第05章 重点突破训练：相交线平行线类型题举例-简单数学之2020-2021学年七年级下册同步讲练（解析版）（人教版）

第05章重点突破训练：相交线平行线类型题举例典例体系（本专题70题56页）考点1：相交线所成的角典例：（2021·江苏扬州市·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O，若∠BOF=38°．（1）求∠AOC的度数；（2）过点O作射线OG，使∠GOE=∠BOF，求∠FOG的度数．【答案】（1）52°；（2）图见解析，26°或102°【详解】（1）∵OF⊥CD，∠BOF＝38°，∴∠BOD＝90°−38°＝52°，∴∠AOC＝52°；（2）由（1）知：∠BOD＝52°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=26°，此时∠GOE=∠BOF=38°，分两种情况：如图：此时∠FOG=∠BOF+∠BOE-∠GOE=38°+26°-38°=26°；如图：此时∠FOG=∠BOF+∠BOE+∠GOE=38°+26°+38°=102°；综上：∠FOG的度数为26°或102°.方法或规律点拨本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合．巩固练习1．（2021·山东济南市·七年级期末）如图，直线m和n相交于点O，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．40° B．50° C．140° D．150°【答案】C【详解】解：直线m和n相交于点O，若∠1=40°，则∠2的度数为180°-∠1=140°，故选：C．2．（2021·湖北随州市·七年级期末）如图，直线，交于点，射线平分，如果，那么等于（）A．38° B．37° C．36° D．52°【答案】A【详解】解：∵∴∠AOC=180°−104°=76°∵OM

平分∠AOC∴∠MOC==38°故选：A3．（2021·广西桂林市·七年级期末）按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：A．符合条件，B．不符合点P不在直线c上；C．不符合点P在直线a上；D．不符合直线a、b、c两两相交；故选：A．4．（2021·浙江温州市·七年级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，AO平分，且，则的度数是________．

【答案】【详解】∵，，∴，∵AO平分，∴,∴∠DOB=,故答案为：．5．（2021·浙江温州市·七年级期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，射线OE在内部，OA平分．（1）当时，写出图中所有与互补的角．（2）当时，求的度数．【答案】（1）、、；（2）36°．【详解】解：（1）∵，∴，∵OA平分，∴，∴，∴，∴与互补的角有、、；（2）根据题意，∵，又∵，∴，∵OA平分，∴，∴；6．（2021·浙江湖州市·七年级期末）如图，已知直线与相交于点为的角平分线．（1）求的度数；（2）求的度数．【答案】（1）；（2）【详解】解：（1），∴，∵，；（2）∵直线与相交于点O，，∴，为的角平分线，，．7．（2021·浙江宁波市·七年级期末）如图，已知直线，相交于点，平分，平分．若，求：（1）的度数；（2）的度数．【答案】（1）40°；（2）150°【详解】（1）∵直线，相交于点，∴，∵，∴，∵平分，∴．（2）∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．7．（2021·重庆长寿区·七年级期末）如图，直线、相交于点，平分，平分，．（1）求的度数；（2）求的度数．【答案】（1）30°，（2）45°．【详解】解：（1）∵，∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝×180°＝60°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE=∠BOD＝×60°＝30°；（2）∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝180°﹣30°＝150°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF＝∠COE＝×150°＝75°，由（1）得，∠BOE＝30°，∴∠BOF＝∠EOF-∠BOE＝75°-30°＝45°．8．（2021·四川宜宾市·七年级期末）如图，点是直线上的一点，，平分，于点．（1）求的度数；（2）试说明平分．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴；（2）证明：∵，，∴，∵，平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴平分．9．（2021·湖北鄂州市·七年级期末）如图，点在直线上，与互补，平分．（1）若，则的度数为；（2）若，求的度数．【答案】（1）15°；（2）76°【详解】解：（1）点在直线上，，，与互补，，平分，，；故答案为：；（2）点在直线上，与互补，与互补，，平分，，设为，可得：，解得：，．10．（2021·江苏泰州市·七年级期末）如图，已知直线，相交于点，与互余．（1）若，求的度数；（2）若，求的度数．【答案】（1）58°；（2）120°【详解】解（1）因为与是对顶角，所以，因为与互余，所以，所以；（2）因为，所以，因为，所以，，又，，所以．11．（2021·广东东莞市·七年级期末）如图为直线上一点，，平分，．（1）求的度数；（2）试判断是否平分，并说明理由；（3）的余角是．【答案】（1）155°；（2）平分，理由见解析；（3）和【详解】解：（1）因为，平分，所以，所以．（2）平分．理由如下：因为，，所以，由（1）得∠BOD=155°，所以，所以，所以平分．（3）因为，∠COD=∠AOD，∠COE+∠COD=90°，所以∠BOE+∠COD=90°，∠BOE+∠AOD=90°，所以的余角是和．考点2：在生活中应用平行线性质和判定典例：（2020·江苏泰兴市实验初级中学七年级月考）某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ∥MN．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_________秒，两灯的光束互相平行．【答案】30或110【详解】解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC∥BD，①当0＜t≤90时，如图1所示：∵PQ∥MN，则∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，则∠CAM＝∠BDA，∴∠PBD＝∠CAM有题意可知：2t＝30＋t解得：t＝30，②当90＜t＜150时，如图2所示：∵PQ∥MN，则∠PBD＋∠BDA＝180°，∵AC∥BD，则∠CAN＝∠BDA，∴∠PBD＋∠CAN＝180°，∴30＋t＋（2t－180）＝180解得：t＝110综上所述，当t＝30秒或t＝110秒时，两灯的光束互相平行．故答案为：30或110方法或规律点拨本题主要考查补角、角的运算、平行线的性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分两种情况谈论．巩固练习1．（2021·山西朔州市·七年级期末）一艘船停留在海面上，如果从船上看灯塔位于北偏东30°，那么从灯塔看船上位于灯塔的（）A．北偏东30° B．北偏东60° C．南偏西30° D．南偏西60°【答案】C【详解】解：设此船位于海面上的C处，灯塔位于D处，

