中学考试全书 《高中数学总复习四十三讲》(下)

第三十四讲

分类计数原理与分步计数原理

最对本部分内容的考查呈现以下特点：

新1.分类计数原理和分步计数原理是排列组合问题的基础和依据，虽然不是每年都单独命题，但是

命其中的思想贯穿于整个排列组合中.

题2.考杳内容：两个原理.

特3.考查形式：选择题居多，通常是贯穿于排列组合的其他题目中出现.难度一般不大，属于中低

点档题型.

预计：典型例题仍然要有题目涉及，综合出现在解答题中的可能性较大.

应两个原理看起来简单，但是要真正学会并能理解应用不是很容易的事，特别是两个原理的整合应

试用是高考中丢分的关键因素.

高

分

瓶

颈

命题点1分类计数原理（加法原理）

命题点2分步计数原理（乘法原理）

本类考题解答锦囊

命题点1分类计数原理（加法原理）

解答“分类计算原理”一类试题应注意：

1.分类计数原理是强调完成一件事情的几类方法互不干扰，彼此之间的交集是空集，并集是全集.不论哪类方法中的哪一种方法都能

单独完成这件事，办法中的各种方法也是相互独立的.

2.正确区分分步计数原理与分类计数原理.

I高考最新热门题

1（典型例题）从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数学组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共

有一个.（用数字作答）命题目的与解题技巧：①本题主要考查分步计数原理与排列的基本知识.②抓住0不能在首位且个位只能是0

或5来讨论是正确解题的关键.

［解析］①当个位是0时，0_

CCA=4X3X4X3=144.

②当个位不是0且含0,5_

则个位必为5,先为0选位置.

CCCA=2X3X4X2=48.

③当不含0时，个位必为5,5

CCA=3X6X3X2=108.

二共有144+48+108=300个.

［答案］300

2（2002•广东、河南）［文理］从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有

A.8种B.12种C.16种D.20种

答案：C指导：甲-*A-B-C-D-•甲

由上表知A,D不为甲.

（1）若B为甲，则不同传法=4种.

（2）若B不为甲，而C为甲，

贝IJ不同传法

（3）若9不为甲，C不为甲，则©=2.

综上知，共有传球方法4+4+2=10种.

3（典型例题）从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组

成的钝角三角形的个数为m,则m等于

答案：A指导：若选择三个不同的数，(且不含0)共有曷+屑+照++照=168ft.

若选择三个不同的数(含0)共有8+7+6+5+…+1=36种若选择二个数，共有8+7+6+…+1=36种共有168+36+36=240种

4(典型例题)在由数学1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有

A.56个B.57个C.58个D.60个

答案：D指导：从01至10中连续选3个，共有8种选法，

从11至20个连续选2个，共有9种选法，

从21至30个选1个，共有10种选法，

从31至36中选1个，共有6种选法.

二共有8X9X10X6种号码

二共有8X9X10X6X2=8640元故选D.

5(典型例题)从0,1,2,3,4,5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有个.(用

数字作答)

11题点经典类型题

1(典型例题)等腰三角形的三边均为正数.它们周长不大于10.这样不同形状的三角形的种数为

A.8B.9C.101).11

命题目的与解题技巧：①考查分类计数原理；②合理分类，注意条件“周长不大于10”

［解析］设三边为x,y,z,则x+y+zW10,由三边关系共有

(1,1,1),(1,2,2),(1,3,3),(1,4,4),(2,2,2),(2,2,3),

(2,3,3),(2,4,4),(3.3,3),(3,3,4)共10种.

