2019-2020学年人教A版山西省长治二中高一第一学期期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷

一、选择题

1.设集合4{x|xJx-2>0},4{*|三3式0,xGZ},则第CN的所有子集个数为（）

x+1

A.3B.4C.7D.8

2.如图是2015年某中学招聘新教师面试环节中，七位评委为某应聘者打出的分数的茎叶

统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（）

79

844647

93

A.85、84B.84、85C.86、84D.84、86

3.设aG{-1,1,2,3},则使函数7=>'的值域为R且为奇函数的所有a值为（）

A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3

4.在区间（0,5）内任取一个数，则使、/2x-3有意义的概率为（）

A.-j-B.C.-f-D.工

52510

5.将一个骰子抛掷一次，设事件/表示向上的一面出现的点数不超过2,事件夕表示向上

的一面出现的点数不小于3,事件C表示向上的一面出现奇数点，则（）

A.4与8是对立事件

B./与b是互斥而非对立事件

C.8与C是互斥而非对立事件

D.B与C是对立事件

6.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,

960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号

落入区间［1,450］的人做问卷4,编号落入区间［451,750］的人做问卷8,其余的人做问

卷G.则抽到的人中，做问卷夕的人数为（）

A.7B.9C.10D.15

7.已知某地4、B、C三个村的人口户数及就困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解

该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取10%户数进行调查，则

样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是（）

贫困率(%)

A.100,20B.100,10C.200,20D.200,10

8.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击

恰有两次命中十环的^率，先由计算器产生。到9之间取整数值的随机数，指定2,4,

6,8表示命中十环，0,1,3,5,7,9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代

表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：321421292925274632

800478589663531297396021506318230113507965.据

此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率为()

A.0.25B.0.30C.0.35D.0.40

9.一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到

一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是()

A.57.23.6B.57.256.4

C.62.863.6D.62.83.6

10.设加〃{a,b,c}表示a,b,c三者中的最小者，若函数A(x)=min[2x,x,24-2x},

则当xG[1,5]时，f(x)的值域是()

A.[1,32]B.[1,14]C.[2,14]D.[1,16]

11.已知函数/'(x)=loga(x?-2ax)在[4,5]上为增函数，则a的取值范围是()

A.(1,4)B.(1,4]C.(1,2)D.(1,2]

2x+2

12.已知函数f(x)=2'*,若尸&)=£26)F£&)看的零点个数为4个

l|ln(x-l)|,x>l

时，实数，的取值范围为()

A.(岁,|]U(y.2用M

C.序，2)呼|]U(2j

二、填空题

13.如图，矩形的长为6,宽为3,在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在影阴部分的黄

豆为125颗，则我们可以估计出影阴部分的面积约为

14.一个样本a,3,5,7的平均数是6,且a、6是方程f-5妙4=0的两根，则这个样本

的方差是.

15.一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△48C区域内随机爬行，则其恰在到顶点4或顶点

8或顶点C的距离小于1的地方的概率为.

16.下列说法：

2

①函数y=l°g_L(x-2x-3)的单调增区间是(一8,1)；

2

②若函数y=r(x)定义域为R且满足f(1-x)=f(A+1),则它的图象关于V轴对称;

③函数f(x)(xWR)的值域为(-1,1);

④函数y=|3-的图象和直线y=a(a£R)的公共点个数是m,则m的值可能是0,2,

3,4;

⑤若函数f(x)=x-2ax^5(a>1)在xG[1,3]上有零点，则实数a的取值范围是

[^513].

其中正确的序号是.

三、解答题：本大题共70分

17.某学校高二年级举办了一次数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛.为

了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)

进行统计，统计结果见如表.请你根据频率分布表解答下列问题：

序号分组组中值频数频率

(/)(分数)(£)(人数)(E)

1[60,70)656①

2[70,80)75②0.40

3[80,90)85③0.24

4[90,100]950.24

合计501

(1)填出频率分布表中的空格；

(2)为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于80分的同学能获奖，请估计

在参加的800名学生中大概有多少名学生获奖？

(3)在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出的S的值.

18.袋中有质地、大小完全相同的5个小球，编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一

种游戏.甲先摸出一个球.记下编号，放回后再摸出一个球，记下编号，如果两个编号

之和为偶数.则算甲赢，否则算乙赢.

(1)求甲赢且编号之和为6的事件发生的概率：

(2)试问：这种游戏规则公平吗.请说明理由.

19.某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，

得到如下数据：

单价X元99.29.49.69.810

销量y件1009493908578

(1)若销量y与单价x服从线性相关关系，求该回归方程；

(2)在(1)的前提下，若该产品的成本是5元/件，问：产品该如何确定单价，可使工

厂获得最大利润.

