2020-2021学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷

一、选择题（共10小题）.

1.（4分）已知集合A={尤|尤-120},B={0,1,2},贝（）

A.{0}B.{1}C.{2}D.{1,2}

2.（4分）已知{3}是公差为d的等差数列，S”为其前a项和.若S3=3m+3,则d=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（4分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0,1）上单调递增的是（）

A.y=2~xB.y—lnxC.v=—D.y=siru

-x

4.（4分）将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图

为（）

一

Z_J

5.(4分)与圆N+。-1)2=5相切于点(2,2）的直线的斜率为（）

A.-2B.——C.—D.2

22

TT

6.(4分)函数f(x)=2sin(cox+(p)(oo>O,|（p|<—）的部分图象如图所示，»]f（ir）

=()

A.-VsB.-亨C.喙D.M

7.（4分）设之，4是两个不共线向量，则'■与芯的夹角为锐角”是“之，（a-P”的

（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.（4分）十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、

猪.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，

乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（）

A.242种B.220种C.200种D.110种

9.（4分）已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点尸到准线的距离为2,过焦点F的直线与抛

物线交于A,B两点、,JL|AF|=3|FB|,贝U点A至y,山的星巨离为)

A.5B.4C.3D.2

10.（4分）某公园门票单价30元，相关优惠政策如下：

①10人（含）以上团体购票9折优惠；

②50人（含）以上团体购票8折优惠；

③100人（含）以上团体购票7折优惠；

④购票总额每满500元减100元（单张票价不优惠）.

现购买47张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为（）

A.1090元B.1171元C.1200元D.1210元

二、填空题（共5小题）.

11.复数出金=.

1

12.函数f（x）=，乂-廿底的定义域是

1OTT

13.已知sin8=-k，0e(7i,,则cosB=,cos20=

32

22

14.已知双曲线M：9-%=1(a>0,b>0),ZVIBC为等边三角形.若点4在》轴上,

点、B,C在双曲线M上，且双曲线"的实轴为△ABC的中位线，则双曲线"的离心率

为

15.已知函数/(x)=23同+33叫xe[O,2n],其中国表示不超过x的最大整数.例如：[1]

=1,[0.5]=0,[-0.5]=-1.

®f(等)=;

O

②若/(x)>x+a对任意册[0,22都成立，则实数。的取值范围是.

三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.(13分)如图，在四棱锥P-4BC。中，PD_L平面ABC。，PD=4,底面ABCD是边

长为2的正方形，E,尸分别为尸2,PC的中点.

(I)求证：平面平面PCD；

(II)求直线BP与平面ADE所成角的正弦值.

17.(13分)已知函数g(x)=sin(x-?L),h(x)=cosx,再从条件①、条件②这两

6

个条件中选择一个作为已知，求:

(1)/(%)的最小正周期;

(II)f(x)在区间[0,3]上的最大值.

条件①：f(x)=g(%)•"(%)；

条件②：f(x)=g(尤)+h(x).

18.(14分)为了解果园某种水果产量情况，随机抽取10个水果测量质量，样本数据分组

为[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400](单

位：克)，其频率分布直方图如图所示:

(I)用分层抽样的方法从样本里质量在［250,300),［300,350)的水果中抽取6个,

求质量在［250,300)的水果数量;

(II)从(I)中得到的6个水果中随机抽取3个，记X为质量在［300,350)的水果数

量，求X的分布列和数学期望;

(III)果园现有该种水果约20000个，其等级规格及销售价格如表所示,

质量加(单m<200200^m<加2300

位：克)300

等级规格二等一等特等

价格(元/4710

个)

19.2,0),B(2,0),且离

ab

心率为工.

2

(I)求椭圆C的方程;

(II)设直线/与椭圆C有且仅有一个公共点E,且与x轴交于点G(£,G不重合)，

轴，垂足为T.求证：瑞-=僵卜.