［答案］C

2(典型例题)三人传球，由甲开始发球，并作第•次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有

A.6种B.8种C10种D.16种

3(典型例题)如果三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数•共有

A.240个B.285个C.231个D.243个

4(典型例题)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元。某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20

中选2个连续的号，从21至扣中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全，至少要

A.3360元B.6720元C.4320元D.8640元

m新高考命题探究

1如图34—1—1,花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池

的花色不同，则最多有几种栽种方案

A.180种B.240种C.360种D.420利，/'厂\

D指导：⑴当1；2,4：3,5.仅三种花卉时，有混种.(Jp147

(2)当1；2,4；3,5恰四种时，有川种.图34-1-1

⑶当1；2,4;3,5恰四种时，有混种.

(4)当栽种五种时，有种.

2在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦,

3号地不能种3号小麦，那么有多少不同的试种方案？

分两类.04号地种4号小麦，1号地有2种试种方法，2、3号

地只有1种试种方法，共有2种种法.②土地编号与小麦

编号都不相同，第1号土地有3种试种方法，若1号地种的

是第1.号小麦，则第1.号土地有3种种法，余下的两块地只有

1种种法，共有3X3=9种试种方法.由分类计数原理试种方

案共有2+9=11种.

命题点2分步计数原理（乘法原理）

本类考题解答锦囊

解答“分类计数原理”一类试题要弄清以下两问题：

1.分步计数原理强调各个步骤缺一不可，需要一次完成所有的步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步使用什么方法不

影响后一步采取什么方法，也就是步与步之间相互依存，只有连续性，但每步中的不同方法却相互独立，互不干扰.

2.通常把完成题设事件的所有方法分为若干个“互斥类”，又在同一类中将完成事件的方法分成若干个“独立步”，以保证“不重、

不漏”.

I高考最新热门题

1（典型例题）将3种作物种植在如图34-1-2,5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不一

能种植同•作物，不同的种植方法共有一种。（以数字作答）||||

命题目的与解题技巧：①本小题主要考查分类、分步计数原理等基础知识，以及运用所学知识解决图34-1-2

实际问题的能力.②抓住了3种种子都种在试验田中这一特点，是正确解题的关键.

［解析］分别用a,b,c表示3种作物，先安排第•块田，有3种方法，不妨设先放入a,再安排第二块田有b或c两种作物，有2

种方法，不妨设放入A,下面对第三块田种。或c进行分类:

（1）若第三块田种c,则第四、五块田分别有2种方法,共2X2种方法；

（2）若第三块田种a,则第四块田仍有b或c两种作物可放；

①若第四块田放c>则第五块田有2种方法；

②若第四块田放b,则第五块田只能放c,有2种方法.综上,共有3x2x［2x2+（2+l）］=42种方法.

［答案］42

2（典型例题）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同

插法的种数为

A.42B.30C.20D.12

答案：A指导：第一步，先插入第一个节目，有6种插入法.

第二步，再插入第二个节目，有7种插人法.

故共有7X6=42种.

3（典型例题、河南）圆周上有2n个等分点（n>l）,以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为•

答案：2n（n-l）指导：2n（n-l）圆周上有2n个等分点，因此，有n条直径，每条直径为斜边，有2n—2个直角三角形，故共有

n•（2n-2）=2n（n-l）个直角三角形.

4（典型例题）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3,0）（允

许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有种（用数字作答）.

答案：5指导：设每次跳动的值为x（i=l,2,2,3,5）,则根据题意得5=3.必有4个1和一个T,共有方法

=5（种）.

5（典型例题）如图10-1-3所示，-个地区分为52个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同颜色，/

现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）

答案：72指导：先排1区，有4种方法；再排2区，有3种方法；接着排3区，有2种排法.下面对4区涂色

情况进行分类；若4区与2区同色，有1种方法，此时5区有2种方法，若4区与2区不同色，则1、2、3区不

同色，故4区也只有1种方法，此时5区只有1种方法，故共有4X3X2X（1X2+1X1）=72（种）.

II题点经典类型题

1（典型例题）甲乙丙三个单位分别需要招聘工作人员2人、1人、1人，现从10名应聘人员中招聘4人到甲乙丙三个单位，那么不同的招

聘方法共有

A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种

命题目的与解题技巧：①考查分步计数原理与组合知识；②合理分步是解决此类问题的关键

［解析］第一步先从10人中选2个有种，再从8人中选1个人有种，再从7人中选1个人有种，故共有C*・C；=2520种

方法.