附：对于一组数据(M,yi),(A2,%)，...(xn,yn),

n__

£xiyi-n»x-y

其回归直线7=bx+a的斜率的最小二乘估计值为--------------；

V2—2

>.xi-n*x

i=l

66_

=22

本题参考数值：£xiy.5116,£x1-6x=0.7.

i=li=l

20.某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数)分

成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组后，得

到部分频率分布直方图(如图)，观察图形中的信息，回答下列问题.

(I)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；

(II)从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；

(III)若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对

21.在平面直角坐标系中，记满足|p|W3,|g|W3的点(p,q)形成区域

(1)若点(0,<7)的横、纵坐标均在集合｛1,2,3,4,5｝中随机选择，求点(p,加

落在区域/内的概率；

(2)若点(p,°)在区域4中均匀出现，求方程寸-2/0=0有两个不同实数根的概率;

22.已知函数f(x)=1x'',其中a为实数.

-x^+(a+2)x_2a,x>2

(1)若函数A(x)为定义域上的单调函数，求a的取值范围.

(2)若aV7,满足不等式A(x)-a>0成立的正整数解有且仅有一个，求a的取值范

围.

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.设集合4{X|X2-X-2>0},仁以|三340,xGZ},则"HN的所有子集个数为（）

x+1

A.3B.4C.7D.8

【分析】先求解DN,再根据元素个数求子集个数.

解:VM={x|x<-1,或x>2},

N={x\-1<x<4,xGZ}={0,1,2,3,4},

.♦."IN={3,4},

.•."CN的所有子集个数为4.

故选：B.

2.如图是2015年某中学招聘新教师面试环节中，七位评委为某应聘者打出的分数的茎叶

统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（）

79

844647

93

A.85、84B.84、85C.86、84D.84、86

【分析】根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93

和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和众数.

解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，

所剩数据84,84,84,86,87的平均数为经生生塔啰生也=85;

5

众数为84,

故选：A.

3.设aW{-1,1,2,3）,则使函数尸''的值域为R且为奇函数的所有a值为（）

A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3

【分析】根据幕函数的性质，分别判断幕函数的值域和奇偶性是否满足条件即可.

解：当a=-1时，y=x1=—,为奇函数,但值域为{x|x芋0},不满足条件.

当a=1时，y=x,为奇函数，值域为R,满足条件.

当a=2时，为偶函数，值域为{x|x,O},不满足条件.

当a=3时，y=，为奇函数，值域为R,满足条件.

故选：4

4.在区间（0,5）内任取一个数，则使、/2x-3有意义的概率为（）

.21_3_7

A.—D.—U.—D・--

52510

【分析】使12X-3有意义的X应该满足2x-3do,且0VxV5,解得*x<5,由此

能求出使j2x-3有意义的概率.

解：使'.历有意义的x应该满足：

2x-3^0,且0VxV5,

解得*x<5,

,_月旦7

,使j2x-3有意义的概率为P="2=六.

故选：D.

5.将一个骰子抛掷一次，设事件/表示向上的一面出现的点数不超过2,事件8表示向上

的一面出现的点数不小于3,事件，表示向上的一面出现奇数点，则（）

A.4与夕是对立事件

B.4与8是互斥而非对立事件

C.8与C是互斥而非对立事件

D.B与，是对立事件

【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解.

解：将一个骰子抛掷一次，设事件4表示向上的一面出现的点数不超过2,

事件8表示向上的一面出现的点数不小于3,事件，表示向上的一面出现奇数点，

在/中，/与8是对立事件，故/正确；

在8中，4与8是对立事件，故8错误；

在C中，8与C能同时发生，不是互斥事件，故C错误；

在〃中，8与C能同时发生，不是互斥事件，故〃错误.

故选：4

6.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,

960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号

落入区间［1,450］的人做问卷4,编号落入区间［451,750］的人做问卷8,其余的人做问

卷G则抽到的人中，做问卷8的人数为（）

A.7B.9C.10D.15

【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差

数列的通项公式为a„=9+（〃-1）30=30/7-21,由451^30/7-21^750求得正整数〃

的个数.

解：9604-32=30,故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，

且此等差数列的通项公式为4=9+（77-1）30=30/7-21.

由45100/7-21^750解得15.7W〃W25.7.

再由"为正整数可得16W〃W25,且"Gz,故做问卷8的人数为10,

故选：C.

7.已知某地4B、C三个村的人口户数及就困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解

该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取10%户数进行调查，则

样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是（）

图（2）

A.100,20B,100,10C.200,20D.200,10

【分析】利用分层抽样、扇形统计图和条形统计图直接求解.