射线CA、DB的方向分别为正北方向与正南方向，如图所示．

∵从船上看灯塔位于北偏东30°，

∴∠ACD=30°．

又∵AC∥BD，∴∠CDB=∠ACD=30°．

即从灯塔看船位于灯塔的南偏西30°．

故选：C．2．（2021·甘肃白银市·七年级期末）一条船停留在海面上，从船上看灯塔位于北偏东60°方向，那么从灯塔看船位于灯塔的方向（）A．南偏西60° B．西偏南60° C．南偏西30° D．北偏西30°【答案】A【详解】解：设此船位于海面上的C处，灯塔位于D处，射线CA、DB的方向分别为正北方向与正南方向，如图所示：∵从船上看灯塔位于北偏东60°，∴∠ACD＝60°．又∵AC∥BD，∴∠CDB＝∠ACD＝60°．即从灯塔看船位于灯塔的南偏西60°．故选：A．3．（2020·重庆璧山区·八年级期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（）A．102° B．112° C．120° D．128°【答案】A【详解】解：∵AD∥BC，∠DEF=26°，

∴∠BFE=∠DEF=26°，

∴∠EFC=154°（图a），

∴∠BFC=154°-26°=128°（图b），

∴∠CFE=128°-26°=102°（图c）．

故选：A．4．（2019·山西九年级专题练习）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知，，，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图，延长交于，，，，又，，故选．5．（2020·河南省实验中学）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝160°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】C【详解】根据平行线的性质可得故答案为：C．6．（2019·山西七年级月考）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该过程中始终等于（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：过点B作BG∥CD由题意可知：CD∥AE，∠BAE=90°∴BG∥CD∥AE∴∠ABG=180°－∠BAE=90°，=180°∴=∠ABG＋=270°故选D．7．（2021·陕西西安市·八年级期末）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．【答案】270°【详解】过B作BF∥AE，∵CD∥AE，则CD∥BF∥AE，∴∠BCD+∠1=180°，又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．故答案为：270．8．（2021·山东潍坊市·八年级期末）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质斜射进入另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，则的度数是_______．【答案】【详解】解：∵AB∥CD，∴∠GFB=∠FED=45°．∵∠HFB=20°，∴∠GFH=∠GFB-∠HFB=45°-20°=25°．故答案为：25°9．（2021·全国七年级）如图，在甲，乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东，若同时开工，则在乙地公路按南偏西___度的走向施工，才能使公路准确接通．【答案】55【详解】解：如图：，，即在乙地公路应按南偏西55度的走向施工，才能使公路准确接通．故答案为：55．10．（2018·太原师范学院附属中学七年级月考）如图，要修建一条公路，从村沿北偏东75°方向到村，从村沿北偏西25°方向到村．若要保持公路与的方向一致，则的度数为______．【答案】80°【详解】由题意可得：AN∥FB，EC∥BD，故∠NAB=∠FBD=75°，∵∠CBF=25°，∴∠CBD=100°，则∠ECB=180°-100°=80°．故答案为：80°．11．（2014·陕西九年级专题练习）如图，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝40°，在射线OB上有一点P，从点P点射出的一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是___________【答案】80°【解析】已知反射光线QR恰好与OB平行，根据平行线的性质可得∠AOB＝∠AQR＝40°，根据平角的定义可得∠PQR＝100°，再由两直线平行，同旁内角互补互补可得∠QPB=80°.12．（2021·全国七年级）如图，在、两处之间要修一条笔直的公路，从地测得公路走向是北偏东，公司要求、两地同时开工，并保证若干天后公路准确接通．（1）地修公路的走向应该是；（2）若公路长12千米，另一条公路长6千米，且的走向是北偏西，试求到公路的距离？【答案】（1）地所修公路的走向是南偏西；（2）12km【详解】（1）由两地南北方向平行，根据内错角相等，可知地所修公路的走向是南偏西．故答案为：南偏西．（2），，地到公路的距离是千米．13．（2020·山东临沂市·七年级期末）如图，点是内部一点，交于点．请你画出射线，并且，或的反向延长线交于点．（1）补全图形；（2）判断与的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）∠AOB与∠MPN相等或互补；证明见解析．【详解】解：（1）（2）∠AOB与∠MPN相等或互补．证明：如图1，∵PM∥OA，∴∠AOB＝∠PCB，∵PN∥OB，∴∠MPN＝∠PCB，∴∠AOB＝∠MPN；如图2，∵PM∥OA，∴∠AOB＝∠PCB，∵PN∥OB，∴∠MPN+∠PCB＝180°，∴∠AOB+∠MPN＝180°．综上所述，∠AOB与∠MPN相等或互补．14．（2020·银川九中英才学校七年级期中）如图是种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角和扶手与靠背的夹角的度数．【答案】∠AOE=60°，∠ANM=120°【详解】∵扶手AB与底座CD都平行于地面，

∴AB∥CD，

∴∠ODC=∠BOD=30°，

又∵∠EOF=90°，

∴∠AOE=60°，

∵DM∥OE，

∴∠AND=∠AOE=60°，

∴∠ANM=180°-∠AND=120°．考点3：平行线中的折点问题典例：（2020·宁波市惠贞书院七年级期中）如图，，设，那么，，的关系式______．【答案】【详解】如图，过作，过作，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．方法或规律点拨本题考查了平行线的性质，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，正确理解平行线的性质是解题的关键；1．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学七年级期末）如图，，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，过点E作，，，又，，，，故选：D．2．（2020·四川攀枝花市·七年级期末）如图，某地域的江水经过B、C、D三点处拐弯后，水流的方向与原来相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（）A．20° B．25° C．35° D．50°【答案】A【详解】解：由题意得，AB∥DE，