［答案］C

2（典型例题）某文艺团体下基层进行宣传演出，原准备的节目表有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，在它们之间再插入2个

小品节目，并且这2个小品节目在节目表中既不排头，也不排尾，那么不同的插入方法有

A.20种B.30种C.42种1）.56种

答案：B指导：由题意知，将第一个小品节目插人节目单中，有武

种插法.

将第二个小品节目插入节目单中，有种插法.

则共有Cg或=30种安排方法.

3(典型例题)由0,1,2,…，9这十个数字组成的、无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为

A.180B.196C。210D.224

答案：C指导：由题意知可能情况有

(1)08」(2)„80,⑶.19,⑷9

对⑴、(2)都有不同数字相=8X7=56种.

对(3)、(4)都有不同数字=49种.

则共有(56+49)X2=210种不同四位数.

4(典型例题)某电子器件的电路中，在A、B之间有C、D、E、F四个焊点(如图34—1-5).如果焊点脱落，则有可能。

导致电路不通，今发现工A、B间电路不通，则焊点脱落的不同情况有种._cj一:一£

答案：13指导：焊点C是否脱落有12种选法.1)、E、F均有2种选法.则有Z%16种方案.

而全不脱落电路畅通，有1种方案，恰D、E中一个脱落，

图34-1-5

种方案.故断路方案有16-1-=13种.

III新高考命题探究

1.某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为卜位、个位上的数字(如2816)的方法设计密码，当积为

-一位数时，十位上数字选0.千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有

A.90个B.99个C.100个D.112个

答案：C指导：千位上数字的取法引C；o,百位上数字的取法共设计方案=10。种，也即有100个密码.

2.如图34T-6所示，用不同的五种颜色分别为A、B、C、D、E五部分着色，相邻部分不能用同种颜色，但同一种颜

色可以重复使用，也可不使用，则符合这种要求的不同着色的方法种数是图34_1_6

A.120B.240C.480I).540

答案：D指导：为A着色有eg种，为B着色有种为C着色

种，为E着色有种.

为D着色有Cl种.故共有=540种

第三十五讲排列与组合

最对木部分内容的考查呈现以下特点：

新1.排列组合不仅是高中数学的重点问题，同时在实际中有很大的用处，因比在高考中经常有题目涉

命及.

题2.考查内容：排列、组合的概念、排列数与组合数、排列组合的应用.

特3.考查形式：单独命题是通常出现在选择或填空题中，有时候和组合及概率相结合出现在解答题

点中.难度相对较小，属于高考中的中低档题目'

预计：典型例题仍然要有题目涉及，出现在解答题中的可能性较大.

应1.排列中读不清题目中的关键字(如“在”与“不在”、“邻”与“不邻”等)是导致丢分的因素之

试

高2.组合中读不清题目中的关键字的口“恰好”、“至多”、“至少”、“既有…又有…”等)是导致丢分

同的因素之一.

分3.针对于不同类型的题目灵活使用不同的方法是本部分的难点.

瓶

颈

命题点1排列

命题点2组台

命题点1排列

本类考题解答锦囊

解答“排列”一类试题应注意以下几方面：

1.本题考查二次函数的•般式，函数性质和排列组合的应用.

2.关键是对二次函数、偶函数弄清楚.

3.“在”与“不在”的问题应该使用“优先法”.优先考虑特殊位置或者特殊元素，对这些特殊位置或者特殊元素进行优先排列.

4.“邻”与“不邻”的问题中：“邻”的问题应使用“捆绑法”；“不邻”的问题应使用“插空法”.

