2020-2021学年湖南省永州市新田县九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年湖南省永州市新田县九年级第一学期期末数学试

卷

一、单选题（共8小题）.

1.下列函数中，能表示y是x的反比例函数的是（）

2°

A.y=2xB.y=-C.y=x2D.y=x-1

2.将一元二次方程3N=-2X+5化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别

为（）

A.3、-2、5B.3、2、-5C.3、-2、-5D.3、5、-2

3

3.已知反比例函数>==，下列结论中不正确的是（）

x

A.其图象经过点（-1,-3）

B.其图象分别位于第一、第三象限

C.当尤>1时，0<y<3

D.当x<0时，y随x的增大而增大

4.已知母=/则代数式等的值为（）

b3b

入5。5.2

A.-B.-C.—

233

5.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，贝Usina的值是（)

6.2020年10月，新田县中小学生田径运动会，甲、乙、丙、丁四位运动员在“100米短跑”

训练中，每人各跑5次，据统计，平均成绩都是13.8秒，方差分别是降=011,S%=

0.03,S,=0.05,S生=1.88,则四人的训练成绩最稳定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

7.函数y=fcv+l与函数>=乂在同一坐标系中的大致图象是（）

8.如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与8之间的距

离为8c，，z（如图2）,双翼的边缘AC=BD=60CMJ,且与闸机侧立面夹角/PC4=

=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）

二、多选题（共2个小题，每小题4分，共8分。在每小题给出的四个选项中，有多项符

合要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有错误的得0分）

9.如图，点M是正方形ABC。内一点，是等边三角形，连接AM、MD.对角线8。

交CM于点N,现有以下结论正确的是.

4.ZAMD=150°；

B.MA2=MN-MC；

嘲二小

SAADM2-73

SABMC后

Ir

10.如图，直线y=-%+/?（。>0）与双曲线y=—（x>0）交于A、5两点，连接。4、OB,

x

轴于BN_Lx轴于N,以下结论正确的是.

A.OA=OB；

B.AAOM义ABON；

C.若NAOB=45°,则14OB=2Z；

D.当A5=加时ON-8N=1.

三、填空题（共8小题）・

11.如果cosA=喙，那么锐角A的度数为.

12.如图，河坝横断面迎水坡的坡比为1：73（坡比是坡面的铅直高度8C与水平宽度

AC之比），坝高BC=3加，则坡面4B的长度是m.

B

CA

13.。是靠近点5的黄金分割点，若A3=10on,则AC=cm.（结果保留根号）

k+1

14.已知点A是反比例函数在第四象限内图象上的点，轴，垂足为点3,若

x

SAAOB=1,则上的值为

15.如图，△ABC中，点。在边AB上，满足/AC£）=NABC,若AC=2,AD=1,则DB

16.已知方程N+3x-1=0的两个实数根分别为a、p,则（a-1）（0-1）=.

17.古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭.有

个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足.借问竿长多少数,

谁人算出我佩服.”若设竿长为x尺，则可列方程为.

18.如图，AA1B1A2,282A3…5A7+1,都是等腰直角三角形，其中点4、AvAn

x轴上，点3、B2、…B.,在直线y=尤上，已知。41=1,则。42必的长为.

四、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）

19.计算：2cos45。-（-］）1_/8~（互-"打）°.

20.央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣.某校为满足学生的阅读需求，欲购进

一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学

生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘

制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次共调查了名学生；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为度；

(4)若该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人

数.

21.已知关于x的方程4/-*+2)龙+左-1=0有两个相等的实根,

(1)求女的值;

(2)求此时方程的根.

22.如图，在平面直角坐标系中，△A8C三个顶点的坐标分别为A(3,3),B(1,2),

C(4,1),点E坐标为(1,1).

(1)画出将△ABC向左平移5个单位长度的△AIiCi；

(2)画出和△ABC以点E为位似中心的位似图222c2,△A2&C2和△ABC位似比为2：

L且位于点E的两侧.

(3)直接写出4、&、C2三个点的坐标.