如图，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，

∴∠BCF+∠ABC=180°，

∴∠BCF=180°-125°=55°，

∴∠DCF=75°-55°=20°，

∴∠CDE=∠DCF=20°．

故选：A．3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图：，，，的度数为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，过点C作，，，，，，，故选：D．4．（2020·重庆市万州第二高级中学九年级期中）如图，直线为直角，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF．∴∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA．∵∠C＝40°，∠AEC为直角，∴∠FEC＝40°，∠BAE＝∠AEF＝90°−40°＝50°．∴∠1＝180°−∠BAE＝180°−50°＝130°．故选：B．5．（2021·全国七年级）如图，已知，，，则____________【答案】【详解】解：作直线m∥a，n∥b，如图所示：∵，∴，∴∠1=∠5，∠6=∠7，∠8=∠4，∴∠2-∠5=∠6，∠3-∠8=∠7，∴，，则有，；故答案为45°．6．（2020·上海市民办立达中学七年级月考）如图，AB//CD，则图中_______________°；【答案】180【详解】如图：过点E作EF//CD．∴∠3＝∠FEC∵∠AEF＋∠2＝∠FEC，∴∠2＋∠AEF＝∠3，∴，∵AB//CD，EF//CD，∴EF//AB，∴∠1＋∠AEF＝180°∴．故答案为：180°7．（2021·全国九年级）如图，AEFC是折线，AB//CD，那么∠1，∠2，∠3，∠4的大小所满足的关系式为_______________；【答案】或【详解】解：过点作，过点作，，，，，，，，或．故答案为：或．考点4：图形平移性质的应用典例：（2020·河南郑州市·郑州外国语中学七年级期中）如图，在中，，把沿着直线BC的方向平移后得到，连接AE，AD，有以下结论：①；②；③；④.其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】∵△ABC沿着直线BC的方向平移后得到△DEF，∴AB//DE，AC//DF，AD//CF，CF=AD=2.5cm，故①②③正确.∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，∵AB//DE，故④正确.综上所述：之前的结论有：①②③④，共4个，故选D.方法或规律点拨本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．巩固练习1．（2020·河北石家庄市·九年级其他模拟）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长:学*科*网]【答案】D【解析】解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，乙所用铁丝的长度为：2a+2b，丙所用铁丝的长度为：2a+2b，故三种方案所用铁丝一样长．故选D．2．（2019·浙江台州市·七年级期末）三个边长分别为，，，的正方形如图所示摆放，则阴影部分的周长（）A．只与，有关 B．只与，有关 C．只与，有关 D．与，，有关【答案】B【详解】解：阴影部分的周长：故选：B．3．（2021·全国七年级）如图，长8米宽6米的草坪上有一条弯折的小路（小路进出口的宽度相等，且每段小路均为平行四边形），小路进出口的宽度均为1米，则绿地的面积为__平方米．【答案】42【详解】解：由平移的性质，得:草坪的长为8﹣1＝7（米），宽为6米，草坪的面积＝7×6＝42（平方米）．故答案为：42．4．（2020·忠县乌杨初级中学校七年级月考）如图,在长方形草地内修建了宽为2米的道路,则草地面积为_______米2．【答案】144【详解】解：由图形得到了的总长度为20+10-2=28米，所以道路的总面积为28×2=56米2，所以草地面积为20×10-56=144米2．故答案为：1445．（2020·江苏扬州市·七年级期末）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB=50米，宽BC=30米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为______米．【答案】98【解析】∵利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，水平距离等于AB，铅直距离等于（AD-1）×2，又∵长AB=50米，宽BC=25米，∴小明沿着小路的中间出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为50+（25-1）×2=98米，故答案为98．6．（2020·莆田擢英中学七年级月考）如图是一块从一个边长为50cm的正方形材料中剪出的垫片，现测得FG＝5cm，则这个剪出的垫片的周长是________cm.【答案】210【解析】【详解】如图所示：这块垫片的周长为：50×4+FG+NH=200+10=210（cm），故答案为2107．（2020·湖南益阳市·七年级期末）如图所示，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，将长方形ABCD沿着AB方向平移________cm，才能使平移后的长方形HEFG与原来的长方形ABCD重叠部分的面积为24cm2．【答案】6【详解】解：设AE=x，根据题意列出方程：