解：由题意得，样本容量为：（350+450+200）X10%=100,

抽取C村贫困户的户数为：200X10%X50%=10.

故选：B.

8.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击

恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2,4,

6,8表示命中十环，0,1,3,5,7,9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代

表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：321421292925274632

800478589663531297396021506318230113507965.据

此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率为()

A.0.25B.0.30C.0.35D.0.40

【分析】经随机模拟产生的20组随机数中，表示小张三次射击恰有两次命中十环的随机

数有6个，据此能估计小张三次射击恰有两次命中十环的^率.

解：经随机模拟产生了如下20组随机数：

321421292925274632800478589663531297396021506

318230113507965.

指定2,4,6,8表示命中十环，0,1,3,5,7,9表示未命中十环，

则小张三次射击恰有两次命中十环的随机数有：

421292274632478663,共6个，

据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率p=-^-=0.30.

故选：B.

9.一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到

一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是()

A.57.23.6B.57.256.4

C.62.863.6D.62.83.6

【分析】首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据都加上60以后，再

表示出新数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，得到结果.

---1

解：设这组数据分别为X2fXn,则乂=—(%l+^+--•+%„)=2.8,

n

方差为s2=—[(%)-X)?+…+(x-X)4,

nn

每一组数据都加60后，

~~1—

x=—(制+此+…+乂+60〃)=x+60

n

=2.8+60=62.8,

方差s'2=—[(X1+6O-62.8)2+(为+60-62.8)，…+(x„+60-62.8)2]

n

=­[(M-x)，…+(xn-x)2]

n

=3.6.

故选：D.

10.设〃/〃{a,b,c}表示a,b,c三者中的最小者，若函数尸(x)=min{2x,x,24-2x),

则当xe［1,5］时，f(x)的值域是()

A.［1,32］B.［1,14］C.［2,14］D.［1,16］

【分析】求出f(x)的解析式，画出图象，通过观察得到答案.

所以值域是［1,16］.

故选：D.

11.已知函数f(x)=loga(x-2ax)在［4,5］上为增函数，则a的取值范围是()

A.(1,4)B.(1,4］C.(1,2)D.(1,2］

【分析】由题意可得g(x)-2ax的对称轴为x=a,①当a>1时，由复合函数的单

调性可知，g(x)在［4,5］单调递增，且g(x)>0在［4,5］恒成立，②0<aV1时，

由复合函数的单调性可知，g(%)在［4,5］单调递增，且g(x)>0在［4,5］恒成立从

而可求a

解：由题意可得g(x)=f-2ax的对称轴为x=a

①当a>1时，由复合函数的单调性可知，g(x)在［4,5］单调递增，且g(x)>0在［4,

5］恒成立

，〉1

则<g(4)=16-8a>0

,a44

.,.1<a<2

②0VaV1时，由复合函数的单调性可知，g(x)在[4,5]单调递增，且g(x)>0在

[4,5]恒成立

则，a>5此时a不存在

g(5)=25-10a>0

综上可得，1VaV2

故选：C.

x<l若F(x)=f2(x)-af(x)+|■的零点个数为4个

12.已知函数f(x)=<争

|ln(x-l)|,x>l

时，实数a的取值范围为()

A.挈，2

B.片M)

[1.2)

C.D.(等,|-]U(2,+8)

【分析】设力=》(x),作出》(x)函数图象，分析力=》(x)的实根情况，方程t2-at+4=0

O

(t=#o)有两个不等实数根匕，友且满足,

ti,t2e(0,1],或ti,t2>2或0VGV1,t2>2；然后讨论计算得出结果.

2、+2

解：根据函数f(x)=<-'，若作出其图象;

|ln(x-l)|,x〉l

设力=A(x),根据函数图象有:

当t>2时，方程t=f(x)有2个实数根;

当1VtW2时，方程t=fQx)有3个实数根;

当0VtV1时，方程t=A(x)有2个实数根;

当亡=0时，方程力=5(x)有1个实数根;

当t<0时，方程t=f(x)没有实数根；

当若F(x)=f2(x)-af(x)4的零点个数为4个时，方程t2-at+4=0(件0)有两

OO

个不等实数根右，友且满足，

ti,t2G(0,1],或ti,t2>2或0VGV1,t2>2；

设函数h(t)=t2-at+^"；

o

h(0)>0

'△>0

△>0'h(0)>0

h(2)>0,⑴<0,解得：或a〉J；

则<0<<f

备>0h(2)<0

t12

.h⑴>0

故选：A.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.如图，矩形的长为6,宽为3,在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在影阴部分的黄

15

豆为125颗，则我们可以估计出影阴部分的面积约为牛.