23.如图所示，在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=6cm,BC=8CTO,点尸由点A出发，沿

A8边以lcm/s的速度向点B移动；点。由点B出发，沿2c边以2c/n/s的速度向点C移

动.如果点P,。分别从点A,B同时出发，问：

(1)经过几秒后，△尸3。的面积等于80源？

(2)经过几秒后，P,。两点间距离是疝。加？

24.为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通

路况显示牌（如图）.已知立杆AB高度是3〃z,从侧面。点测得显示牌顶端C点和底端

8点的仰角分别是60°和45°.求路况显示牌8C的高度.

_k

25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数（a70）的图象与反比例函数y=—（k

x

W0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C,过点A作九轴于点〃，点O是线段

的中点，AC=4jM，css/点8的坐标为（4,〃）.

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求△A3H的面积;

（3）观察图象，直接写出ax+b＞与的x取值范围

X

26.在△ABC中，AB=5,AC=6,D,M是线段AB上的点，E,N是线段AC上的点，且

DE//MN//BC.

（1）观察猜想

如图1,若点。，M是线段AB的三等分点，则至7=,7^7=,由此，我

们猜想线段。M,EN,MB,NC之间满足的数量关系是.

（2）类比探究

将△AOE在平面内绕点A按逆时针方向旋转一定的角度，连接。M,DB,EN,EC,猜

想在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；

若不成立，请说明理由.

（3）解决问题

将△AOE在平面内绕点A自由旋转，若AM=3,请直接写出线段CE-EN的最大值.

参考答案

一、单选题（共8小题）.

1.下列函数中，能表示y是尤的反比例函数的是（）

2,

A.y=2尤B.y=-C.y=x2D.y—x-1

'x"

解：A、y=2x不能表示y是尤的反比例函数，故此选项错误；

9_,

8、y=—能表示y是尤的反比例函数，故此选项正确；

x

C、y=N不能表示>是x的反比例函数，故此选项错误；

。、y=x-1不能表示y是龙的反比例函数，故此选项错误；

故选：B.

2.将一元二次方程3尤2=-2x+5化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别

为（）

A.3、-2、5B.3、2、-5C.3、-2、-5D.3、5、-2

解：3N=-2x+5,

移项得，3/+2尤-5=0,

则二次项系数、一次项系数、常数项分别为3、2、-5,

故选：B.

3.已知反比例函数、=三，下列结论中不正确的是（）

x

A.其图象经过点（-1,-3）

B.其图象分别位于第一、第三象限

C.当x>l时，0<y<3

D.当x<0时，y随x的增大而增大

解：A、,?（-1）X（-3）=3,

图象必经过点（-1,-3）,故本选项不符合题意；

B、Vk=3>0,

函数图象的两个分支分布在第一、三象限，故本选项不符合题意；

C、：尤=1时，y=3且y随x的增大而增大，

时，0<y<3,故本选项不符合题意;

。、函数图象的两个分支分布在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，故

本选项符合题意.

故选：D.

4.已知？'=?，则代数式呼的值为（）

b3b

人5口5「2

A.-B.—C.—

233

【分析】用匕表示出〃，然后代入比例式进行计算即可得解.

99

解：由ma=等得到：〃二令，则

b33

2

a+bb+b_5

丁1.

故选：B.

【分析】根据勾股定理求出A8,根据正弦的定义计算，得到答案.

解：在Rt"BC中，BC=3,AC=4,

由勾股定理得，AB=A/AC2+BC2=5,

6.2020年10月，新田县中小学生田径运动会，甲、乙、丙、丁四位运动员在“100米短跑”

训练中，每人各跑5次，据统计，平均成绩都是13.8秒，方差分别是降=0.11,S^=

0.03,S,=0.05,Sy=l.88,则四人的训练成绩最稳定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【分析】根据方差的意义求解即可.

解：.S咨=0.11,=0.03,S,=0.05,Sy=1.88,

・・S乙VS丙VS甲vs丁,

・・・四人的训练成绩最稳定的是乙，

故选：B.

