化范围．22．（10分）如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．（1）索道车从A处运行到B处的距离约为300米；（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【分析】（1）根据路程＝速度×时间，进行计算即可解答；（2）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD，BD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：5分钟＝300秒，∴1×300＝300（米），∴索道车从A处运行到B处的距离约为300米，故答案为：300；（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∴BD＝AB＝150（米），AD＝BD＝150（米），在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，∴CD＝AD•tan37°≈150×0.75≈194.6（米），∴BC＝CD﹣BD＝194.6﹣150≈45（米），∴白塔BC的高度约为45米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．23．（10分）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．（1）如图1，求证∠B＝∠E；（2）如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE＝3，求AD的长．【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；（2）利用勾股定理求出AE，再利用相似三角形的性质求BD，根据垂径定理和勾股定理即可求出AD．【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A∴AB⊥AE，∴∠A＝90°，∵OD⊥BC，∴∠BDO＝∠A＝90°，∵∠BOD＝∠AOE，∴∠B＝∠E．（2）如图2，连接AC，∵OA＝2，OE＝3，∴根据勾股定理得AE＝，∵∠B＝∠E，∠BOD＝∠EOA，∴△BOD∽△EOA，∴＝，∴＝，∴BD＝，∴CD＝BD＝，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC＝，在Rt△ACD中，根据勾股定理得AD＝＝＝．【点评】本题考查相似三角形，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）24．（11分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC上，CD＝3，连接DB，AD＝DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设AP＝x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．（1）求AC的长；（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．【分析】（1）根据勾股定理可求出BD，根据AD＝BD进而求出AC，（2）分两种情况进行解答，即点P在点D的左侧或右侧，分别画出相应的图形，根据相似三角形的判定和性质分别用含有x的代数式表示PD、PE、PQ，由三角形面积之间的关系可得答案．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝3，∴BD＝＝5，又∵AD＝BD，∴AC＝AD+CD＝5+3＝8；（2）当点P在点D的左侧时，即0＜x＜5，如图1，此时重叠部分的面积就是△PQD的面积，∵PQ⊥AC，BC⊥AC，∴PQ∥BC，∴△ABC∽△AQP，∴＝＝＝2，设AP＝x，则PQ＝x，PD＝AD﹣AP＝5﹣x，∴S重叠部分＝S△PQD＝（5﹣x）×x＝﹣x2+x；当点P在点D的右侧时，即5＜x＜8，如图2，由（1）得，AP＝x，PQ＝x，则PD＝x﹣5，∵PQ∥BC，∴△DPE∽△DCB，∴＝＝，∴PE＝（x﹣5），∴QE＝PQ﹣PE＝x﹣（x﹣5）＝﹣x+，∴S重叠部分＝S△DEQ＝（x﹣5）×（﹣x+）＝﹣x2+x﹣；答：S关于x的函数解析式为：当0＜x＜5时，S＝﹣x2+x；当5＜x＜8时，S＝﹣x2+x﹣．【点评】本题考查勾股定理，函数关系式以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，求出相关三角形的边长是解决问题的关键．25．（11分）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC＝∠ACB．求证∠ACD＝∠ABC．独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长CA至点E，使CE＝BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在图中找出与BH相等的线段，并证明．”问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC＝90°时，若给出△ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的长．”【分析】（1）利用三角形的外角的性质证明即可；（2）结论：BH＝EF．如图2中，在CB上取一点T，使得GH＝CT．证明△BGH≌△DCT（SAS），推出BH＝DT，∠GBH＝∠CDT，再证明△CEF≌△BDT（AAS），推出EF＝DT，可得结论；（3）如图3，过点E作EM∥AD交CE的延长线于点M．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【解答】（1）证明：如图1中，∵∠ADC＝∠ACB，∴∠B+∠DCB＝∠DCB+∠ACD，∴∠ACD＝∠B；（2）解：结论：BH＝EF．理由：如图2中，在CB上取一点T，使得GH＝CT．在△BGH和△DCT中，，∴△BGH≌△DCT（SAS），∴BH＝DT，∠GBH＝∠CDT，∵∠CDT+∠FDT＝180°，∴∠GBH+∠FDT＝180°，∴∠BFD+∠BTD＝180°，∵∠CFE+∠BFD＝180°，∴∠CFE＝∠BTD，在△CEF和△BDT中，，∴△CEF≌△BDT（AAS），∴EF＝DT，∴EF＝BH；（3）解：如图3，过点E作EM∥AD交CE的延长线于点M．∵AD∥EM，∴＝，∴＝．∴EM＝，∵＝＝，∵tan∠ACD＝tan∠ABC＝，∴＝，∵AC＝2，AB＝4，∴AD＝1，BD＝CE＝3，∴AE＝1，∴BE＝＝＝＝，∴EF＝BE＝．【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解决问题，属于中考压轴题．26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．（1）求点B，点C的坐标；（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合