2

20.(15分)已知函数/(x)=1-=—,flGR.

e

(I)若曲线y=/(x)在点(1,f(1))处的切线平行于直线y=x,求该切线方程;

(II)若a=l,求证：当x>0时，f(x)>0;

(III)若/(x)恰有两个零点，求〃的值.

21.(15分)给定正整数利tQmMt),若数列A：ai,〃2,…，斯，…满足：(0,1),

ai=ai+t,m+〃2+…+勾=根，则称数列A具有性质E(e,m).

对于两个数列8：bl,bl,•••,bn,…；C：Cl,C2,Cn,…，

定义数列B+C：bl+Cl9b?+C2,…，bn+Cn,….

(I)设数列A具有性质E(4,2),数歹4B的通项公式为bn=n(及CN*),求数列A+B

的前四项和；

(II)设数列A•(记N*)具有性质E(4,m),数歹4B满足切=1,历=2,加=3,九

=4且勿=仿+4OWN*).若存在一组数列4,A2,……,Ak,使得A1+A2+…+4+B为常

数列，求出机所有可能的值；

(III)设数列Ai(氾N*)具有性质E(t,t-1)(常数。2),数列B满足历=1,fa

=2,…，瓦=/且%=M(JcN*).若存在一组数列Ai,A2,…，Ak,使得A1+A2+—+4+3

为常数列，求k的最小值.(只需写出结论)

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1.（4分）已知集合4=*仇-120},B=[Q,1,2],则AAB=（）

A.{0}B.{1}C.{2}D.{1,2}

解：：A={x|x》l},B={0,1,2）,

/.AnB={l,2}.

故选：D.

2.（4分）已知{3}是公差为d的等差数列，S”为其前〃项和.若S3=3m+3,贝4d=（）

A.-2B.-1C.1D.2

解：\"S3=3tzi+3,3a\+3d=3a\+3,

则d=1.

故选：C.

3.（4分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0,1）上单调递增的是（）

A.y=2~xB.y—hixC.v=—D.y=sinx

"x

解：对于A,y=21为非奇非偶函数，不符合题意；

对于8,叱为非奇非偶函数，不符合题意；

对于C,y=」为奇函数，但在区间（0,1）上单调递减，不符合题意；

x

对于。，y=sinx为奇函数，由正弦函数的图象可知，y=sinx在区间（0,1）上单调递增，

符合题意.

故选：D.

4.（4分）将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图

为（）

解：将几何体补充为正方体，如图1所示:

则该正方体去掉这个四棱锥，得到的几何体的侧（左）视图如图2所示:

故选：B.

5.（4分）与圆N+（y-1）2=5相切于点（2,2）的直线的斜率为（）

A.-2B.--C.—D.2

22

解：根据题意，圆N+（y-1）2=5,其圆心为（0,1）,设圆心为C,切点（2,2）为

2-11

则Kpc=

则切线的斜率k=-2,

故选：A.

（）〈言）的部分图象如图所示，则（）

6.(4分)函数f(x)=2sin(o)x+(p)3>0,|q|/TT

C.亨

b-4D.M

T5兀/冗）兀

解：由图可知,（F）则T=n,.*.0)=2,

212

兀.71

又2X枭■+(p=T，.*.(p=--

/o

则/(x)=2sin(2x-,

7TJT

.*./(it)=2sin(2ir-^-)=2sin(-—

33

故选：A.

7.（4分）设:，诞两个不共线向量，则“二与石的夹角为锐角”是（之-E）”的

)

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解：若汽」■（了h>），

则a・(a-b)=a?Ta||b|cos<a,b>

=Ia|(|aITb|cos<a,b>)=。

E是两个不共线向量，，之声万，即|之|卢0,

|a|=|b|cos<a,b>，

**•cos<a，b>>。，,；<a,b>卉C;•a与b的夹角为锐角，

而彳与E的夹角为锐角，不妨设a=（l,0）,b=（2,2）,

此时（之-4）=-1#。，故之与（之-己）不垂直，

•••与E的夹角为锐角”是（1-b）”的必要不充分条件.