V

7.函数y=Ax+l与函数y=一在同一坐标系中的大致图象是（）

x

【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，左W0,所以分2＞0和kV0两种情况讨论.当

两函数系数左取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案.

解：分两种情况讨论：

①当%＞0时，＞=履+1与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，＞=赴的图象在第一、

x

三象限；

②当左＜。时，y=fcc+l与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，＞=生的图象在第二、

X

四象限.

故选：A.

8.如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距

离为8c根（如图2）,双翼的边缘AC=BD=60c〃z,且与闸机侧立面夹角/PC4=

=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）

图2

A.B.60&+8C.64D.68

【分析】过点A作AELPC于点E,过点B作BP，。。于点E根据含30度角的直角三

角形的性质即可求出AE与BF的长度，然后求出EF的长度即可得出答案.

解：过点A作AELPC于点E,过点B作2尸，。。于点E

'：AC=60cm,/PCA=30°,

：.AE=^AC=30(cm),

由对称性可知：BF=AE,

通过闸机的物体最大宽度为2AE+A8=60+8=68(cm).

二、多选题(本大题共2个小题，每小题4分，共8分。在每小题给出的四个选项中，有

多项符合要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有错误的得0分)

9.如图，点M是正方形ABCD内一点，△M8C是等边三角形，连接AM、MD.对角线8。

交CM于点N,现有以下结论正确的是A,B,C,D.

A.ZAMD=150°；

B.MA2^MN-MC；

嚼=F；

SAADM2-V3

SABMC病

【分析】A.先根据等边三角形得/CMB=60。，再根据等腰三角形的性质得

NCMD=75。，最后根据周角的定义即可得出结论；

B.证明△MNDSZ\MOC,列比例式即可得出结论；

C.过N作M/LCD于X,设入反=无，根据平行线分线段成比例定理即可得出结论；

D.过/作MGLA8于G,设MG=x，根据直角三角形30度角的性质和勾股定理分别

计算BC、AG、8G的长，根据面积公式计算即可得出结论.

解：是等边三角形，

ZMBC^ZMCB=ZCMB=60°,BM=BC,

:四边形ABC。是正方形，

ZABC=ZBCD=ZBAD^ZADC=90°,AB=BC,

：.ZABM=ZDCM=3Q°,

'：AB=BM,

：.ZAMB^ZBAM~(180°-30°)=75°,

同理/CMD=/CDM=75°,

AZAMD=36Q°-75°-75°-60°=150°；

故A正确；

:四边形ABC。是正方形，

：.ZBDC=45°,

：.NMDN=NCDM-/BDC=75°-45°=30°,

'：ZCMD=ZCMD,NMDN=/DCM=30°,

AMNDs4MDC,

.MN_DM

"DM"MC'

：.DM2=MN'MC,

•；ZBAD=ZADC,ZBAM=ZCDM,

：.ZMAD^ZMDA,

：.MA=DM,

：.MH=MN,MC,

故B正确；

过N作NH，C£）于H,设NH=x,如图1所示:

则NH_L8C,/NDH=NDNH=A5°,

：.NH=DH=x,

:/NCH=3Q°,ZCHN=90°

:.CN=2x,CH=MX,

\'NH//BC,

.BNCHV3x=r-

"DN"DH^一V3，

故c正确；

过M作MG_LA2于G,如图2所示：

设MG=x,

RtABGM中，ZGBM=30°,

.\BM=BC=AB=2xfBG=\[^x,

.\AG=2x-

.江加_5皿咕6_AG_2X-MX_2-%

.'△BMC1BC.BGBGV3XV3

故。正确；

故答案为：A,B,C,D.

C

图2

k

10.如图，直线y=-x+Z?(/?>0)与双曲线y=—(x>0)交于A、B两点，连接04、0B,

x

轴于M,轴于N,以下结论正确的是A、5、D.

