2020-2021学年浙江省宁波市北仑区九年级（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年浙江省宁波市北仑区九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.若3x=7y（盯WO）,则下列比例式成立的是（）

三3三

A.B.-ZC.D.-^―=—

y-77而3-7x+y10

2.如图四个圆形网案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转72°后，能与

原图形完全重合的是（）

A因

◎

3.“小明过学校门口的马路遇到红灯”这个事件是（）

A.确定事件B.不确定事件C.不可能事件D.必然事件

4.正十边形的每个内角都是（）

A.36°B.72°C.108°D.144°

5.在RtZ\A5c中,ZA=90°,AB=5,BC=12,则sinC的值是()

A.叵5

oR.----c.—D.12

12121313

6.若OO的半径r=6,点。到直线/的距离为3,下列图中位置关系正确的是（）

7.二次函数y=x2-l经过适当变换之后得到新的二次函数y=x2-6x+13,则这个变换为

)

A.向上5个单位，向右3个单位

B.向下5个单位，向右3个单位

C.向上5个单位，向左3个单位

D.向下5个单位，向左3个单位

8.如图，OA过点O(0,0),B(2«,0),。(0,2),点C是OA上的一点，连接

CO,CD,则/DC。的度数为()

A.22.5°B.30°C.37.5°D.45°

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数yual+bx+c的图象与对称轴直线交于点A,

与x,y轴交于B,C,。三点，下列命题正确的是()

①%>0；

②若OO=OC,则ac+6+l=0；

③对于任意尤0(X()W〃2),始终有办()2+及0>初2+加；

④若B的坐标为(-/〃，0),则C的坐标为(3/71,0).

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

10.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图,

以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图的方

式放置在最大正三角形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）

A.直角三角形的面积

B.最大正三角形的面积

C.较小两个正三角形重叠部分的面积

D.最大正三角形与直角三角形的面积和

二、填空题（每小题5分，共30分）

11.半径为2,圆心角为120。的扇形的面积为（结果保留TT）.

12.四边形ABC。内接于OO,ZA=80°,则NC=.

13.在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同100个球，某小组做摸球实验，将球搅匀后从中

随机摸出1个球，记下颜色，再把它放回，不断重复，下表是实验中记下的一组数据：

摸球的次数n1001502005008001000

摸到红球的次数m79115152385598751

摸到红球的频率巨0.7900.7670.7600.7700.7480.751

n

试估计口袋中红球有个.

14.在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图

所示.若“1=1米，.2=10米，/7=1.8米，则这个学校教学楼的高度为米.

15.如图，点8是。。的半径。4上的中点，过点2作。4的垂线交。。于点C,D,E是

上一点，CE=CA，过点C作oo的切线/,连接OE并延长交直线/于点足已知

的半径为4,则FB为

16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数(x-2)(x-4)与y轴，无轴相交于A,

4

B,C三点，D是函数的顶点，M是第四象限内一动点，且/AMB=45°,连接MD,

MC,则2MD+MC的最小值是

三、解答题(本大题有8个小题，共80分)

17.“青年北仑”建设是北仑建设的一大亮点，现将质地大小完全相同，上面标有“青”“年”

“北”“仑”字样的四个彩球放入同一个袋子.

(1)小慧在袋子中随机摸出一个彩球，记下字样后放回，搅匀，再摸出一个彩球，请用

列表或画树状图的方法，写出所有的可能；

（2）在（1）的条件下能拼出“北仑”（不分先后）的概率是多少？

18.图1、图2均是8X8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB,CD,

MN的端点均在格点上，回答下列问题：

图1

△ABE的周长

（1）在图1中,tan/D4B=

（2）在图2中请用一把无刻度的尺子，画出线段三等分点尸，Q.（保留作图痕迹）

19.已知抛物线y=a（x-4）2+2经过点（2,-2）.

（1）求a的值；

（2）若点A（m,yi）,B（n,（m<n<4）都在该抛物线上，试比较yi与的大

小.