I高考最新热门题

1（典型例题）从一1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax、6x+c的系数，可组成不同的二次函数共有个，其

中不同的偶函数共有________个.（用数字作答）

命题目的与解题技巧：①本题考查二次函数的一般式，函数性质和排列组合的应用②关键是对二次函数，偶函数弄清楚.

［解析］・・・aW0,・・・a应从除0外的三个数中任取•个有C；个.b、c应从剩下的三个中任取2个，有种取法.则组成不同的二次

函数共有=18个，组成偶数函数必满足aWO,b=0,则有A；二6个.

［答案］6

2（典型例题）某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数

为

A.Ale；B.C.屋C：D.2A；

答案：B指导：分两步：①把4名学生平均分成两组，有方法：仁尹•=；《；②把两组学生分到六个班级的两个班中，；出种方法,

故共有方案g出常种，选B

3（典型例题）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，

那么不同排法的种数是

A.234B.346C.350D.363

答案：B指导：前排中间的3个座位不能坐，有排法用），其中左；相邻的分三类，在前排的其中的4个座位有3度；，则符合条,

的排法的种数中/）-3至-3A5-11A］=346,故选B另解：分三类：①两人坐在前排，按要求有4•6+4•5=44

种坐法.

②两人坐在后排，按要求有：A|2］=110种坐法.

③两人分别坐在前后排，有8X12X2=192种

.•.共有346种排法.

4（2002•京皖）从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，

则选派方案共有

A.280种B.240种C.180种D.96种

答案：指导：

翻译

因为甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，因此，翻译工作从余下的四名志愿者选一人有种，再从余卜一的5人中选3人从事导游、导购、

保洁有种，因此公弟=240题点经典类型题

II题点经典类型题

1（典型例题）5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为

A.120B.324C.720D.1280

命题目的与解题技巧：考杳排列知识，用“涂色原理”.

［解析〕分五步：5X4X4X4X4=1280,故选D

［答案］D

2（典型例题）用1个1,2个2,3个3这样6个数字可以组成多少个不同的6位数

A.20B.60C.120D.90

答案：B指导：由题有-^=60故选B.

A弼

3（典型例题）有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有

A.24种B.36种C.60种D.66种

答案：B指导：先排甲、乙外的3人，有宿种排法，再插入甲、乙两人，有照种方法，又甲排乙的左边和甲排乙右边各占;故不同方

法数有:另•照=36种.

4（典型例题）用0,3,4,5,6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是

A.36B.32C.24D.20

答案：1）指导：按首位数字的奇偶分两类：若首位是奇数，则共有种方法，若首位是偶数，则共有（母-度）属种方法....这样的

五位数共有照宿+（用-尾）Af=20种.

ni新高考命题探究

1百米决赛有6名运动员A、B、C、D、E、F参赛，每个运动员速度不同，则运动员A比运动员9先到终点的比赛结果共有

A.360B.240C.120D.48

答案：A指导：由A比F先到终点.又A与F先到终点的机会均等，故只需对六人全排后除以2即筮/2=360.选A

26名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站在第一道也不能站在第二道，乙必须站在第五或第六道，则不同排法种数共有

A.144B.96C.72D.48

答案：A指导：先为乙选道C；,再为甲选•道余下4人排法有温，则共有C：C；*=144.

3从6名短跑运动员中选出4人参加4x100米接力赛，如果甲、乙两人都不跑第棒，那么不同的参赛方案有

A.180种B.240种C.300种D.360种

答案：指导：分三种情况：⑴甲、乙都不参加，有公=24种；（2）甲、乙仅有1人参加.有2C；*=144种；

（3）甲、乙两人都参加，有蜀曷72种.由分类计数原理.•.共有24+144+72=240种.

命题点2组合

本类考题解答锦囊

解答“组合”一类试题应注意以下儿点：

1.读清题意，确定是排列还是组合.此时应该注意的地方是：选出的元素是否有各自不同的顺序或者位置.