6（10-x）=24，

解得x=6，

∵A的对应点为E，∴平移距离为AE的长，

故向右平移6cm．8．（2020·河北衡水市·七年级期末）如图，直角△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则内部五个小直角三角形的周长为_____．【答案】12【解析】解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=12．故答案为12．考点5：平行线性质与判定的综合问题典例：（2020·重庆沙坪坝区·七年级期末）如图1，AB∥CD，直线AE分别交AB、CD于点A、E．点F是直线AE上一点，连结BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP与EP交于点P．（1）若点F是线段AE上一点，且BF⊥AE，求∠P的度数；（2）若点F是直线AE上一动点（点F与点A不重合），请直接写出∠P与∠AFB之间的数量关系．【答案】（1）45°；（2）当E点在A点上方时，∠BPE＝∠AFB，当E点在A点下方时，∠BPE＝90°﹣∠AFB【详解】解：（1）过点P作PQ∥AB，过点F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∥FH，∴∠ABP＝∠BPQ，∠CEP＝∠EPQ，∠ABF＝∠BFH，∠CEF＝∠EFH，∴∠ABP+∠CEP＝∠BPQ+∠EPQ＝∠BPE，∠ABF+∠CEF＝∠BFH+∠EFH＝∠BFE，∵BF⊥AE，∴∠ABF+∠CEF＝∠BFE＝90°，∵BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，∴∠ABP+∠CEP＝（∠ABF+∠CEF）＝45°，∴∠BPE＝45°；（2）①当点F在EA的延长线上时，∠BPE＝∠AFB，理由如下：如备用图1，过点P作PQ∥AB，过点F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∥FH，∴∠ABP＝∠BPQ，∠CEP＝∠EPQ，∠ABF＝∠BFH，∠CEF＝∠EFH，∴∠CEP﹣∠ABP＝∠EPQ﹣∠BPQ＝∠BPE，∠CEF﹣∠ABF＝∠EFH﹣∠BFH＝∠BFE，∵BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，∴∠CEP﹣∠ABP＝（∠CEF﹣∠ABF）＝∠BFE＝∠AFB，∴∠BPE＝∠AFB；②当点F在线段AE上（不与A点重合）时，∠BPE＝90°﹣∠AFB；理由如下：如备用图2，过点P作PQ∥AB，过点F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∥FH，∴∠ABP＝∠BPQ，∠CEP＝∠EPQ，∠ABF＝∠BFH，∠CEF＝∠EFH，∴∠ABP+∠CEP＝∠BPQ+∠EPQ＝∠BPE，∠ABF+∠CEF＝∠BFH+∠EFH＝∠BFE，∵BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，∴∠ABP+∠CEP＝（∠ABF+∠CEF），∴∠BPE＝∠BFE∴∠BFE＝180°﹣∠AFB，∴∠BPE＝90°﹣∠AFB；③当点F在AE的延长线上时，∠BPE＝90°﹣∠AFB，理由如下：如备用图3，过点P作PQ∥AB，过点F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∥FH，∴∠ABP＝∠BPQ，∠CEP＝∠EPQ，180°﹣∠ABF＝∠BFH，∠AEC＝∠EFH，∴∠CEP+∠ABP＝∠EPQ+∠BPQ＝∠BPE，∠BFH﹣∠EFH＝180°﹣∠ABF﹣∠AEC＝∠AFB，∵BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，∴∠CEP+∠ABP＝（∠AEC+∠ABF）＝（180°﹣∠AFB），∴∠BPE＝90°﹣∠AFB；综上，当E点在A点上方时，∠BPE＝∠AFB，当E点在A点下方时，∠BPE＝90°﹣∠AFB．方法或规律点拨此题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，以及角平分线的性质，在相交线问题中通常作平行线利用平行线的性质解答，将角度转化由此求出答案．解题中运用分类思想解答问题．巩固练习1．（2020·黑龙江哈尔滨市·七年级期末）已知：直线分别与直线，交于点，．平分，平分，并且．（1）如图1，求证：；（2）如图2，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为．【答案】（1）见解析；（2），，，【详解】（1）证明：∵，∴．∵平分，平分，∴，．∴．∴．（2）由（1）知ABCD，∴∠AEF+∠CFE=180°，∵∠AEF=2∠CFN=∠CFE，∴∠AEF=∠CFE=90°，∴∠CFN=∠EFN=∠FEM=∠BEM=45°，∠BEG=∠CFH=∠DFE=90°,∴∠AEM=∠GEM=∠HFN=∠DFN=90°+45°=135°，∴度数为135°的角有：、、、．2．（2020·福建福州市·七年级期末）已知两条直线l1，l2，l1∥l2，点A，B在直线l1上，点A在点B的左边，点C，D在直线l2上，且满足．（1）如图①，求证：AD∥BC；（2）点M，N在线段CD上，点M在点N的左边且满足，且AN平分∠CAD；（Ⅰ）如图②，当时，求∠DAM的度数；（Ⅱ）如图③，当时，求∠ACD的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）．【详解】（1），，又，，；（2）（Ⅰ），，，，由（1）已得：，，；（Ⅱ）设，则，平分，，，，，由（1）已得：，，即，解得，，又，．3．（2021·全国七年级）（探究）如图①，，点E在直线，之间．求证：．（应用）如图②，，点E在直线，之间．若，，，平分，平分，则的大小为_________．【答案】探究：见解析；应用：【详解】探究：过点E作∴，∵，∴．∴，∵，∴．∴．应用：，作HP∥AB，∠BAH=∠AHP，∵，∴．∴∠PHF=∠HFD，∵平分，平分，∴∠BAH=∠BAE，∠HFD=∠GFD，∵GF∥CE，∴∠ECD=∠GFD，由（1）知∠BAE+∠ECD=∠AEC=90º，∴∠BAE+∠GFD=90º，∴∠AHF=∠AHP+∠PHF=∠BAH+∠HFD=∠BAE+∠GFD=，∠AHF=．故答案为：45º．4．（2020·山东省青岛第五十九中学八年级期末）已知，，，试解答下列问题：（1）如图①，则__________，则与的位置关系为__________（2）如图②，若点E、F在线段上，且始终保持，．则的度数等于__________；（3）在第（2）题的条件下，若平行移动到图③所示①在移动的过程中，与的数量关系是否发生改变，若不改变，求出它们之间的数量关系；若改变，请说明理由．②当时，求的度数．【答案】（1）72°，平行；（2）36°；（3）①∠OCB=∠OFB；②∠OCA=54°．【详解】解：（1）∵BC∥OA，

