2024届湖南省岳阳市高三上学期一模数学试题及答案

岳阳市二○二四届高三教学质量监测（一）数学试卷{#{QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=}#}姓名_____________考号______________岳阳市2024届高三教学质量监测（一）数学试卷本试卷共4页，22道题，满分分，考试用时120分钟。注意事项：．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号姓名填写在答题卡指定位置。2B用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．Ax|yln(x，Bx|x2x6．已知集合ABA．x|1x．x|1x．x|2xD．x|xD．3．已知复数zzi)2zA．1．2．2．已知数列a与b均为等差数列，且ab2，ababnn256947A5．6．7D84．定义在R上的函数f(x)满足：当x时，()21，且对任意实数x，均有fxx3f(x)f(x1为f()232．1222D．A．．22020(和平演变)突破围堵，以华为为代表的一批中国高新技术企业不仅着力发展硬件，而且加强了软件技术特别是算法的研发.如我国超级计算机天河一号A每秒执行2.5×1015条指令，普通计算机每秒执行108条指令．若天河一号A用“插入排序”法排n个数需要22条指令，普通n个数需要50lgn1010通计算机所花时间的比值为A85．∶50000．80000∶5D85×86．据统计，我国结核病的感染率约为0.001．在针对结核病的检查中，健康者检测结果显示为阳性的概率为0.050.01A同学检测结果为阳性的概率为A0.05094．0.05001．0.001D0.05084高三数学一模试卷第1页（共4{#{QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=}#}x22y227．已知F，F分别为椭圆C：1(a＞b＞0)的左、右焦点，A为椭圆上顶点，直线12ab与椭圆C交于另外一点F＝∠Fe位于下列哪个区间21212111133A，）（，）（，）D（）44224418．已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的，侧棱长为3．当该四棱台的体积4最大时，其外接球的表面积为A．．．D．22二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0．若函数f(x)xN,6)的图象关于直线x对称，则661212A．f(0)．f(x)的图象关于点,03．f(x)在区间(0,)2个极值点D．f(x)在区间上单调递增．已知正方体ABCD－ABCD的棱长为，下列说法正确的是1111AAD与BD所成角为°1113．若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的体积为23．AC与平面A所成角的正弦值为113DQ为正方体ABCDABCD对角线上的动点，则∠的最大值为111113x22y22（ab的实轴长为2，左焦点到右顶点的距离为3O为C:abl交双曲线C的右支于Q两点(不同于右顶点)C的两条渐近线分别交于，B两点(AP位于第一象限)y2A．双曲线方程为x2．1P到两条渐近线的距离之和的最小值为23323D，则OPQ的面积为3771172掉175An只猴子分得b个桃子(不含吃的)7bb1n）nnn1．若第n只猴子连吃带分共得到a个桃子，则a}(n为等比数列nn．若最初有77个桃子，则第7只猴子偷偷办理后还剩得6个桃子7Dm个桃子，则m被7除的余数为1高三数学一模试卷第2页（共4{#{QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=}#}三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共2013．已知(0,0)，(1,2)，B(3,－1)，若向量m//，且m与的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标为______．yxlnx处的切线与曲线yx2(2ax1a有两个不同的公共点，则a的取值范围为______．15．过圆O:x2y5外一点P作圆O的切线，切点分别为A、B，若AB2，则点P的2轨迹方程为_________．ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、AD上的点(不包括端点)QC、PC分别为DQP、BPQ(1)APQ的周长为______(2)PCQ范围为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．10nn1已知正项数列a}的前n项和为S．a1，a1(≥2)．nn1nSnSn1n(1)求证：数列Sn}为常数列；Sn1111(2)求数列Sn}的通项公式，并证明1．1S2S2S3S3S4Sn1Sn．12在中，角,B,C所对的边分别为a,b,c且aB2cAaA0．(1)求B；c(2)若的面积为3，B的平分线交于点D且1的值．a．12如图，三棱柱ABC中，侧棱平面，11112．E，F分别是，BC的中点，且11BC．11(1)证明：；(2)若二面角FB的正切值为22，求直线与1EC所成角的余弦值．高三数学一模试卷第3页（共4{#{QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=}#}．12132224(1)22列联表补充完整，并根据小概率值0.1的借阅情况是否存在差异；若从学校随机抽取m5人借阅理工类书籍的概率最大，求m所有可能的取值．n(bc)2(abcd)(acbd)2，文学类理工类nabcd．参考数据：α0.10.050.010.0057.8790.001xα2.7063.8416.63510.828．122已知抛物线y4x的准线与x轴相交于点NN、，其中点A在第一象限．(1)求直线的方程；(2)过点N作直线l交抛物线于、D两点，交直线于点E，过点E作的平行直线分别交线段、MH．．12x已知函数f(x)．e1x(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)f(x)x，x(0,2)，判断g(x)的零点个数，并说明理由．高三数学一模试卷第4页（共4{#{QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=}#}岳阳市2024届高三教学质量监测(一)数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1B2C3C4D5A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．．．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．6A7B8D77（）k(2),k0均可)．(,)(,)2212，(3)x2y2．2(2)；．42四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．nn1．(1)由题意，∵an1(n≥2)SnSn1nn1nn1aSSn11n(n.......................................................(2)nnSnSn1SnSn1nn1SnnSn1（n）SnSn1n数列Sn}为常数列........................................................................................................(4)Snn1Sa1Sn111........................................................................(5)11nSn1Sn(nSn(Sn)(S0nnn2a0，S0Sn..................................................................................................(7)nnn1111........................................................................................................(8分)SSn(nnn1nn111111111S2S2S3S3S4SSn11223(nnn11112311111....................................................................................(10分)2(nnn1{#{QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=}#}．(1)由题意，BBAAAAaB2cAaAa2ca0...............................................