2021-2022学年天津市西青区九年级（上）期末数学试卷

2021-2022学年天津市西青区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.（3分）下列事件中，是随机事件的为（）

A.一个三角形的外角和是360°

B.投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5

C.在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片

D.明天太阳从西方升起

2.（3分）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色

外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球.则摸出的小球是红球的概率是（）

A.2B.Ac.AD.A

3239

3.（3分）下列图案中，可以看作中心对称图形的是（）

4.（3分O）下列各数是方程/+3x-10=0的根的G是（）

A.2和5B.-5和3C.5和3D.-5和2

5.（3分）如图，。。为等边AABC外接圆，点。是前上一点，连接AO,CD.若/CAO

=25°,则/AC。的度数为（）

aD

A.85B.90°C.95°D.100°

6.（3分）如图，0A是00的半径，弦BCJ_OA,垂足为D连接AC.若BC=如,AC

=3,则O。的半径长为（）

2

7.（3分）如图，已知点A,B,C是OO上三点，半径OC=2,ZABC=30°,切线AP交

0C延长线于点P,则A尸长为（）

A.2B.2A/3C.4D.473

8.（3分）据某市交通部门统计，2018年底全市汽车拥有量为150万辆，而到2020年底，

全市的汽车拥有量已达216万辆，求2018年底至2020年底该市汽车拥有量的年平均增

长率，若设2018年底至2020年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x,则可列方程为

（）

A.150(1+2%)=216B.150X2(1+x)=216

C.150(1+x)2=216D.150+150X2x=216

9.(3分)如图，O。内切于△A2C,若NAOC=110°,则的度数为()

A.40°B.60°C.80°D.100°

10.（3分）如图，RtZiABC的斜边AB=13c〃z,一条直角边AC=5a〃，以BC边所在直线为

轴将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的全面积为（）

AC

A.65ncm2B.90ircm2C.156Tte7/D.300ncm2

11.（3分）某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100

-%）件.若想获得最大利润，则定价x应为（）

A.35元B.45元C.55元D.65元

12.（3分）已知抛物线y=o?+fcc+c（a,b,c为常数，a<0）经过点（-1,0）,其对称轴

为直线x=2,有下列结论：①c<0；（2）4a+b=0；③4a+c>26；④若y>0,则-l<x<5；

⑤关于x的方程0^+法+<?+1=0有两个不等的实数根；⑥若M（3,yi）与N（4,竺）是

此抛物线上两点，则其中，正确结论的个数是（）

A.6B.5C.4D.3

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.

13.（3分）某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验，结果如下表所示:

抽取瓷砖100300400600100020003000

数n

合格品数9628238257094919062850

m

合格品频0.9600.9400.9550.9500.9490.9530.950

率四

n

则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是.（精确到0.01）

14.（3分）若xi，&是方程2d+4了-3=0的两个根，则x「x2的值为.

15.（3分）若二次函数y=2?-x+左的图象与x轴有两个公共点，则左的取值范围是

16.（3分）如图，六边形A3CZJEF是半径为6的圆内接正六边形，则而的长为.

17.（3分）如图，已知△ABC内接于OO,BC是的直径，OD_LAC于点。.半径OE

±BC,连接8。，EA,且EA_LBD点f若BC=10,贝U0。=.

18.（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，AABC的顶点A,C均在格点上,

ZCAB=26°,经过A,B,C三点的圆的半径为遥.

（I）线段AC的长等于；

（II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点M使其满足NBMC=38°,

并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）.

三、解答题：本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

19.（8分）解下列方程.

（I）x（3尤+2）=6（3x+2）；

（II）3?-2x-4=0.

20.（8分）在平面直角坐标系中，二次函数＞=-Z^+Zzx+c的图象经过点A（-2,4）和点

B（1,-2）.

（I）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点坐标；

（II）平移该二次函数的图象，使其顶点恰好落在原点的位置上，请直接说出平移的方

向和距离.

21.（10分）如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有-1,-2,

3三个数字.小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形

内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（指针指在分界线时取指针右侧扇形

的数）.

（I）小王转动一次转盘指针指向正数所在扇形的概率是；

（II）请你用树状图或列表的方法求一次游戏结束后两数之和是正数的概率.

22.（10分）已知AB是。。的直径，BO为。。的切线，切点为B.过。O上的点C作CD

//AB,交BD点D.连接AC,BC.