∴∠B+∠O=180°，

∵∠B=108°，

∴∠O=72°，

∵∠A=108°，

∴∠O+∠A=180°，

∴OB∥AC，

故答案为：72°，平行；（2）∵∠FOC=∠AOC，，∠BOA=72°，∴，故答案为：36°；（3）①不变，

∵BC∥OA，

∴∠OCB=∠AOC，

又∵∠FOC=∠AOC，

∴∠FOC=∠OCB，

又∵BC∥OA，

∴∠OFB=∠FOA=2∠FOC，

∴∠OFB=2∠OCB，

即∠OCB：∠OFB=1：2．

即∠OCB=∠OFB；②由（1）知：OB∥AC，

∴∠OCA=∠BOC，

由（2）可以设：∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，

∴∠OCA=∠BOC=2α+β

由（1）知：BC∥OA，

∴∠OEB=∠EOA=α+β+β=α+2β

∵∠OEB=∠OCA

∴2α+β=α+2β

∴α=β

∵∠AOB=72°，

∴α=β=18°

∴∠OCA=2α+β=36°+18°=54°．5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知：和同一平面内的点．（1）如图1，点在边上，过作交于，交于．根据题意，在图1中补全图形，请写出与的数量关系，并说明理由；（2）如图2，点在的延长线上，，．请判断与的位置关系，并说明理由．（3）如图3，点是外部的一个动点．过作交直线于，交直线于，直接写出与的数量关系，并在图3中补全图形．【答案】（1）图见解析，，理由见解析；（2），理由见解析；（3）图见解析，或．【详解】（1）由题意，补全图形如下：，理由如下：，，，，；（2），理由如下：如图，延长BA交DF于点O，，，，，；（3）由题意，有以下两种情况：①如图3-1，，理由如下：，，，，，由对顶角相等得：，；②如图3-2，，理由如下：，，，，．6．（2020·惠州市江南学校八年级期中）已知△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G．（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度数；（2）如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论；【答案】(1)25º，（2）结论是：∠G=∠A，证明见详解．【详解】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠A+∠ABC=90º,∴∠ABC=90º-∠A=40º，∵BG平分∠ADE，∴∠GBC=∠ABG=∠ABC=20º，由作法DE∥BC，∠CDE+∠DCF=180º，∠DCF=∠ACB＝90°，∴∠CDE=90º,∵DG平分∠ADE，∴∠CDF=∠EDF=45º,由DE∥BC，∴∠BFD=∠EDF=45º,由外角性质∠BFD=∠G+∠GBF，∴∠G=∠BFD-∠GBF=45º-20º=25º，（2）如图，结论是：∠G=∠A，∵DE∥BC，∴∠CFD=∠FDE，过点C作CH∥DG交BG于H，∠BHC=∠G，∵DG平分∠ADE，∴∠CDF=∠FDE=∠ADE，∴∠ACH=∠CDG，∠HCF=∠CFD=∠FDE，∴∠ACH=∠HCF=∠ACF,∵BG平分∠ABC，∴∠ABG=∠GBF=∠ABC，由外角性质∠ACF=∠A+∠ABC，2∠HCF=∠A+2∠HBC①，∠HCF=∠HBC+∠BHC②由②×2-①得，∠BHC=∠A，∠G=∠A．7．（2019·河北保定市·八年级月考）如图1所示的是北斗七星的位置图，图2将北斗七星分别标为，，，，，，，并顺次首尾连接，若恰好经过点，且，．（1）求的度数．（2）连接，当与满足怎样的数量关系时，，并说明理由．【答案】（1）75°；（2）当∠ADE+∠CGF=180°时，BC∥AD．【详解】解：（1）∵AF∥DE，