20.如图，富邦城即将建造一个大型摩天轮，工程师介绍若你站在距离摩天轮40米处（A

点），以29。的仰角恰好可以看到摩天轮圆轮的底部（C点），以63°的仰角可以看到

摩天轮圆轮的最上方点）.（人的身高忽略不计）

（1）求摩天轮的底部（C点）到地面（2点）的距离；（精确到个位）

（2）求摩天轮的圆轮直径（即CD）.（精确到个位）

（参考数据：sin29°-0.48,cos29°-0.87,tan29°«0.55,sin63°^0.89,cos63°~

0.45,tan63°%.96)

21.如图，已知CD是Rt^ABC斜边AB上的中线，过点。作AC的平行线，过点C作C。

的垂线，两线相交于点£.

(1)求证：△ABCS^DEC；

(2)若CZ)=4,CE=3,求△A3C的面积.

22.科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不

同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表)：

温度x/℃•••-4-20244.5•••

植物每天高度增长量ylmm・・・414949412519.75・・・

由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比

例函数、一次函数和二次函数中的一种.

(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并求出高度增长量的最大值；

(2)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250如"，

那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？

23.如图，是。。的直径，C为。。上一点，过点C的直线交的延长线于点尸，AC

平分过点A作尸C于点。，AO与交于点E.

(1)求证：PC是。。的切线；

(2)若AB=9,sinZCAB=—,

3

①求的长；

②求AE的长.

OIB

24.在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1,48为。。外两点，AB=M.给出如下

定义：平移线段AB,得到的弦A'B'（A',B'分别为点A,B的对应点），线

段A4'长度的最小值称为线段AB至IJ。。的“平移距

百j,

（1）如图，平移线段AB得到。。的长度为灰的弦尸|尸2和尸3尸4,则这两条弦的位置关

系是；在点P2,尸3,P4中，连接点A与点的线段的长度等于线段

A3到O。的“平移距离”；

（2）若点A在直线y=x+2上；

①若点3也在直线y=x+2上，记线段到。。的“平移距离”为求力的最小值；

②若点8在抛物线＞=r+4上且A3〃y轴，是否存在这样的点2满足题意，若存在，求

出“平移距离”为卫的最小值，若不存在，说明理由；

（3）若点A的坐标为（2«,2）,记线段AB到。。的“平移距离”为为，则出的取

值范围为，当为取最小值时点B的坐标为

参考答案

一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题的给出四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.若3%=7y（盯W0）,则下列比例式成立的是（）

A,三二B,三上C.土工D.二一具

y7y337x-^10

解：V3x=7y,

除以3y,得三=」，故选项A、C错误；选项2正确；

y3

设x=Qk,y=3k,

所以一J

x+y

7k

7k+3k

_7k

-l0k

=看,故选项。错误;

故选：B.

2.如图四个圆形网案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转72。后，能与

原图形完全重合的是（）

A因

◎

解：A图形顺时针旋转120。后，能与原图形完全重合，A不正确;

2图形顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合，2不正确；

C图形顺时针旋转180。后，能与原图形完全重合，C不正确；

D图形顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合，。正确，

故选：D.

3.“小明过学校门口的马路遇到红灯”这个事件是（

A.确定事件B.不确定事件C.不可能事件D.必然事件

解：“小明过学校门口的马路遇到红灯”这个事件是是随机事件，属于不确定事件;

故选：B.

4.正十边形的每个内角都是（）

A.36°B.72°C.108D.144°

解：（10-2）X1804-10

=8X1804-10

=14404-10

=144（度），

正十边形的每个内角等于144度.

故选：D.

5.在Rt^ABC中，ZA=90°,AB=5,BC=12,则sinC的值是（）

A.B.—C.—D.—

12121313

解：在Rt^ABC中，NA=90°,AB=5,BC=12,

所以sinC=*5

BC12

故选：B.

6.若O。的半径r=6,点。到直线/的距离为3,下列图中位置关系正确的是（）

解：的半径为6,圆心O到直线/的距离为3,

*.*6>3,即：d<r,

・・・直线，与的位置关系是相交.