（I）如图①，若DC为OO的切线，切点为C.求和/OBC的大小；

（II）如图②，当CD与交于点E时，连接BE.若/EBD=30°,求/BCD和/

DBC的大小.

23.（10分）如图，若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长10小，另三边用篱笆围成,

篱笆总长20W，设垂直于墙的一边为xm,矩形场地的面积为9后.

（I）S与x的函数关系式为5=,其中x的取值范围是；

（II）若矩形场地的面积为42川，求矩形场地的长与宽；

（III）当矩形场地的面积最大时，求矩形场地的长与宽，并求出矩形场地面积的最大值.

24.（1。分）在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC.点O,E分别为AB,AC

中点，P是线段DE上一动点（不与点D,E重合），将线段AF绕点A逆时针方向旋转

90°得到线段AG,连接GC,FB.

（I）如图①，证明：△AF2咨ZXAGC.

（II）如图②，连接GF,GE,GF交AE于点、H.

①证明：在点厂的运动过程中，总有NFEG=90°.

②若AB=AC=8,当OE的长度为多少时，AAHG为等腰三角形？请直接写出DF的长

度.

25.（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-2f+ZzrM的对称轴是直线x=2,

3

与x轴相交于A,2两点（点A在点8的左侧），与y轴交于点C.

（I）求b的值及8,C两点坐标；

（H）M是第一象限内抛物线上的一点，过点M作MNLx轴于点N,交BC于点D.

①当线段MD的长取最大值时，求点M的坐标；

②连接CM,当线段CM=C£＞时，求点〃坐标.

2021-2022学年天津市西青区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.（3分）下列事件中，是随机事件的为（）

A.一个三角形的外角和是360°

B.投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5

C.在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片

D.明天太阳从西方升起

【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件，三角形的外角性质判断即可.

【解答】解：A、一个三角形的外角和是360。，是必然事件，故A不符合题意；

3、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5,是随机事件，故2符合题意；

C、在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片，是不可能事件，故C不符合题意;

£*、明天太阳从西方升起，是必然事件，故。不符合题意；

故选:B.

【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解

题的关键.

2.（3分）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色

外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球.则摸出的小球是红球的概率是（）

A.2B.Ac.AD.A

3239

【分析】利用概率公式可求解.

【解答】解：：从袋子中随机摸出一个小球有9种等可能的结果，其中摸出的小球是红

球有6种，

.•.摸出的小球是红球的概率是2=2,

93

故选：A.

【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率尸（A）=事件A

可能出现的结果数+所有可能出现的结果数.

3.（3分）下列图案中，可以看作中心对称图形的是（）

【分析】根据中心对称图形的概念和各图特点即可解答.

【解答】解：A、•.•此图形旋转180。后不能与原图形重合，.•.此图形不是中心对称图形，

故此选项错误；

3、•.•此图形旋转180°后不能与原图形重合，.•.此图形不是中心对称图形，故此选项错

误；

C、•.•此图形旋转180。后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项正确；

•此图形旋转180°后不能与原图形重合，，此图形不是中心对称图形，故此选项错

误;.

故选：C.

【点评】此题考查了中心对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180

度后两部分重合.

4.（3分）下列各数是方程7+3x-10=0的根的是（）

A.2和5B.-5和3C.5和3D.-5和2

【分析】利用因式分解法求出方程的解，即可作出判断.

【解答】解:方程W+3x-10=0,

分解因式得：（x-2）（尤+5）=0,

所以尤-2=0或x+5=0,

解得：尤=2或x=-5.

故选：D.

【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题

的关键.

5.（3分）如图，为等边△ABC外接圆，点。是交上一点，连接ADCD.若

=25°,则/AC。的度数为（

A

C.95°D.100°

【分析】先根据等边三角形的性质得到/BAC=/ACB=60°,则可计算出/2A£>=35°,

再根据圆周角定理得到/BCZ）=/BAO=35°,然后计算/ACB+/BC。即可.

【解答】解：•.,△ABC为等边三角形，

ZBAC=ZACB=60°,

ZBAD=ABAC-ZCAD^60°-25°=35°,

：.ZBCD=ZBAD=35°,

：.ZACD=ZACB+ZBCD^6Q°+35°=95°.

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形

的外接圆.也考查了等边三角形的性质和圆周角定理.