A.OA=OB；

B.AAOM^ABON；

C,若NAO8=45°,贝IJS.OB=2公

【分析】设A(xi,yi),B(X2,”)，联立y=-x+Z?与y=±,得N-/?x+Z=0,则xi

x

•X2=k,又xi・yi=Z,比较可知X2=yi,同理可得的=”，即0N=0M,AM=BN,可证

结论；作0H_LA8,垂足为“，根据对称性可证可

证SAAO3=Z；延长MA,交N3的延长线于G点，可证AABG为等腰直角三角形，当A5

=&时，GA=GB=1,靴ON-BN=GN-BN=GB=\.

、k

解：A.设A(xi,yi),B(垃，”)，代入y=一中，得了i・yi=X2・y2=上，

x

，y=_x+b

联立<k，得N-/?x+攵=0,

yj

X

则xi・％2=左，又xi・yi=Z,

.•.X2=yi,

同理％2。丁2=人,

可得xi=y2,

：・ON=OM,AM=BN,

：.OA=OB,

故A正确，符合题意;

B.由A知：ON=OM,AM=BN,OA=OB,

:.△AOMQABON(SSS),

故5正确，符合题意；

图1

U：OA=OB,ZAOB=45°,

由5知，△AOM”ABON,

：.ZMOA=ZBON=22.5°,

ZAOH=ZBOH=22.5°,

△OAM^：△OAH^△OBH^△OBN(A4S),

S^AOB=S4M)H+S4BOH=S4AOM+S4BON=k,

故c错误，不符合题意；

D.延长MA,交N3的延长线于G点,

:・GB=GA,

•••AABG为等腰直角三角形，

当AB=&时，GA=GB=1,

ON-BN=GN-BN=GB=1,

故D正确，符合题意.

故答案为：A、B、D.

三、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡的答案栏内）

11.如果cosA=坐，那么锐角，的度数为30。.

【分析】根据30°角的余弦值等于坐解答.

2

解：：cosA=",

2

锐角A的度数为30°.

故答案为：30°.

12.如图，河坝横断面迎水坡的坡比为1：M（坡比是坡面的铅直高度8C与水平宽度

AC之比），坝高2C=3"z,则坡面42的长度是6m.

【分析】在RtAABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角

形即可求出斜面的长.

解：在Rt^ABC中，8C=5米，tanA=l：«；

：.AC=BC^tanA=3a米,

：.AB=yj32+（^）2=6米.

故答案为：6.

13.C是靠近点B的黄金分割点，若42=10皿则AC=5渥-5cm.（结果保留根

号）

【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，

这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（任工）叫做黄金比.根据黄金分割点的

2

定义，知AC是较长线段，运用黄金分割的比值进行计算即可.

解：由于点C是线段A2的黄金分割点，支撑点C是靠近点2的黄金分割点.

则AC—10X^^~—=5\/5-5cm.

2

故答案为：5巡-5.

14.已知点A是反比例函数yk=+14在第四象限内图象上的点，A8J_尤轴，垂足为点B,若

x

SAAOB=1,则k的值为-3.

【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直

角三角形面积S是个定值，即5=[|川.

解：.点A是反比例函数y=k+41在第四象限内图象上的点，A3,无轴，垂足为点8,

x

.'.5AAOB=~|^+1|—1；

又•..函数图象位于二、四象限，

左+1=-2,

k=-3

故答案为-3.

15.如图，△ABC中，点。在边AB上，满足NACD=NABC,若AC=2,AD=1,则OB

=3.

【分析】由题意，在△ABC中，点。在边AB上，满足NACO=NABC,可证△ABCs

AACD,再根据相似三角形对应边成比例来解答.

解：VZACD^ZABC,NA=/A,

/.△ABC^AACD,

.ABAC

"AC"AD'

：AC=2,A£)=1,

.1+DB2

解得。8=3.

故答案为：3.

16.已知方程尤2+3尤-1=0的两个实数根分别为a、p,则(a-1)(0-1)=3.

【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系可得出a+B=-3,耶=-1,将其代入(a

-1)(P-1)=耶-(a+p)+1中，即可求出结论.