故选:B.

8.（4分）十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、

猪.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，

乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（）

A.242种B.220种C.200种D.110种

解：根据题意，分3步进行分析：

对于甲，不选马和羊，有10种选法，

对于乙和丙，有1个人选择羊，有2种选法，

剩下1人在剩下10个生肖中任选1个，有10种选法,

则有10X2X10=200种不同的选法，

故选：C.

9.（4分）已知抛物线俨=23（p>0）的焦点尸到准线的距离为2,过焦点厂的直线与抛

物线交于A,B两点,且|AF|=3尸8],则点A到y轴的距离为（）

A.5B.4C.3D.2

解:焦点F到准线的距离为0=2,

过点A作A。垂直于准线/于点。，过点B作BE垂直于/于点E,延长A3交/于点C,

则△BCEsZ\ACD,

诉,、,BCBEBF1

ACADAF3

记8。=尤，则AC=3x,

因为|AQ=3|/3],

112

所以AF=3BF=VX,

422

因为CF=BC+BF=言x，尸为AC的中点,

所以AO=2PG=4,

即点A至Iy轴的距离为4差=3.

故选：C.

10.（4分）某公园门票单价30元，相关优惠政策如下：

①10人（含）以上团体购票9折优惠；

②50人（含）以上团体购票8折优惠；

③100人（含）以上团体购票7折优惠；

④购票总额每满500元减100元（单张票价不优惠）.

现购买47张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为（）

A.1090元B.1171元C.1200元D.⑵0元

解：由于需要购买47张门票，所以不能享受优惠政策中的②和③，

若只按优惠政策①购买，则门票费用为47X30X90%=1269元；

若将47分为17+17+13,则可享受两次优惠政策④，一次优惠政策①,

门票费用为（17X30-100）X2+13X30X90%=1171元，

因为1269>1171,所以门票费用最少为1171元.

故选：B.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.复数支生=4-3i.

i

解：复数^^-="10+,）=4-3i.

i-i*i

故答案为：4-3z.

12.函数/（x）=A/X-1+/HX的定义域是［1,+8）

解：由题意得:

(x-1^0

解得：

[x>0

故函数的定义域是［1,+8）,

故答案为：口，+8）.

13.已知sin8=-工，0e（K,兀）,则cos6=__--,cos20=—.

32----3一—9一

解：因为sin8=-a，0E（IT,吊二）,

o乙

可得cose=-Vl-sin20=-4卜昌）2=-当2，

Voo

可得cos29=2cos-1=2X（-义三_）2-1=—.

39

故答案为：-2返，L

39

22

14.已知双曲线M：£k_上5=1（«>0,b>0）,ZkABC为等边三角形.若点A在y轴上，

a

点、B,C在双曲线M上，且双曲线M的实轴为△ABC的中位线，则双曲线"的离心率

为

解：•.•双曲线M■的实轴为△ABC的中位线，

，等边AA8C的边长为4a,

假设点8在第一象限，则点8的坐标为（2a,小），

A2Q2

将其代入双曲线/的方程有，%当1=1,

15.已知函数/（x）=2回回+3[。丽，xG[0,2n],其中国表示不超过x的最大整数.例如：[1]

=1,[0.5]=0,[-0.5]=-1.

&f（等）=-4-；

OO

②若/（x）>%+〃对任意尤[0,2冗]都成立，则实数〃的取值范围是（-8,~1-2汨.

解：@f（2"）=2[sin-^r—]+3[COS-^T—]=2[^^-]+3[-z-]=2°+3-|=-^-;

②若/（%）>%+〃对任意xC[0,2n]都成立，

即为a<f（x）-工=2图时+3归。网-x对任意％6[0,2冗]都成立，

当x=0或％=2冗时，f(%)-I=1+3=4或4一2n;

当-时，f(x)-x=2+l-^-=3-

222

i4.

