正弦定理教案全

第第页正弦定理教案全人教版必修五

1.1.1正弦定理

教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探究，掌控正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.教学重点：正弦定理的探究和证明及其基本应用.

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.教学过程：

一、复习引入：

1.在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系？是否可以把边、角关系精确量化？

2.在ABC中，角A、B、C的正弦对边分别是a,b,c，你能发觉它们之间有什么关系吗？结论★：。二、讲授新课：

探究一：在直角三角形中，你能发觉三边和三边所对角的正弦的关系吗？

abcab

直角三角形中的正弦定理：sinA=sinB=sinC=1即c=.

ccsinAsinBsinC

探究二：能否推广到斜三角形？〔先讨论锐角三角形，再探究钝角三角形〕

当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，依据三角函数的定义，有CDasinBbsinA,那么

acab

.同理，〔思索如何作高？〕，从而

sinAsinCsinAsinB

abc

.

sinAsinBsinC

探究三：你能用其他方法证明吗？1．证明一：〔等积法〕在任意斜△ABC当中

111

S△ABC=absinCacsinBbcsinA.

222

1abc

两边同除以abc即得：==.

2sinAsinBsinC

2．证明二：〔外接圆法〕如下图，∠A＝∠D，∴同理

aa

CD2R，sinAsinD

bc=2R，＝2R.sinBsinC3．证明三：〔向量法〕过A作单位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB边同乘以单位向量j

得…..

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a

sinA

b

sinB

c

sinC

=2R

[理解定理]1公式的变形：

(1)a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC(3)a:b:csinA:sinB:sinC

(2)sinA(4)

abc,sinB,sinC,2R2R2R

abaccb,,

sinAsinBsinAsinCsinCsinB

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2.正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a

bsinA

；sin②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.3.利用正弦定理解三角形使,常常用到:

①ABC②sin(AB)sinC,cos(AB)sinC③Sabc三、教学例题：

ab

1

absinC2

例1已知在ABC中，c10,A450,C300,求a,b和B.

分析已知条件→争论如何利用边角关系→示范格式→小结：已知两角一边解：c10,A450,C300∴B1800(AC)1050

accsinA10sin450

102由得a0

sinAsinCsinCsin30

bccsinB10sin1050

由得b20sin7505520

sinBsinCsinCsin30

评述：此类问题结果为唯一解，同学较易掌控，假如已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角和180求出第三角，再利用正弦定理.

例2ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C

accsinA6sin450解：,sinC

sinAsinCa22

0C180,C600或1200

csinB6sin750

当C60时，B75,b31，0

sinCsin60

csinB6sin150

当C120时，B15,b1

sinCsin600

b1,B750,C600或b1,B150,C1200练习：P4——1.2题

例3在ABC中，b3,B600,c1,求a和A,C

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bccsinB1sin6001

解：∵,sinC

sinBsinCb23

bc,B600,CB,C为锐角，C300,B900∴ab2c22

【变式】

ABC中，aA1350,b求B四、小结：

五、课后作业

abc

k,那么k为(2A)sinAsinBsinC

RRR(R为△ABC外接圆半径)

ABC中，

ABC中，已知角B45，c22,b

43

，那么角A的值是3

A.15B.75C.105D.75或153、在△ABC中,假设A30,B60,那么a:b:c1::2

4、在ABC中，假设B60，b7,a14，那么A=。

5、在△ABC中，AB6,A30,B120,那么三角形ABC的面积为

5、在ABC中，已知a3,b

2,B45，解三角形。

六、心得反思

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1.1.1正弦定理学案

学习目标：

①发觉并掌控正弦定理及其证明方法；②会用正弦定理解决三角形中的简约问题。预习自测

1.正弦定理的数学表达式

2.一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形

的几个元素求其他元素的过程叫做.3．利用正弦定理可以解决两类三角形的问题(1)(2)

问题引入：

1、在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系.是否可以把边、角关系精确量化？

2、在ABC中，角A、B、C的正弦对边分别是a,b,c，你能发觉它们之间有什么关系吗？结论★：。二合作探究：

1、探究一：在直角三角形中，你能发觉三边和三边所对角的正弦的关系吗？

2、探究二：能否推广到斜三角形？〔先讨论锐角三角形，再探究钝角三角形〕

3、探究三：你能用其他方法证明吗？

4、正弦定理的变形：

5、正弦定理的应用〔能解决哪类问题〕：

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三例题讲解

例1已知在ABC中，c10,A450,C300,求a,b和B

例2ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C

例3在ABC中，b3,B600,c1,求a和A,C

【变式】ABC中，aA1350,b求B

思索：通过上面的问题，你对运用正弦定理有什么想法？四课堂练习：必修5课本P4T1、2五课后作业：

abc

k,那么k为()sinAsinBsinC

RRR(R为△ABC外接圆半径)

ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，那么△ABC为()

ABC中，

3在ABC中，已知角B45，c22,b

4，那么角A的值是3

A.15B.75C.105D.75或154、在ABC中，假设B60，b7,a14，那么A=。5、在ABC中，已知a3,b

2,B45，解三角形。

六心得反思

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1．1．2解三角形的进一步争论

教学目标

掌控在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法。教学重点

在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法。教学过程Ⅰ.课题导入[创设情景]

思索：在ABC中，已知a22cm，b25cm，A1330，解三角形。

〔由同学阅读课本第9页解答过程〕

从今题的分析我们发觉，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会涌现无解的情形。下面进一步来讨论这种情形下解三角形的问题。Ⅱ.讲授新课[探究讨论]

b,A，争论三角形解的状况探究一．在ABC中，已知a,

bsinA

可进一步求出B；a

asinC

那么C1800(AB)，从而c

sinA

1．当A为钝角或直角时，需要ab才能有且只有一解；否那么无解。2．当A为锐角时，假如a≥b，那么只有一解；3.假如ab，那么可以分下面三种状况来争论：〔1〕假设absinA，那么有两解；〔2〕假设absinA，那么只有一解；〔3〕假设absinA，那么无解。

分析：先由sinB

〔以上解答过程详见课本第910页〕

评述：留意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinAab时，有两解；其它状况时那么只有一解或无解。探究二你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？

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三例题讲解

例1.依据以下条件，判断解三角形的状况(1)a＝20，b＝28，A＝120.无解(2)a＝28，b＝20，A＝45；一解(3)c＝54，b＝39，C＝115；一解(4)b＝11，a＝20，B＝30；两解

[随堂练习1]

〔1〕在ABC中，已知a80，b100，A450，试判断此三角形的解的状况。〔2〕在ABC中，假设a1，c

1

，C400，那么符合题意的b的值有_____个。2

〔3〕在ABC中，a*cm，b2cm，B450，假如利用正弦定理解三角形有两解，求*的取值范围。

〔答案：〔1〕有两解；〔2〕0；〔3

〕2*

例2.在ABC中,已知解：令

abc

,判断ABC的外形．cosAcosBcosC

a

k，由正弦定理，得aksinA，bksinB，cksinC．代入已知条件，sinA

sinAsinBsinC

得，即tanAtanBtanC．又A，B，C(0,)，所以cosAcosBcosC

ABC，从而ABC为正三角形．

说明：〔1〕判断三角形的外形特征，需要深入讨论边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要讨论角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？〔2〕此类问题常用正弦定理〔或将学习的余弦定理〕进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断．[随堂练习2]

1.△ABC中，sinAsinBsinC，那么△ABC为〔A〕

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形

2.已知ABC满意条件acosAbcosB，判断ABC的类型。答案：ABC是等腰或直角三角形Ⅳ.课时小结

〔1〕在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；〔2〕三角形各种类型的判定方法；Ⅴ.课后作业

1.依据以下条件，判断解三角形的状况

(1)、a14,b16,A45(2)、a12,c15,A120

2

2

2

(3)、a8,b16,A30(4)、b18,c20,B60

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2在ABC中，a=15,b=10,A=60，那么cosB=A

－

3

3已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，假设a=1

A+C=2B,那么sinC=.

4依据条件解三角形：

〔1〕c10,A45,C30,求边a,b.(2)A30,B120,b12,求边a,c.

(3)a16,b16,A30,求角B，C和边c.(4)b13,a26,B30,解这个三角形。〔5〕b40,c20,C45,解这个三角形(6)c1，b

六心得反思

，B60，求a,A，C。

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1.1.2解三角形的进一步争论学案

【学习目标】1.掌控已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的争论；2.三角形各种外形的判断方法；【学习重难点】1.已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的争论；三角形各种外形的判断方法。一、情景问题：

我们在解三角形时可以会涌现一些我们预想不到的结果，现在请大家思索下面问题：在ABC中，已知a22cm,b25cm,A133，解三角形。二、探究讨论：

b,A，争论三角形解的状况探究一．在ABC中，已知a,

结论：

探究二你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？

三例题讲解

例1.依据以下条件，判断解三角形的状况(1)a＝20，b＝28，A＝120.无解(2)a＝28，b＝20，A＝45；一解(3)c＝54，b＝39，C＝115；一解(4)b＝11，a＝20，B＝30；两解

