直线与双曲线的位置关系探究教学设计 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

PAGEPAGE1《直线与双曲线的位置关系》教学设计教学内容直线与双曲线的位置关系教学目标1、基础性目标（1）知识目标：能判断直线与双曲线的位置关系，并能运用位置关系的性质进行解题。（2）能力目标：运用数形结合的方法简化解题。2、发展性目标（1）培养学生的运算能力、逻辑思维能力。渗透数形结合数学思想方法。（2）让学生在探究体验的积累中增强数学学习的信心，提高数学素养。教学重难点直线与双曲线的位置关系的判定方法的探索，以及直线与双曲线的位置关系性质的运用。活动材料教具：椭圆与双曲线的模型，学具：直尺，白纸。教学过程：教学流程教师指导学生活动设计意图准备活动：已知给定一组双曲线和两个定点，试判断定点与已知双曲线有什么样的位置关系？教师分析：这个问题的解决如果也类似于点与椭圆的位置关系那样——仅从数的角度来判断，将点的坐标代入双曲线方程的左边，然后与“1”进行比较只会得出错误的结论，问题解决的失败体验引发学生从另外一个角度去寻找方法，即按照原有的经验进行思维受到阻碍，因此要寻求另外的解决方法，可以换一种角度——借助图形去思考。学生求解：用直线和直线去截双曲线，由交点与定点的比较可知点在双曲线的内部（即在被双曲线包含的部分），点在双曲线的外部。数学问题的产生有一定的背景，数学习题的编制有一定的根源，数学问题的求解也有一定的规律。这是一个看似简单其实不易回答的问题，它比较容易引起学生探究学习的兴趣、形成寻求问题答案的心向，从而促使学生运用已有的知识独立地解决问题。活动一1、教师提出问题：试探索过点有几条直线与双曲线只有一个交点，而过点又有几条直线与该双曲线只有一个交点？2、教师引导：要探究这一问题必须进行实践尝试。3、教师提问并补充说明：两条与双曲线相切，两条与双曲线相交，这是直线与椭圆的位置关系所没有的，试问为什么？（因为双曲线不是封闭曲线，所以具有这样特殊的性质。）1、学生思考。2、学生操作：因为点在双曲线内部，所以通过画图观察可知过点A只能作两条直线与双曲线只有一个交点，这两条直线的位置关系是分别平行于双曲线的两条渐近线；又点B在双曲线外部，所以过点B可以作四条直线与双曲线只有一个交点，它们的位置关系可以分为两组。从问题求解过程中可以发现，有了图形作基础，以下的问题的研究就可以全面地展开。活动二教师提出问题：若与双曲线有共同渐近线，且与直线只有一个交点，求此双曲线的标准方程。学生求解：设所求的双曲线方程为可得，则所求的双曲线方程为说明：以上问题都是就直线与双曲线只有一个交点情况的研究，问题的探究从失败走向了成功，在成功体验的积累中提高了自己，进而提出新的问题，那么当直线与双曲线有两个交点时，又有哪些问题可以研究，研究的方法又如何？转入下面问题的研究活动三设是双曲线的左右焦点,过它的右焦点，作一条垂直于轴的直线与双曲线交于两点和，求弦的长及的周长。学生分析要求的周长,必先求出弦的长,这个问题是一种特殊情况，解决当然也不难。这问题的延续：求双曲线的右准线将分成两部分的面积之比是多少？通过个问题的研究，我们可以对双曲线的定义及其作用有更加深刻的认识，同时也为下面问题的解决作好铺垫。活动四：对双曲线中几何不变量之间的关系的探究。教师提出问题：过双曲线的右焦点，作一条倾斜角为的直线与双曲线交于两点和，求弦的长及的周长。学生求解，自己进行总结。以数解形，使学生对双曲线的认识更加深刻。活动五：探究问题的多中解法。活动五：经过点能否作一条直线，使它被双曲线所截得的线段恰好被点平分，若这样的直线存在，求出它的方程；若不存在，请说明理由？分组探究，获得解法。可用三种方法进行求解，解得直线方程为：通过这样的研究，可以进一步将直线与双曲线的位置关系中“设而不求”、“设点作差”的方法进行到底。直线与双曲线的位置关系能够作这样的研究,那么直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系就更能轻易地解决了。活动六：总结与反思。教师提出：经过点，能否作一条直线，使它被双曲线所截，得到的线段恰好被所给的点平分，这样的直线如果存在,请求出它的方程；若不存在，请说明理由？若已知点为，结论又如何。学生思考，课后研究这一问题的提出为学生的课后研究提供了更加广阔的思维空间。教师带领学生进行积极的数学探索，探究数学知识的生长点，并从数学知识