∴∠F+∠E=180°，∵

∴∠F=180°-105°=75°；（2）如图，当∠ADE+∠CGF=180°时，BC∥AD，

∵AF∥DE，

∴∠GAD+∠ADE=180°，∠ADE+∠CGF=180°，

∴∠GAD=∠CGF，

∴BC∥AD．8．（2018·上海七年级零模）已知：AB∥DE．（1）如图1，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A+∠D是多少吗？这一题的解决方法有很多，例如（i）过点C作AB的平行线；（ii）过点C作DE的平行线；（iii）联结AD；（iv）延长AC、DE相交于一点．请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由．（2）如图2，点C1、C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C1+∠C2++∠D=度，并说明理由．（3）如图3，随着AB与CD之间点增加，那么∠A+∠C1+∠C2++…+∠Cn+1+∠D=度．（不必说明理由）【答案】（1）；（2）540，理由见解析；（3）【详解】（1）如图1，过点作的平行线，∵，∴，∴，，∴，又∵，∴．（2）如图2，过作，过作，则∵，∴，∴，，，∴，故答案为：540；（3）如图3，由（1）（2）可得：，故答案为：．9．（2019·河北唐山市·七年级期中）根据所给图形及已知条件，回答下列问题：（1）①如图1所示，已知直线，，那么根据_________可得________；②如图2，在①的条件下，如果平分，则________；③如图3，在①、②的条件下，如果，则________．（2）尝试解决下列问题：如图4，已知，，是的平分线，，求的度数．【答案】（1）①两直线平行，内错角相等；68②34③56；（2）21°【详解】解：（1）①两直线平行，内错角相等；∠ABC＝68°，故填：68；②∵平分，∴＝34°，故填：34；③∵，∴∠NCM＝90°，∴90°－56°，故填：56；（2）∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCE＝180°，∵∠ABC＝42°，∴∠BCE＝180°－∠ABC＝180°－42°＝138°，∵CN平分∠BCE，∴∠BCN＝∠BCE＝69°，∵CN⊥CM，∴∠MCN＝90°，∴∠BCM＝∠MCN－∠BCN＝90°－69°＝21°．10．（2020·洛阳市第二外国语学校七年级期中）如图1，D是△ABC延长线上的一点，CEAB．（1）求证：∠ACD＝∠A+∠B；（2）如图2，过点A作BC的平行线交CE于点H，CF平分∠ECD，FA平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度数．（3）如图3，AHBD，G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分∠QGD交AH于R，QN平分∠AQG交AH于N，QMGR，猜想∠MQN与∠ACB的关系，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）∠F=55°；（3）∠MQN＝∠ACB；理由见解析．【详解】解：（1）∵CEAB，∴∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B，∵∠ACD＝∠ACE+∠ECD，∴∠ACD＝∠A+∠B；（2）∵CF平分∠ECD，FA平分∠HAD，∴∠FCD＝∠ECD，∠HAF＝∠HAD，∴∠F＝∠HAD+∠ECD＝（∠HAD+∠ECD），∵CHAB，∴∠ECD＝∠B，∵AHBC，∴∠B+∠HAB＝180°，∵∠BAD＝70°，，∴∠F＝（∠B+∠HAD）＝55°；（3）∠MQN＝∠ACB，理由如下：平分，．平分，．，．∴∠MQN＝∠MQG﹣∠NQG＝180°﹣∠QGR﹣∠NQG＝180°﹣（∠AQG+∠QGD）＝180°﹣（180°﹣∠CQG+180°﹣∠QGC）＝（∠CQG+∠QGC）＝∠ACB．考点6：与平行线、交线有关的作图问题典例：（2021·江苏泰州市·七年级期末）如图是由相同边长的小正方形组成的网格图形，小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点都在格点上，利用网格画图．（注：所画格点、线条用黑色水笔描黑）（1）过点画的垂线，并标出垂线所过格点；（2）过点画的平行线，并标出平行线所过格点；（3）画出向右平移8个单位长度后的位置；（4）的面积为______．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）9.5【详解】解：（1）如图所示，AP是的垂线；为所求格点；（2）如图所示，，、为所求格点；（3）如图所示，为所求；（4）的面积，故答案为：．