2.与排列数不同，组合数有较多的性质（剩余性质和连加性质），与以前或以后的很多知识点都有密切的联系，就引起特别注意。

3.注意组合中的关键字：“恰好”、“至多”、“至少”、“既有…又有…”.

4.“多面手”问题：分类讨论，分类的依据应该是看多面手分到两边中其中•边的人数.

5.几何问题：考虑（1）所给点的特点；（2）所构成图形的要求.

I高考最新热门题

1（典型例题）直角坐标xOy平面上,平行直线x=n（n=0,1,2,…，5）与平行直线y=n（n=0,1,2,--5）组成的图形中,矩形共有

A.25个B.36个C.100个I）.225个

命题目的与解题技巧：①考查排列组合的计算问题，以及分析问题、解决问题的能力.②解决计数问题的关键是选择计数的出发点，即

“完成一个事件”的策略是什么？本题“完成矩形”的构造，考虑的着眼点是矩形是由四条边构成，这四条边从何而来.

［解析］矩形是从平行直线x=n（n=O,1,2,…，5）中选择两条，作为一组对边.再从平行直线y=n（n=l,0,1,2,…，5）中选择两条,

作为另一组对边形成的.每一种选择方案确定一个不同的矩形，故矩形共有=225个.

［答案］D

2（典型例题）在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是

A.B.

Goo—C」4D.Aoo—A94

答案：c指导：任取3件产品有C.^o种方法，其中无次品有种方法，故至少有1件次品的方法数为G%-或4.

3（典型例题）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有

A.140种B.120种C35种D.34种

答案：D指导：既有女生乂有男生，可以分类表示，三男•女有种选法，二男二女有种，•男三女有C：•可种

选法，则总的不同的选法有C：•+C：•丹+以・Cl=34（种）

4（2002•北京）［理］12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有

A.种B.3种C.种D.种

答案：A指导：先分配4个人到第一个路口，再分配4个人到第二个路口，最后分配4个人到第三个路口.

II题点经典类型题

1（典型例题）从4名男生和5名女生中任意选出3人参加•个会议，其中至少有1名男生和名女生，则不同的选派方案有

A.140种B.84种C.70种D.35种

命题目的与解题技巧：①考查组合问题.②合理使用加法原理.

［解析］若选两女一男，则有•种方法，若选两男一女，则有C•种方法，故共有C・+・=70种.

［答案］C

2（典型例题三校）高三年级有文科、理科共9个备课组，每个备课组的人数不少于4个，现从这9个备课组中抽出12人，每个备课组至少

1人，组成“年级核心组”商议年级的有关事宜，则不同的抽调方案共有

A.129种B.148种C.165种D.585种

答案：C指导：本小题可看成将12个人排成•排，插入8块板，分成9部分.有C：|=G3］=165种.

3（典型例题）一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法

的种数是

A.40B.74C.84I）.200

答案：B指导：若前5题中包含3个，则共有种，若前5题中包含4个，则共有种，若前5题中包含5个，则共有可以

种，不同的选法种数为C?・丹+C?♦或+C?・以=74种.

4（典型例题）将1,2,3,9这9个数填在如图35—2-1中的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下依次增大，当3、4