故选：A.

7.二次函数y=X2-l经过适当变换之后得到新的二次函数y=X2-6x+13,则这个变换为

)

A.向上5个单位,向右3个单位

B.向下5个单位,向右3个单位

C.向上5个单位,向左3个单位

D.向下5个单位,向左3个单位

解：由二次函数＞=光2-6%+13得到：y=(x-3)2+4.

所以将二次函数)=必-1图象向上5个单位，向右3个单位，平移后的二次函数的解析

式为：y=(x-3)2+4.

故选：A.

8.如图，。4过点0(0,0),B(2«,0),D(0,2),点C是OA上的一点，连接

CO,CD,则NOCO的度数为()

A.22.5°B.30°C.37.5°D.45°

解：如图，连接03,

0D2

在RtADOB中，tanZOBD

OB2M~3

则/OBD=30°,

由圆周角定理得，ZOBD=ZDCO=3Q°,

故选：B.

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数＞=0?+版+。的图象与对称轴直线％=相交于点A,

与X,y轴交于8,C,。三点，下列命题正确的是()

①〃〃c>O；

②若OO=OC,贝I]〃c+Z?+l=O；

③对于任意M)(xo^m),始终有0X(?+/7M卬/+匕帆;

④若B的坐标为(-加，0),则C的坐标为(3/71,0).

C.①③④D.②③④

解：由图象得:。>0,Z?<0,c<0,故①正确;

*：OD=OC,

*.Xc=~C,

'.a(-c)2+b(-c)+c=0,

ac-8+1=0,故②错误，

'：a>0,

2

>2

，对于任意％o(xo^m),始终有O+bx0^am+bin,故③正确,

,对称轴x=m,

.xb+xc..

2--Ir，

.,.xc=3m,故④正确，

故选：C.

10.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图,

以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图的方

式放置在最大正三角形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）

A.直角三角形的面积

B.最大正三角形的面积

C.较小两个正三角形重叠部分的面积

D.最大正三角形与直角三角形的面积和

解：设三个正三角形面积分别为Si,S2,S3,（不妨设S1>S2>S3）,两个小正三角形的

重叠部分的面积为§4,

•••S1=S2+S3,

.,.S阴影=Si-(S2+S3-&)=Si-S2-S3+S4=S4,

故选：C.

二、填空题（每小题5分，共30分）

11.半径为2,圆心角为120。的扇形的面积为占（结果保留TT）

-3—

n7TR2_12071X22

解:y=

360360~~3

故答案为：-^TT.

12.四边形ABCD内接于OO,ZA=80°,则NC=100°

解：：四边形ABC。内接于OO,ZA=80°,

.*.ZC=180°-ZA=100°.

故答案为：100°.

13.在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同100个球，某小组做摸球实验，将球搅匀后从中

随机摸出1个球，记下颜色，再把它放回，不断重复，下表是实验中记下的一组数据：

摸球的次数n1001502005008001000

摸到红球的次数m79115152385598751

摸到红球的频率巨0.7900.7670.7600.7700.7480.751

n

试估计口袋中红球有75个.

解：由表格中数据知，随着摸球次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定于0.75,

所以据此可估计摸到红球的概率为0.75,

则估计口袋中红球有100X0.75=75（个），

故答案为：75.

14.在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图

所示.若°1=1米，°2=10米，/?=1.8米，则这个学校教学楼的高度为米.

AACB^AADE,

•.•AC—BC,

ADDE

・1-1.8

解得：ED=18(m),

即这个学校教学楼的高度为18米.

故答案为：18.

15.如图，点3是。。的半径。4上的中点，过点2作。4的垂线交。。于点C,D,E是

O。上一点，CE=CA，过点C作oo的切线/,连接OE并延长交直线/于点?已知OO

的半径为4,则EB为，点L.