方法或规律点拨此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握相关性质以及结合网格画出对应点是解题关键．巩固练习1．（2021·江苏南京市·七年级期末）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．（1）过点A画线段BC的垂线，垂足为E；（2）过点A画线段AB的垂线，交线段CB的延长线于点F；（3）线段BE的长度是点到直线的距离；（4）线段AE、BF、AF的大小关系是．（用“＜”连接）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）B，AE；（4）AE＜AF＜BF【详解】(1)如图所示；(2)如图所示；(3)∵，∴线段BE的长度是点B到直线AE的距离，故答案是：B，AE；(4)∵AE是直角三角形AEF的直角边，AF是直角三角形AEF的斜边，∴，∵BF是直角三角形ABF的斜边，AF是直角三角形ABF的直角边，∴，∴，故答案是：．2．（2021·浙江宁波市·七年级期末）如图，已知同一平面内四个点，，，．（1）同时过，，两点能作几条直线？作图并写出理由；（2）在直线上画出符合下列条件的点和，并说明理由．①使线段长度最小；②使最小．【答案】（1）1条，两点确定一条直线，见解析；（2）①见解析；②见解析【详解】解：（1）根据直线的公理：两点确一条直线，所以同时过，，两点能作1条直线，如图所示：直线AC即为所求，答：同时过，，两点能作1条直线，因为两点确定一条直线；（2）如图，①直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，过点D作于点P，则点P即为所求作的点；②两点之间，线段最短，画线段BD，交直线AC于点Q，则点Q即为所求作的点3．（2021·江苏南京市·七年级期末）在如图，所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．（1）经过点画的平行线．（2）过点，画的垂线．（3）过点，画的垂线．（4）请直接写出、的位置关系．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）平行．【详解】（1）如图，直线PQ即为所求．（2）如图，直线AM即为所求．（3）如图，直线CN即为所求．（4）∵，，∴故AM与CN的位置关系为平行．4．（2020·北京七年级期末）如图，已知直线AB及直线AB外一点P，按下列要求完成画图和解答：（1）连接PA，PB，用量角器画出∠APB的平分线PC，交AB于点C；（2）过点P作PD⊥AB于点D；（3）用刻度尺取AB中点E，连接PE；（4）根据图形回答：点P到直线AB的距离是线段的长度．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）PD．【详解】解：(1)、如图所示；(2)、如图所示；(3)、如图所示；(4)、PD．5．（2020·莆田擢英中学七年级月考）如图，在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只借助网格，需要写出结论）．（1）过点B画出AC的平行线；（2）画出三角形ABC向右平移5格，再向上平移2格后的△DEF；（3）若每一个网格的单位长度为a，求三角形ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）三角形ABC的面积＝3a2．【详解】（1）如图，直线BP为所作；（2）如图，△DEF为所作；（3）三角形ABC的面积3a×2a=3a2．6．（2021·河南新乡市·七年级期末）画图并度量，已知点A是直线l上一点，点M、N是直线l外两点，画图：（1）画线段，并用刻度尺找出它的中点B；（2）画直线，交直线l于点C，并用量角器画出的平分线；（3）画出点M到直线l的垂线段，并度量点M到直线l的距离为__．（精确到）【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）4.0．【详解】解：（1）如图，连结AM，测得AM=4.5cm，在线段AM上画以A为端点，长为cm的线段AB，点B即是所求线段AM的中点，；（2）如图，①用直尺过点M、N画直线MN，②测出，再画出以点C为顶点，AC为一边的角，则CD即为所求的的平分线CD；（3）如图，用三角板画点M到直线l的垂线段，测得线段MH=4.0cm，故答案为：4.0cm．7．（2020·北京延庆区·七年级期中）已知：四点A，B，C，D的位置如图所示，（1）连接AD；（2）画射线AB与线段DC的延长线交于点E；（3）过点B作BF⊥CD于点F．【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）图