固定在图中位置时，所填写空格的方法有

A.6B.12C.18D.24

答案：A指导：由题意知数字1,2,9的位置也是固定的，如图：5,6,7,8四个数字在A、B、C、D四个位置上，A、B位置上的填法

Cl，CsD位置上的填法封，共有C：・C>6种，故选A

m新高考命题探究

1将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有

A.252种B.112种C.70种D.56种

答案：B指导：由题知，总分配方法有：可可+可。+燎弓+可仁=112种.故选B

2圆周I:有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是

A.A］：B.A"］；C.D.G：

答案：D指导：圆周上任意四个点的交叉连线交点均在圆内且惟•，故只需确定这样四点的种数.由这四点选法有，故在圆内交点个数

为C1［,所以选n

T

3设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T,由一的值为•

S

答案：生指导：工=-5_且——^=—

128SC和+C；o+...+C什128

考场

热身探究性命题综合测试

1一架间谍飞机侵入我领空，空军某部奉命派出三架战机跟踪拦截，作战部要求我战机分别位于敌机的左右两翼和后方成三角之势夹击敌

机，这样，我三架战机的不同排列方式有（）种

A.3B.6C.9I）.12

答案：B指导：即三架飞机三种不同占位，故国=6（种）

2要排出一张6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两舞蹈节目不得相邻，不同的排法共有（）种

A.A'oB.C.A：-A；I）.Af-Ay

答案：D指导：先排6个歌唱节目有种排法，这6个节目有7个空隙（首尾各一个，中间5个），在这七个空隙中将4个舞蹈节目插入有

种插法，由分步计数原理，共有就种方法.

3现从某校5名学生中选出4人参加数学、物理、化学三个课外活动小组，要求每个小组至少有一人参加，且每人只参加一个活动小组，

则不同的参加方案种数是

A.180B.120C.60D.30

答案：A指导乙丛5名学生中选4人有C；种选法，然后4人分成3组参加数理化三个课外活动小组，有Cl•宿种，则共有C：•或・=180

（种）选A

4某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张不同花色的A,有5次出牌的机会，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，此

人有多少种不同的出牌方法？

答案：A?+房+*+^A?+A?+Cj*A?=860种指导：出牌的方法可分为以下几类：①5张牌全部分开出，有再种方法：欧张2一起出，

3张A分开出，有用种方法；③2张2一起出，3张A分开出，有混种方法；④2张2一起出，3张A分两次出，有仁・A9种方法：⑤2

张2分开出，3张A一起出，有恁种方法；⑥2张2分开出，3张A分两次出，有C色丝种方法，因此共有不同的出牌方法

5已知y=f（x）是定义域为A={x|lWxW7,xSN）,值域为B={0,1}的函数

（1）试问这样的函数f（x）共有多少个？

（2）若对于定义域中的4个不同元素，对应的函数值都是1,那么这样的函数共有多少个？

答案：（1）函数是非空数集到非空数集上的•个映射，根据映射的定义，只要对集合A中的7个元素在9中都有唯一的元素与之对应即可，

根据分步计数原理，共有2X2X2X…X2=2?=128个，又0或1没有原象的映射各有一个,故这样的函数f（理共有1282=126个.

（2）因为定义域中的4个元素对应于值域中的1,那么其余3个元素都对应值域中的0,故这样的函数f（x）有Cf=35（个）.

第三十六讲

二项式定理

最对本部分内容的考查呈现以下特点：

新1.二项式定理是高中数学中的重点内容，也是高考中每年必考的内容.

命2.考查内容：（1）二项展开式；（2）二项展开式的通项公式：（3）二项式系数、二项式系数和；（4）

题展开式系数、系数和.

特预计：20%年高考可能有题目涉及，出现在选择填空中的可能性较大.

点

应1.二项展开式的通项公式容易出错.第r十1项的二次式系数为.

试2.二项式系数、系数的区别与使用是本部分的难点内容，也是高考中丢分的关键因素之一.

高

分

瓶

颈

命题点1通项公式

命题点2二项展开式的系数与系数和

命题点1通项公式本类考题解答锦囊

解答“通项公式”一类试题要注意以下几方面：

1.熟悉通项公式

2.在二项式的题目中出现“项”的问题（如常数项、含x的项、含的项、有理项等），通常都要用通项公式.

3.用通项公式解题，通常是解方程的问题，要注意方程的选取.

I高考最新热门题

1（典型例题）X~~J=展开式中/的系数为.

命题目的与解题技巧：①本小题主耍考查二项式定理、指定项系数等基本知识.②利用好二项展开式的通项公式J,使问题简化.

［解析］

3

令8——r=5得r=2.

2

展开式中r的系数为=28.