一2一

【分析】由已知中矩形的长为6,宽为3,我们易计算出矩形的面积，根据随机模拟实验

的概念，我们易得阴影部分的面积与矩形面积的比例约为黄豆落在阴影区域中的频率，

由此我们构造关于S婢的方程，解方程即可求出阴影部分面积.

解：•.•矩形的长为6,宽为3,则S姐阳=18

.5阴=5阴=125

飞矩U"300'

故答案为：-y.

14.一个样本a,3,5,7的平均数是4且a、6是方程4-5户4=0的两根，则这个样本

的方差是5.

【分析】根据平均数和方差的定义和公式进行求解即可.

解：•.•样本a,3,5,7的平均数是仇

/.93+5+7=46,

即却"15=46,

■:a、6是方程5/4=0的两根，

:.>6=5,

解得石=1,6=4,

则方差«=」[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=—(9+1+1+9)=—=5,

444

故答案为：5.

15.一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△48C区域内随机爬行，则其恰在到顶点/或顶点

8或顶点C的距离小于1的地方的概率为.

—48―

【分析】先求出三角形的面积，再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个

扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积，利用几何榻型概率公式求出恰在离三个

顶点距离都小于的地方的概率.

解：蚂蚁活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为6,8,10,是直角三角形，

.•.面积为，■XGX8=24,而“恰在离三个顶点距离都小于1”正好是一个半径为1的半

圆，

I7T

2

面积为百TtX1=ri,

.•.根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于1的地方的概率为

16.下列说法:

2

①函数y=l°gj_(x-2x-3)的单调增区间是(一8,1)；

2

②若函数y="x)定义域为R且满足f(1-x)=f(A+1),则它的图象关于V轴对称;

③函数f(x)(xeR)的值域为(-1,1)；

④函数y=|3-f|的图象和直线y=a(aGR)的公共点个数是m,则m的值可能是0,2,

3,4;

⑤若函数f(X)=x2-2SA+5(a>1)在xG[1,3]上有零点，则实数a的取值范围是

EV5.3].

其中正确的序号是③④⑤.

【分析】根据当x=0时，函数的解析式无意义可判断①；根据函数对称性，可得函数y

=/(x)的图象关于直线x=1对称，可判断②；画出函数A(x)=,:।(xGR)的

1+lx|

图象，结合函数图象分析出函数的值域，可判断③；画出函数y=|3-?|的图象，可分

析出函数y=|3-*1的图象和直线y=a(aGR)的公共点个数，可判断④；根据二次函

数的图象和性质分析出函数5(x)=4-2为<+5(a>1)在xG[1,3]上有零点，实数a

的取值范围，可判断⑤.

解：当x=0时，4-2X-3=-3,此时l°gj_(x2-2x-3J无意义，故①错误;

2

若函数y=f(x)满足f(1-x)=f(A+1),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1

对称，故②错误；

画出函数5(x)="：।(x£R)的图象如图，由图可得函数的值域为(-1,1);

1+lx|

画出函数y=|3-f|的图象，由图可知，函数y=|3-的图象和直线y=a公共点可能

是0,2,3,4个，故④正

若A(x)在xG[1,3]上有零点，则尸(x)=0在xG[1,3]上有实数解

，2a=酒在xG[1,3]上有实数解

X

Rj—j—

令g(x)则g(x)在［1,&］单调递减，在(后,3］单调递增且g(1)=6,g

X

(3)=学，二2旄Wg(x)W6,即2j^W2aW6,故依WaW3故⑤正

O

故答案为：③④⑤

三、解答题：本大题共70分

17.某学校高二年级举办了一次数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛.为

了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)

进行统计，统计结果见如表.请你根据频率分布表解答下列问题：

序号分组组中值频数频率

(/)(分数)(G)(人数)(E)

1[60,70)656①

2[70,80)75②0.40

3[80,90)85③0.24

4[90,100]95④0.24

合计501

(1)填出频率分布表中的空格；

(2)为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于80分的同学能获奖，请估计

在参加的800名学生中大概有多少名学生获奖？

(3)在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出的S的值.

【分析】(1)由已知中频率分布表，根据频率=频数+样本容量，即可求出频率分布表

中的空格中的值；

(2)根据(1)中数据，求出成绩不低于80分的同学的频率，再由总体容量为800,即

可估算出参赛的800名学生中大概有多少同学获奖；

(3)根据流程图模拟程序的运行，即可得到答案.