为。。的切线,

:.ocn,

：.ZOCF=ZOCM^90°,

・・・3是04的中点，C3LQ4,

OC=AC,

又,.・04=OC,

•••△AOC是等边三角形，

AZAOC=60°,

•CE=AO

：.ZFOC=ZAOC=60°,

,,,OC=4,

.".FC=V3(9C=4A/3，OB=AB=/OC=2,

:.BC=^B=3M，

,：ZOCB=—ZOCA=30°,

2

AZBCM=60°,

:.CM=®,

：.BM=yf2CM=3,

：.FM=5y[3,

=22=

；•BFVFM+BM7(5V3)2+32=2V21-

故答案为2标.

16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=1(x-2)(x-4)与y轴，x轴相交于A,

4

B,C三点，D是函数的顶点，M是第四象限内一动点，且NAMB=45°,连接MD,

MC,则2MD+MC的最小值是.

—2―

解：如图，以。为圆心，04为半径的圆，连接取03的中点E,连接石M、ED,

得：»=2,检=4,

：.B(2,0),C(4,0),

令x=0,y=—X(0-2)X(0-4)=2,

4

AA(0,2),

OA=OB,即2在。。上，

Vy=—(尤-2)(x-4)=~(x2-6.r+8)=—(x-3)2--,

4444

•••顶点D(3,--j-),

4

VZAMB=45°,

...NAMB=/NAOB，

在在OO上，即0M=2,

取08的中点E(1,0),

..毁」史」

.而巧’而巧，

.QE_0M

"OM=OC）

又/EOM=NMOC,

:.丛EOMs^MOC,

.EM

"CHV

：.EM^—MC,

2

.'.2MD+MC=2（.MD+—MC）=2（MD+ME）^2.ED,

2

•••即=小（卜3）2+（0号）2=隼,

J.2MD+MC的最小值为强

2

故答案为：逗.

2

三、解答题（本大题有8个小题，共80分）

17.“青年北仑”建设是北仑建设的一大亮点，现将质地大小完全相同，上面标有“青”“年”

“北”“仑”字样的四个彩球放入同一个袋子.

（1）小慧在袋子中随机摸出一个彩球，记下字样后放回，搅匀，再摸出一个彩球，请用

列表或画树状图的方法，写出所有的可能；

（2）在（1）的条件下能拼出“北仑”（不分先后）的概率是多少？

解：（1）列表如下：

青年北仑

青青青青年青北青仑

年年青年年年北年仑

北北青北年北北北仑

仑仑青仑年仑北仑仑

由表可知共有16种等可能的结果数;

（2）..•共有16种等可能的结果数，其中能拼出“北仑”（不分先后）的有2种结果,

，能拼出“北仑”（不分先后）的概率为二=《.

168

18.图1、图2均是8X8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB,CD,

MN的端点均在格点上，回答下列问题:

图1图2

9^ABE的周长_

(1)在图1中tanZDAB=一后一'acDE的周长一一行一；

(2)在图2中请用一把无刻度的尺子，画出线段三等分点尸，Q.(保留作图痕迹)

4

解:(1)tanZDAB=一,

5

9

\AB//CDf

：.LABEs^DCE,

.的周长_1

•'△CDE的周长一于

故答案为：金

53

图2

19.已知抛物线y=a(x-4)?+2经过点(2,-2).

(1)求。的值；

(2)若点A(m,%),B(〃，y2)(m<n<4)都在该抛物线上，试比较yi与竺的大

小.

解：（1）•..抛物线y=a（x-4）2+2经过点（2,-2）.

-2=a（2-4）2+2,

解得a=-1；

（2）'."y=-（x-4）2+2,

抛物线对称轴为直线x=4,

a--1<0,

.•.当x<4时，x随着y的增大而增大，

；.A、8在对称左侧，

•'•yi<y2.