I：答案］28

2（典型例题）若（1—2，）"展开式的第3项为288,则lim（—I——H----1--------）的值是

—xx"

12

A.2B.1C.—D.一

25

答案：A指导：（a+b）”展开式中第r+1项为7;+|=C；・a（"-"，由此知288=丹・（-2*）2解之：x=3则数列｛々｝是公比为2的等比数列

2x13

a«

3（典型例题）已知（x-一］展开式中常数项为1120,其中实数。是常数，则展开式中各项系数的和是

X

A.28B.38C.1或3*D.1或28

答案：C指导：设第r+1项为常数项，则有4+1=C&・卢，・（_q）r=d・（_4・产2「当『=4时,7川为常数项

X

即：4・（-a）4=1120解：a=±2当a=-2时,（8+与展开式中各项系数和（1+2）8

X

当a=2时，展开式中各项系数和为（］-卞8=1

31

4(典型例题)己知+X3)”的展开式中各项系数的和是128,则展开式中X,的系数是.(以数字作答)

3」

答案：35指导：各项系数和为2",则2"=128,"=7,7;+|=.(「尸，・(『3),,令电二匕=5,r=3.C；=弓=35.

6

II题点经典类型题

1(典型例题)已知(一^+56)”的二项展开式的第六项是常数项，那么n的值是

30。x

A.32B.33C.34D.35

命题目的与解题技巧：①考查二项式定理.②灵活使用通项.

5

［解析］T6=c^(—^=y-•(如产=.「否"臼"

30Jx

:*-------(n—5)+1=0.n—35.

30

故选D.

［答案］D

2(典型例题)(x'+"4)”的展开式中，第6项系数最大，则不含x的项为

X

A.210B.10C.462D.252

答案：A指导：第六项系数即为第六项的二项式系统。

310-r

n=10.7；+1=C；o•(x)•(<)'=4产312r令30-3r-2r=0,r=6,;.C［o=4=210

3(典型例题)设f(x)=l+x+(l+x)2+…+(l+x)n的展开式中x项的系数和为Tn,则

111

A.—B.—C.-D.1

842

答案：C指导：7；=l+G+C；+..&=匚9..,.胃8/一=工

2n£+n2

4(典型例题)已知(xjl--)6的展开式的第五项等于—，则lim(x'+x。…+x”)等于

X27L

A.0B.1C.2D.3

3

答案：B指导：7^=C^-x-1)4•(x2)6-4=15x-1=y./.1=2-，

］

2(1------)

力工(婷+/2+/3+....+广〃)=吧8(U+4+...+/可工——^=吧8。一；)=1

22222

~2

5(典型例题)若(x2+)n的展开式中，只有第四项的系数最大，那么这个展开式中的常数项是—

答案：20指导：由题知产6,・,・常数项为直二20

6(典型例题)若(五一2)”的展开式中的第5项为常数项，则产.

n-44

444

8指导：T5=C^»(V7)"-.(-^)=C>2•・:5

.••第5项为常数项.•.Zj±+(-g)=(V."=8.

HI新高考命题探究

1在(l+x)3+(l+x)4+…+(l+x)典型例题式中x3的系数等于

A,C2004B.C2005&2co04D.2c嬴

B指导：x的系数等］-C孑+C：+eg+…+CZQO4=C：+C：+C：+….+CgoQ4=cgogs故选B

2在(x,+3x+2)'展开式中x的系数为

A.160B.240C.360D.800

答案：B零指导：由题知x的系数为c!(3x”Cf・24=240・x

命题点2二项展开式的系数与系数和

本类考题解答锦囊

解答“二项展开式的系数与系数和”一类试题要注意：

1.区分二项式系数与系数的区别与联系，不要将两者混为一谈.

2.二项式系数和与系数和：二项式系数和式是结论性的，记住结论即可.系数和的求法是“赋值法”，针对不同的问题赋不同的值，

通常是“1,-1,0”.