6.（3分）如图，。4是。。的半径，弦3CL0A,垂足为D.连接AC.若3c=4&，AC

=3,则OO的半径长为（）

【分析】连接AC,OC,由垂径定理可求解CD的长，ZADC=ZODC=90°,利用勾

股定理可求解AD的长，再根据勾股定理可求解OC的长即可求解.

【解答】解：连接AC,OC,

B

,：CD±OA,垂足为。，BC=4V2-

AZADC=ZODC^90a,CD=ABC=272-

2

VAC=3,

•*-^=VAC2-CD2=7978=r

"：OA=OC,

：.OD^OC-AD=OC-1,

在RtAOCZ）中，0色=（：队00,

即od=（2V2）2+（oc-1）2,

解得0c=9,

2

即OO的半径长为2,

2

故选：c.

【点评】本题主要考查垂径定理，勾股定理，灵利用勾股定理求解线段长是解题的关键.

7.（3分）如图，已知点A,B,C是。。上三点，半径OC=2,ZABC=30°,切线AP交

OC延长线于点P,则AP长为（）

A.2B.273C.4D.473

【分析】连接OA,根据圆周角定理求出/AOP,根据切线的性质得到OALAP,根据正

切的定义计算，得到答案.

【解答】解：连接04,

由圆周角定理得：ZAOP=2ZABC=60°,

：A尸为。。的切线,

：.OALAP,

在Rt/XAOP中，tan/AOP=空,

0A

：.AP=OA'tanZAOP=2-/3<

故选：B.

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、特殊角的三角函数值，掌握圆的切线

垂直于经过切点的半径是解题的关键.

8.（3分）据某市交通部门统计，2018年底全市汽车拥有量为150万辆，而到2020年底，

全市的汽车拥有量已达216万辆，求2018年底至2020年底该市汽车拥有量的年平均增

长率，若设2018年底至2020年底该市汽车拥有量的年平均增长率为无，则可列方程为

（）

A.150（1+2%）=216B.150X2（1+x）=216

C.150（1+x）2=216D.150+150X2x=216

【分析】设年平均增长率x,根据等量关系“2020年底汽车拥有量=2018年底汽车拥有

量X（1+年平均增长率）2”列出一元二次方程求得.

【解答】解：设该市汽车拥有量的年平均增长率为X.

根据题意,得150（1+x）2=216,

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用--增长率问题，若设变化前的量为a,变

化后的量为b,增长率为x,则经过两次变化后的数量关系为a（1土尤）2=b（当增长时

中间的“土”号选“+”，当降低时中间的“土”号选“-

9.（3分）如图，O。内切于△ABC,若/AOC=110。，则的度数为（）

A.40°B.60°C.80°D.100°

【分析】根据O。内切于△ABC,可得AO,CO分别平分/BAC,ZBCA,然后利用三

角形内角和定理即可解决问题.

【解答】解：内切于△ABC,

：.AO,CO分别平分NBAC,ZBCA,ZAOC=110°,

：.ZBAC+ZBCA=2CZOAC+ZOCA）=2（180°-ZAOC）=140°,

/.ZB=180°-（ZBAC+ZBCA）=40°.

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握三角形内切圆与

内心是解题关键.

10.（3分）如图，RtZkABC的斜边AB=13C7〃，一条直角边AC=5a〃，以BC边所在直线为

轴将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的全面积为（）

AC

A.65-n,cm2B.90ircm2C.156Ttcm2D.300ncm2

【分析】根据圆锥的全面积=侧面积+底面积计算.

【解答】解：圆锥的表面积=ir><5><13+TIX52=90TT（cm2）.

故选：B.

［点评】本题考查了圆锥的全面积公式的运用；掌握圆锥的全面积:S全=S底+S硼=++田/

是解题的关键.

11.（3分）某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100

-x）件.若想获得最大利润，则定价x应为（)

A.35元B.45元C.55元D.65元

【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润X销售量，每件利润=每件

售价-每件进价.再根据所列二次函数求最大值.

【解答】解：设最大利润为w元，

贝ijw=（X-30）（100-X）=-（X-65）2+1225,

:-KO,0<x<100,

...当x=65时，二次函数有最大值1225,

，定价是65元时，利润最大.

故选：D.

【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应

用.此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题.