[变式练习1]

〔1〕在ABC中，已知a80，b100，A450，试判断此三角形的解的状况。

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〔2〕在ABC中，假设a1，c

1

，C400，那么符合题意的b的值有_____个。2

〔3〕在ABC中，a*cm，b2cm，B450，假如利用正弦定理解三角形有两解，求*的取值范围。

例2.在ABC中,已知

[变式练习2]

1.△ABC中，sinAsinBsinC，那么△ABC为〔〕A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形

2.已知ABC满意条件acosAbcosB，判断ABC的类型。

四.尝试小结

五.课后作业

1.依据以下条件，判断解三角形的状况

2

2

2

abc

,判断ABC的外形．cosAcosBcosC

(1)、a14,b16,A45(2)、a12,c15,A120(3)、a8,b16,A30(4)、b18,c20,B60

2在ABC中，a=15,b=10,A=60，那么cosB=A

3已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，假设a=1

A+C=2B,那么

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sinC=.

4依据条件解三角形：

〔1〕c10,A45,C30,求边a,b.(2)A30,B120,b12,求边a,c.

(3)a16,b16,A30,求角B，C和边c.(4)b13,a26,B30,解这个三角形。〔5〕b40,c20,C45,解这个三角形(6)c1，b

，B60，求

六、心得反思

a,A，C。

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1.1.1正弦定理

教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探究，掌控正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.教学重点：正弦定理的探究和证明及其基本应用.

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.教学过程：

一、复习引入：

1.在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系？是否可以把边、角关系精确量化？

2.在ABC中，角A、B、C的正弦对边分别是a,b,c，你能发觉它们之间有什么关系吗？结论★：。二、讲授新课：

探究一：在直角三角形中，你能发觉三边和三边所对角的正弦的关系吗？

abcab

直角三角形中的正弦定理：sinA=sinB=sinC=1即c=.

ccsinAsinBsinC

探究二：能否推广到斜三角形？〔先讨论锐角三角形，再探究钝角三角形〕

当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，依据三角函数的定义，有CDasinBbsinA,那么

acab

.同理，〔思索如何作高？〕，从而

sinAsinCsinAsinB

abc

.

sinAsinBsinC

探究三：你能用其他方法证明吗？1．证明一：〔等积法〕在任意斜△ABC当中

111

S△ABC=absinCacsinBbcsinA.

222

1abc

两边同除以abc即得：==.

2sinAsinBsinC

2．证明二：〔外接圆法〕如下图，∠A＝∠D，∴同理

aa

CD2R，sinAsinD

bc=2R，＝2R.sinBsinC3．证明三：〔向量法〕过A作单位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB边同乘以单位向量j

得…..

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a

sinA

b

sinB

c

sinC

=2R

[理解定理]1公式的变形：

(1)a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC(3)a:b:csinA:sinB:sinC

(2)sinA(4)

abc,sinB,sinC,2R2R2R

abaccb,,

sinAsinBsinAsinCsinCsinB

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2.正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a

bsinA

；sin②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.3.利用正弦定理解三角形使,常常用到:

①ABC②sin(AB)sinC,cos(AB)sinC③Sabc三、教学例题：

ab

1

absinC2

例1已知在ABC中，c10,A450,C300,求a,b和B.

分析已知条件→争论如何利用边角关系→示范格式→小结：已知两角一边解：c10,A450,C300∴B1800(AC)1050

accsinA10sin450

102由得a0

sinAsinCsinCsin30

bccsinB10sin1050

由得b20sin7505520

sinBsinCsinCsin30

评述：此类问题结果为唯一解，同学较易掌控，假如已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角和180求出第三角，再利用正弦定理.

例2ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C

accsinA6sin450解：,sinC

sinAsinCa22

0C180,C600或1200

csinB6sin750

当C60时，B75,b31，0

sinCsin60

csinB6sin150

当C120时，B15,b1

sinCsin600

b1,B750,C600或b1,B150,C1200练习：P4——1.2题

例3在ABC中，b3,B600,c1,求a和A,C

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bccsinB1sin6001

解：∵,sinC

sinBsinCb23

bc,B600,CB,C为锐角，C300,B900∴ab2c22

【变式】

ABC中，aA1350,b求B四、小结：

五、课后作业

abc

k,那么k为(2A)sinAsinBsinC

RRR(R为△ABC外接圆半径)

ABC中，

ABC中，已知角B45，c22,b

43

，那么角A的值是3

A.15B.75C.105D.75或153、在△ABC中,假设A30,B60,那么a:b:c1::2

4