(1分)2a20BAAb2caB2sinCA又a00，0..................................(3分)BAABAABA2CBAB0,即sin（AB2sinCB01即C2CB0sinC0BB为三角形内角2B............................................................................................................................................(5分)313SacB3，4......................................................................(7)2411SSSa1c13，ac43.......................(9)2626（a）24）2................................................................................................................(10)4ccc整理得()10()10，解得2526............................................................................(12)aaa．(1)取的中点Q,,EQ//CC,AA//CC,//A,AA11111平面........................................................................(2)BC,BC//,BC,.........................................................................(3)1111F平面EFQ,又平面..............................(4)为//............................................................(5分)(2)过Q作CE于M，连接，由(1)知平面ECQ，平面，二面角FB的平面角为222，2....................................(7分)42,CB,1两两垂直，以C为坐标原点如图建系E0),FC1(2,0,2)，(1(2,0,2)...............................................................(8设平面1EC的法向量为n（x,y,z）分)n0xy0xz0得x，yz1，n...............................(10)1n015设直线与平面1EC夹角为，sinEF,n...............................(11分)与平面1夹角的余弦值为..................................................................................(12分)52{#{QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=}#}．.........................................................................................................(1分)文学类101020301040402060理工类H(1)提出零假设：老师与学生的借阅情况不存在差异0............................................................................(3分)1030)223.752.7060.1根据小概率值0.1的独立性检验，推断H0不成立，即认为判断老师与学生的借阅情况是存在差异，此推断犯错误的概率不大于0.1....................................................................................................................(4)13(2)设借阅理工类书籍的概率为pp............................................................................(5分)m人中借阅理工类书籍的人数为随机变量X1212C5m()5()m5C6m()6()m6P(XP(X6)则31323132，.....................................................(8分)P(XP(X4)C5m()5()m5C4m()4()m43333!2!123131323（5m（6m）m3m6)!3!1!2（5m（4）mm3m4)!31211(m）363得解得m.............................................................................................(11分)112m43mNm可取1516.......................................................................................................(12)．(1)由题意，其准线为x1，N点坐标为(0)...................................................................(1分)y24x不妨设直线的方程为yk(x，设直线的方程为yk(x，联立12yk(x1得kx(2124)xk2220，由题知4116141011....................(3)4242114212xA1，同理xB1，故直线的方程为x1.........................................................(4分)212(2)由题可知，若存在实数01111、E、M在同一条直线上1，2故只需证明M为H、E的中点即可.....................................................................................................(5分)设直线为xty1，设点C(x,y)D(x,y)1122y24xyty，yyt,yy4...........................................................(6)2440xty112123{#{QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=}#}22令x1代入直线yE）tty22x21y2244k，同理ky22y22121442l:y(x①y22tl:yx1②4l:y(x2③12ty22t21联立①②得x1联立①③得xM1...................(8分)Hy22tt1y2ty228t）2要证明M为H,E的中点，即证明xx2x,即证明112HEMt(1y2)ty22ty224t2）即证明ty22t(yy)12y22（t）y221y2即证明................................................................................................................(10分)（t）t4yy44等式右边12，yy4y1211y21y21y2y24(y22)2y24yy41y2y2y2y22y221244y22y2y2y2故xx2x得证........................................................................................................................(12分)HEM．(1)由题意，f(x)的定义域为x|x.................................(1)1）e1xf'(x)t(x)x)e1...............................................................................(2)x(ex2t'(x)(x)ex，'0x(0,),t(，t(x)在(0)t(x)t(0)0；若x(,0),(x)0，t(x)单调递增，t(x)t(0)0.t'若f(x)x(,0)(0,)'f(x)的单调减区间为(,0)和(0)，无单调增区间........................................................(4分)xg(x)f(x)xxe1x22x①x,x0，0e1xx122g(x)x0g(x)在,无零点............................................................(5)ex4{#{QQABJQ