当x=n时，f(x)-x=l+--n=--n;

33

3兀

当%=3j时,f(x)

当OVxV~^-时，sinxe(0,1),cosxG(0,1),

可得。＜2。+3。—-=2--;

22

同理可得当‘-VxVn时，可得4Z^2°+3-1-ii=--ii;

23

当itVxvS^L时，可得aW2-i+3-i-2L=5-

2262

当支L<xV2Tt时，可得aW2r+30-2ir=』-2TT.

22

综上可得，〃的取值范围是（-8,^--2n].

故答案为：—；（-8,三-如].

32

三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.（13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PO_L平面ABC。，PD=4,底面ABCZ）是边

长为2的正方形，E,F分别为PB,PC的中点.

（I）求证：平面AOEJ■平面PC£>；

（II）求直线与平面AOE所成角的正弦值.

【解答】（I）证明：因为PD_L平面4BC。,

所以PD.LAD,

因为底面ABC。是正方形，

所以AZ）_LC。，

因为PDHCD=D,

所以A£)_L平面PCD,

又AZ)u平面AOE,

所以平面AOE_L平面PCD;

(II)解：因为PZ)_L平面ABC。,

所以P£)_LA。，PD-LCD,

因为底面ABC。是正方形,

所以A£>_LC£),

如图建立空间直角坐标系£>-xyz,

因为PD=4,底面是边长为2的正方形，

所以「(0,0,4),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),E

(1,1,2),F(0,1,2),

贝'1X=(2,0,0),DE=(1,1,2),BF=(-2,-1,2),

设平面的法向量为'=(x,y,z),

,m-DA=0(2x=0

则n有＜______，可承occ，

,m'DE=0lx+y+2z=o

所以孟=(0,2,-1),

设直线BF与平面AOE所成的角为9,

则sine=|cos〈而，含卜叵弓：始,

IBFIImIV9XV515

所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为今醇.

17.(13分)已知函数g(无)=sin(x-?L),h(x)=cosx,再从条件①、条件②这两

6

个条件中选择一个作为已知，求:

(1)/(%)的最小正周期；

TT

(II)/(x)在区间[0,亏]上的最大值.

条件①：f(x)=g(x)•/l(x)；

条件②：f(x)=g(x)+h(x).

解：选择条件①：f(x)=g(x)•/?(%),

(I)f(x)=sin(x-cosx=-^cosx)cosx

622

V3.12V3、，1.cl+cos2x

=--sinxcosx---coszx=--X—sin2x----------

22222

M.01011.z兀、1

=—_sin2x--cos2x----=-sin(02x-----)---,

444264

所以/(%)的最小正周期T=2；=TT.

(II)因为xC[0,—T—],可得2x—e―],

2666

所以sin(2x-e[--,1],可得工in(2x---G[--,—],

6226424

当2x-7?1=g7,1即7-r时，/(x)有最大值;1.

6234

选择条件②：f(x)=g(x)+h(x),

(I)f(x)=sin(x-+cos%=(Y^sinx-工osx)+cosx

622

V3.1.,兀、

=—~~sinx+—cosx=sin(x+),

226

所以/(x)的最小正周期T=2p-=2n.

(Il)因为抚[0,《],可得等],

2663

TT1

所以sin(xH—；—)£[—,1],

62

当x+^-=-^-,即苫=?-时，f(X)有最大值1.

18.(14分)为了解果园某种水果产量情况，随机抽取10个水果测量质量，样本数据分组

为[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400](单

位：克)，其频率分布直方图如图所示：

(I)用分层抽样的方法从样本里质量在[250,300),[300,350)的水果中抽取6个，

求质量在[250,300)的水果数量；

（II）从（I）中得到的6个水果中随机抽取3个，记X为质量在［300,350）的水果数

量，求X的分布列和数学期望；

（III）果园现有该种水果约20000个，其等级规格及销售价格如表所示，

质量”Z（单m<200200^m<加2300

位：克）300

等级规格二等一等特等

价格（元/4710

个）

解：（I）质量在［250,300）,［300,350）的该种水果的频率分别为0.008X50=0.4,

0.004X50=0.2,其比为2：1,

所以按分层抽样从质量在［250,300）,［300,350）的这种水果中随机抽取6个，质量在

[250,300)的该种水果有4个;