3.注意系数和与二项式系数和中的“全和”与“半和

I高考最新热门题

w，ia2ftt

1(典型例题)若(1—2x)'""+aix+a2x+—+aitws(xeR),则(a。十a)+(a.,+a2)+(a,+a3)+—+(a,,+a.(用数字作答)

命题目的与解题技巧：①本小题主要考杳二项式定理的基本知识，以及赋值法等基本方法.②观察式子特点，寻找x赋值为多少时使已

知所得等式更接近所求，从而使问题迎刃而解.

［解析］令x=0,得a>=l；

令x=l,得bajai+a?+…+a""MB故(a«+ai)+(a0+a2)+(ao+a3)+…+(a»+a优艰i«OO3+ao+ai+a2+…+a*，幽,04.

c；+c；+c：+…+c：

［答案］典型例题(典型例题)lim

(C；+C；+C：+—+C：)

A.3B.c.D.6

36

*

答案：B指导：原式=即28_lim_____3x2_____

一“T85—1)(2+〃)

〃(2+3+…+〃)n•----------3

2

an-2b

3(2002•上海)在二项式(l+3x)和(2x+5)的展开式中，各项系数之和分别记为an、bn,n是正整数，则hm-----------

3an-4hn

。〃一次4〃-2・7〃

答案:指导：由二项式定理得：%=4"=7〃巴82

23斯-4%-'183・4”-4・7〃2

4(典型例题)若(x+2)"=x"+…+ax3++bx2+cx+2"(n£N,且n23),Jla:b=3:2,贝Un二_________.

答案：指导：(x+2)〃=C：x"+X21十…十。：一3天3义2”-3+c；-2x2+X2〃T+C：x2”,

故〜—等.・.泊X”等…U

II题点经典类型题

1(典型例题)若(n£N+),FL(2—x)n=aO+alx+a2x2+…+anXn,则a0-al+a2-,,,+(-l)nan等于

A.81B.27

C.243D.729

命题目的与解题技巧：①考查二次式定理②灵活运用“平和”公式③合理使用“赋值法”

［解析］由题知2n+6=n+2,/.『-4(舍)或2n十6n十2=20An=4.

n

此时令x=-1,ao-ai+a2-a3+***(-1)an=3-81.

［答案］A

2(典型例题)已知工由=为+五代".(其中叭nez,且OWm〈n).若f(x)=工(一»。；(3一戏=2出了1则;苫讳=

i=mi=0i=0i=l

A.0

B.-2

C.(-1)"

D.n为偶数时为0,n为奇数时为-2

答案：D指导:由题知,只需令x=l则Ya,-=S(-D'C'O-iy=YC*(-2)*=C°(-2)°=C^-2)1+...C；；(-2)n=(1-2)"=(-1)"

i=0

i=0i=0

n

£%=(-l)-a()=(-1)"-1.-.当n为奇数时,=-2,A当”为偶数时,=0,

/=0i=li=l

3(典型例题)若n是奇数，则7"++C：7"T+C；7"-2+...+。：-7被9除的余数是

A.0B.2C.7D.8

答案：C指导：原式=C，7"+C：・7"-1+...C"~l•7+C-l.=(7+l)n-l=8,,-l=(9-l),,-l=C®(-l)09n+c\9n~l(-1)'+1....+C；；(-l)n-l.

tn为奇数,故侨余数为7。

4(典型例题)若(2—x)'^aj+aix+a,x'+--aiox10,

WJIog2al)+log2as+log45=.

102

答案：12指导，：log2aQ+log2Og-log245=log22+log2Qo•2-log245=10+2+log245-log245=12

m新高考命题探究

1在(l+x)"(n为正整数)的二项展开式中，奇数项的和为A,偶数项的和为B,则(l-xT的值为

A.0B.AB

C.AJ-B2D.A'+B2

答案：C指导：由题知(1-x)”=A-8(l-x)"=A+B;.(1-/)"=(]-X)"(I+X)"-(4-B