解：：a、0是方程/+3x-1=0的两个实数根，

/.a+p=-3,a0=-L

(a-1)(p-1)=ap-(a+p)+1=-1-(-3)+1=3.

故答案为：3.

17.古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭.有

个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足.借问竿长多少数，

谁人算出我佩服.”若设竿长为x尺，则可列方程为(X-2)2+(X-4)』丁.

【分析】设竿长为x尺，根据题意可得，则房门的宽为x-4,高为x-2,对角线长为x,

然后根据勾股定理列出方程.

解：设竿长为尤尺，

由题意得，(尤-2)2+(X-4)2=尤2.

故答案为：(X-2)2+(x-4)

18.如图，△4山欣2,△A2&A3…都是等腰直角三角形，其中点4、4…A”在

x轴上，点Bi、B?、…B",在直线y=x上，已知。41=1,则0A2021的长为223.

【分析】。41=1=2。，利用y=无，逐次求出4出1=1,04=2=21,04=1+1+2=4=22,

04=8=23,即可求解.

解：04=1=2。，

则481=1,04=2=21,

则A2&=2,则A2A3=2,则04=1+1+2=4=22,

A3B3=OA3=4,则04=8=23,

贝Ij042021=22020,

故答案为：22。20.

四、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）

19.计算：2cos45°-（--1--'./g_

【分析】根据45。角的余弦等于亨，有理数的负整数指数次暴等于正整数指数次暴的

倒数，二次根式的化简，任何非。数的0次暴等于1进行计算即可得解.

解：2cos45°-（1-V8-

=2X返-（-4）-272-I,

2

=72+4-272-1，

=3-正.

20.央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣.某校为满足学生的阅读需求，欲购进

一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学

生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘

制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次共调查了200名学生;

（2）将条形统计图补充完整；

（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为126度;

（4）若该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人

【分析】（1）根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数;

(2)根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数；

(3)根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数；

(4)利用样本中喜欢社科类书籍的百分比来估计总体中的百分比，从而求出喜欢社科类

书籍的学生人数；

解：(1)••,喜欢文史类的人数为76人，占总人数的38%,

，此次调查的总人数为：76+38%=200人，

(2)•.•喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%,

喜欢生活类书籍的人数为：200X15%=30人，

，喜欢小说类书籍的人数为：200-24-76-30=70人，

如图所示；

(3)•.•喜欢社科类书籍的人数为：24人，

•••喜欢社科类书籍的人数占了总人数的百分比为：流24义100%=12%,

喜欢小说类书籍的人数占了总分数的百分比为：100%-15%-38%-12%=35%,

...小说类所在圆心角为:360°X35%=126°,

(4)由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%,

，该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2500X12%=300

人

21.已知关于x的方程4N-(4+2)无+左-1=0有两个相等的实根,

(1)求上的值；

(2)求此时方程的根.

【分析】(I)由于方程有两个相等的实根，由此可以得到其判别式等于0,由此可以列

出关于k的方程，解此方程即可求出k的值；

(2)利用(1)中的左值解一元二次方程即可求出方程的根.

解：(1)•关于x的方程4/-(4+2)x+左-1=0有两个相等的实根，

；.△=(左+2)2-4X4(.k-1)=0,

.♦.炉-124+20=0,

:.h=2,kz—10；

(2)当左=2时，原方程变为4N-4尤+1=0,

._____1

•»X1—X2一工",

当左=10时，原方程变为4N-12x+9=o,

._____3.

••x\—xi—2■

22.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,3),B(1,2),

C(4,1),点E坐标为(1,1).

(1)画出将△ABC向左平移5个单位长度的△481C1；

(2)画出和AABC以点E为位似中心的位似图△AzB2c2,△A2&C2和AABC位似比为2：

1,且位于点E的两侧.

(3)直接写出4、&、C2三个点的坐标.

【分析】(1)分别作出A,B,C的对应点4,Bi,G即可.

(2)分别作出A,B,C的对应点4,&,C2即可.

(3)根据点的位置确定坐标即可.