12.（3分）已知抛物线（a,b,c为常数，a<0）经过点（-1,0）,其对称轴

为直线x=2,有下列结论：①c<0；®4a+b=0；③4a+c>26；④若y>0,则-l<x<5；

⑤关于x的方程o^+fcv+c+l=0有两个不等的实数根；⑥若M（3,yi）与N（4,竺）是

此抛物线上两点，则yi>”.其中，正确结论的个数是（）

A.6B.5C.4D.3

【分析】根据对称轴为直线x=2可判断②正确；将（-1,0）代入y=o?+法+c中可判

断①；根据a<0,抛物线图象经过点（-1,0）,可知x=-2,y<0可判断③；根据图

象可直接判断④和⑤；根据增减性可判断⑥.

【解答】解：根据题意对称轴为直线x=2,

2a

:・b=-4。,

即4〃+Z?=0,

故②正确；

..•抛物线》=〃/+版+。（a,b,。为常数，〃<0）经过点（-1,0）,

CL~Z?+c—0,

••c'='b~〃=-4Q-〃=-5a,

Ac>0,

故①错误；

当x=-2时，_y<0,

4a-2b+c<0,

:.4a+c<2b,

故③错误；

由对称得：抛物线与x轴交点为（-1,0）,（5,0）,

；.y>0,则

故④正确；

当y=-1时，关于x的方程a^bx+c=-1有两个不等的实数根，

・•・关于次的方程〃/+bx+c+l=0有两个不等的实数根；

故⑤正确；

Vtz<0,4-2>3-2,

故⑥正确.

综上，正确的结论是②④⑤⑥.

故选：C.

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，增减性，对称轴，抛物线与X轴的交点，

应数形结合、充分掌握二次函数各系数a、b.c的意义以及对图象的影响和对一元二次

方程根个数的关系.

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.

13.（3分）某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验，结果如下表所示:

抽取瓷砖100300400600100020003000

数n

合格品数9628238257094919062850

m

合格品频0.9600.9400.9550.9500.9490.9530.950

率如

n

则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95.（精确到0.01）

【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率.

【解答】解：由合格品的频率都在0.95上下波动，

所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95,

故答案为：0.95.

【点评】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，

然后即可估计概率解决问题.

14.（3分）若处，尤2是方程2?+4x-3=0的两个根，则的值为-3.

—2-

【分析】利用根与系数关系求出两根之积即可.

【解答】解：..”1,X2是方程2?+4x-3=0的两个根，

2

故答案为：-3.

2

【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题

的关键.

15.（3分）若二次函数y=2?-x+k的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是

<1.

一8一

【分析】根据二次函数y=2/-x+上的图象与x轴有两个公共点，得庐-4女>0,列不等

式，解出即可.

【解答】解：•••二次函数y=2/-x+左的图象与x轴有两个公共点，

（-1）2-4X2Q0,

解得k<l,

8

故答案为：左〈」.

8

【点评】本题考查了抛物线与无轴的交点、二次函数的性质，熟练掌握抛物线与X轴的

交点、二次函数的性质的综合应用，根得判别式的应用是解题关键.

16.（3分）如图，六边形ABCDEF是半径为6的圆内接正六边形，则方的长为2n

A/--------丁

【分析】连接OC、OB,求出圆心角/AOB的度数，再利用弧长公式解答即可;

【解答】解：•.N3CDEP为正六边形，

ZCOB=360°XJL=60°,

.♦.△OBC是等边三角形,

：.OB=OC=BC=2,

弧BC的长为6°n入6=2TT.

180

故答案为：2n.

【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是能够求得扇形的圆心角，难度

不大.

17.（3分）如图，已知△A2C内接于OO,BC是。。的直径，ODLAC于点。.半径

±BC,连接BD,EA,且点尸.若BC=10,则。。=_&_.

E

【分析】根据圆周角定理得到/BAC=90°,再利用圆周角定理得到会=仓，所以/BAE

=ZCA£=45°,接着证明AB=AD,利用垂径定理得到AD=CD所以AC=2AB,利

用勾股定理得到AB2+4AB2=102,解得AB=2炳,

从而得到OD的长度.

【解答】解：是O。的直径，

/.ZBAC=90°,

VOEXBC,

•••EB=EC>

/.ZBAE=ZCAE=45°,

'：EA±BD,

：.ZABD=ZADB,

：.AB=AD,

'：OD±AC,

：.AD=CD,

：.AC=2AB,O£>为△ABC的中位线，

在RtAABC中,"：AB2+AC2=BC2,

：.AB2+4AB2=102,

：.AB=2^/5,

：.OD=1AB=后.

2

故答案为：Vs-

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形

的外接圆.也考查了垂径定理.

