导数的概念及其几何意义

关于导数的概念及其几何意义本章知识建构导数导数的概念及几何意义导数的运算导数的应用基本导数公式四则运算法则单调性极值与最值最优化问题第2页,共28页，2024年2月25日，星期天一、导数产生的背景：

随着17世纪天体物理学的迅速发展，迫切需要解决2个问题。第一：求曲线的切线问题，第二：求非匀速运动的速度，它最早由开普勒、伽利略、牛顿等提出来．

第3页,共28页，2024年2月25日，星期天问题：自由落体运动的运动方程为s=-1/2gt2，计算t从3s到3.1s，3.01s

，3.001s

各段时间内的平均速度（位移的单位为m）。12解：设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则△t1=3.1-3=0.1(s)△s1=s(3.1)-s(3)=0.5g×3.12-0.5g×32=0.305g(m)二、平均速度与瞬时速度第4页,共28页，2024年2月25日，星期天所以同理第5页,共28页，2024年2月25日，星期天例1是计算了[3，3+△t]当t=0.1,t=0.01,t=0.001时的平均速度。上面是计算了△t>0时的情况下面再来计算△t<0时的情况解：设在[2.9，3]内的平均速度为v4，则△t1=3-2.9=0.1(s)△s1=s(3)-s(2.9)=0.5g×32-0.5g×2.92=0.295g(m)第6页,共28页，2024年2月25日，星期天所以设在[2.99，3]内的平均速度为v5，则设在[2.999，3]内的平均速度为v6，则第7页,共28页，2024年2月25日，星期天当△t→0时，物体的速度趋近于一个确定的值3g--

各种情况的平均速度第8页,共28页，2024年2月25日，星期天在t=3s

这一时刻的瞬时速度等于在3s

到(3+△t)s

这段时间内的平均速度当△t→0的极限，第9页,共28页，2024年2月25日，星期天

设物体的运动方程是s=s(t),物体在时刻t

的瞬时速度为v,一般结论就是物体在t

到t+△t

这段时间内,当△t→0时平均速度的极限，即第10页,共28页，2024年2月25日，星期天①

平均变化率：函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为:②割线的斜率：OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y三、函数值的平均变化率与瞬时变化率第11页,共28页，2024年2月25日，星期天函数y=f(x)在x=

x0处的瞬时变化率是③函数值的瞬时变化率第12页,共28页，2024年2月25日，星期天函数y=f(x)在x=

x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=

x0处的导数,记作或,即四、函数在某点的导数的定义：第13页,共28页，2024年2月25日，星期天4、瞬时速度是平均速度的极限；瞬时变化率是平均变化率的极限。注意：5、位移的导数是速度；速度的导数是加速度。第14页,共28页，2024年2月25日，星期天xoyy=f(x)

设曲线C是函数y=f(x)的图象，在曲线C上取一点P(x0,y0)及邻近一点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割线，当点Q沿着曲线无限接近于点P点P处的切线。即△x→0时,如果割线PQ有一个极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在五、曲线在某一点处的切线的定义△x△yPQT第15页,共28页，2024年2月25日，星期天导数的意义(1)几何意义:

函数y=f(x)在点x0处的导数f

(x0),就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即:k=tan

=f

(x0).

（2）物理意义：函数S=s(t)在点t0

处的导数s

(t0),就是当物体的运动方程为S=s(t)时,物体运动在时刻t0

时的瞬时速度v,即:v=s

(t0).第16页,共28页，2024年2月25日，星期天七）典例分析：考点突破一：

在某点的导数的定义例1.

中国跳水皇后郭晶晶在高台跳水运动中,运动位移与时间的函数关系是：，问在2秒时的瞬时速度是多少？第17页,共28页，2024年2月25日，星期天解题反思：分析上题流程,你能归纳出函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:

一差、二比、三极限第18页,共28页，2024年2月25日，星期天同类异形

②已知

变式探究

③已知

例2①已知431第19页,共28页，2024年2月25日，星期天考点突破二：导数的几何意义例3（基础知识迁移）①（08浙江高考文T21）

成功体验求曲线y=x2+2x-1在点P（1,2）处的切线方程。解法一：联立方程后，用△=0解法二：用导数的几何意义答案：4x-y-2=0第20页,共28页，2024年2月25日，星期天→深化拓展（08湖北高考文T17）②第21页,共28页，2024年2月25日，星期天合作探究，理性升华③第22页,共28页，2024年2月25日，星期天学而不思则罔解题反思：类型一类型二第23页,共28页，2024年2月25日，星期天step1:设切点（x1,y1）;Step2:Step3:写出切线方程：第24页,共28页，2024年2月25日，星期天八）课时小结：

①函数在某点处的导数定义；②函数在某点处导数的几何意义；③求函数两种基本类型切线的解题