解：(1)①0.12②20③12④12,

(2)N=(0.24+0.24)X800=384,

/.可估算出参赛的800名学生中大概有384名同学获奖；

(3)5=65X0.12+75X0.40+85X0.24+95X0.24=81,

输出S的值为81.

18.袋中有质地、大小完全相同的5个小球，编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一

种游戏.甲先摸出一个球.记下编号，放回后再摸出一个球，记下编号，如果两个编号

之和为偶数.则算甲赢，否则算乙赢.

(1)求甲赢且编号之和为6的事件发生的概率：

(2)试问：这种游戏规则公平吗.请说明理由.

【分析】(1)本题是一个古典概型，试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有5X5

种等可能的结果，满足条件的事件可以通过列举法得到，根据古典概型的概率公式得到

结果.

(2)要判断这种游戏是否公平，只要做出甲胜和乙胜的概率，先根据古典概型做出甲胜

的概率，再由1减去甲胜的概率，得到乙胜的概率，得到两个人胜的概率相等，得到结

论.

解：(1)由题意知本题是一个古典概型，

试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有5X5=25(个)等可能的结果，

设“两个编号和为6”为事件

则事件4包含的基本事件为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)共5

个，

51

根据古典概型概率公式得到P(⑷=去=?

255

(2)这种游戏规则是不公平的.

设甲胜为事件8,乙胜为事件C,

则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：

(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),

(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),

(5,1),(5,3),(5,5)

13

二甲胜的概率"(8)=知

25

19

乙胜的概率P(C)=1-P(5)=壬

25

...这种游戏规则是不公平的.

19.某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销,

得到如下数据：

单价X元99.29.49.69.810

销量y件1009493908578

(1)若销量y与单价x服从线性相关关系，求该回归方程；

(2)在(1)的前提下，若该产品的成本是5元/件，问：产品该如何确定单价，可使工

厂获得最大利润.

附：对于一组数据(%,必)，(M,%)，.....(％,y„),

n__

£Xjyj-n.x-y

其回归直线7=bx+a的斜率的最小二乘估计值为b咛--------------

V2—2

>.Xj-n*x

i=l

66_

=22

本题参考数值：£x1y-5116,£x1-6x=0.7.

i=li=l

【分析】(1)由题意求得6与a的值，可得线性回归方程；

(2)设该产品的售价为x元，工厂利润为2.元，由题意，x>5,再由?=-20x+280〉0,

得XV14,故5VxV14,由/_=(x-5)(-20A+280)=20(x-5)(14-x),然后

利用基本不等式求最值.

(.«.9+9.2+9.4+9.6+9.8+10-

解：(D.x=----------;-----------=9.5c,

6

-100+94+93+90+85+78”

y=---------6---------9

66_

又£Xiy:5116,£町2-6彳2=0.7,

i=li=l

n

£Xjy--nxy

.一i=l_5116-6X9.5X90_

告2-2~。.7

>.Xj-nx

i=l

则a=7-b；=90+20X9.5=28C-

故回归方程为?=-20x+280；

(2)设该产品的售价为x元，工厂利润为/.元，

•.•当；<5时，利润2W0,定价不合理，：.x>5.

由y=-20x+280>0,得x〈14,故5VxV14,

X5+MX2

L=(x-5)(-20妙280)=20(x-5)(14-x)<(-r~)=405>

当且仅当x-5=14-x,即*=9.5时，Z.取得最大值.

因此，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元.

20.某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数)分

成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组后,得

到部分频率分布直方图(如图)，观察图形中的信息，回答下列问题.

(I)求分数在［70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图;

(II)从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；

(III)若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对

【分析】(/)利用所有小矩形的面积之和为1,求得分数在［70,80)内的频率，再根

频率

据小矩形的高=翁不求得小矩形的高，补全频率分布直方图；

组距

(//)根据中位数的左、右两边的小矩形的面积之和相等，求从左数频率之和等于0.5

的横坐标的值;

(///)利用组合数公式计算从从第1组和第6组所有人数中任取2人的取法种数，再计

算从第1组与第6组各抽取1人的取法种数，代入古典概型概率公式计算.

解：(I)分数在［70,80)内的频率为1-(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)X10

=0.3,

工小矩形的高为0.030,补全频率分布直方图如图：

(II)由频率频率分布直方图知前三组的频率之和为0.1+0.15+0.15=0.4,

中位数在第四组，设中位数为70+x,贝40.4+0.030Xx=0.5=x=当，

O

IQ99A

・・・数据的中位数为70喈=等，

OO

(III)第1组有60X0.1=6人(设为1,2,3,4,5,6)