18.（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A,C均在格点上，

ZCAB=26°,经过A,B,C三点的圆的半径为遥.

（I）线段AC的长等于石_；

（II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点M使其满足NBMC=38°,

并简要说明点M的位置是如何找到的设圆心为O,连接OC,OB,取格点J,延长

CJ交02的延长线于点点M即为所求（不要求证明）.

(11)设圆心为。，连接OC,OB,取格点J,延长CJ交。8的延长线于点点M即

为所求.

【解答】解：(I)如图，AC=+3=V10>

故答案为：Vio；

故答案为：设圆心为。，连接OC,OB,取格点J,延长CJ交02的延长线于点点

M即为所求.

【点评】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问

题，属于中考常考题型.

三、解答题：本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

19.(8分)解下列方程.

(I)x(3x+2)=6(3x+2)；

(II)3X2-2x-4=0.

【分析】(I)先移项，使方程的右边化为零，再利用提公因式法将方程的左边因式分解,

得到两个关于x的一元一次方程，进一步求解即可；

(II)利用公式法解方程即可.

【解答】解：(I)x(3x+2)=6(3尤+2),

x(3x+2)-6(3x+2)=0,

(3x+2)(x-6)=0,

3x+2=0或无-6=0,

所以XI=-2,X2=6；

3

（II）3X2-2x-4=0,

A=（-2）2-4X3X（-4）=4+48=52,

.v_2±V52-2±2713_1±V13

2X363

.X]=1W13X2=1-713

33

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0,再把左

边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这

就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转

化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）.也考查了公式法解一元二次方程.

20.（8分）在平面直角坐标系中，二次函数＞=-Z^+bx+c的图象经过点A（-2,4）和点

B（1,-2）.

（I）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点坐标；

（II）平移该二次函数的图象，使其顶点恰好落在原点的位置上，请直接说出平移的方

向和距离.

【分析】（I）把点A、8的坐标代入函数解析式计算求出6、c的值，即可求得解析式，

把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；

（II）根据顶点坐标即可得出平移的方向和距离.

【解答】解：（I）由题意得，『X4-2b+c=4,

1-2Xl+b+c=-2

解得：产-4,

Ic=4

所以，此二次函数的解析式为＞=-2?-4x+4；

"•"y=-2/-4x+4=-2（x+1）2+6,

顶点为（-1,6）；

（ID•••顶点为（-1,6）,

抛物线向右平移1个单位，向下平移6个单位，使其顶点恰好落在原点的位置上.

【点评】本题考查了了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的图

象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

21.（10分）如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有-1,-2,

3三个数字.小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形

内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（指针指在分界线时取指针右侧扇形

的数）.

（I）小王转动一次转盘指针指向正数所在扇形的概率是1；

一3一

（II）请你用树状图或列表的方法求一次游戏结束后两数之和是正数的概率.

【分析】（1）转盘被平均分为3份，共有3种可能出现的结果，其中是正数的只有1种,

可求出答案；

（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率.

【解答】解：（1）转盘被平均分为3份，共有3种可能出现的结果，其中是正数的只有1

种，

所以小王转动一次转盘指针指向正数所在扇形的概率是工，

3

故答案为：1；

3

（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

-1-23

-1-2・32

-23-41

3216

共有9种可能出现的结果，其中两次之和为正数的有5种，

所以两数之和是正数的概率为

9

【点评】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有可能出现

的结果是正确解答的关键.

22.（10分）已知AB是。。的直径，8。为。。的切线，切点为8.过。O上的点C作C。

//AB,交BD点D.连接AC,BC.

（I）如图①，若DC为。。的切线，切点为C.求NBCD和ND2C的大小；

（II）如图②，当CO与。。交于点E时，连接BE.若/EBO=30°,求/BCD和/

O3C的大小.

【分析】(I)根据A3是。。的直径，05为。。的切线，切点为B,可得根

据0c为。。的切线，切点为C,可得0。=。8,所以得三角形3QC是等腰直角三角形，

进而求出N5CD和ND5C的大小；

(II)根据A8是。。的直径，为。。的切线，切点为B,可得根据/防。

=30°,可得NA班;=60°,根据圆内接四边形对角互补可得NACE=120°,根据AB

是。。的直径，可得N8CA=90°,进而求得N8CD和ND8C的大小.

