高中数学立体几何知识点总结

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空间几何体的三视图和直观图

1三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下

2画三视图的原那么：长对正、高平齐、宽相等

3直观图：斜二测画法〔角度等于45度或者135度〕

4斜二测画法的步骤：〔1〕.平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴；〔2〕.平行于y轴的线长度变半，平行于*轴的线长度不变；〔3〕.画法要写好。

空间几何体的表面积与体积

〔一〕空间几何体的表面积：1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

2圆柱的表面积S2rl2r3圆锥的表面积：S2rlr2

222SrlrRlR4圆台的表面积5球的表面积S4R

6扇形的面积公式S扇形nR21lr〔其中l表示弧长，r表示半径〕3602

注：圆锥的侧面开展图的弧长等于地面圆的周长

〔二〕空间几何体的体积

1柱体的体积VS底h2锥体的体积V1S底h3

13台体的体积

VS上3

平面的基本性质43S下)h4球体的体积VR3

公理1假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在这个平面内.

公理2假如两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

公理3经过不在同一贯线上的三个点，有且只有一个平面.

依据上面的公理，可得以下推论.

推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.

空间线面的位置关系共面平行—没有公共点

(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点

异面(既不平行，又不相交)

直线在平面内—有很多个公共点

(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点

直线在平面外)相交—有且只有一公共点

(3)平面与平面相交—有一条公共直线(很多个公共点)

平行—没有公共点

异面直线的判定

Undidar：Perwish欢迎您加入Perwish微信公众平台！在这里，我们会为您提供更多的中学数理化专题训练资料并共享有效的学习方法！1

证明两条直线是异面直线通常采纳反证法；有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.

线面平行与垂直的判定

(1)两直线平行的判定

①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.

②假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即假设a∥α,a=b,那么a∥b.

③平行于同一贯线的两直线平行，即假设a∥b,b∥c,那么a∥c.

④垂直于同一平面的两直线平行，即假设a⊥α，b⊥α，那么a∥b

⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即假设α∥β,α∩γ,β∩γ=b,那么a∥b

⑥假如一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即假设α∩β=b,a∥α,a∥β，那么a∥b.

(2)两直线垂直的判定

1.定义：假设两直线成90角，那么这两直线相互垂直.

2.一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即假设b∥c,a⊥b,那么a⊥c

3.一条直线垂直于一个平面，那么垂直于这个平面内的任意一条直线.即假设a⊥α,bα，a⊥b.

4.假如一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即假设a∥α,b⊥α,那么a⊥b.

5.三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即假设α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，那么a⊥b,b⊥c,c⊥a.

(3)直线与平面平行的判定

①定义：假设一条直线和平面没有公共点，那么这直线与这个平面平行.

②假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.即假设aα,bα，a∥b,那么a∥α.

③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即假设α∥β,lα，那么l∥β.

④假如一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即假设α⊥β,l⊥β，lα，那么l∥α.

⑤在一个平面同侧的两个点，假如它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即假设Aα，Bα，A、B在α同侧，且A、B到α等距，那么AB∥α.

⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即假设α∥β,aα，aβ，a∥α，那么α∥β.

⑦假如一条直线与一个平面垂直，那么平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即假设a⊥α,b

b∥α.

⑧假如两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即假设a∥b,a∥α,b∥α(或bα)

(4)直线与平面垂直的判定

①定义：假设一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直.

②假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

即假设mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,那么l⊥α.

Undidar：Perwish欢迎您加入Perwish微信公众平台！在这里，我们会为您提供更多的中学数理化专题训练资料并共享有效的学习方法！2α，b⊥a，那么

③假如两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即假设l∥a,a⊥α,那么l⊥α。④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即假设α∥β,l⊥β，那么l⊥α。

⑤假如两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即假设α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,那么l⊥α。

⑥假如两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，即假设α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,那么a⊥γ。

(5)两平面平行的判定

①定义：假如两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β。

②假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即假设a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,那么α∥β。

③垂直于同一贯线的两平面平行.即假设α⊥a,β⊥a,那么α∥β。

④平行于同一平面的两平面平行.即假设α∥β,β∥γ,那么α∥γ。

⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行，即假设a,bα,

c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,那么α∥β。

(6)两平面垂直的判定

①定义：两个平面相交，假如所成的二面角是直二面角，那么这两个平面相互垂直，

即二面角α－a－β=90α⊥β。

②假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直，即假设l⊥β,lα，那么α⊥β。③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即假设α∥β，α⊥γ，那么β⊥γ。

直线在平面内的判定

(1)利用公理1：一贯线上不重合的两点在平面内，那么这条直线在平面内.

(2)假设两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，

即假设α⊥β,A∈α，AB⊥β，那么ABα。

(3)过一点和一条已知直线垂直的全部直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即假设A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，那么aα。

(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即假设Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，那么aβ。

(5)假如一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，

即假设a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,那么bα。

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立体几何

空间几何体的三视图和直观图

1三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下

2画三视图的原那么：长对正、高平齐、宽相等

3直观图：斜二测画法〔角度等于45度或者135度〕

4斜二测画法的步骤：〔1〕.平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴；〔2〕.平行于y轴的线长度变半，平行于*轴的线长度不变；〔3〕.画法要写好。

空间几何体的表面积与体积

〔一〕空间几何体的表面积：1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

2圆柱的表面积S2rl2r3圆锥的表面积：S2rlr2

222SrlrRlR4圆台的表面积5球的表面积S4R

6扇形的面积公式S扇形nR21lr〔其中l表示弧长，r表示半径〕3602

注：圆锥的侧面开展图的弧长等于地面圆的周长

〔二〕空间几何体的体积

1柱体的体积VS底h2锥体的体积V1S底h3

13台体的体积

VS上3

平面的基本性质43S下)h4球体的体积VR3

公理1假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在这个平面内.

公理2假如两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

公理3经过不在同一贯线上的三个点，有且只有一个平面.

依据上面的公理，可得以下推论.

推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.

空间线面的位置关系共面平行—没有公共点

(1)直线与直线相交—有且只有一个