解：(1)如图，△ALBIG即为所求作.

(2)如图，△A2&C2即为所求作.

(3)由图可知：4(-3,-3),&(1,-1),C2(-5,1).

23.如图所示，在RtZXABC中，ZB=90°,AB=6cm,BC=8cm,点尸由点A出发，沿

AB边以lcm/s的速度向点8移动；点。由点8出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移

动.如果点P,。分别从点A,B同时出发，问：

(1)经过几秒后，的面积等于8<7层？

(2)经过几秒后，P,。两点间距离是痴。机？

【分析】(1)设经过x秒后，△尸5Q的面积等于8°他则5P=(6-x)cm,BQ=2xcm,

利用三角形的面积公式结合△尸的面积等于8cm2,即可得出关于x的一元二次方程，

解之即可得出结论；

(2)设经过y秒后，P,。两点间距离是通§。加，则J3尸=(6-y)cm,BQ=2ycm,利

用勾股定理结合尸，。两点间距离是倔cm,即可得出关于y的一元二次方程，解之取

其正值即可得出结论.

解：(1)设经过x秒后，△P5Q的面积等于8°/，则5尸=(6-x)cm,BQ=2xcm,

依题意，得：(6-x)X2x=8,

化简，得：N-6x+8=0,

解得：xi=2f%2=4.

答：经过2秒或4秒后，△尸8Q的面积等于8c源.

（2）设经过y秒后，P,。两点间距离是则3尸=（6-y）cm,BQ=2ycmf

依题意，得：（6-y）2+（2y）』（疝）2,

化简,得：5y2-12y-17=0,

解得：y=率17，”=-1（不合题意，舍去）.

D

答：经过与秒后，P,。两点间距离是倔“7.

D

24.为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通

路况显示牌（如图）.己知立杆AB高度是3m,从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端

8点的仰角分别是60°和45°.求路况显示牌BC的高度.

【分析】在RtZkAB。中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边AQ的长；同理

在RtaABC中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边AC的长；进而由8C=AC

-AB得解.

解：•.•在RtzXAOB中，ZBDA=45°,AB=3米，

：.DA=3米.

在RtZXAOC中，NCD4=60。,

tan60°=—77,

AD

.,.CA=3y米.

：.BC^CA-BA=（373-3）米.

答：路况显示牌BC的高度是（-3）米.

一，，k

25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数（〃W0）的图象与反比例函数丫二（七

x

W0）的图象交于A、B两点,与1轴交于点C,过点A作%轴于点巴点0是线段

CH的中点，AC=4j^,cr>s/ACH二点5的坐标为（4,〃）.

5

(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求的面积；

(3)观察图象，直接写出ax+b＞与的x取值范围尤＜-2或0＜尤＜4

X

【分析】(1)利用锐角三角函数关系得出〃。的长，由点0是线段CH的中点得出A点

k

横坐标，把A点横坐标的值代入反比例函数解析式，得出A点坐标，将A点坐标代入y=^,

x

求出反比例函数解析式；进而将A、8两点坐标代入y=z+b,即可得出一次函数解析式;

(2)根据三角形面积公式列式即可得出△BC”的面积；

(3)观察一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可.

解：(1)无轴于点X,AC=4^,cosNACH=丑,

5

.HCV5HC

,•而丁y

解得：HC=4,

:点。是线段CH的中点，

：.HO=CO=2,

•••AH=JAC2_HC2=8,

.1.A(-2,8),

反比例函数解析式为：y=—,

X

将5的坐标(4,n)代入得：n=-*

4

解得：〃=-4

：.B(4,-4),

，设一次函数解析式为：y=kix+b,

将A(-2,8),B(4,-4)代入：

-2k[+b=8

则L」

4k1+b=-4

解得fk,1=-2.

lb=4

，一次函数解析式为：y=-2x+4；

(2)由(1)知：HC=4,A(-2,8)、B(4,-4),

...△BCH的面积为：[><4X4=8,△ACH的面积为：gx4X8=16,

.*•SLABH=SLAC