【解答】解：(I)TAB是。。的直径，为。。的切线，切点、为B,

：.DB±AB,

：.ZDBA=90°,

•••DC为。。的切线，切点为C,

:・DC=DB,

■:CD〃AB,

・・・NO+NO5A=180°,

・・・N0=9O°,

AZBCD=ZDBC=45°；

(II);AB是。。的直径，08为。。的切线，切点为B,

：.DB±AB,

：.ZDBA=90°,

9：CD//AB,

：.ZD+ZDBA=1SQ°,

・・・NO=90°,

ZDEB=ZEBA,

VZ£BD=30°,

:.NDEB=60°,

/.ZEBA=60°,

AZACE=120°,

是OO的直径，

AZBCA=90°,

：.ZBCD=3Q°,

AZDBC=60°.

【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性

质.

23.（10分）如图，若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长10机，另三边用篱笆围成,

篱笆总长20m,设垂直于墙的一边为矩形场地的面积为S层.

（I）S与x的函数关系式为5=-2d+20x,其中尤的取值范围是5«10；

（II）若矩形场地的面积为42m2,求矩形场地的长与宽；

（III）当矩形场地的面积最大时，求矩形场地的长与宽，并求出矩形场地面积的最大值.

【分析】（1）由A£）=x,可得出AB=20-2x,由墙长10米，可得出关于x的一元一次

不等式组，解之即可得出x的取值范围，再利用矩形的面积公式即可得出s关于x的函

数关系式；

（2）根据矩形场地的面积，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；

（3）把二次函数的解析式配方成顶点式，求出长与宽.

【解答】解：（1）'：AD=BC=x,

.\AB=20-2x.

又•.•墙长10米，

.f20-2x<10

-l2x<20）

.KCIO.

AS=.r(20-2x)=-2x2+20x(5Wx<10).

故答案为：-27+20x,5Wx<10；

（2）当矩形场地的面积为42序时，-2/+20X=42,

解得：xi=3（不合题意，舍去），X2=7,

20-2x=6.

答：矩形的长为7米，宽为6米；

（3）"：S=-2X2+20X=-2（x-5）2+50,

.,.当x=5时，S最大是50,

此时20-2x=10,

答：当矩形场地的面积最大时，矩形场地的长是10%宽是5"?,矩形场地面积的最大值

是50/w".

【点评】本题考查了一元二次方程的应用、函数关系式以及函数自变量的取值范围，解

题的关键是：（1）利用矩形的面积公式，找出S关于X的函数关系式；（2）找准等量关

系，正确列出一元二次方程.

24.（10分）在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,4B=AC.点。，E分别为AB,AC

中点，尸是线段DE上一动点（不与点D,E重合），将线段AF绕点A逆时针方向旋转

90°得到线段AG,连接GC,FB.

（I）如图①，证明：△AEB丝ZXAGC.

（II）如图②，连接GF,GE,GF交AE于点、H.

①证明：在点厂的运动过程中，总有NFEG=90°.

②若AB=AC=8,当D尸的长度为多少时，△AHG为等腰三角形？请直接写出。下的长

度.

【分析】（I）由：ZBAC=ZFAG=90°推出NR4B=NCAG,进一步命题得证;

(II)①证明△DAFg/XEAG,进一步可得结果；

②用为AH=GH,止匕时进而求得结果；当AG=GH时，推出DF=AZ),从而

求得结果；当AH=AG时，点F的点E重合，不合题意.

【解答】(I)证明：,：ZBAC=ZFAG=90°,

：.ZBAC-ZFAE=ZFAG-ZFAE,

即NBAF=/CAG,

在△AB?和AAGC中，

fAB=AC

<ZBAF=ZCAG-

AF=AG

:.AAFB名/\AGC(SAS)；

(II)①证明：：点。是AB的中点，点E是AC的中点，

•••AO=3AB，AE=/A(?

"：AB=AC,

：.AD=AE,

：ND4E=90°,

ADAE是等腰直角三角形，

同理(I)得，

△D4金△EAG,

AZAEG=ZADE=45°,

：.ZGEF=ZAEG+ZA£D=45°+45°=90°；

②解:由题意得：AD=AE—4,

•••OE=&AD=4&，

如图1,

图1

当A8=GH时，ZHAG=ZAGF=45

AF=AG,/E4G=90°,

：.ZFAE=ZGAE=45°,

VA£)=AE,

・・・DF=EF=工DE=2&,

VZAGF=ZD=45°,ZGAF=ZDAEf

：.ADAF^AGAH,

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