20.如图，富邦城即将建造一个大型摩天轮，工程师介绍若你站在距离摩天轮40米处（A

点），以29。的仰角恰好可以看到摩天轮圆轮的底部（C点），以63°的仰角可以看到

摩天轮圆轮的最上方点）.（人的身高忽略不计）

（1）求摩天轮的底部（C点）到地面（2点）的距离；（精确到个位）

（2）求摩天轮的圆轮直径（即C。）.（精确到个位）

（参考数据：sin29°七0.48,cos29°"0.87,tan29°七0.55,sin63°"0.89,cos63°弋

0.45,tan63°心1.96）

解：（1）根据题意可知：ZCAB=29°,AB=40米，

BC=ABXtanZCAB^40X0.55«22（米）.

答：摩天轮的底部（C点）到地面（B点）的距离为22米；

（2）根据题意可知：ZDAB=63°,

：.BD^ABXtanZDAB^40X1.96^78（米）,

:.CD=BD-CB=18-22=56（米）.

答：底部到地面距离为22米，摩天轮半径为56米.

21.如图，已知CD是Rt^ABC斜边AB上的中线，过点。作AC的平行线，过点C作C。

的垂线，两线相交于点应

(1)求证：AABC^ADEC；

(2)若CD=4,CE=3,求△ABC的面积.

【解答】(1)证明：・・,AC〃DE,

：.ZCDE=ZACD,

9：CD是RtAABC斜边A3中线,

：.CD=AD,

：.NA=NACO=/CDE,

VZACB=ZDCE=90°,

AABC^ADCE；

(2)解：-CDLCE,

:・DE=5,

CD是RtAABC斜边A3中线，

・・・AB=2C£>=8,

AABCsADCE,

.SAABCAB^2

-(Z)

"SADCEED'

22.科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不

同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表)：

温度x/℃・・・-4-20244.5・・・

植物每天高度增长量y//加・・・414949412519.75・・・

由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比

例函数、一次函数和二次函数中的一种.

(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并求出高度增长量的最大值；

(2)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250加"，

那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？

解：(1)由题意得：该函数应为二次函数，故设函数为y=a(x+1)2+h,

代入(0,49),(2,41),

(49=a+h

I41=9a+h'

解得：卜二T,

lh=50

故y=-(x+1)2+50.

当x=-1时，y最大值=50；

即该植物高度增长量的最大值是50mm-

⑵•.•瑞=25，

.\y-25,

当>=25时，25=-(x+1)2+50,

解得：xi=4,&=-6,

''a=-1,

.•.当-6<xW-1时，y随着x的增大而增大，即》225,

当-lWx<4时，y随着x的增大而减小，即冲25,

-6Vx<4.

答：应该在-6〈尤<4之间选择.

23.如图，AB是。。的直径，C为。。上一点，过点C的直线交AB的延长线于点尸，AC

平分/D43,过点A作AOJ_PC于点D,AD与。。交于点E.

(1)求证：PC是的切线；

(2)若AB=9,sinZCAB=—,

3

①求AD的长;

②求AE的长.

D

E

解：(1)连接OG

:.ZOCA^ZOAC9

〈AC平分ND4B,

・・・NDAC=ZOAC=ZOCAf

*：AD±DP,

：.ZDAC+ZDCA=90°,

：.ZACO+ZDCA=90°,

・・・PC与。。相切；

(2)①TAB为直径，

AZACB=90°=ZADCf

VAB=9,sinZCAB=1,

o

•••8C=3,AC=7AB2_BC2=6^,

"：ZDAC=ZCAB,

.,.△DCA^ACBA,

.CD=AD=AC

••而一而一而，

CD_AD_6近

即pn可一司Tk

・,.A£)=8,C£)=2&；

②连接CE,

VZEDC=ZACB=90°,

AEDC^ABCA,

.ED=DC

,,BC-CA，

即迈

3672

：.DE=1,

；.AE=AO-Z)E=8-1=7.

24.在平面直角坐标系xOy中，OO的半径为1,A,8为。。外两点，AB=«.给出如下

定义：平移线段得到。。的弦A'B'（Az,B'分别为点A,2的对应点），线

段A4'长度的最小值称为线段AB至IJOO的“平移距

离”.