（II）由（I）可知，6个水果中有2个质量在［300,350）,所以X的所有可能取值为

0,1,2,

3

r1C4C31

P(X=0)-4*,P(X=l)9P(X=2)=-^=9,

Cb「J3

6^6

所以X的分布列为:

X012

131

P

555

1Q1

所以E(X)=0X-^+lX-^-+2X-^=l；

555

(Ill)二等品的频率为(0.002+0.002)X50=0.2,

一等品的频率为(0.003+0.008)X50=0.55,

特等品的频率为(0.004+0.001)X50=0.25,

则20000个水果中共有二等品4000个，一等品11000个，特等品有5000个，

则销售收入约为4000X4+11000X7+5000撑10=143000元.

22

19.(15分)已知椭圆C:二亍十'=1(a>b>0)过点A(-2,0),B(2,0),且离

心率为工.

2

(I)求椭圆C的方程；

(II)设直线/与椭圆C有且仅有一个公共点E,且与x轴交于点G(£,G不重合)，

|TA|,|GA|

轴，垂足为T.求证:

|TB||GB|

a=2

c1

解:(i)由题意可得《革解得：a~—4,b2=3,

222

ta=b+c

22

所以椭圆的方程为：A_+y_=i；

43

(II)由题意可得直线/的斜率存在且不为0,设直线/的方程为：y=kx+m("Z手0),

y=kxtm

22,整理可得：(3+4R)尤2+8初a+4"於-12=0,

—+^—=1

I431

由题意可得△=€>,即646〃2-16(3+4R)(/«2-3)=0,解得：加2=3+4/

设G(xi,0),E(xo,yo)则xi=--xo—o'—

k3+4km

因为ET_Lx轴，所以T(-9，0),

m

I一曲+2I

_TA|_1m1_|-4k+2m|_irr2kl

TBIIz4ksI12m+4kIm+2kI

ITT2kI

又因为w上也

m+2kI

|TA|,|GA|

所以可证:

|TB||GB|'

2

20.(15分)已知函数/(x)=1-gF，

e

(I)若曲线y=/(x)在点(1,f(1))处的切线平行于直线y=x,求该切线方程;

(II)若4=1,求证：当x>0时，f(X)>0;

(III)若/(%)恰有两个零点，求〃的值.

Az、一，，,、ax(x-2)

解：(।)因为尸(%)=—--,

e

所以(1)=--=1,故〃=-e,

e

所以7(1)=1--=2,

e

所以切线方程为y-2=x-1,即y=x+l.

-

Y2x(x2)

=

(II)当4=1时，Jf(X)1----,f(X)--

exeX

当(0,2)时，f(x)<0,f(x)单调递减，

当xe(2,+8)时，f(x)>0,f(x)单调递增，

4

所以/(%)的最小值为/(2)=1--y>o,

e

故x>0时，f(x)>0.

2

(III)对于函数/(x)=1--J；—,tzeR,

e

①当时，f(x)>0,f(x)没有零点，

三、,,、ax(x-2)

②当tz>0时，f(x)=",

e

当在(-8,0)时，f(x)>0,所以/(%)在区间(-8,0)上单调递增,

当XE(0,2)时，f(x)<0,所以/(%)在区间(0,2)上单调递减，

当(2,+8)时，f(%)>0,所以/(x)在区间(2,+8)上单调递增,

4a

所以7(0)=1是函数的极大值，f(2)=1--5是/(x)的极小值,

e

1

因为/(-_J_=l-e-U<0,

e叮e

所以/(x)在(-8,0)上有且只有一个零点,

由/■⑵=1--,

e

2

①若/(2)>0,即f(x)在区间(0,+8)上没有零点.

4